基于离散采样型的分数阶傅里叶变换的算法研究与实现
西南交通大学
毕业论文
基于离散采样型的分数阶FOURIER变换算法
研究与实现
年级: 2011
学号: 20112627
姓名: 方威
专业: 自动化(交通信息工程及控制方向)
指导老师: 汪晓宁
二零一五年六月
西南交通大学本科毕业设计
院系专业
年级姓名
题目
指导教师
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评语
评阅人(签章) 成绩
答辩委员会主任(签章)
年月日
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毕业设计（论文）任务书
班级学生姓名学号
发题日期：2014 年12月1日完成日期：2015年 6 月15 日题目基于离散采样型的分数阶Fourier变换算法研究与实现
1、本论文的目的、意义近年来,分数阶Fourier变换因其在光学、量子力学、模式识别、时频分析、信号处理等领的广泛应用得到了越来越多的关注。分数阶Fourier 变换可以看作是时频平面的旋转,并且与其他时频分布具有密切的联系。分数阶Fourier变换是传统Fourier变换的推广,不但继承了传统傅里叶变换的基本性质，还具有其他的诸多优点。能够在介于时域和频域之间的分数域上分析信号，可以展示出信号从时域逐渐变化到频域的所有特征，从而突出问题的某些方面的本质特征。
由于分数阶Fourier变换的离散算法不像离散Fourier变换那样可以简单地通过在时域直接离散化采样得到, 因此分数阶Fourier变换的离散算法成为近年来的研究重点。分数阶Fourier变换的离散算法主要有三种类型：离散采样型、线性组合型和特征分解型，本设计主要针对离散采样型算法进行研究和算法实现。
2、学生应完成的任务
1、了解分数阶Fourier 变换的应用及离散化算法的发展动态；
2、学习和掌握分数阶Fourier变换的机理及离散化算法的基本类型，重点研究和掌握离散采样型算法。
3、基于MATLAB编程实现分数阶Fourier 变换的离散采样型离散算法。
4、通过对一个典型的非平稳信号进行分数阶Fourier变换分析，研究信号的特征，并验证程序的可行性和正确性。
3、论文各部分内容及时间分配：（共17 周）
第一部分查阅资料，了解分数阶Fourier变换的应用及离散化算法的发展现状
(1周) 第二部分学习和掌握分数阶Fourier变换的原理及离散化算法，重点研究离散采样型的算法(3周) 第三部分采用MATLAB编程实现离散采样型离散化的算法(4周)第四部分调试程序实现算法，并对一典型非平稳信号进行分析，验证算法及程序的可行性和正确性,并与线性组合型算法进行比较(6周) 第五部分整理数据、撰写论文(2周) 评阅及答辩(1周)备注
指导教师：汪晓宁2014年12月1日
审批人：年月日
摘要
自从法国科学家傅里叶提出Fourier变换以来，Fourier变换被广泛地运用在科学研究与工程技术领域。随着研究的深入，研究对象和研究范围也不断扩展，Fourier 变换的局限性也被逐渐地暴露出来。这种局限性主要体现在Fourier变换是一种从时域到频域的全局变换，无法表示出信号的时域局部特性，而这种时域局部特性正是非平稳信号的最根本和最关键的性质。作为傅里叶变换的推广，从分数阶Fourier 域与时域、频域间的关系可以看出分数阶Fourier变换实质上是一种统一的时频变换，它能够同时反映信号在时域和频域的信息，没有交叉项的困扰，在处理非平稳信号时具有无可比拟的优势。而且由于分数阶傅里叶变换具有较为成熟的快速离散化算法，因此在处理非平稳信号时，分数阶Fourier变换受到了广大科研人员的青睐。
本文重点研究了分数阶Fourier 变换的基本理论与离散化算法的实现。在简单地回顾了分数阶Fourier变换的国内外研究进展的基础上，深入分析了分数阶Fourier 变换的基本原理，详细研究了分数阶Fourier变换的离散化算法，尤其是对离散采样型的分数阶Fourier变换的算法给出了详细的分解步骤。基于以上所做工作，通过MATLAB编程实现了分数阶Fourier变换的采样型离散化算法。并对多种类型的chirp信号进行分析，研究信号的特征，并验证程序的可行性和正确性。
关键词：分数阶Fourier 变换；离散化方法；离散采样型算法；chirp信号
Abstract
Since the French scientist Fourier put forward Fourier transform,Fourier transform is widely used in the field of scientific research and engineering technology.With further research,object and scope has also been expanded,limitations of Fourier Transform have been exposed.this limitation is mainly reflected by that Fourier transform is a global transformation from time domain to the frequency domain,it can not show the signal’s time domain local properties,but this time domain local characteristics is the most fundamental and critical nature of the non-stationary signals.As the promotion of the Fourier transform,from the relationship of Fractional Fourier domain and time frequency domain,we can see that the fractional Fourier transform is essentially a uniform time-frequency conversion,it can simultaneously reflected signal information in the time domain and frequency domain,and it can avoid cross terms,so fractional Fourier transform has unparalleled advantages in dealing with non-stationary signals.And because the fractional Fourier transform has mature fast discrete algorithm,therefore, when dealing with non-stationary signals,fractional Fourier transform is favored by the majority of researchers.
The thesis is focused on the fractional Fourier transform basic theory and the realization of its discrete algorithms.In a brief review of the research progress of fractional Fourier transform,the basic principles of Fractional Fourier Transform is analyzed deeply,detailed study of the discrete fractional Fourier transform algorithm, especially gives detailed decomposition steps for the discrete sampling algorithm type Fractional Fourier Transform.Based on the work done by the above,through MATLAB software simulating discrete sampling Fractional Fourier Transform algorithm. On this basis,analyzed the various types of chirp signal,researching characteristics of signals,and validating the feasibility and correctness of the program.
