检验和方差分析的原理和基本方法

检验和方差分析的原理和基本方法
检验和方差分析的原理和基本方法

《管理统计学》导学资料六——2χ检验和方差分析这一讲的内容包括两个部分开平方检验和方差分析,重点是方差分析,在本章的学习

χ检验的作用和用途。学会和掌握方差分析表的使用,中,同学们要了解方差分析的用途,2

了解自由度的计算和F检验的作用,记住方差分析表中的五个等式和含义。

本章的关键术语:

方差分析(Analysis of Variance, 常简称为ANOV A)是用来检验两个以上样本的均值差异的显著程度,由此判断样本究竟是否抽自具有同一均值总体的方法。

SST-总离差方和(Sum of Square in Total )为各样本观察值与总均值的离差平方和。

SSTR-组间离差方和(Sum of Square Treatment)表示不同的样本组之间,由于因素取不同的水平所产生的离差平方和。

SSE-组内离差方和(Sum of Square Error)表示同一样本组内,由于随机因素影响所产生的离差平方和,简称为组内离差平方和。

本章学完后,你应当能够:

1、掌握用2χ检验来解决独立性检验和拟合性检验的原理和基本方法,能解决最常见的这类检验问题。

2、了解和懂得单因素方差分析的原理和基本方法,能应用计算机解决最常见的方差分析问题。

一、2χ检验

2

χ检验的用途是检验两个变量之间的独立性和检验数据是否服从某个概率分布得拟合检验。

我们经常会遇到受两个或两个以上因素(变量)影响的实验或观察数据,并要求判断两个变量之间是否存在相互联系的问题。如果两个变量之间没有联系则称作是独立的,否则就是不独立的。

χ分布可以检验两个变量之间的独立性问题。此时我们首先将研究对象的观察用2

数据按两个变量分别进行分类。。例如,按行对第一个变量进行分类,按列对第二个变量进行分类。按这种方法把所有的试验观察数据排列成的表称为列联表。

2

χ独立性检验的程序和前面介绍的参数假设检验一样,首先也要建立假设,然后

χ,再根据问计算检验统计量的值。这次采用的检验统计这次采用的检验统计量就是2

χ分布表,得到当原假设成立时检验统计量允许的最大临界题规定的显著性水平查2

χ值作比较,得出接受或拒绝原假设的结论。具体步骤如下:

值,与计算所得的2

1.提出假设

H:两个变量是独立的,即相互之间没有影响,

1H :两个变量是不独立的,即相互之间有影响。

检验的结果如果接受原假设0H 就说明不能推翻两个变量是独立的假设;反之,

拒绝 ,接受1H

2将观测数据分类,计算检验统计量2χ:

书的总值,O.j 表示第j 列的观测数的总数。注意,这里Oij 是实际观测到的数据分类得

到的。我们在后面还要计算在原假设成立的是观测的理论数值。这里n 是观测的总数。

定义2

χ=2

()Oij Eij Eij -∑∑,这里Oij 是上边分类得到的实际观测数,Eij 是与之相应的位置上的期望值。Eij 是根据概率计算的,在原假设下两个变量独立,因而有:

如果两事件独立,则它们的联合概率就等于它们分别概率的乘积,即落入第i j 格的概

率等于落入第i 行的概率与落入第j 列的概率的乘积。由此可得到当总的观察值的和为

n 时,与观察值 相对应的期望值 可按下式计算得到。

Eij =n (.Oi n )(.O j n )=..Oi O j n

利用上面的公式可以计算出相应的个各个位置上的期望值。如果计算所得到的期望

值过小,则最后得到的检验统计量 就会估计过大,导致原假设被拒绝的概率过高。因

此,实际检验中一般要求所有计算得到的期望值都不小于5。如果某些位置上的期望值

小于5就可以把相邻的类别合并,使得结果计算得到的期望值都不小于5。

3计算2

χ检验

我们在上边计算的2χ值,就是反映两个变量独立性程度的变量。如果2χ=0,那么这

两个变量独立,当2χ不等于0,2χ越大两个变量独立的可能性越小,当2χ达到一定的程

度时我们就可以拒绝两个变量独立的假设。

为了确定这个临界值,我们就需要使用2χ分布。首先我们需要确定2χ的自由度,由

于在计算期望值的时候,每行总数和每列总数的总和是确定的,因此自由度是行数-1和列

数-1的乘积。如果第一个分类变量有r 类,第二个分类变量有c 类,那么自由度就是:

(1)(1)df r c =--,

这时,我们查自由度为(1)(1)df r c =--的2χ分布,和前面一样计算0.95得分位数,

就得到显著性水平为5%的临界值2((1)(1))r c αχ--,如果我们在第2布计算的

2χ>2((1)(1))r c αχ--,那么我们就要拒绝原假设,不能接受两个变量独立。

此外, 2χ分布也可以用来检验数据是否服从某个分布,如正态分布,泊松分布,二

项分布等。这时的检验也成为拟和优度检验。这种检验的方法也是先将变量分类,计算理论

值和观测值,在计算统计量和自由度。具体的操作办法感兴趣的同学可以参看课本和课件。

二、方差分析

方差分析主要用来检验两个以上样本的均值差异的显著程度,由此判断样本究竟是

否抽自具有同一均值的总体。方差分析对于比较不同生产工艺或设备条件下产量、质量

的差异,分析不同计划方案效果的好坏和比较不同地区、不同人员有关的数量指标差异

是否显著时是非常有用的。我们在前边的假设检验中,已经说明过了如何检验两个总体

的均值是否相等的各种情况。方差分析的作用就是可以检验多个样本的均值是否相等。

1、问题的提出

例:为了比较三种不同材料对产品寿命的影响,试验人员分别对三种不同材料所制造的

一组产品的寿命进行了测试,所得结果如下表所示 (为简化计算,以各取4个样本为

例)。

料对最终产品的使用寿命的影响是否显著。从统计的角度看,就是要检验三种不同的材

料所生产的最终产品的使用寿命的均值是否一致。

通常,在方差分析中,我们把对试验结果发生影响和起作用的自变量称为因素。如

果方差分析研究的是一个因素对于试验结果的影响和作用,就称为单因素方差分析。否

则就称为多因素方差分析。这里主要介绍单因素方差分析。

在本例中,因素就是可能影响产品使用寿命的材料。因素的不同选择方案称之为因

素的水平。例中材料有三种不同的选择就说因素有三个水平。因素的水平实际上就是因

素的取值或者是因素的分组,例如,可以在包装、质量、价格和销售区域等方面取不同

的值或分为不同的组,就表示因素选了不同的水平。方差分析要检验的问题就是当因素

选不同的水平时,对结果有无显著的影响。若无显著影响,则随便选择哪一种材料都无

所谓。否则就要选择最终产品寿命最长的一种材料。

一般地,我们假定所检验的结果受某一因素A 的影响,它可以取K 个不同的水平:

1,2,3,…K 。对于因素的每一个水平i 都进行n 次试验,结果分别为1i X ,2i X ,。。。in X ,我们把这一组样本记作假定i X ,in X 2(,i N μσ)即对于因素的每一个水平,所得到的

结果都服从正态分布,且方差相等。

用统计的语言来表达,要检验的假设就是:

0:H 01.....k μμμ===

1:H 不是所有的i μ 都相等 (1,2,3,...i K =)。

由此可见,方差分析是研究一个或多个可分组的变量(称为自变量)与一个连续变

量(因变量)之间的统计关系,并测定自变量在取各种不同水平时对因变量的影响和作

用的一种统计分析方法。方差分析通过比较和检验在因素的不同水平下均值之间是否存

在显著的统计差异的方法来测定因素的不同水平对因变量的影响和作用的差异。

2、方差分析的基本原理和步骤

方差分析的基本思路是一方面确定因素的不同水平下均值之间的方差,把它作为对

由所有试验数据所组成的全部总体的方差的一个估计值。另一方面,再考虑在同一水平

下不同试验数据对于这一水平均值的方差。由此,计算出对由所有试验数据所组成的全

部数据的总体方差的第二个估计值;最后,比较上述两个估计值。如果这两个方差的估

计值比较接近就说明因素的不同水平下的均值间的差异并不大,就接受零假设。否则,

就说明因素的不同水平下的均值间的差异比较大,就接受备择假设。

根据上述思路我们可以得到方差分析的方法和步骤。

(1). 提出假设:

0:H 01.....k μμμ===

1:H 不是所有的i μ 都相等 (1,2,3,...i K =)。

(2). 方差分解

我们先定义总离差平方和为各样本观察值与总均值的离差平方和。 记作211()K n

kj k j SST x

x ===-∑∑,,其中x 时样本平均值,x =11K n kj k j x N ==∑∑,这里N nK =是全部

观测的总数。 将总离差平方和分解为两部分:211

()K n

kj k j SST x

x ===-∑∑

=2

11()K n kj i k j x x ==-∑∑+21*()K k k n x x =-∑

其中,i x 表示第i 组的变量的平均值i x =1n ij j x

N =∑,记211()K n

kj i k j SSE x x ===-∑∑表

示不同的样本组之间,由于因素取不同的水平所产生的离差平方和。记

21*()K

k k SSTR n x x ==-∑表示不同样本组之间由于因素水平不同产生的离差平方

和。

因此我们得到SST SSE SSTR =+,对应的自由度分别是1N -,N K -和

1K -。这样一来,自由度也有关系:1()(1)N N K K -=-+-

(3). F 检验

将SSE 和SSTR 分别除以各自的自由度,得到相应的各自均方差:

组间均方差:MSTR =1

SSTR K -;组内均方差:MSE =SSE N K -; 统计上可以证明2()E MSE σ=,221

1()()1K

i i E MSTR n K σμμ==+--∑ 如上所述,当原假设0:H 成立时,01.....k μμμ=== 就有

2()()E M S E E M S T R

σ==。,否则有2()E MSTR σ>。当原假设成立时,MSE 和MSTR 都是2σ的无偏估计。可以构造F 统计量,F =MSTR MSE

,就服从自由度为1K -和N K -的F 分布。

如上所述,当原假设0:H 成立时,01.....k μμμ===此时 较小,F 值也较小。反

之 0:H 不成立时,MSTR 较大,F 值也较大。对于给定的显著性水平α ,查F 分

布表得到(1,)F K N K α-- 。如果 F>(1,)F K N K α--,则原假设不成立,即K 个组

的总体均值之间有显著的差异,就拒绝 0:H 。若 F<(1,)F K N K α--,则原假设成立,即 K 个组的总体均值之间没有显著的差异,就接受0:H 。

(4). 方差分析表

上述方差分析的方法可以用一张标准形式的表格来实现,这种表格称为方差分析

表。它将方差分析的计算方法以简洁的形式进行总结。表格分为五列,第一列表示方差

的来源,第二列表示离差平方和,第三列表示自由度,第四列为均方差,第五列为统计

检验量F 。

表格又分为三行。第一行是组间的方差SSTR 和均方差MSTR ,表示因素的不同

水平的影响所产生的方差,其值作为计算统计检验量F 时的分子;第二行是组内方差

SSE 和均方差MSE ,表示随机误差所引起的方差,其值作为计算统计检验量F 的分

母,第三行是检验行,表示总的方差SST 。

表6-9就是一张单因素方差分析表。

由于方差分析表概括了方差分析中的统计量之间的关系,我们在进行方差分析时就

可以直接按照方差分析表来逐行,逐列地计算出有关的统计量,最后得到检验量F 的值,并把这一F 值与查表所得到的一定显著性水平下的F 检验的临界值进行比较,以得出接

受或拒绝原假设的结论。

表6-9 单因素方差分析表

方差分析表里的5个关系式:大家牢记这五个关系的计算就可以看懂方差分析表。

列的关系式:SST SSE SSTR =+ , 1()(1)N N K K -=-+-. F =MSTR MSE

行的关系式:MSTR =

1

SSTR K -,MSE =SSE N K -。 3、用SPSS 解方差分析问题 单因素方差分析用SPSS 来解时可以通过完全窗口来解决,通过调用O ne-Way

ANOV A 菜单来实现。具体解法和步骤如下:

在主对话框中按Analysis →Compared Means→One -Way Anova 的顺序点

击,就可以打开"单因素方差分析"主对话框。在主对话框中先选择因变量。只要在左边

的源变量框中选取所需要的变量,然后按因变量的向右的箭头,即可进入因变量位置。

在选好因变量后再选因素框。同样只要从左边的源变量框中选取所需要的变量,然后按

因素的向右的箭头,即可进入因素的位置。如果需要指定其它的比较选项再在Contrast

中指定选项。对于简单的方差分析只要在主对话框中按OK ,即可得到输出的方差分析

结果。汽车基地 https://www.360docs.net/doc/0c15343230.html,

在视频课件里,胡老师有关于如何操作的详细介绍,同学们请认真观看,结合你们

手中的资料就可以方便使用方差分析来分析你们工作中遇到的各种事情了。

另外,本次课件老师还初步给出了复习的大概重点,请同学们注意本次课件的最后

几分钟,也请同学们在课余时间做好复习。

以下是复习重点:第一章:总体和个体、标志和指标的概念及区别;

第二章:有关分组数据的一些运算;第三章:重点在第2节和第3节。相对指标和平均

指标,计划完成相对数、中位数和中数的计算公式;第四章:变异指标如何计算方差。

老师还提到,期末考试题型中有约20分的概念题,对一些基本概念比如相关性、

回归、随机变量等的解释;计算题目包括比较简单的统计指标和标志的计算,比如中位数、方差、标准差、均值等的计算,还有对一些问题的假设检验分析、方差分析和回归分析等;分析题目则是对计算机输出的结果进行解释,所以要看懂计算机输出的图表,重点是方差分析表和回归分析表。

统计学第八章方差分析

第八章方差分析 Ⅰ.学习目的 本章介绍方差分析的理论、方法与运用。通过学习,要求:1.了解方差分析的基本概念和思想;2.理解方差分解原理;3.掌握单因素、双因素(有、无交互作用)方差分析的原理和流程;4学会针对资料提出原假设,并能利用Excel进行方差分析。 Ⅱ.课程内容要点 第一节方差分析方法引导 一、方差分析问题的提出 方差分析,简称ANOVA(analysis of variance),就是利用试验观测值总偏差的可分解性,将不同条件所引起的偏差与试验误差分解开来,按照一定的规则进行比较,以确定条件偏差的影响程度以及相对大小。当已经确认某几种因素对试验结果有显著影响时,可使用方差分析检验确定哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。 二、方差分析的有关术语和概念 1.试验结果:在一项试验中用来衡量试验效果的特征量,也称试验指100

101 标或指标,类似函数的因变量或者目标函数。 2.试验因素:试验中,凡是对试验指标可能产生影响的原因都称为因素,或称为因子,类似函数的自变量。试验中需要考察的因素称为试验因素,简称为因素。一般用大写字母A 、B 、C 、……表示。方差分析的目的就是分析实验因素对实验或抽样的结果有无显著影响。如果在实验中变化的因素只有一个,这时的方差分析称为单因素方差分析;如果在实验中变化的因素不止一个,这时的方差分析就称为多因素方差分析。 3.因素水平:因素在试验中所处的各种状态或者所取的不同值,称为该因素的水平,简称水平。一般用下标区分。同样因素水平有时可以取得具体的数量值,有时只能取到定性值(如好,中,差等)。 4.交互作用:当方差分析过程中的影响因素不唯一时,这种多个因素的不同水平的组合对指标的影响称为因素间的交互作用。 三、方差分析的基本原理 (一)方差分解原理 一般地,试验结果的差异性可由离差平方和表示,离差平方和又可分解为组间方差与组内方差。其中,组间方差为因素对试验结果的影响的加总;组内方差则是各组内的随机影响的加总。如果组间方差明显高于组内方差,说明样本数据波动的主要来源是组间方差,因素是引起波动的主要原因,则认为因素对试验的结果存在显著的影响;否则认为波动主要来自组内方差,即因素对试验结果的影响不显著。 (二)检验统计量 检验因素影响是否显著的统计量是F 统计量: 组内方差的自由度 组内方差组间方差的自由度 组间方差// F

