概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题

一、填空题

1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生

2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝

3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A

B)=0.7,则α=

4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为

5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为

6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k

P X k A k ===???则

A=______________

7. 已知随机变量X 的密度为()f x =?

?

?<<+其它,01

0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则

a =________

b =________

8. 设X ～2

(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80

81

，则该射手的命中率为_________

10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2

+ξx+1=0有实根的概率是

11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=

，4

{0}{0}7

P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。

15.已知)4.0,2(~2

-N X ，则2

(3)E X +＝

16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -=

17.设X

的概率密度为2

()x f x -=

，则()D X ＝

18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22

），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）=

19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y +=

20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2

σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或X ～ 。特别是，当同为正态分布时，

对于任意的n ，都精确有X ～ 或X ～ .

21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

2i DX σ=(1,2,)i =??? 那么2

1

1n i i X n =∑依概率收敛于 .

22.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2

(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++-

则当C = 时CY ～2

(2)χ。

23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

24.设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX

的一个简单随机样本，则样本均值

1

1n

i i n =X =X ∑服从

二、选择题

1. 设A,B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是

（A ）P (A+B) = P (A); （B ）()P(A);P AB =

（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B - 2. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为 （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是

（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 4. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是 （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。 （B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。 （D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。

5. 若()1P B A =，那么下列命题中正确的是

（A ）A B ? （B ）B A ? （C ）A B -=? （D ）()0P A B -= 6． 设X ～2

(,)N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<= A ）增大 B ）减少 C ）不变 D ）增减不定。

7．设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。那么对任意给定的a 都有 A ）0

()1()a f a f x dx -=-

?

B ） 0

1

()()2a F a f x dx -=

-? C ）)()(a F a F -= D ） 1)(2)(-=-a F a F 8．下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 A ）2

1()1F x x =+

B ） x x F arctan 1

21)(π

+= C ）=)(x F 1(1),0

20,0x

e x x -?->???≤?

D ） ()()x F x f t dt -∞=?，其中()1f t dt +∞-∞

=?

9． 假设随机变量X 的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X 与-X 有相同的分布函数，则

下列各式中正确的是

A ）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).

10．已知随机变量X 的密度函数f(x)=x x Ae ,x 0,λ

λ-≥??

(λ>0,A 为常数)，则概率P{X<+a λλ<}

（a>0）的值

A ）与a 无关，随λ的增大而增大

B ）与a 无关，随λ的增大而减小

C ）与λ无关，随a 的增大而增大

D ）与λ无关，随a 的增大而减小

11．1X ,2X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是

A ）2

1X X = Ｂ）1

}{21==X X P C ）

1

}{21=

=X X P

12．设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 且Y X ,相互独立，则

A ） 9/1,9/2==βα

B ） 9/2,9/1==βα

C ） 6/1,6/1==βα

D ） 18/1,15/8==βα 13．若X ～2

11(,)μσ，Y ～2

22(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为

A ） 二维正态，且0=ρ

B ）二维正态，且ρ不定

C ） 未必是二维正态

D ）以上都不对

14．设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是

A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|} C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是

15．下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

A ）f(x,y)=cos x,0,???x ,0y 1

22

ππ

-≤≤≤≤其他

B) g(x,y)=cos x,0,???1x ,0y 222ππ-≤≤≤≤

其他

C) ?(x,y)=cos x,0,

??

?0x ,0y 1

π≤≤≤≤其他

D) h(x,y)=cos x,0,???1

0x ,0y 2π≤≤≤≤

其他

16．掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为

A ） 50

B ） 100

C ）120

D ） 150

17． 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231

()3

Y X X X =

++，则 2()E Y =

A ）1.

B ）9.

C ）10.

D ）6. 18．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()

E XY E X E Y =?，则

A ）()()()D XY D X D Y =?

B ）()()()D X Y D X D Y +=+

C ）X 和Y 独立

D ）X 和Y 不独立

19．设()(P Poission λX

分布)，且()(1)21E X X --=????，则λ=

A ）1，

B ）2，

C ）3，

D ）0

20． 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的 A ）不相关的充分条件，但不是必要条件； B ）独立的必要条件，但不是充分条件； C ）不相关的充分必要条件； D ）独立的充分必要条件

21．设X ～2

(,)N μσ其中μ已知，2

σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是统计量

的是

A ）123X X X ++

B ）123max{,,}X X X

C ）

2

3

2

1

i i X σ

=∑ D ）1X μ-

22．设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ???是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是 A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -??