Keywords:fractional Fourier transform; discrete ; discrete sampling type algorithm; chirp signal
目录
摘要................................................................................................................................ I I ABSTRACT ......................................................................................................................... III 目录.............................................................................................................................. IV 第1章绪论 (1)
1.1研究分数阶F OURIER变换的背景和意义 (1)
1.2分数阶F OURIER的研究现状与应用 (2)
1.3本论文的主要工作和结构安排 (4)
第2章分数阶FOURIER变换的相关理论基础 (5)
2.1传统傅里叶变换 (5)
2.1.1连续时间傅里叶变换 (5)
2.1.2离散傅里叶变换DFT (6)
2.2W IGNER-V ILLE分布 (6)
2.3分数阶F OURIER变换的基本概念 (6)
2.4分数阶F OURIER变换的基本性质 (9)
2.5分数阶F OURIER变换的离散化方法 (10)
2.5.1离散采样型DFRFT (11)
2.5.2线性组合型DFRFT (13)
2.5.3特征分解型DFRFT (14)
2.5.4三种离散化方法的优缺点 (16)
2.6本章小结 (17)
第3章离散采样型FOURIER变换的程序设计 (18)
3.1量纲归一化处理和实现方法 (18)
3.1.1 量纲归一化原理 (18)
3.1.2两种实用的量纲归一化方法 (19)
3.2对离散采样型分数阶F OURIER变换分解方法的分析 (21)
3.3程序流程图 (24)
3.4本章小结 (26)
第4章分数阶FOURIER变换的实例分析 (28)
4.1方波信号 (28)
4.2CHIRP信号的分数阶傅里叶变换分析 (30)
4.2.1chirp信号的产生 (30)
4.2.2chirp信号分数阶傅里叶变换的最优阶次p分析 (30)
4.2.3单分量chirp信号的分数阶傅里叶变换 (33)
4.2.4 多分量chirp信号处理 (35)
4.2.5 添加高斯白噪声下的chirp信号进行分离处理 (36)
4.5本章总结 (37)
结论与展望 (38)
致谢 (39)
参考文献 (40)
附录 1 标题 (42)
附录 2 标题 (43)
第1章绪论
在信号处理领域，传统的傅立叶变换是一种研究成熟，且被广泛使用的数学工具。但是，传统傅里叶变换由于本身的局限性，表现为传统傅里叶变换是一种全局
的角度后变换到频域，不能同时表现出信号的时频变换，它把信号从时域旋转2/
特性，因而不能满足非平稳信号处理的要求。为了满足对非平稳信号的处理的需要，在1980年，V.Namias从特征值和特征函数的角度出发，年提出了纯数学的分数阶傅立叶变换的概念的FRFT(分数阶傅立叶变换)[1]。然后有研究者从光学角度来分析，提出了分数阶傅里叶变换的概念。由于分数阶傅里叶变换可以通过简单的光学装置来实现，所以分数阶傅里叶变换首先在光信号的处理中得到应用。直到最近几年，研究者们发现了几种FRFT的快速算法，使得分数阶傅里叶变换在信号处理的各个领域得到了应用。
1.1 研究分数阶Fourier变换的背景和意义
随着现代信号处理理论的飞速发展，信号处理已经逐渐从早期的稳定信号发展到了非平稳、非高斯、非单采样率的复杂信号，为了满足科学研究和工程技术的需要，研究人员发展了大量的新的信号处理工具。
傅立叶变换把信号转换成具有不同频率的正弦分量的叠加，以获得该信号的整体频谱，在连续时间信号和离散时间信号的处理中起着重要的作用，是分析和处理平稳信号的强大工具，而在非平稳信号德处理中就变得无能为力了。作为非平稳信号处理理论的一个重要分支，分数阶傅里叶变换由于其独特的特点和性质，在量子光学、量子力学、模式识别、时频分析、信号处理等领域得到了广大科学研究人员的青睐，在过去的十年里新的研究成果不断涌现。
分数阶傅里叶变换可以被看作是时间—频率平面的旋转，和其他的时间—频率分布有着密切的联系。分数傅里叶变换是传统傅立叶变换推广，不仅继承了传统傅立叶的基本性质，还具有很多其他的优点。分数阶傅里叶变换能够在介于时域和频域之间的分数阶域上分析和处理信号，可以呈现出信号逐渐从时域到频域变换的所有特征，从而在某一方面突出问题的某个特征。
因为分数阶傅立叶变换的离散化算法不同于传统傅里叶变换可以简单地在时域通过直接抽样来得到，所以分数阶傅立叶变换的离散化算法已经成为最近的研究的重点。分数阶傅立叶变换的离散化算法主要有一下三种类型：离散采样型，线性组合和特征分解型分解型[5]。本文主要是针对离散采样型的分数阶傅里叶变换算法进行重点研究。
1.2 分数阶Fourier 的研究现状与应用
傅里叶变换在研究线性系统和进行信号处理时具有非常重要的作用，但是随着研究领域的不断发展，而且傅里叶变换本身也具有局限性，普通的傅里叶变换已经跟不上科学研究与工程技术的需要，于是分数阶分数阶傅里叶变换应运而生。
作为傅里叶变换的推广，分数阶傅里叶变换是广义上的傅里叶变换。由于通过光学设备很容易实现分数阶傅里叶变换，因此分数阶傅里叶变换首先在在光学领域尤其是光信号处理中得到了广泛应用。研究工作者将数学中的分数阶傅里叶变换引入光学，形成了现代光学新分支，它是傅里叶光学的发展和延拓，通过分数阶傅里叶变换，我们可以用一个新的观点去审视光的传播、成像、信息处理等问题，而且还可以作为一种新的处理工具为我们处理这些问题。由于具有分数阶这一参量，使得分数阶傅里叶变换比普通傅里叶变换具有更多的功能，从而导致它在光学和信息处理中必将有更多的应用。因此，分数傅里叶光学已成为近年来信息光学前沿研究的一个热点。