方差分析的原理

方差分析的原理 (1)方差分析的概念 方差分析的目的是推断多组资料的总体均数是否相同,也即检验多组数据之间的均数差异是否有统计意义。当我们用多个t 检验来完成这一过程时,相当于从t 分布中随机抽取多个t 值,这样落在临界范围之外的可能大大增加,从而增加了Ⅰ型错误的概率。我们可以把方差分析看作t 检验的增强版。 (2)方差的可分解性 方差分析依据的基本原理就是方差的可加性原则。作为一种统计方法,方差分析把实验数据的总变异分解为若干个不同来源的分量。数据的变异由两部分组成: 组内变异:由于实验中一些希望加以控制的非实验因素和一些未被有效控制的未知因素造成的变异,如个体差异、随机误差 组内变异是具体某一个处理水平之内的,因此在对总体变异进行估计的时候不涉及研究的处理效应。 组间差异:不仅包括组内变异的误差因素,还包括了是不同组所接受的实验处理不同造成的影响 如果研究数据的总变异是由处理效应造成的,那么组间变异在总变异中应该占较大比例。 B M S 表示组间方差,B B B SS M S df =,1B df k =-,k 表示实验条件的个数 W M S 表示组内方差,W W W SS M S df =,()1W df k n =-,n 表示每种实验条件中的被试个数

(3)方差分析的基本假定 ①样本必须来自正态分布的总体 ②每次观察得到的几组数据必须彼此独立 ③各实验处理内的方差应彼此无显著差异 为了满足这一假定,我们可采用最大F 比率法2m ax m ax 2m in s F s ,求出各样本中方差最 大值与最小值的比,通过查表判断。 文章来源:博仁教育

(整理)sas第九章 t检验和方差分析.

第九章 t 检验和方差分析 在科研中,我们往往是根据样本之间的差异,去推断其总体之间是否有差异。样本差异可能是由抽样误差所致,也可能是由本质的不同所致。应用统计学方法来处理这类问题,称为“差异的显著性检验”。若已知总体为正态分布,进行差异的显著性检验,称为“参数性检验”,SAS 中MEANS 、TTEST 、ANOVA 、GLM 等均属此类检验;若未知总体分布,进行差异的显著性检验,称为“非参数性检验”,SAS 中采用NPAR1WAY 过程。 第一节 t 检验 9.1.1 简介 t 检验是用于两组数据均值间差异的显著性检验。它常用于以下场合: 1.样本均值与总体(理论)均值差别的显著性检验 检验所测得的一组连续资料是否抽样于均值已知的总体 根据大量调查的结果或以往的经验,可得到某事物的平均数(例如生理生化的正常值),以此作总体均值看待。 SAS 中采用MEANS 过程,计算出观察与总体均值的差值,再对该差值的均值进行t 检验。 2.同一批对象实验前后差异的显著性检验(自身对照比较)或配对资料差异的显著性检验(配对比较检验) 比如,在医学研究中,我们常常对同一批病人治疗前后的某些生理生化指标(如血压、体温等)进行测量,以观察疗效;或对同一批人群进行预防接种,以观察预防效果;或把实验对象配成对进行测定,比较其实验结果。 SAS 中采用MEANS 过程,计算出两样本观察的差值(如治疗前、后实验数据的差值),再对该差值的均值进行t 检验。 3.两样本均值差异的显著性检验 作两样本均值差异比较的两组原始资料各自独立,没有成对关系。两组样本所包含的个数可以相等,也可以不相等。每组观测值都是来自正态总体的样本。 设1X 与2X 为两样本的均值,1n 与2n 为两样本数,21s ,22s 为两样本方差,分两种情形,其数学模型为: (1)方差齐(相等)时: ) /1/1(212 21n n s x x t +-= )2/(])1()1[(212 222112-+-+-=n n s n s n s

t检验、u检验、卡方检验、F检验、方差分析

统计中经常会用到各种检验,如何知道何时用什么检验呢,根据结合自己的工作来说一说: t检验有单样本t检验,配对t检验和两样本t检验。 单样本t检验:是用样本均数代表的未知总体均数和已知总体均数进行比较,来观察此组样本与总体的差异性。 配对t检验:是采用配对设计方法观察以下几种情形,1,两个同质受试对象分别接受两种不同的处理;2,同一受试对象接受两种不同的处理;3,同一受试对象处理前后。 u检验:t检验和就是统计量为t,u的假设检验,两者均是常见的假设检验方法。当样本含量n较大时,样本均数符合正态分布,故可用u检验进行分析。当样本含量n小时,若观察值x符合正态分布,则用t检验(因此时样本均数符合t 分布),当x为未知分布时应采用秩和检验。 F检验又叫方差齐性检验。在两样本t检验中要用到F检验。 从两研究总体中随机抽取样本,要对这两个样本进行比较的时候,首先要判断两总体方差是否相同,即方差齐性。若两总体方差相等,则直接用t检验,若不等,可采用t'检验或变量变换或秩和检验等方法。 其中要判断两总体方差是否相等,就可以用F检验。 简单的说就是检验两个样本的方差是否有显著性差异这是选择何种T检验(等方差双样本检验,异方差双样本检验)的前提条件。 在t检验中,如果是比较大于小于之类的就用单侧检验,等于之类的问题就用双侧检验。 卡方检验 是对两个或两个以上率(构成比)进行比较的统计方法,在临床和医学实验中应用十分广泛,特别是临床科研中许多资料是记数资料,就需要用到卡方检验。方差分析 用方差分析比较多个样本均数,可有效地控制第一类错误。方差分析(analysis of variance,ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出,以F命名其统计量,故方差分析又称F检验。 其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同,检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。我们要学习的主要内容包括 单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析(one-way ANOVA):用途:用于完全随机设计的多个样本均数间的比较,其统计推断是推断各样本所代表的各总体均数是否相等。完全随机设计(completely random design)不考虑个体差异的影响,仅涉及一个处理因素,但可以有两个或多个水平,所以亦称单因素实验设计。在实验研究中按随机化原则将受试对象随机分配到一个处理因

