等差、等比数列知识点总结

一、任意数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：???≥-==-)2()

1(11n S S n S a n n

n

二、等差数列

1、等差数列及等差中项定义

d a a n n =--1、2

1

1-++=

n n n a a a 。 2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=、d k n a a k n )(-+=

当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式；当0=d 时，n a 是一个常数。

3、等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=

d n n na S n 2

)

1(1-+= 4、等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+

5、等差数列}{n a 的公差为d ，则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、m m S S 23-、……

仍为等差数列。

6、B A a A d Bn An S n +==+=122，，

7、在等差数列}{n a 中,有关n S 的最值问题

利用n S （0≠d 时，n S 是关于n 的二次函数）进行配方（注意n 应取正整数） 三、等比数列

1、等比数列及等比中项定义：

q a a n n

=-1

、112+-=n n n a a a 2、等比数列的通项公式： 11-=n n q a a k n k n q a a -= 3、等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n =

当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 q

q

a a S n n --=11

4、等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=?

5、等比数列}{n a 的公比为q ，且0≠n S ,则任意连续m 项的和构成的数列m S 、m m S S -2、

m m S S 23-、……仍为等比数列 6、0=++=B A B Aq S n n ，则

四、求数列}{n a 的最大的方法：

1-1n n n n a a a a ≥≥+

五、求数列}{n a 的最小项的方法：

1

-1n n n n a a a a ≤≤+

例：已知数列}{n a 的通项公式为：32922-+-=n n a n ，求数列}{n a 的最大项。

例：已知数列}{n a 的通项公式为：n

n n n a 10)

1(9+=，求数列}{n a 的最大项。

数列求和方法总结

1、公式法

（1）等差数列

（2）等比数列

2、分组求和法

类型：数列{a n }的通项公式形如a n =b n ±c n ，而{b n }是等差数列，{c n }是等比数列。

例4：计算 的值

练习：求数列的前n 项和Sn ：

3、裂项相消法 常见裂项技巧：

(1)(2)13(3)11111122143181

2

2

313231323132312121412141

2234562121，，，…，，…；

，，，…，，…；，＋，＋，…，＋＋＋…＋，…．

()n n n n n ++++++--?????≠--=--==11)1)1(1111

q q q a a q q a q na S n n n 4)]1([...321)4(

2

3333+=++++n n n 6)12)(1(...321)3(2222++=

++++n n n n d n n na n a a S n n

2

)1(211-+=+=1111

+3+5++(2-1)2482n n ;111)1(1)1(+-=+n n n n ;

111)2(n n n n -+=++);121

121(21)12)(12(1)3(+--=+-n n n n 1

111)2(2n

例5、化简

练习

4、倒序相加法

例5、

例6、1、已知()x

f x =，

设123()()()()n n

S f f f f n n n n

=+++

+，求n S

5、错位相减法

常应用于形如{a n ·b n }的数列求和,其中{a n }为等差数列, {b n } 为等比数列.

例7、

练习：

练习：数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，121+=+n n S a （1≥n ） （1）求数列}{n a 的通项公式n a

（2）等差数列}{n b 的各项为正数，且52=b ，又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n b （3）求数列}{n n b a ?的前n 项和n T

.11

341231121n n +++++++++ .)12()12(1751531311的值求+?-++?+?+?=

n n S n ...

3

32211=+=+=+---n n n a a a a a a 特点：。 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++1221-328252-?++?+?+=n n n S ）（ 1

2)21

(1-3)21(82152-?++?+?+=n n n S ）（ ;321132112111)2(n +++++++++++ 12413410474)3(-?+++?+?+n n ）（

数列通项公式方法总结

1、公式法

等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= d m n a a m n )(-+= 等比数列的通项公式： 11-=n n q a a

m n m n q a a -=

2、累加法

例1、

例2、

例3、

3、累乘法

例4、 练习：

))((1N n n f a a n n ∈=-+类型：n n n a a n a a 求，,11211=++=+n n n a a n a a 求，,12311=-+=+n n n n a a a a 求，,1311=+=+))((1N n n f a a n n ∈=+类型：n n n n a a a a 求，,3211==+111

1,,n n n n a a a a n ++==求n n a S 求、利用411 ,=1,2

n n n S n a S S n -?=?-≥?431,n n n S a

=+例：求))(1(31*N n a S n n ∈-=练习：.}{,,3,2,1,S 311S n }{)4(432n

11n 的通项公式的值及数列求，，且项和为的前、数列n n n a a a a n a a a ?

?===+

5、取倒数

例6、已知数列{a n }中，a 1=1, a n +1+3a n+1a n -a n =0, 求数列{a n }的通项公式.