分数阶傅里叶变换这一概念的提出最早可以追溯到1929 年。众所周知，傅里叶变换的特征函数是Hermite 函数乘以)exp(2t -，相应的特征值为n j )(-。在1929年，Wiener 寻找到了这样一种变换核，它的特征函数是Hermite-Gauss 函数，但是它的特征值形式比普通的傅里叶变换更完备。最后，Wiener 将这一特征值修改为)exp(αjn -，这大概就是分数阶傅里叶变换的最早工作。在1937年，Condon 开始独立地研究了分数阶傅里叶变换的基本定义，尽管Condon 在论文中没有使用分数阶傅里叶变换这一术语，也没有讨论分数阶傅里叶变换的基本属性，但是Condon 有可能世界上是第一个直接研究分数阶傅里叶定义的人。早期，对分数阶傅里叶变换的发展做出了较大贡献的人还有Kober 。在1939年，他提出了另外一个不同于Wiener 形式的定义。在定义分数阶傅里叶变换的时候，Kober 采用了类似于傅里叶变换分数幂形式的理论。在1956年，Guinand 引用了Kober 的结论讨论了整数阶与分数阶傅里叶变换的关系。在1961 年，Bargmann 指出了可以用厄米多项式和积分变换的理论来分别定义分数阶傅里叶变换。1973年，De Bruijn 也根据了Kober 的理论简要地在更广泛的范围内讨论了分数阶傅里叶变换。另外，Patterson 也是一个有杰出贡献的早期研究者。1959年，Patterson 在一篇文章中提到的广义变换工具中就包括分数阶傅里叶变换。1974年，Patterson 的理论被Knare 证明。1980 年V . Namias 为了解决量子力学中各种条件下的Schrodinger 方程，通过研究分析，提出了比较系统的分数阶傅里叶变换的数学定义和基本性质，而且还讨论了其本征函数[1]。1987 年，A. C. McBride 和F. H. Kerr 在前人的基础上又更进一步研究了分数阶傅里叶变换，把分数阶傅里叶变换看作充分光滑的函数构成的向量空间中的算子，由此建立了分数傅里叶变换完整的理论系统[2]。
虽然早在20世纪20年代，分数阶Fourier变换的研究就已经开始了，但是，严格来说，分数阶傅里叶变换真正受到重视则是在1980 年Namis的工作后开始的。Namis 把分数阶傅里叶变换定义成传统傅里叶变换的分数幂形式，并揭示了分数阶傅里叶变换的几种性质，这是从数学意义上开始对分数阶傅里叶变换进行了严格的定义]1[。1992 年，Mendlovic、Lohamann和Ozaktas 再次开始了研究分数阶傅里叶变换的工作，开始对分数阶傅里叶变换的物理意义进行定义，即把分数阶傅里叶变换解释为信号的表示轴在时频平面的旋转。在1993-1994 年期间，Almeida也再次分析了分数阶傅里叶变换，最后把分数阶傅里叶变换解释成了一种“角度”变换，在时频平面内，信号的表示轴沿坐标轴绕原点逆时针旋转任意角度后构成的分数阶傅里叶域上的表示方法]3[。一直到2001年，土耳其大学的Haldun M. Ozaktas 教授，在他的专著The Fractional Fourier Transform with Application in Optics and Signal processing 中为分数阶傅里叶变换的研究进行了一次全面介绍和总结。
分数阶傅里叶变换具有很多传统傅里叶变换所不具备的性质，在科学研究和工程技术等诸多领域得到了广泛应用。然而，一直以来由于缺乏分数阶傅里叶变换的快速算法，所以在电信号处理应用的领域中，分数阶傅里叶变换一直没能占据其应有的位置。直到20 世纪90年代中期，研究人员才提出了几种分数阶傅里叶变换的离散化方法。其中，Ozaktas教授所提出的分解型的离散化快速算法最具应用价值。Ozaktas将分数阶傅里叶变换的离散化过程分解为离散卷积的运算，并借助傅里叶变换的快速算法FFT 来实现，从而使离散FRFT 的计算具有和DFT 的计算相同的运算量。这样，分数阶傅里叶变换的理论和应用方法才能够在电信号处理领域得到广泛应用[7]。
研究人员之所以对分数阶傅里叶变换情有独钟，就是因为分数阶傅里叶变换具有很多传统傅里叶变换所不具备的特殊性质。自从分数阶傅里叶变换被引人光学研究以来，近十多年时间里，国内外研究学者围绕着分数阶傅里叶变换的定义、光学实现、分数傅里叶变换域滤波、自成像效应、快速算法等方面进行研究，并取得了很大的突破。分数阶次是分数阶傅里叶变换的最重要参量，分数阶次的引入使得传统的傅里叶变换成为了分数阶傅里叶变换的一种特殊情况。同样可以说，分数阶傅里叶变换是傅里叶变换的广义推广，传统傅里叶变换中的每一种特性和每一种应用都是分数阶傅里叶变换的一种特殊情况。因此，在发展已相对比较成熟的情况下，分数阶Fourier变换已经被用在科学研究和工程技术的很多方面，如扫频滤波器、人工神经网络、小波变换、时频分析、时频滤波和多路传输等。
1.3 本论文的主要工作和结构安排
本论文的主要工作是：
首先在学习传统傅里叶变换的基本理论的基础上，重点深入了解分数阶傅里叶变换的应用，以及分数阶傅里叶变换的发展动态；然后重点学习分数阶傅里叶变换的原理以及离散化算法的基本类型，深入探讨了基于离散采样型的分数阶傅里叶变换的离散化算法；并对采样型的分数阶傅里叶变换的分解过程进行了细致研究，给出了程序流程图，基于MATLAB编程，实现了分数阶傅里叶变换的离散采样型算法。最后通过对典型的非平稳信号进行分数阶Fourier变换分析，研究信号的特征，并验证程序的可行性和正确性。
论文的组织结构安排如下
第一章是绪论，简要说明本课题的研究背景和意义。简要说明了分数阶傅里叶变换的研究进展与相关领域的应用。
第二章讨论了分数阶Fourier变换的相关理论基础。先简单介绍了传统Fourier 变换的发展与基本原理，从而引出分数阶Fourier变换，介绍分数阶傅里叶变换的基本原理、基本性质。
第三章主要分析了分数阶Fourier变换的离散化方法，并分析了各自的优缺点，然后着重讨论了离散采样型的离散化方法，并给出了算法流程图。
第四章是对分数阶Fourier变换的综合实例分析与计算，通过对不同类型的非平稳信号进行分析计算，验证程序的可行性，并与线性组合型算法进行比较，得出两者的优缺点。
最后总结与展望，对全文所做的工作进行概括性总结，并展望今后的研究方向。
第2章 分数阶Fourier 变换的相关理论基础
2.1 传统傅里叶变换
传统傅里叶变换的特点是将两个相对独立的时域和频域联系起来，将信号分解成若干正弦信号的叠加，从整体上展示信号曾经出现过的所有的频率成分，适用于对确定性信号和平稳信号进行分析。在时频平面上，可以把传统的傅里叶变换看作是从时间轴逆时针旋转2/π的角度后到频率轴的一个旋转变换。
2.1.1 连续时间傅里叶变换
连续时间信号)(t x 的频域可以通过连续时间信号的傅里叶变换给出
?∞
∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j )()( （2-1） 通常把连续傅里叶变换称为傅里叶谱，或者也可以称为连续时间信号谱。连续时间信号)(t x 可以由其)(Ωj X 逆变换得来，采用的是傅里叶积分：
ΩΩ=Ω∞∞