检验和方差分析的原理和基本方法

《管理统计学》导学资料六——2χ检验和方差分析这一讲的内容包括两个部分开平方检验和方差分析,重点是方差分析,在本章的学习 χ检验的作用和用途。学会和掌握方差分析表的使用,中,同学们要了解方差分析的用途,2 了解自由度的计算和F检验的作用,记住方差分析表中的五个等式和含义。 本章的关键术语: 方差分析(Analysis of Variance, 常简称为ANOV A)是用来检验两个以上样本的均值差异的显著程度,由此判断样本究竟是否抽自具有同一均值总体的方法。 SST-总离差方和(Sum of Square in Total )为各样本观察值与总均值的离差平方和。 SSTR-组间离差方和(Sum of Square Treatment)表示不同的样本组之间,由于因素取不同的水平所产生的离差平方和。 SSE-组内离差方和(Sum of Square Error)表示同一样本组内,由于随机因素影响所产生的离差平方和,简称为组内离差平方和。 本章学完后,你应当能够: 1、掌握用2χ检验来解决独立性检验和拟合性检验的原理和基本方法,能解决最常见的这类检验问题。 2、了解和懂得单因素方差分析的原理和基本方法,能应用计算机解决最常见的方差分析问题。 一、2χ检验 2 χ检验的用途是检验两个变量之间的独立性和检验数据是否服从某个概率分布得拟合检验。 我们经常会遇到受两个或两个以上因素(变量)影响的实验或观察数据,并要求判断两个变量之间是否存在相互联系的问题。如果两个变量之间没有联系则称作是独立的,否则就是不独立的。 χ分布可以检验两个变量之间的独立性问题。此时我们首先将研究对象的观察用2 数据按两个变量分别进行分类。。例如,按行对第一个变量进行分类,按列对第二个变量进行分类。按这种方法把所有的试验观察数据排列成的表称为列联表。 2 χ独立性检验的程序和前面介绍的参数假设检验一样,首先也要建立假设,然后 χ,再根据问计算检验统计量的值。这次采用的检验统计这次采用的检验统计量就是2 χ分布表,得到当原假设成立时检验统计量允许的最大临界题规定的显著性水平查2 χ值作比较,得出接受或拒绝原假设的结论。具体步骤如下: 值,与计算所得的2 1.提出假设 H:两个变量是独立的,即相互之间没有影响,

spss协方差分析的基本原理-最棒的

协方差分析的基本原理 1.协方差分析的提出 无论是单因素方差分析还是多因素方差分析,它们都有一些人为可以控制的控制变量。在实际问题中,有些随机因素是很难人为控制的,但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响,则有可能得到不正确的结论。 例如,研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的,而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响,在考察的时候必须排除这种影响。又比如,考查受教育程度对个人工资是否有显著影响,这时必须考虑工作年限因素。一般情况下,工作年限越长,工资就越高。在研究此问题时必须排除工作年限因素的影响,才能得出正确的结论。再如,如果要了解接受不同处理的小白鼠经过一段时间饲养后体重增加量有无差别,已知体重的增加和小白鼠的进食量有关,接受不同处理的小白鼠其进食量可能不同,这时为了控制进食量对体重增加的影响,可在统计阶段利用协方差分析(Analysis of Covariance),通过统计模型的校正使得各组在“进食量”这个变量的影响上相等,即将进食量作为协变量,然后分析不同处理对小白鼠体重增加量的影响。 为了更加准确地控制变量不同水平对结果的影响,应该尽量排除其它在实验设计阶段难以控制或者是无法严格控制的因素对分析结果的影响。利用协方差分析就可以完成这样的功能。协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量,在分析中将其排除,然后再分析控制变量对于观察变量的影响,从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型,多个协变量间互相独立,且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量,而协方差分析中既包含了定性变量(控制变量),又包含了定量变量(协变量)。协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析,是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法,其中的协变量一般是连续性变量,并假设协变量与因变量间存在线性关系,且这种线性关系在各组一致,即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。当有一个协变量时,称为一元协方差分析,当有两个或两个以上的协变量时,称为多元协方差分析。以下将以一元协方差分析为例,讲述协方差分析的基本思想和步骤。 2.协方差分析的计算公式 以单因素协方差分析为例,总的变异平方和表示为: Q Q Q Q ++ 总控制变量协变量随机变量 = 协方差分析仍然采用F检验,其零假设 H为多个控制变量的不同水平下,各总体平均值没有显著差异。 F统计量计算公式为: 2 2 S F S 控制变量 控制变量 随机变量 =, 2 2 S F S 协变量 协变量 随机变量 = 以上F统计量服从F分布。SPSS将自动计算F值,并根据F分布表给出相应的相伴概率值。 如果F 控制变量 的相伴概率小于或等于显著性水平,则控制变量的不同水平对观察变量产生了显著的影响;如 果F 协变量 的相伴概率小于或等于显著性水平,则协变量的不同水平对观察变量产生了显著的影响。 3.协方差分析需要满足的假设条件 (1)自变量是分类变量,协变量是定距变量,因变量是连续变量; (2)对连续变量或定居变量的协变量的测量不能有误差; (3)协变量与因变量之间的关系是线性关系,可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设;(4)协变量的回归系数是相同的。在分类变量形成的各组中,协变量的回归系数(即各回归线的斜率)必须是相等的,即各组的回归线是平行线。如果违背了这一假设,就有可能犯第一类错误,即错误地接受虚无假设。