???

B ）{}(1)

,k

k

n k

n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =???

C ）{}(1)

,k k n k

n k P X C p p n

-==-0,1,2,,k n =???

D ）{}(1),1k k n k

i n P X k C p p i n -==-≤≤

23．若X ～()t n 那么2

χ～

A ）(1,)F n

B ）(,1)F n

C ）2

()n χ D ）()t n

24．设n X X X ,,21为来自正态总体),(2

σμN 简单随机样本，X 是样本均值，记

2121

)(11X X n S n i i --=∑=，2122)(1X X n S n i i -=∑=，21

2

3)(11μ--=∑=n i i X n S ， 224

1

1()n

i i S X n μ==-∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是

A) 1

/1--=

n S X t μ B) 1

/2--=

n S X t μ C) n

S X t /3μ-=

D) n

S X t /4μ-=

25．设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2

(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量

212

1n

i i n m

i i n m V n =+=+X =

X ∑∑服从的分布是

A) (,)F m n B) (1,1)F n m -- C) (,)F n m D) (1,1)F m n --

三、解答题

1．10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

2.任意将10本书放在书架上。其中有两套书，一套3本，另一套4本。求下列事件的概率。 1） 3本一套放在一起。 2）两套各自放在一起。 3）两套中至少有一套放在一起。

3.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD 占10%，购买电脑和DVD 占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。

1）至少购买一种电器的； 2）至多购买一种电器的； 3）三种电器都没购买的；

4．仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。

5． 一箱产品，A ，B 两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中

任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？

6． 有标号1～n 的n 个盒子，每个盒子中都有m 个白球k 个黑球。从第一个盒子中取一个球

放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。

7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回 （2）不放回

8．设随机变量X 的密度函数为()x

f x Ae -= ()x -∞<<+∞,

求 (1）系数A, (2) {01}P x ≤≤ (3) 分布函数)(x F 。

9．对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[b a ,]内。求体积的密度函数。

10．设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子的身高

2(168,7)X

N ,问车门的高度应如何确定？

12． 设随机变量X 的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-x ∞<<+∞). 求：（1）系数A 与B ；

（2）X 落在（-1，1）内的概率； （3）X 的分布密度。

13．把一枚均匀的硬币连抛三次，以X 表示出现正面的次数，Y 表示正、反两面次数差的

绝对值 ，求),(Y X 的联合分布律与边缘分布。 14．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数为

)3

arctan )(2arctan (),(y

C x B A y x F ++=

求（1）A B C 、、的值， （2）),(Y X 的联合密度， （3） 判断X Y 、的独立性。

15．设连续型随机变量（X ，Y ）的密度函数为f(x,y)=(34)0,0

,0,x y x y Ae -+>>???

其他,

求 （1）系数A ；（2）落在区域D ：{01,02}x y <≤<≤的概率。 16． 设),(Y X 的联合密度为x y x x Ay y x f ≤≤≤≤-=0,10),1(),(，

（1）求系数A ，（2）求),(Y X 的联合分布函数。

17．上题条件下：（1）求关于X 及Y 的边缘密度。 （2）X 与Y 是否相互独立？ 18．在第16）题条件下，求)(x y f 和)(y x f 。

19．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X 。

20． 有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?

21． 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。

22．设排球队A 与B 比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A ，B 在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？

23．一袋中有n 张卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n ，从中有放回地抽取出k 张来，以X 表示所得号码之和，求(),()E X D X 。

24．设二维连续型随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为：f (x ,y)=,0x 1,0y x

0,k <<<

其他

求：① 常数k ， ② ()E XY 及()D XY .