-?d e j X t x t j )(21)(π （2-2） 在式（2-1）和（2-2）中，Ω是实数，它表示的是连续时间的角频率变量，量纲为弧度。式（2-2）给出的是傅里叶逆变换式，可将其理解成形如ΩΩd e t j π
21的无穷小负指数信号的线性组合，其权重是角频率Ω满足从∞-到∞的复常量)(Ωj X 。由式（2-2）定义可以看出通常的连续傅里叶变换都是角频率Ω满足∞<Ω<∞-时的复函数，可用极坐标表示为：
)()()(ΩΩ=Ωθj e j X j X
其中，
)}(arg{)(Ω=Ωj X θ
式中，量)(Ωj X 称为傅里叶变换的幅度谱，量)(Ωθ称为傅里叶变换的相位谱，两者都是Ω的实函数[10]。
一般来说，由式（2-1）定义的)(t x 的连续傅里叶变换)(Ωj X 若存在，则)(t x 必须满足如下的狄里克雷（Dirichlet ）条件：
（1）在任意的一个有限区间内，信号具有有限个不连续点，且极值的数目有限。
（2）该信号绝对可积，即
∞
2.1.2 离散傅里叶变换 DFT
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform ，DFT ）的实质是对有限长序列的傅里叶变换的有限点进行离散采样，从而实现频域的离散化。在频域，可以采用数值计算的方法来进行数字信号的处理，这样就使得数字信号处理的灵活性增加了。
设)(n x 是一个有限长序列，它的长度为M ，则把)(n x 的N 点离散傅里叶变换定义为
kn N
N n W n x n x DFT k X ∑-===1
0)()]([)( 1,...,1,0-=N k (2-3) 把)(k X 的离散傅里叶的逆变换定义为
∑-=-==10
)(1)]([)(N k kn N W k X N k X IDFT n x 1,...,1,0-=N n (2-4) 式（2-3）、（2-4）中， N j N e W π
2-=，N 表示为DFT 的变换区间长度，M N ≥。
通常把（2-3）和（2-4）称为离散傅里叶变换对[9]。
2.2 Wigner-Ville 分布
在介绍分数阶傅里叶变换之前，先介绍一个时频理论的重要概念，Wigner-Ville 分布。前面讲到，由于传统傅立叶变换在处理非平稳信号时具有局限性，所以人们又开始对时频理论进行了新的探索。在研究的过程中，有人却发现一种早己存在的Wigner 分布对信号分析十分有效。Wigner 分布是由E.Wigner 在1932 年提出的，直到1948 年,Ville 才将其引入信号分析领域。所以，人们将Wigner 分布又称之为Wigner-Ville 分布。 Wigner-Ville 分布的定义为：
ττ
ττπd t x t x e f t W f j x )2()2(),(*2-+=?+∞∞-- （2-5） 2.3 分数阶Fourier 变换的基本概念
传统傅里叶变换由于研究的最为成熟，所以在信号处理领域中，传统傅里叶变换是一种应用最为广泛的数学工具。可以把傅里叶变换看作是一种线性算子，如果把传统傅里叶变换看做是从时间轴逆时针旋转2/π后到频率轴的一种变换，那么则可以把分数阶傅里叶变换算子看作是任意角度α的算子，并因此得到信号新的表示。分数阶傅里叶变换在保留了传统傅里叶变换原有性质的基础上又添加了其特有的新特点，所以可以认为分数阶傅里叶变换是一种广义的傅里叶变换[3]。
可以由若干种不同的定义方式来定义分数阶傅里叶变换。需要说明的是，不同的定义方式有不同的物理解释，在实际应用中也各有不同，所以我们根据自己的研究需要找到合适的分数阶傅里叶变换的定义方式。
一般地，函数)(t x 的p 阶分数阶傅里叶变换可以根据需要表示为)(u X p 或)(t x F p 。)(t x F p 可以看作算子p F 作用在信号)(t x 上。
下面从线性积分变换的角度给出分数阶傅里叶变换的基本定义。定义在时域的函数)(t x 的p 阶分数阶傅里叶变换是一个线性积分运算
dt t x t u K u X p p )(),(~)(?+∞∞
-= (2-6) 其中，)]cot csc 2cot (exp[),(~22αααπαt ut u j A t u K p +-=，把),(~t u K p 称为分数阶傅里叶变换的核函数，其中：ααcot 1j A -=，2/παp =，n p 2≠，n 是整数。 通过变量代换π2/u u =和π2/t t =式（2-6）可以进一步地表示为
dt t x t u K u t x F u X p p p )(),())]}(([{)(?+∞
∞-==，20<
?????--+=?∞+∞-)()
()()sin cot 2exp(22t x t x dt t x jtu u t j B ααα παπαπα)12(2+==≠n n n （2-7） 其中，π
αα2cot 1j B -=。式（2-7）中所给出的分数阶傅里叶变换的定义是线性的，但是并不能说明它是不变的)4(n p =除外，因为核函数不但是),(t u 的函数，还是阶数p 的函数。对p =1，有2/πα=，1=αA ，且
?∞
∞--=dt e t x u X ut j π21)()( （2-8） 可见，)(1u X 就是)(t x 的普通Fourier 变换。同样可以看出)(1u X -就是)(t x 的传统傅里叶变换的逆变换。因为2/παp =只能出现在三角函数的参数位置上，所以，以p 为参数的定义是以4为周期的，所以只需要考察区间]2,2(-∈p 即可。当 0=p 时，)()(0u f u f =；当2±=p 时，)()(2u f u f -=±。
上述事实用算子表述为：
p p n p n F F F I
F F PF
FP F P
F F
F I
F ±±'±=========44043210
其中，n n ',是任意的整数。
分数阶次的可加性是分数阶傅里叶变换的一个非常重要的性质，可以这样表示为：
122121p p p p p p F F F F F ==+ （2-9）
这一特性可以通过重复使用式（2-1）得以证明，但系数αA 中的平方根会使这一过程复杂化。通过运用高斯积分给出直接积分表示使运算更简单，即：
),(),(),(2112t u K u d u u K u u K p p p p +='''? （2-10）
综上所述，可以对分数阶傅里叶变换做出第一种解释，即仅考虑10≤≤p 区间，0=p 时分数阶傅里叶变换就是原函数，1=p 时分数阶傅里叶变换就是普通的傅里叶变换。当p 从0逐渐地变化到1时，其分数阶傅里叶变换则平滑地从原函数变化到一般的傅里叶变换。
还可以把分数阶傅里叶变换定义成时间—频率平面的旋转，p 阶分数阶傅里叶变换是由变换矩阵定义的线性正则变换，变换矩阵为
??