6、取对数

例7、

7、构造法

主要用于形如a n+1=c a n +d 的已知递推关系式求通项公式。 例8、a 1=3,a n+1=2a n +3,求a n

1

n n n pa a p qa +=+类型：n

n n n a

a a a a 求，、例,122511=+=+1p n n a Aa +=类型：n

n n a a a a 求,2,13

1==+1111111,23

(2)691,n n n n n n a a a a a a a a ++=+==+=练习：(1)，求，求111,32n n n n a a a a a +==+练习：，求1122,1,n n n n a a a a +=+=求1

1123,1,n n n n a a a a ++=+=求{}

{}

11(6)3,2(2)..n n n n n n n a a a n s a s s n a -==?≥、已知数列的首项通项与前项和之间满足求数列的通项公式

8、特征根法

形如

(其中p,q 为常数)型

设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，

数列{}n x 满足1x p =，2

2x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，

…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，1

4

q =

，求{}n x 的前n 项和n S ．

111296,1,2,n n n n a a a a a a +-=+==例、求11121044,1,2,n n n n a a a a a a +-=-==例、求1212

11,()n n n n n x x a Ax Bx x a A Bn x =+=方法总结：若方程有两个根，则 若方程只有一个根，则+111228,1,2,n n n n a a a a a a +-=+==练习、求111269,1,2,n n n n a a a a a a +-=-==练习、求

1.若 ，求

11231{}1,23...(1)(2),__[1_.]__n n n n a a a a a a n a n a -==++++-≥=例已知数列满足则123123...(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥1

1232

23...(2)(3)

n n a a a a n a n --=++++-≥11(1)(3)n n n a a n a n ---=-≥1(3)n

n a n n a -=≥1 , 1 123, 22

n n a n

n =??=?????≥??【例2】已知数列}{n a 、}{n b 满足11=a ，32=a ，

)(2*1

N n b b n

n ∈=+，n n n a a b -=+1。（1）求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）数列}{n c 满足)1(log 2+=n n a c )(*N n ∈，

求13352121

111

n n n S c c c c c c -+=+++

。【解】（1）

)(2*1

N n b b n

n ∈=+，又121312b a a =-=-=。

所以数列}{n b 是首项1b 2=，公比2=q 的等比数列。

故112n n n b b q -==。

（2）*12()

n n n a a n N +-=∈112211

()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12212112222

1

-=--=++++=--n n

n n 。

（3）n a c n n

n n ==+-=+=2log )112(log )1(log 222，

∴212111111

()

(21)(21)22121

n n c c n n n n -+==--+-+∴133********n n n S c c c c c c -+=

+++111111(1)=-+-++-

【例1】已知数列}{n a 中，02,311=-=+a a a n n ,数列}{n b 中，

())( 1*

N n a b n n n ∈-=?．

（Ⅰ）求数列}{n a 通项公式；

（Ⅱ）求数列}{n b 通项公式以及前n 项的和．【解】（1）∵021=-+n n a a ∴

)1(21

≥=+n a a n

n ，又31=a ，∴{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，

∴*)

(231N n a n n ∈?=-（2）∵())( 1*N n a b n n n ∈-=?，

∴n n n a b 1

)1(?

-==1

231)1(-??-n n ∴n n b b b S +???++=211

231

)1(23131-??

-+???+?+-=n n =2

11)21(131+?

?????---n =-??????--n )21(192=?

??

???--1)21(92n 【例2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2

1

1=a 且

)2(021≥=?+-n S S a n n n ．

(Ⅰ)求证}1

{n

S 是等差数列，并求出n a 的表达式；

(Ⅱ)若)2()1(2≥-=n a n b n n ，求证12

2322<+++n b b b ．

（I ）证明：∵n

n a a a S +???++=21∴当n ≥2时，a n =S n –S n –1又0

21=+-n n n S S a ∴)2(0211≥=+---n S S S S n n n n ，若S n =0，则a n =0，

∴a 1=0与a 1=2

1

矛盾！∴S n ≠0，S n –1≠0．∴02111

=+-

-n n S S 即2111

=--n n S S 又

21112=-S S ．∴{n

S 1

}是首项为2，公差为2的等差数列

由（I ）知数列{n

S 1

}是等差数列．∴

n n S n 22)1(21=?-+=即n

S n 21=∴当)1(21

)1(2121,21--

=--=-=≥-n n n n S S a n n n n 时又当21,111===a S n 时，∴??????