25．设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

26．一系统是由n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n 至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？

27．甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

28．设总体X 服从正态分布，又设X 与2

S 分别为样本均值和样本方差，又设

21

(,)n X N μσ+，且1n X +与12,,,n X X X ???相互独立，求统计量的分布。 29．在天平上重复称量一重为α的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布

2(,0.2)N α，若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，为使()

0.10.95n P X a -<≥成立，

求n 的最小值应不小于的自然数？

30．证明题 设A ，B 是两个事件，满足)()(A B P A B P =，证明事件A ，B 相互独立。 31．证明题 设随即变量X 的参数为2的指数分布，证明21X

Y e -=-在区间（0，1）上服

从均匀分布。

<数理统计>试题

一、填空题

1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本，2

σ已知，令

∑==16

1161i i X X ，则统计量σ

-164X 服从分布为 （必须写出分布的参数）。

2．设),(~2

σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 。

3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 。 4．已知2)20,8(1.0=F ，则=)8,20(9.0F 。

5．θ?和β?都是参数a 的无偏估计，如果有 成立 ，则称θ?是比β?有效的估计。

6．设样本的频数分布为

则样本方差2s =_____________________。

7．设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。

8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。若假设

检验问题为1H 1H 2120≠?σσ：＝：，则采用的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2, …，x n ）落

入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X 1，X 2，…，X n 来自正态总体N （μ，1），假设检验问题为：，

：＝：0H 0H 10≠?μμ 则在H 0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W 应为______________________。

11．设总体服从正态分布(,1)N μ，且μ未知，设

1,

,n X X 为来自该总体的一个样本，记

1

1n

i

i X X n ==∑，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ；若已知10.95α-=，

则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取__ __。

12．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个简单随机样本，其中参数μ和2σ均

未知，记11n i i X X n ==∑，2

2

1()n

i i Q X X ==-∑，则假设0H ：0μ=的t 检验使用的统计

量是 。（用X 和Q 表示）

13．设总体2

~(,)X N μσ，且μ已知、2σ未知，设123,,X X X 是来自该总体的一个样本，

则21231

()3X X X σ+++，12323X X X μσ++，

222

123X X X μ++-，(1)2X μ+中是统计量的有 。

14．设总体X 的分布函数()F x ，设n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本，

则

n X X X ,,,21 的联合分布函数 。

15．设总体X 服从参数为p 的两点分布，p （01p <<）未知。设1

,,n X X 是

来自该总体的一个样本，则21

11

1

,(),6,{},max n n

i

i

n i n i n

i i X X

X X X X pX ≤≤==--+∑∑中是统计量

的有 。

16．设总体服从正态分布(,1)N μ，且μ未知，设

1,

,n X X 为来自该总体的一个样本，记

1

1n

i

i X X n ==∑，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 。

17．设2

~(,)X X X N μσ，

2~(,)Y Y Y N μσ，且X 与Y 相互独立，设1,,m X X 为来自总体

X 的一个样本；设1,,n Y Y 为来自总体Y 的一个样本；2X S 和2Y S 分别是其无偏样本方差，

则22

22//X X Y Y S S σσ服从的分布是 。

18．设()2

,0.3X N

μ~，容量9n =，均值5X =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信

区间是 (查表0.025 1.96Z =）

19．设总体X ～2

(,)N μσ，X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D

（X ）＝________________________。

20．设总体X 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样本。若假设

检验问题为1H 1H 2120≠?σσ：＝：，则采用的检验统计量应________________。

21．设12,,,n X X X ???是来自正态总体2

(,)N μσ的简单随机样本，μ和2

σ均未知，记11n i i X X n ==∑,2

21

()n

i i X X θ==-∑,则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量T

＝ 。

22．设11m i i X X m ==∑和1

1n i i Y Y n ==∑分别来自两个正态总体2

11(,)N μσ和222(,)N μσ的样本

均值，参数1μ，2μ未知，两正态总体相互独立，欲检验22

012:H σσ= ，应用 检验

法，其检验统计量是 。

23．设总体X ～2

(,)N μσ，2

,μσ为未知参数，从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ，

修正样本标准差为*

n S ，在显著性水平α下，检验假设0:80H μ=，1:80H μ≠的拒绝域

为 ，在显著性水平α下，检验假设2200:H σσ=（0σ已知），2110:H σσ≠的

拒绝域为 。

24．设总体X ～12(,),01,,,,n b n p p X X X <

25．设总体X ～[]120,,(,,,)n U X X X θ???是来自X 的样本，则θ的最大似然估计量是 。

26．设总体X ～2

(,0.9)N μ，129,,,X X X ???是容量为9的简单随机样本，均值5x =，则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 。

27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

28．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2

(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++-

则当C = 时CY ～2

(2)χ。

29．设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

30．设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX

的一个简单随机样本，则样本均值

1

1n

i i n =X =X ∑服从

二、选择题

1.