????-=??????=ααααc o s s i n s i n c o s D C B A M (2-11) 其中，2/πα
p =。根据Radon 变换（在一个平面内沿不同的直线（直线与原点距离为d ，方向角为α）对f （x ，y ）做线积分，得到的像),(αd F 就是函数f 的Radon 变换）的定义，可以把该矩阵看成为时—频平面上的二维旋转矩阵。
图2-1 ),(w t 平面旋转α角到),(v u 平面
如图2-1所示，可以把傅里叶变换认为是：在时—频平面上将函数)(t x 由t 轴旋转2/π的角度后到w 轴的表示形式，即原来的函数通过傅里叶变换由时域映射到夹角为2/π的频域；以此为参照，对函数分别做1p 、2p 阶的分数阶傅里叶变换时，即分数阶算子1p F 、2p F 将函数分别旋转1α角度（2/11παp =）和2α角度（2/22παp =）之后，再分别映射到1p 和2p 阶域上的情况。
2.4 分数阶Fourier 变换的基本性质
与传统傅里叶变换变换的性质类似，分数阶傅里叶变换也具有许多重要的性质，根据分数阶傅里叶变换的基本定义，可以总结出如下重要的性质。
1. 线性性质
几个函数线性叠加的分数阶傅里叶变换等于这几个函数同级次的分数阶傅里叶变换的线性叠加
)}({)}({)}()({2121t x c F t x F c t x c t x c F p p p +=+ （2-12）
其中，1c ，2c 是任意复常数。
2. 连续性质
对一个函数作1p 、2p 两次分数阶傅里叶变换，有
)()()(112222112211t x F F t x F F t x F p c p c p c p c p c p c ==+ （2-13）
3. 指数可加性和交换性
分数阶傅里叶变换可以改变其变换的先后次序，并且有可加性和交换性
)}({)}}({{)}}({{211221t x F t x F F x x F F p p p p p p +== （2-14）
4. 可逆性质
先对一个信号进行p 阶分数阶傅里叶变换，再对该信号进行－p 阶分数阶傅里叶变换，则可得到原函数
)()}({)}}({{0t x t x F t x F F p p ==- (2-15)
5. 周期性质
分数阶傅里叶变换以4为周期
)}({)}({4t x F t x F p p =+ (2-16)
特别是当(2-16)式中422=p c 时，有
)()()(11111144t x F t x F F t x F p c p c p c ==+ (2-17)
这是变换面的自成像。
6. 平移性质
分数阶傅里叶变换平移性质，即
)cos ()}({)]2/cos (sin exp[)}({αααm v p p t x F m v im m t x F +?+=+= (2-18) 其中m 是输入平移量。由此可见，输入信号的平移不仅会导致附加的位相因子，还会使分数阶傅里叶变换的输出信号产生了平移。
7. 相似性质
分数阶傅里叶变换的输入信号发生尺度变换时，不但会带来与尺度因子有关的二次位相，而且还会引起分数阶傅里叶变换的级次变化
)sin sin (2222)}({)]cos cos 1(cot 2exp[cot cot 1)}({αβαβαααc v p p
t x F v i i c i ct x F '?-?--= （2-19） 其中c 是输入信号的尺度变化因子，2/πβp =，并且有αβtan tan 2c =。这和传统傅里叶变换有着非常大的不同。
8. 部分卷积与相关
可如下定义函数)(1t x ,)(2t x 的卷积操作:
))()((),(2111121t x F t x F F x x CONV ?=- (2-20)
同理可以定义分数阶的卷积为：
))()((),(2121t x F t x F F x x CONV p p p p ?=- (2-21)
9.帕色伐定律 与传统傅里叶变换一样，分数傅里叶变换同样遵守能量守恒定理，满足帕色伐定律，即
dv t x F dt t x p 2
2)}({)
(??= (2-22) 10. Wigner 分布 )cos sin ,sin cos (),(αμααμαμ+-=u u W u W f f p （2-23）
这一性质表明了信号的分数阶傅里叶变换的Wigner 分布是原函数Wigner 分布的旋转。
2.5 分数阶Fourier 变换的离散化方法
正如快速傅里叶变换的出现大大推动了傅里叶变换的发展一样，分数阶傅里叶变换的快速算法也将会推动分数阶傅里叶变换在信号处理领域的快速发展。这使得对离散分数阶傅里叶变换快速算法的研究显得特别重要[4]。
由分数阶傅里叶变换的定义可以明显看出，离散分数阶傅里叶变换（Discrete Fractional Fourier Transform ，DFRFT)的计算比DFT 的计算复杂度要大的多。H.M.Ozaktas 提出，为了保证DFRFT 定义的严密性，任何一种形式的DFRFT 都应
该具有以下特性[7]：
（1）酉性，即p H p F F -=)(，从变换核的角度表述为),(),(1u u K u u K p p '='*
-；
（2）旋转相加性，即q p q p F F F +=；
（3）1=p 阶运算退化为DFT ，即F F =1，F 为DFT 算子；
（4）与连续FRFT 的近似性；
（5）阶数取值的连续性。
此外，从实际应用来看，DFRFT 的计算复杂度要求尽可能的低。通常我们希望
DFRFT 的计算复杂度与FFT 的计算复杂度具有可比性。如果一个信号的序列长度为N ，那么该信号的DFRFT 的计算复杂度应为)log (2N N O 。近年来，国内外研究学者与工程人员相继提出了多种DFRFT 的定义和快速算法，目前比较主流的DFRFT 算法主要有以下三种形式：（1）采样型DFRFT ；（2）特征分解型DFRFT ；
（3）线性加权型DFRFT 。
2.5.1 离散采样型DFRFT
通过直接采样连续分数阶傅里叶变换核，我们可以得到DFRFT 的核矩阵。对
于这种类型的DFRFT ，考虑的主要因素是分数阶傅里叶变换数值计算。由于这时只对计算连续分数阶傅里叶变换的方法感兴趣，所以要求在这种情况下的DFRFT 要
近似于连续分数阶傅里叶变换，同时希望所定义的DFRFT 算法具有快速算法。一
般情况下，DFRFT 的离散化算法有下面这三种方式。
（1）Kraniauskas 等通过直接在信号的时域和分数阶傅里叶域采样得DFRFT 定义
的为[6]： ∑-=-=1
0)2(c o t )(21c o t )(2
122)()(N n nk N j nT j kF j e nT x e A kF X παααα （2-24）
其中T 为时域采样间隔，)csc /(2απNT F =是分数阶傅里叶域的采样间隔。
(2) Ozaktas 推导出了一种高效精确的分数阶傅里叶变换的计算方法。这种方法对原函数的时域进行N 点采样，并且把它映射为分数阶傅里叶域的N 个采样点，值得说明的是，这种算法的计算复杂度为O (N log N )，满足实际工程上快速计算的需要。
(3) Pei 定义了另一种采样型的DFRFT 算法，这种算法分别对连续分数阶傅里叶变
换在时域和分数阶傅里叶域选择合适的采样间隔，使DFRFT 满足正交性和可逆性。值得说明的是，该DFRFT 算法比Ozaktas 的DFRFT 算法具有更低的计算复杂度[8]。
本文主要针对Ozaktas 的算法进行着重介绍。Ozaktas 推导出了两种高效精确的
分数阶傅里叶变换的计算方法。这种方法对原函数的时域进行N 点采样，并且把它映射为分数阶傅里叶域的N 个采样点，算法的计算复杂度为O (N log N )。在使用这种方法计算分数阶傅里叶变换之前，必须先对原信号做量纲归一化处理。经过量纲
快速傅里叶变换实验报告
快速傅里叶变换实验报告
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ?