t检验与方差分析

第六章数值变量资料的统计分析 数值变量资料又称计量资料,通常是指每个观察单位某项指标量的大小,一般具有计量单位。这类资料按分析的内容一般可分为两种:一种是比较几种处理之间的效应,简单地讲就是比较各处理组观察值均数、方差的大小;另一种是寻找指标间的关系,即某个(或某些)指标的取值是否受其它指标的影响。本章主要介绍不同设计类型的数值变量资料的比较。 §6.1 样本均数与总体均数比较的 t 检验 t检验亦称 student's t 检验,主要用于下列三种情况:(1)样本均数与总体均数比较;(2)配对数值变量资料的比较;(3)两样本均数的比较。 Stata用于样本均数与总体均数比较的 t 检验的命令是: ttest 变量名= #val 这里,#val 表示总体均数。 命令中可以选用 if 语句和 in 语句对要分析的内容加一些条件限制。 对已知样本含量、均数和标准差的资料,欲将其与某总体均数进行比较,Stata 还提供了更为简洁的命令是: ttesti #obs #mean #sd #val 这里,#obs 表示样本含量,#mean 表示样本均数,#sd 表示样本标准差, #val 表示总体均数。 §6.2 两样本均数比较的t检验 一、配对设计t检验 医学研究中常将受试对象配成对子,对每对中的两个受试对象分别给予两种不同的处理,观察两种处理的结果是否一致,称为配对(设计)研究。有时以同一个受试对象先后给予两种不同的处理,观察两种处理的结果是否相同,这种配对称为自身配对。配对设计的优点是能消除或部分消除个体间的差异,使比较的结果更能真实地反映处理的效应。 配对t检验首先计算每对结果之差值,再将差值均数与0作比较。如两种处理的效应相同,则差值与0没有显著性差异。 检验假设 H0为:两种处理的效应是相同,或总体差值均数为 0。 stata用于配对样本t检验的命令是: Ttest变量1=变量2 这里,这里“变量 1”和“变量 2”是成对输入的配对样本。 ttest 命令容许使用[if 表达式]和[in范围]条件限制。 或者: gen d=0 ttest d=0 二、成组设计t检验

第一节 方差分析原理

第一节方差分析原理 一、方差分析基本思想 方差分析(analysis of variance,或缩写ANOVA)又称变异数分析,是一种应用非常广泛的统计方法。其主要功能是检验两个或多个样本平均数的差异是否有统计学意义,用以推断它们的总体均值是否相同。它是真正用来进行上述“多组比较”问题的正确方法,从这个意义上说,它可看成是t检验等“两组比较法”的推广。理解方差分析的原理,主要在于其基本思想,而不在于数学推导。 以单因素完全随机化实验设计为例(这是最简单的多组实验设计)介绍方差分析的原理。注意下面列出的该种设计的数学模式,假设有k 个处理,每个处理下有n 个被试,一共有nk 个被试。K个处理下的数据构成比较中的k个组或k个样本。 不失一般地,其对应的图示如下:

根据测量学中的真分数理论,观测值等于真值和误差之和;据此,对照上面的数据可得到下面的数学模型: 其中: X ij指第j 个处理下的第i 个被试的实验数据; μ指总体均值;在图中样本数据中,即红色线表示的总平均; μj指第j 个处理的均值; τj称为第j 个处理的效应;通常,τj=μj–μ,也即各组均值偏离总平均的离差; εij为随机误差(idd表示误差独立同分布);在该模型中,误差就是各组中数据偏离其组均值的离差。因为根据单因素完全随机化设计的特点,同组中的被试,其各方面条件都相同,接受的处理也相同,其观测值间的差异只能归结为随机误差。 首先对检验的零假设进行变换: 下面我们就需要构造一个统计量使得它在Ho"下无未知量且有精确的分布,以进行假设检验。由于τ2j是每个处理的平均数与总平均之差,所以我们考虑从数据的离均差的平方入手来构造统计量: 对每个观测数据: 即:任意一个数据与总平均数的离差= 该数与所在组平均数的离差+ 所在组的平均数与总平均数的离差。 我们针对第j 组中每个数据的上述分解式的平方求和得:

STATA 第四章 t检验和单因素方差分析命令输出结果说明

第四章 t检验和单因素方差分析命令与输出结果说明 ·单因素方差分析 单因素方差分析又称为Oneway ANOVA,用于比较多组样本的均数是否相同,并假定:每组的数据服从正态分布,具有相同的方差,且相互独立,则无效假设。 :各组总体均数相同。 原假设:H 在STATA中可用命令: oneway 观察变量分组变量[, means bonferroni] 其中子命令bonferroni是用于多组样本均数的两两比较检验。 例:测定健康男子各年龄组的淋巴细胞转化率(%),结果见表,问:各组的淋巴细胞转化率的均数之间的差别有无显著性? 健康男子各年龄组淋巴细胞转化率(%)的测定结果: 11-20 岁组:58 61 61 62 63 68 70 70 74 78 41-50 岁组:54 57 57 58 60 60 63 64 66 61-75 岁组:43 52 55 56 60 用变量x 表示这些淋巴细胞转化率以及用分组变量group=1,2,3分别表示 则用 STATA 命令: oneway x group, mean bonferroni | Summary of x group | Mean ① -------------+------------ 1 | 66.5 2 | 59.888889 3 | 53.2 ------+------------ Total | 61.25 ②

