图形的分割与拼接

课题：图形的分割与拼接

【专题知识点概述】

本讲中的知识点比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法：

1、理解掌握图形的分割；

2、理解掌握图形的拼合；

3、理解图形的剪拼；

4、利用剪拼图形计算、解决问题.

图形的分割与拼接的概念

把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．

反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．

我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．

如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．

图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．

如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．

如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．

【习题精讲】

【例1】（难度等级※）

右图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的

完整．

【分析与解】

因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有3×4=12（个）小格，所以

分成的两块每块有12÷2=6（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我

们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的

对称位置，标上相应的符号，当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置

是另一种情况，具体如下图所示.

【例2】（难度等级※※）

右图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的

完整．

【分析与解】

因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有4×4=16（个）小格，所以分成的两块每块有16÷2=8（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进，建议同时呈现六幅空的4×4格图，不同的变化在不同的图上同时呈现，如下图所示.

【例3】（难度等级※※※）

请把右面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字

中的一个，该怎么剪?

【分析与解】

图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6×4的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，对称分成如下图.

【例4】（难度等级※※※）

学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将右图分成形状和大小都

相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分?

【分析与解】

看到这道题目，首先想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图(2)与原题右下角2×2的正方形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图(2)可以先排除掉．现在，再固定某一角上的一个小正方形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种可能出现的情况：

【例5】（难度等级※※※）

图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?

【分析与解】

这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角分成四个大小、形状都相同的四个梯

形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯

形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成

要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图.

【例6】（难

度等级※※※※）

如何把图a中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角形

进行分割)．

【分析与解】

要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图．

【例7】（难度等级※※※）

下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．

【分析与解】

通过计算，18÷6=3，说明基本形状是有三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：

与

，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，

是由6结合染色法，如下图.

【例8】（难度等

级 ※※※）

把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪?作出分

出的小图形．

【分析与解】

总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图.

【例9】（难度等级 ※※）

用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方

形、一个梯形、一个平行四边形五种图形?若能，画出示意图．

【分析与解】

能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．

【例10】（难度等级 ※※※）

下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？

【分析与解】

用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够

拼成一个大正方形．其实用图（1）、图（2）、

图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见下图．

【例11】（难度等级※※）

将方格纸剪成面积是4的图形，形状只有

七种，如下图所示．其中有哪几种可以拼

成面积是16的正方形?

【分析与解】

面积是16的正方形，其边长等于4，用图形(5)和(7)显然能拼成边长是4的正方形(如左下图所示)．

用图形(1)、(2)和(6)也能拼成边长为4的正方形(如右下图所示)．

通过观察与试验，无法用所给图中的(3)和(4)拼成题目要求的正方形．因此，用所给图中的七种图形，共可以拼成5种面积是16的正方形．

【

例12】（难度等级※※）

试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．

【分析与解】

把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．

【例13】（难度等级※※※）

将右图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．

【分析与解】

经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小正方形，共有4排把大图形分成完全一样的4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍．现在来考虑形状．由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个如图1，再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可．下面以上面的图为例，继续探讨分割的办法．如果把上图中每个小正方形的边长看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为3；显然，要把它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为3，如图2；用同样的方法，可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如右下图．

图 1 图2

【例14】（难度等级※※）

试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．

【分析与解】

要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法

有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行

四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图

【

例15】（难度等级※※※）

试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．

【分析与解】

（方法一）三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点，这样才能拼出一个长方形，如左下图.

（方法二）因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形，作三角形的中位线，旋转180°即可转化为平行四边形，然后拼成长方形，如右下图.

【

例16】（难度等级※※※）

试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．

【分析与解】

（方法一）我们应该首先考虑三角形与矩形的图形差异，三角形有三个角、三条边，所以需要把长方形的两个角变为一个角，可以讲长方形的两个角剪掉，拼在两边，如左下图.

（方法二）在长方形两边割三角形，向上旋转180°，即可拼成三角形,如右下图.

【例17】（难度等级※※）

将右图分成两块，然后拼成一个正方形．

【分析与解】

图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应该是4。因为图形是缺角长方形，长为6，宽为3，应将宽加1，长减去2便可得一个正方形，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移使长为4）。如下图.

【例18】（难度等级※※※）

如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形的面积是4平方厘米，长方形ABCD的面积

是多少平方厘米？

【分析与解】

取AB、CD AE的中点，BC的三等分点进行连接，可以把长方形分割成如下图所示，由于取得点都是等分点，分割后7个小正方形的面积都是4平方厘米，10个小等腰直角三角形的面积都是2平方厘米，可以看出长方形ABCD 的面积等于：7×4+10×2=48（平方厘米）

【例19】（难度等级※※※※）

如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．

【分析与解】

因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此我们把原长方形分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形．因为新长方形的长为16厘米，所以原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形．可以沿对角线的方向，把它切成k阶梯状的两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形．

具体操作中可按下图中的粗线把长方形分两成块，一移一错一对，便可得到如图所示的长为16厘米，宽为15厘米的新长方形．

【例20】（难度等级※）

正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图

形，求这个图形的面积.

【分析与解】

采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：1×2=2（平方米）