快速傅里叶变换实验报告 机械34班 刘攀 2０1３0105５8 一、 基本信号（函数)的FF Ｔ变换 1. 000()sin()sin 2cos36x t t t t π ωωω=+++ 1) 采样频率08s f f =,截断长度N ＝１６； 取02ωπ=ｒad/ｓ，则0f =1Hz ，s f =8Ｈz ，频率分辨率 f ?=s f f N ?= =0.5Hz 。 最高频率c f ＝30f =３Hz ，s f ＞2c f ,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 截断长度02T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下:
幅值误差0A ?=,相位误差0??=。 2) 采样频率08s f f =，截断长度N=3２; 取02ωπ=rad/s ，则0f =１Hz,s f ＝８Hz ，频率分辨率f ?=s f f N ?==０.2５Hz 。 最高频率c f =30f =3H ｚ,s f >２c f ,故满足采样定理,不会发生混叠现象。 截断长度04T T =,整周期截取,不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏，但在整周期 截取的情况下,旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。 频谱图如下：
幅值误差0A ?=，相位误差0??=。 2. 00()sin()sin116x t t t π ωω=++ 1) 采样频率08s f f =,截断长度N=16； 取02ωπ=ra ｄ/s,则0f =１Hz ，s f =８Hz,频率分辨率f ?=s f f N ?==0．5H ｚ。 最高频率c f =110f =11H ｚ,s f <２c f ，故不满足采样定理，会发生混叠现象。 截断长度02T T =,整周期截取，不会发生栅栏效应。理论上有一定的泄漏,但在整周期 截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。 频谱图：
实验三傅里叶变换及其性质
1 / 7 信息工程学院实验报告 课程名称：信号与系统 实验项目名称：实验 3 傅里叶变换及其性质实验时间： 2013-11-29 班级： 姓名：学号： 一、实验目的: 1、学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶（Fourier ）变换； 2、学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图； 3、学会运用MATLAB 分析连续时间信号的傅里叶变换的性质。 二、实验环境: 1、硬件：在windows 7 操作环境下； 2、软件：Matlab 版本7.1 三、实验原理： 3.1傅里叶变换的实现 信号()f t 的傅里叶变换定义为：() [()] ()j t F F f t f t e dt ， 傅里叶反变换定义为： 1 1()[()] ()2 j t f t F F f e d 。 信号的傅里叶变换主要包括MATLAB 符号运算和MATLAB 数值分析两种方法，下面分别加以探讨。同时， 学习连续时间信号的频谱图。 3.1.1 MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )和ifourier( )。 Fourier 变换的语句格式分为三种。 （1）F=fourier(f)：它是符号函数 f 的Fourier 变换，默认返回是关于的函数。 （2）F=fourier(f,v) ：它返回函数F 是关于符号对象 v 的函数，而不是默认的 ，即 ()()j v t Fv fte d t 。 （3）F=fourier(f,u,v)：是对关于u 的函数f 进行变换，返回函数F 是关于v 的函数，即 ()()jvu F v f t e du 。 傅里叶反变换的语句格式也分为三种。（1）f=ifourier(F)：它是符号函数F 的Fourier 反变换，独立变量默认为 ，默认返回是关于 x 的函数。 （2）f=ifourier(F,u)：它返回函数 f 是u 的函数，而不是默认的 x 。 （3）f=ifourier(F,u,v) ：是对关于v 的函数F 进行反变换，返回关于 u 的函数f 。 成 绩： 指导教师（签名）：
傅里叶变换在信号与系统系统中的应用
河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日
题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.360docs.net/doc/0115258821.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人
实验四-离散傅里叶变换
实验四：离散傅里叶变换 实验原理： DFT的快速算法FFT利用了的三个固有特性：（1）对称性（2）周期性（3）可约性。FFT算法基本上可以分为两大类，即按时间抽选法(DIT,Decimation-In-Time)和按频率抽选法(DIF,Decimation-In-frequency)。 MATLAB中提供了进行快速傅里叶变换的fft函数： X=fft(x)，基2时间抽取FFT算法，x是表示离散信号的向量；X是系数向量； X=fft(x,N),补零或截断的N点DFT，当x得长度小于N时，对补零使其长度为N，当x的长度大于N时，对x截断使其长度为N。 实验内容： =60; n=[0:1:k/2]; xa1=2*sin(10*pi*n/k)+cos(18*pi*n/k); subplot(321) stem(n,xa1) xlabel('N');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1) subplot(322) stem(n,xk1) xlabel('k');ylabel('X(k)'); n=[0:1:k*]; xa1=2*sin(10*pi*n/k)+cos(18*pi*n/k); subplot(323) stem(n,xa1) xlabel('N');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1) subplot(324) stem(n,xk1) xlabel('k');ylabel('X(k)'); n=[0:1:k*2]; xa1=2*sin(10*pi*n/k)+cos(18*pi*n/k); subplot(325) stem(n,xa1) xlabel('N');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1) subplot(326) stem(n,xk1) xlabel('k');ylabel('X(k)');
离散时间傅里叶变换.
第3章 离散时间傅里叶变换 在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。 3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质 3.1.1 非周期序列傅里叶变换 1．定义 一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为： 正变换： ∑∞ -∞ =ω-ω = =n n j j e n x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1) 反变换： ? π π -ωωω-ωπ = =d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2) 记为： )()(ω?→←j F e X n x 当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。 [例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X 解：由定义式(3-1-1)可得 ωω=--=--== = ω-ω-ωω-ω-ωω-ω -ω-ω-=ω-∞ -∞ =ω ∑∑ 2 1sin 3sin )() (11)()(2 521 212133365 6j j j j j j j j j n j n n j n j e e e e e e e e e e e n R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件： 图3-1
离散信号的傅里叶变换(MATLAB实验)
离散信号的变换（MATLAB 实验） 一、实验目的 掌握用Z 变换判断离散系统的稳定与否的方法，掌握离散傅立叶变换及其基本性质和特点，了解快速傅立叶变换。 二、实验内容 1、已经系统函数为 5147.13418.217.098.2250 5)(2342-++--+=z z z z z z Z H (1) 画出零极点分布图，判断系统是否稳定； (2)检查系统是否稳定； (3) 如果系统稳定，求出系统对于u(n)的稳态输出和稳定时间b=[0,0,1,5,-50];a=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('零极点分布图'); z=roots(a); magz=abs(z) magz = 0.9000 0.9220 0.9220 0.9900 n=[0:1000]; x=stepseq(0,0,1000); s=filter(b,a,x); subplot(2,1,2);stem(n,s);title('稳态输出'); （1）因为极点都在单位园内，所以系统是稳定的。 （2）因为根的幅值（magz ）都小于1，所以这个系统是稳定的。 （3）稳定时间为570。 2、综合运用上述命令，完成下列任务。 (1) 已知)(n x 是一个6点序列： ???≤≤=其它,050,1)(n n x
计算该序列的离散时间傅立叶变换，并绘出它们的幅度和相位。 要求：离散时间傅立叶变换在[-2π,2π]之间的两个周期内取401个等分频率上进行数值求值。 n=0:5;x=ones(1,6); k=-200:200;w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid;title('幅度'); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid;title('相位'); (2) 已知下列序列： a. ,1000),52.0cos()48.0cos()(≤≤+=n n n n x ππ； b ．)4sin()(πn n x =是一个N ＝32的有限序列； 试绘制)(n x 及它的离散傅立叶变换 )(k X 的图像。 a ． n=[0:1:100];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); subplot(2,1,1);plot(n,x);title('x(n)的图像'); X=dft(x,101); magX=abs(X); subplot(2,1,2);plot(n,magX);title('丨X(k)丨的图像');