Analysis of Variance Source SS df MS F Prob > F ------------------------------------------------------------------------------- Between groups 616.311111③ 2 ④ 308.155556⑤ 9.77⑥ 0.0010⑦Within groups 662.188889⑧ 21⑨ 31.5328042⑴ ------------------------------------------------------------------------------- Total 1278.50 23 55.586956 (2)Bartlett's test for equal variances:chi2(2) = 2.1977 (3)Prob>chi2=0.333 Comparison of x by group (Bonferroni) Row Mean- | Col Mean | 1 2 -------------- --|-------------------------------------- 2 | -6.61111 (4) | 0.054 (5) | 3 | -13.3 (6) -6.68889(8) | 0.001 (7) 0.134 (9) ①对应三个年龄组的淋巴细胞转化率的均数;②三组合并在一起的总的样本 均数;③组间离均差平方和;④组间离均差平方和的自由度;⑤组间均方和(即: ⑤=③/④);⑧组内离均差平方和;⑨组内离均差平方和的自由度;(1)组内均 方和(即:(1)=⑧/⑨);⑥为F 统计值(即为⑤/(1));⑦为相应的p值;(2) 为方差齐性的Bartlett检验;(3)方差齐性检验相应的p值;(4)第二组的淋 巴细胞转化率样本均数—第一组的淋巴细胞转化率的样本均数的差;(5)第二和 第一组均数差的显著性检验所对应p 值;(6)第三组的淋巴细胞转化率样本均数—第一组的淋巴细胞转化率的样本均数的差;(7)第三和第一组均数差的显著 性检验所对应的 p 值;(8)第三组的淋巴细胞转化率样本均数—第二组的淋巴 细胞转化率的样本均数的差;(9)第三和第二组均数差的显著性检验所对应的p 值。 由上述结果可知:三组方差无显著地齐性,因此若三组数据近似服从正态 分布,无效假设Ho检验所对应的p值<0.01,可以认为这三组均数有显著差异。 由 Bonferroni统计检验结果表明:第一组淋巴细胞转化率显著地高于第三组淋 巴细胞转化率(p<0.005),其它各组之间均数无显著性差异。

t检验和方差分析的前提条件及应用误区精编版

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t检验和方差分析的前提条件及应用误区用于比较均值的t检验可以分成三类,第一类是针对单组设计定量资料的;第二类是针对配对设计定量资料的;第三类则是针对成组设计定量资料的。后两种设计类型的区别在于事先是否将两组研究对象按照某一个或几个方面的特征相似配成对子。无论哪种类型的t检验,都必须在满足特定的前提条件下应用才是合理的。 若是单组设计,必须给出一个标准值或总体均值,同时,提供一组定量的观测结果,应用t检验的前提条件就是该组资料必须服从正态分布;若是配对设计,每对数据的差值必须服从正态分布;若是成组设计,个体之间相互独立,两组资料均取自正态分布的总体,并满足方差齐性。之所以需要这些前提条件,是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布,而t检验正是以t分布作为其理论依据的检验方法。 值得注意的是,方差分析与成组设计t检验的前提条件是相同的,即正态性和方差齐性。t检验是目前医学研究中使用频率最高,医学论文中最常见到的处理定量资料的假设检验方法。t检验得到如此广泛的应用,究其原因,不外乎以下几点:现有的医学期刊多在统计学方面作出了要求,研究结论需要统计学支持;传统的医学统计教学都把t检验作为假设检验的入门方法进行介绍,使之成为广大医学研究人员最熟悉的方法;t 检验方法简单,其结果便于解释。简单、熟悉加上外界的要求,促成了t检验的流行。但是,由于某些人对该方法理解得不全面,导致在应用过程中出现不少问题,有些甚至是非常严重的错误,直接影响到结论的可靠性。将这些问题归类,可大致概括为以下两种情况:不考虑t检验的应用前提,对两组的比较一律用t检验;将各种实验设计类型一律视为多个单因素两水平设计,多次用t检验进行均值之间的两两比较。以上两种情况,均不同程度地增加了得出错误结论的风险。而且,在实验因素的个数大于等于2时,无法研究实验因素之间的交互作用的大小。

T检验及其与方差分析的区别

T检验及其与方差分析的 区别 Last revision on 21 December 2020

T检验及其与方差分析的区别 假设检验是通过两组或多组的样本统计量的差别或样本统计量与总体参数的差异来推断他们相应的总体参数是否相同。 t 检验:1.单因素设计的小样本(n<50)计量资料 2.样本来自正态分布总体 3.总体标准差未知 4.两样本均数比较时,要求两样本相应的总体方差相等 ?根据研究设计t检验可由三种形式: –单个样本的t检验 –配对样本均数t检验(非独立两样本均数t检验) –两个独立样本均数t检验 (1)单个样本t检验 ?又称单样本均数t检验(one sample t test),适用于样本均数与已知总体均数μ0的比较,其比较目的是检验样本均数所代表的总体均数μ是否与已知总体均数μ0有差 别。 ?已知总体均数μ0一般为标准值、理论值或经大量观察得到的较稳定的指标值。 ?单样t检验的应用条件是总体标准未知的小样本资料( 如n<50),且服从正态分布。(2)配对样本均数t检验 ?配对样本均数t检验简称配对t检验(paired t test),又称非独立两样本均数t检验,适用于配对设计计量资料均数的比较,其比较目的是检验两相关样本均数所代表的未知总体均数是否有差别。