1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：

216292821X X Y X X Z ++=++= ，则

Y

Z

~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F

2.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ）

X X A +)( +A ∑=-n i i

X n B 12

11)( a X C +)( +10 13

1)(X a X D ++5 3.设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2

-N 和)5,2(N 的样本,

21S 和22S 分别是其样本方差，则下列服从)9,7(F 的统计量是( )

)(A 222152S S )(B 222

145S S )(C 222154S S )(D 2

2

2125S S 4.设总体),(~2

σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-n i i X X n 1

2

)(1是（ ）

)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计

5、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）

)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n

i i X n 21 )(D ∑-=-11

11n i i X n 6．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2

(,)N μσ的一个样本，若进行假设检验，当__ __时，

一般采用统计量

X t =

(A)220μσσ未知，检验＝ (B)22

0μσσ已知，检验＝

(C)20σμμ未知，检验＝ (D)

20σμμ已知，检验＝ 7．在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为i

m 的样本，则下

列说法正确的是___ __

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

(C)方差分析中

2

11.()i

m r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D)方差分析中

2

.1

()r

A i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

8．在一次假设检验中，下列说法正确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

9．对总体

2~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 11. 设总体X 服从正态分布()2

1

2

,,,,

,n N

X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然

估计为

（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2

11n i i X n =∑ （D ）2X 12.X 服从正态分布，1-=EX ，25EX =，),,(1

n X X 是来自总体X 的一个样本，则

∑==n

i i

n

X X 1

1

服从的分布为___ 。

(A)N (1-,5/n) (B)N (1-,4/n) (C)N (1-/n,5/n) (D)N (1-/n,4/n)

13．设n X X X ,,,21 为来自正态总体

2

(,)N μσ的一个样本，若进行假设检验，当___ __

时，一般采用统计量

X U =

(A)

220μσσ未知，检验＝ (B)22

0μσσ已知，检验＝ (C)20σμμ未知，检验＝ (D)

20σμμ已知，检验＝ 14．在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为i m 的样本，则

下列说法正确的是____ _

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

(C) 方差分析中

2

11.()i

m r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D) 方差分析中

2

.1

()r

A i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异

15．在一次假设检验中，下列说法正确的是___ ____ (A)第一类错误和第二类错误同时都要犯

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

16．设?θ是未知参数θ的一个估计量，若?E θθ≠，则?

θ是θ的___ _____

(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计

17．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2, …，x n ）

落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为__________。

(A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25

18.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用

（A ）t 检验法 （B ）u 检验法 （C ）F 检验法 （D ）2

χ检验法 19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有

（A ）样本值与样本容量 （B ）显著性水平α （C ）检验统计量 （D ）A,B,C 同时成立 20.对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是

（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H

21.设12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个简单样本，则2

()E X 的矩估计是

（A ）2

21

11()1n i i S X X n ==--∑（B ）2

221

1()n i i S X X n ==-∑

（C ）

2

21

S X + （D ）2

22

S X +

22.总体X ～2

(,)N μσ，2

σ已知，n ≥ 时，才能使总体均值μ的置信水平为0.95

的置信区间长不大于L

（A ）152σ/2L （B ）15.36642σ/2L （C ）162σ/2

L （D ）16 23.设12,,,n X X X ???为总体X 的一个随机样本，2

(),()E X D X μσ

==，

1

2

211

()n i i i C X X θ-+==-∑为 2σ的无偏估计，C ＝

（A ）1/n （B ）1/1n - （C ） 1/2(1)n - （D ） 1/2n - 24.设总体X 服从正态分布()2

1

2

,,,,

,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最大似然

估计为

（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2

1

1n i i X n =∑ （D ）2X 25.设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ???是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是

(A)当n 充分大时，近似有X ～(1),

p p N p n -??