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换
戶幵,戈丿、弟实验报告 课程名称：彳 _____________ 指导老师 _____________ 成绩： ____________________ 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型: _________________ 同组学生姓名： 一、实验目的和要求(必填) 二、实验内容和原理(必填) 三、主要仪器设备(必填) 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析(必填) 七、讨论、心得 一、实验目的和要求 1. 掌握DFT 的原理和实现 2. 掌握FFT 的原理和实现，掌握用 FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 二、实验内容和原理 2.1 DTFT 和 DFT N 1 如果x(n)为因果有限长序列,n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT 表示为：X(e j ) x(n)e n 0 序列的N 点DFT 是DTFT 在［0,2 n 上的N 点等间隔采样，采样间隔为2 d N 。通过DFT , 可以完成由一组有限个信号采样值 x(n)直接计算得到一组有限个频谱采样值 X(k)。X(k)的幅 度谱为X(k) v 'x R (k ) X |2(k ) , X R (k)和X i (k)分别为X(k)的实部和虚部。X(k)的相位谱 为(k) 列吩 序列x(n)的离散事件傅里叶变换(DTFT )表示为: X(e j ) x( n)e x(n)的离散傅里叶变换(DFT )表达式为: X(k) x(n)e n 0 j^nk N (k 0,1,…,N 1)
IDFT )定义为 x(n)丄 N \(k)e j_Nnk (n 0,1，…，N 1) N n 0 2.2 FFT 快速傅里叶变换(FFT )是DFT 的快速算法，它减少了 DFT 的运算量，使数字信号的处理 速度大大提高。 三、主要仪器设备 PC 一台，matlab 软件 四、实验内容 4.1第一题 x(n)的离散时间 傅里叶变换(DTFT ) X(e j Q )并绘图。 0 其2他n 2; (2)已知 x(n) 2n 0 n 10。 0其他 4.1.1理论分析 1) 由DTFT 计算式, X (Q)是实数，可以直接作出它的图像。 离散傅里叶反变换 求有限长离散时间信号 (1)已知 x(n) X( ) x(n)e j n e 2j 1 5j e 1 e j e 2? e 2? 0.5j e 0.5 j e sin(2.5 )
离散傅里叶变换应用举例
x=[1,1,1,1];w=[0:1:500]*2*pi/500; [H]=freqz(x,1,w); magH=abs(H);phaH=angle(H); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magH);grid;xlabel('');ylabel('|X|'); title('DTFT的幅度') subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi*180);grid; xlabel('以pi为单位的频率');label('度'); title('DTFT的相角')
N=4;w1=2*pi/N;k=0:N-1; X=fft(x,N); magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi; subplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,'--');axis([-0.1,4.1,0,5]);hold on; stem(k,magX);ylabel('|X(k)|');title('DFT的幅度:N=4');text(4.3,-1,'k'); hold off; subplot(2,1,2);plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,'--');axis([-0.1,4.1,-200,200]); hold on; stem(k,phaX);ylabel('度');title('DFT的相角:N=4');text(4.3,-200,'k')
n=(0:1:9);x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); w=[0:1:500]*2*pi/500; X=x*exp(-1i*n'*w); magx=abs(X); x1=fft(x);magx1=abs(x1(1:1:10)); k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1; subplot(3,1,1);stem(n,x);title('signalx(n),0<=n<=9'); axis([0,10,-2.5,2.5]);line([0,10],[0,0]); subplot(3,1,2);plot(w/pi,magx);title('DTFT幅度');xlabel('w');axis([0,1,0,10]); subplot(3,1,3);stem(w1/pi,magx1);title('DFT幅度'); xlabel('频率（单位：pi)');axis([0,1,0,10]) 实验总结：补零运算提供了一个较密的频谱和较好的图示形式，但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，因此不能提供高分辨率的频谱。
离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换
对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反
*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反
实验四 离散傅里叶变换的性质
实验四离散傅里叶变换的性质 一、实验目的 1. 熟悉matlab软件中离散傅里叶变换的实现方法及FFT函数的使用方法； 2. 通过软件仿真，加深对离散傅里叶变换性质的理解。 二、实验内容 1. 验证离散傅里叶变换的线性性质； 2. 掌握用matlab实现圆周移位的方法； 3. 验证圆周卷积与线性卷积的关系。 三、实验步骤 1. 验证线性性质 设两个有限长序列分别为xn1=[3,1,-2,2,3,4]，xn2=[1,1,1,1]，做4DFT[xn1]+2DFT[xn2],及DFT[4xn1+2xn2]的运算，比较它们的结果。 代码如下： clear,N=20;n=[0:1:N-1]; xn1=[3,1,-2,2,3,4];n1=0:length(xn1)-1; %定义序列xn1 xn2=[1,1,1,1];n2=0:length(xn2)-1; %定义序列xn2 yn1=4*xn1;yn2=2*xn2;[yn,ny]=seqadd(yn1,n1,yn2,n2); %计算4xn1+2xn2 xk1=fft(xn1,N);xk2=fft(xn2,N); %分别求DFT[xn1] 和DFT[xn2] yk0=4*xk1+2*xk2; %计算4DFT[xn1]+2DFT[xn2] yk=fft(yn,N); %计算DFT[4xn1+2xn2] subplot(2,1,1);stem(n,yk0);title('傅里叶变换之和') %显示4DFT[xn1]+2DFT[xn2] subplot(2,1,2);stem(n,yk);title('序列和之傅里叶变换') %显示DFT[4xn1+2xn2] 运行结果如图1所示，从图中可知，用两种方法计算的DFT完全相等，所以离散傅里叶变换的线性性质得到验证。
傅里叶变换及应用
傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种
实验2 离散时间傅里叶变换
电 子 科 技 大 学 实 验 报 告 学生姓名：项阳 学 号： 2010231060011 指导教师：邓建 一、实验项目名称：离散时间傅里叶变换 二、实验目的： 熟悉序列的傅立叶变换、傅立叶变换的性质、连续信号经理想采样后进行重建，加深对时域采样定理的理解。 三、实验内容： 1. 求下列序列的离散时间傅里叶变换 (a) ()(0.5)()n x n u n = (b) (){1,2,3,4,5}x n = 2. 设/3()(0.9),010,j n x n e n π=≤≤画出()j X e ω并观察其周期性。 3. 设()(0.9),1010,n x n n =--≤≤画出()j X e ω并观察其共轭对称性。 4. 验证离散时间傅里叶变换的线性、时移、频移、反转（翻褶）性质。 5. 已知连续时间信号为t a e t x 1000)(-=，求： (a) )(t x a 的傅里叶变换)(Ωj X a ； (b) 采样频率为5000Hz ，绘出1()j X e ω,用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论； (c) 采样频率为1000Hz ，绘出2()j X e ω，用理想内插函数sinc()x 重建)(t x a ，并对结果进行讨论。 四、实验原理：
1. 离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义： 2．周期性：()j X e ?是周期为2π的函数 (2)()()j j X e X e ??π+= 3．对称性：对于实值序列()x n ，()j X e ?是共轭对称函数。 *()() Re[()]Re[()] Im[()]Im[()]()() ()() j j j j j j j j j j X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e ??????????-----===-=∠=-∠ 4．线性：对于任何12,,(),()x n x n αβ，有 1212[()()][()][()]F x n x n F x n F x n αβαβ+=+ 5．时移 [()][()]()j k j j k F x n k F x n e X e e ωωω---== 6．频移 00()[()]()j n j F x n e X e ωωω-= 7．反转（翻褶） [()]()j F x n X e ω--= 五、实验器材（设备、元器件）： PC 机、Windows XP 、MatLab 7.1 六、实验步骤： 本实验要求学生运用MATLAB 编程产生一些基本的离散时间信号，并通过MATLAB 的几种绘图指令画出这些图形，以加深对相关教学内容的理解，同时也通过这些简单的函数练习了MATLAB 的使用。 [()]()()(), ()j j jn z e n n F x n X e X z x n e x n ωωω∞-==-∞∞=-∞===<∞∑∑收敛条件为：
傅里叶变换的应用.
傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化
离散傅里叶变换(DFT)试题
第一章 离散傅里叶变换（DFT ） 填空题 （1） 某序列的DFT 表达式为 ∑-==1 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域 的长 度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。 解：N ； M π 2 （2）某序列DFT 的表达式是 ∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度 是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。 解： N M π 2 （3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。 解：纯实数、偶对称 （4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统 的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值 )(∞h 。 解： 2,2 1 21-=- =z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ，其中时域 数字序列)(n x 的序号 n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值 实际位置又是 。 解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N k πω2= （6）已知 }{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和 ][n h 的5点循环卷积为 。 解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ {}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x （7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--=== k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为 。
实验离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换
实验二离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换 一．实验目的 1.深刻理解离散时间信号傅里叶变换的定义，与连续傅里叶变换之间的关系； 2.深刻理解序列频谱的性质（连续的、周期的等）； 3.能用MATLAB编程实现序列的DTFT，并能显示频谱幅频、相频曲线； 4.深刻理解DFT的定义、DFT谱的物理意义、DFT与DTFT之间的关系； 5.能用MATLAB编程实现有限长序列的DFT； 6.熟悉循环卷积的过程，能用MA TLAB编程实现循环卷积运算。 二．实验原理 1.离散时间信号的频谱和图示化 2.离散傅里叶变换的定义和图示化 三．实验结果 w=[0:2:500]*pi*2/500; h=(1+0.9*exp(-j*w))./(1-0.9*exp(-j*w)); magh=abs(h); plot(w/pi,magh);grid;xlabel('f');ylabel('|H(w)|'); n=[0:127]; m=[0:127]; x=exp(j*2*pi/128*m.*n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk');
n=[0:127]; m=[0:127]; x=cos(2*pi/128*m.*n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127]; m=[0:127]; [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk'); n=[0:127];m=[0,127]; x=sin(n); [xk]=dft(x,128); stem(n,xk);xlabel('n');ylabel('xk');
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换 摘要 本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 1. 离散时间傅里叶变换 1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换 离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下： ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω ][)( （1.1） 通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。这是由于： ) ()()(tan ) ()()() (sin )()()(cos )()(2 22 ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X = +=== （1.2） 由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出： ωπ ωπ πω d e e X n x n j j )(21 ][?- = （1.3）
离散傅里叶变换及其快速算法
第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导 (1) 时域抽样： 目的：解决信号的离散化问题。 效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。 方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓： 目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。 表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 (4) 1。 图1 DFT 推导过程示意图 (5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑ ∞ -∞=-=π--δ???? ? ????= k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~ 010/2
(i) )(~f H 是离散函数，仅在离散频率点S NT k T k kf f = ==00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。 (ii) )(~ f H 是周期函数，周期为s s T NT N T N Nf 1 00= == ，每个周期内有N 个不同的幅值。 (iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。 2 DFT 及IDFT 的定义 (1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为 N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1 0/2-=??? ? ? ?==? -=π-∑N k NT k H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N (2) IDFT 定义：设??? ? ??s NT k H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为： ())1,...,1,0(,11 0/21 -==??? ? ? ?=???????????? ???-=π--∑ N k nT h e NT k H N NT k H DFT s N k N nk j s s N (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们 互为共轭。 (4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的， 或者说它们是互逆的。 (5) 引入N j N e W /2π-= (i) 用途： (a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nk N W -。 (b) 核函数的正交性可以表示为：() )(* 1 0r n N W W kr N N k kn N -δ=∑-= (c) DFT 可以表示为：)1,,1,0(,)(10 -==? ??? ??∑ -=N k W nT h NT k H N n nk N s s (d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1 )(1 0-=??? ? ? ?= ∑ -=-N n W NT k H N nT h N k nk N s s (ii) 性质：周期性和对称性： (a) 12==π-j N N e W (b) 12 /-==π-j N N e W (c) r N r N N N r N N W W W W ==+ (d) r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/ (e) )(1Z m W m N ∈?= (f) ),(/2/2Z n m W e e W n N N n j m N m n j m n m N ∈?===π-π- 3 离散谱的性质 (1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈???? ? ?=? 为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。 (2) 性质： (i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。 (ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都
实验三离散傅里叶变换
实验三 离散傅里叶变换 一 实验目的 1、理解和加深DFS 和DFT 的概念及其性质； 2、学习利用离散傅里叶变换分析信号的频谱。 二 实验设备 1、计算机 2、MA TLAB R2007a 仿真软件 三 实验原理 离散傅里叶变换在时域和频域都离散有限的特点，使其成为信号分析与处理中的一个最根本的也是最常用的变换。然而，但序列的长度N 很大时，直接计算DFT 需要很大的计算量。快速傅里叶变换使DFT 的运算效率提高数个数量级，为数字信号处理技术应用与各种信号的实时处理创造了良好的条件。MA TLAB 提供了用于快速计算DFT 的fft 函数，其调用格式为：y=fft(x) 或 y=fft(x,N);fft 函数用来计算序列)(n x 的N 点DFT ，如果序列的长度小于N ，则函数在序列的尾部补零至N 点；而当序列的长度大于N 时，函数对序列进行截短。为了提高运行速度，通常将N 取为2的整数次幂。 四 实验内容 1、上机实验前，认真阅读实验原理，掌握DFS 和DFT 的基本概念； 2、掌握离散傅里叶变换分析信号频谱的MATLAB 实现方法。 实例1：求周期序列)()(~ 5 ~ n R n x ，周期分别为N=20 和N=60时的)(~ k X 。 将下列指令编辑到“exlfft.m ”文件中： clc; close all; clear all; L=5;N1=20;N2=60; xn1=[ones(1,L),zeros(1,N1-L)]; xn2=[ones(1,L),zeros(1,N2-L)]; n1=0:N1-1; n2=0:N2-1; Xk1=fft(xn1,N1); Xk2=fft(xn2,N2); magXk1=abs(Xk1); magXk2=abs(Xk2); k1=[-N1/2:N1/2];
傅里叶变换及其在图像处理中的应用
傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用 王家硕 学号：1252015 一、 Fourier 变换 1. 一维连续傅里叶变换 设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。 （2）具有有限个极点。 （3）绝对可积。 则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ? +∞ ∞ --==ωω)()]([)(； Fourier 逆变换：ωωπ ωd e f t F f t f t j ? ∞ +∞ ---= =)(21)]([)(1 ， 式中：1-= j ，ω 为频域变量。 f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成 F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1) 式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式： 式中： F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。 2. 二维连续傅里叶变换 如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