?≥--==)2()1(21)1(2

1

n n n n a n （II ）证明：

由（II ）知)

2(1

)1(21)1(2≥=-?-=n n

n n n b n ∴22223n b b b +++2

22

11123

n =

+++

n

n )1(1321211 -++?+?<

)

111()3121()211(n n --++-+-= 1

11<-=n

111

1

(1,)()(0,1)3

.{}(),{}(0),(2).

(1){}{};1

(2){

},1000

?2009

[]x n n n n n n n n n n n n n n f x a a a a n f n c b b c n S S S S S n a b n T T b b n --+=>≠->-=≥>已知点是函数且的

图象上一点等比数列的前项和为数列的首项为且前项和满足求数列和的通项公式若数列的前项和为问满足的最小正整数2是多少例【解】（1）()113f a ==Q ,()13x

f x ??

∴= ?

??()1113a f c c =-=-,()()221a f c f c =---????????2

9

=-,()()323227

a f c f c =---=-????????.又数列{}n a 成等比数列，2213421

8123327

a a c a ===-=--，所以1c =；

1n n S S

-

-=

+

=+Q ()

2n ≥又0n b >

,0>

,1-=；数列

构成一个首相为1公差为1的等差数列，

()111n n =+-?=，2

n S n =当2n ≥，()2

21121n n n b S S n n n -=-=--=-；

21n b n ∴=-(*n N ∈)；（2）

12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++

L ()

1111133557(21)21n n =++++???-?+K 1111111111112323525722121n n ????????=-+-+-++- ? ? ? ?-+????????K 11122121

n

n n ??=-= ?

++??；由1000212009n n T n =>

+得1000

9n >，满足1000

2009

n T >的最小正整数为112.

【变式2】等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上。（1）求r 的值；（2）当b =2时，记1

()4n n

n b n N a ++=

∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 。因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数x y b r =+的图像上，所以n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,

当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,

（2）当b =2时，11(1)2n n n a b b --=-=,11

111

4422n n n n n n n b a -++++===?则2341

23412222n n n T ++=

++++34512

12341222222n n n n n T +++=+++++w 相减,得234512

1211111

2222222

n n n n T +++=+++++-=31211(1)112212212

n n n -+?-++--12

311422n n n +++=--所以1131133

22222

n n n n n n T ++++=--=-。

【变式训练】已知数列{a n }满足：S n ＝1－a n (n ∈N ＋)，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．

(1)试求{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足：b n ＝n

a n

(n ∈N ＋)，试求{b n }的前n 项和公式T n .

(2)由(1)得b n ＝n

a n

＝n ·2n (n ∈N ＋)．

∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .③∴2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1④③－④得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1

【例1】设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：

a n 、

b n 、a n +1成等差数列，b n 、a n +1、b n +1成等比数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n ，b n

【解】依题意得:

2b n +1=a n +1+a n +2①a 2n +1=b n b n +1②

∵a n 、b n 为正数，由②得21211,+++++==

n n n n n n b b a b b a ，

代入①并同除以1+n b 得:212+++=n n n b b b ，

∴}{n b 为等差数列∵a n 、b n 为正数，由②得21211,+++++==

n n n n n n b b a b b a ，

代入①并同除以1+n b 得:212+++=n n n b b b ，

∴}{n b 为等差数列

∵b 1=2，a 2=3，2

9

,2212

2=

=b b b a 则，∴2

)1(),1(22)229)(1(22

+=

∴+=--+=n b n n b n n ，∴当n ≥2时，2

)

1(1+==-n n b b a n n n ，

又a 1=1，当n =1时成立，∴=

a n 【例3】已知点P n (a n ,

b n )(n ∈N +)都在直线l ：y =2x +2上，P 1为直

线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；

（2）若f (n )=()()

n n a n b n ?????为奇数为偶数，问是否存在k N +∈,使得f (k +5)=2f (k )－2成立；若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由。（3）求证:

2

2

12

13

211

1

1

25

n

P P P P P P ++???+<(n ≥2,n ∈N +)

（1）∵1(1

,0)P -∴1121,0,110a b a =-==-+=,

∴2

212,2b b b =-=,

（2）若k 为奇数,

则f (k )=2k k a =-,5(5)28k f k b k ++==+,

∵2k +8=2k ─4─2无解，∴这样的k 不存在;若k 为偶数，

则f (k )=2k －2，f (k +5)=k +3,k +3=4k －4－2,q =3k ，k =3(舍去)无解.

1(21,22)(1,22)

n P P n n n n =-+-=--⑶

12

222(1)4(1)5(1)n P P n n n ∴=-+-=-22222212113

1111111512(1)n n PP PP PP ??

??????++???+=++???-∴21111151223(2)(1)1n n ????????+++???+??--≤=111115n ??+- ?

-?

?()111255

+<=

(∵

2,11n n -≥≥)