???

(B){}(1),k k

n k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =???

(C ）{}(1)

,k k n k

n k

P X C p p n

-==-0,1,2,,k n =???

(D ）{}(1),1k k n k

i n P X k C p p i n -==-≤≤

26.若X ～()t n 那么2

χ～

(A ）(1,)F n (B ）(,1)F n (C ）2

()n χ (D ）()t n

27.设n X X X ,,21为来自正态总体),(2

σμN 简单随机样本，X 是样本均值，记

2121

)(11X X n S n i i --=∑=，2122)(1X X n S n i i -=∑=，21

2

3)(11μ--=∑=n i i X n S ， 224

1

1()n

i i S X n μ==-∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是

(A) 1

/1--=

n S X t μ (B) 1

/2--=

n S X t μ (C) n

S X t /3μ-=

(D) n

S X t /4μ-=

28.设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2

(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量

212

1n

i i n m

i i n m V n =+=+X =

X ∑∑服从的分布是

(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D) (1,1)F m n -- 29．设 ()

2~,X N

μσ，其中μ已知,2

σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿

(Ａ)4

1

14i i X X ==∑ (Ｂ)142X X μ+-

(Ｃ)4

2

211

()i i K X X σ==-∑ (Ｄ)4

2

1

1()3i i S X X ==-∑

30. 设 ()

2

~,N

ξμσ，其中μ已知，2

σ未知，1

23

,,X

X X 为其样本， 下列各项不是

统计量的是（ ）

(A)2221232

1()X X X σ

++ (Ｂ)13X μ+

(Ｃ)123max(,,)X X X (D)123

1()3

X X X ++

三、计算题

1.已知某随机变量X 服从参数为λ的指数分布，设n X X X ,,,21 是子样观察值，求λ的极大似然估计和矩估计。（10分）

2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从)06.0,(N μ，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。给定（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）（8分）

3.某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2

μN 。现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为900=x ，样本均方差为22

=S ，试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有

变化？（05.0=α）（488.2715262.6)15(2

025.02975.0==）（，χχ）（8分）

4.设某随机变量X 的密度函数为?

??+=0)1()(λλx x f 其他1

0<

（6分）

5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为

04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对05

.0=α求出滚珠的平均直径的区间估计。（8分）)96.1,645

.1(025.005.0==Z Z

6.某种动物的体重服从正态分布)9,(μN ，今抽取9个动物考察，测得平均体重为3.51公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤。（05.0=α）（8分）

（96.1645

.1025.005.0==Z Z ）

7.设总体X 的密度函数为：?

?

?+=0)1()(a

x a x f 其他10<

8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0=S ，求σ的置信区间（1.0=α，68.19)11(2

2=αχ，57.4)11(22

1=-

α

χ

）

（8分） 9．某大学从来自A ，B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm ）

后算得x ＝175.9，y ＝172.0；1.9s 3.11s 2

221==，。假设两市新生身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2

)，Y-N （μ2，σ2

）其中σ2

未知。试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。（t 0.025(9)=2.2622,t 0.025(11)=2.2010）

10．（10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。

随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得20x =（分钟），无

偏方差的标准差3s =。若假设此样本来自正态总体2(,)N μσ，其中2

,μσ均未知，试求σ

的置信水平为0.95的置信下限。

11．（10分）设总体服从正态分布

2

(,)N μσ，且μ与2σ都未知，设1,,n X X 为来自总体

的一个样本，其观测值为1,

,n x x ，设1

1n i i X X n ==∑，2

2

11()n n i i S X X n ==-∑。求μ和σ的

极大似然估计量。

12．（8分）掷一骰子120次，得到数据如下表

若我们使用检验，则x 取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05

α=下被接受？

13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从

2

~(,)X N μσ正态分布， 规定每袋标准重量为1μ=kg,方差22

0.02σ≤。某天开工后，为检验其机器工作是否正常，

从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg ）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值

为0.998x =，无偏标准差为0.032s =，

2

1

()

0.008192

n

i

i x x =-=∑。

问(1)在显著性水平0.05α=下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差