?配对设计(paired design)是将受试对象按某些重要特征相近的原则配成对子,每对中的两个个体随机地给予两种处理。 ?应用配对设计可以减少实验的误差和控制非处理因素,提高统计处理的效率。 ?配对设计处理分配方式主要有三种情况: ①两个同质受试对象分别接受两种处理,如把同窝、同性别和体重相近的动物配成一对,或把同性别和年龄相近的相同病情病人配成一对; ②同一受试对象或同一标本的两个部分,随机分配接受两种不同处理,如例资料; ③自身对比(self-contrast)。即将同一受试对象处理(实验或治疗)前后的结果进行比较,如对高血压患者治疗前后、运动员体育运动前后的某一生理指标进行比较。 (3)两独立样本t检验 两独立样本t 检验(two independent samples t-test),又称成组t 检验。 ?适用于完全随机设计的两样本均数的比较,其目的是检验两样本所来自总体的均数是否相等。 ?完全随机设计是将受试对象随机地分配到两组中,每组对象分别接受不同的处理,分析比较处理的效应。或分别从不同总体中随机抽样进行研究。 ?两独立样本t检验要求两样本所代表的总体服从正态分布N(μ1,σ12)和N(μ2,σ 2),且两总体方差σ12、σ22相等,即方差齐性(homogeneity of variance, 2 homoscedasticity)。 ?若两总体方差不等,即方差不齐,可采用t’检验,或进行变量变换,或用秩和检验方法处理。 t 检验中的注意事项 1.假设检验结论正确的前提作假设检验用的样本资料,必须能代表相应的总

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T检验及其与方差分析的区别 假设检验是通过两组或多组的样本统计量的差别或样本统计量与总体参数的差异来推断他们相应的总体参数是否相同。 t 检验:1.单因素设计的小样本(n<50)计量资料 2.样本来自正态分布总体 3.总体标准差未知 4.两样本均数比较时,要求两样本相应的总体方差相等 ?根据研究设计t检验可由三种形式: –单个样本的t检验 –配对样本均数t检验(非独立两样本均数t检验) –两个独立样本均数t检验 (1)单个样本t检验 ?又称单样本均数t检验(one sample t test),适用于样本均数与已知总体均数μ0的比较,其比较目的是检验样本均数所代表的总体均数μ是否与已知总体均数μ0有差别。 ?已知总体均数μ0一般为标准值、理论值或经大量观察得到的较稳定的指标值。 ?单样t检验的应用条件是总体标准 未知的小样本资料( 如n<50),且服从正态分布。(2)配对样本均数t检验 ?配对样本均数t检验简称配对t检验(paired t test),又称非独立两样本均数t检验,适用于配对设计计量资料均数的比较,其比较目的是检验两相关样本均数所代表的未知总体均数是否有差别。 ?配对设计(paired design)是将受试对象按某些重要特征相近的原则配成对子,每对中的两个个体随机地给予两种处理。 ?应用配对设计可以减少实验的误差和控制非处理因素,提高统计处理的效率。 ?配对设计处理分配方式主要有三种情况: ①两个同质受试对象分别接受两种处理,如把同窝、同性别和体重相近的动物配成一对,或把同性别和年龄相近的相同病情病人配成一对; ②同一受试对象或同一标本的两个部分,随机分配接受两种不同处理,如例5.2资料; ③自身对比(self-contrast)。即将同一受试对象处理(实验或治疗)前后的结果进行比较,如对高血压患者治疗前后、运动员体育运动前后的某一生理指标进行比较。 (3)两独立样本t检验 两独立样本t 检验(two independent samples t-test),又称成组t 检验。 ?适用于完全随机设计的两样本均数的比较,其目的是检验两样本所来自总体的均数是否相等。 ?完全随机设计是将受试对象随机地分配到两组中,每组对象分别接受不同的处理,分析比较处理的效应。或分别从不同总体中随机抽样进行研究。 ?两独立样本t检验要求两样本所代表的总体服从正态分布N(μ1,σ12)和N(μ2,σ 2),且两总体方差σ12、σ22相等,即方差齐性(homogeneity of variance, 2 homoscedasticity)。 ?若两总体方差不等,即方差不齐,可采用t’检验,或进行变量变换,或用秩和检验方法处理。 t 检验中的注意事项 1.假设检验结论正确的前提作假设检验用的样本资料,必须能代表相应的总体,同时各

最新sas第九章 t检验和方差分析

s a s第九章t检验和 方差分析

第九章 t 检验和方差分析 在科研中,我们往往是根据样本之间的差异,去推断其总体之间是否有差异。样本差异可能是由抽样误差所致,也可能是由本质的不同所致。应用统计学方法来处理这类问题,称为“差异的显著性检验”。若已知总体为正态分布,进行差异的显著性检验,称为“参数性检验”,SAS 中MEANS 、TTEST 、ANOVA 、GLM 等均属此类检验;若未知总体分布,进行差异的显著性检验,称为“非参数性检验”,SAS 中采用NPAR1WAY 过程。 第一节 t 检验 9.1.1 简介 t 检验是用于两组数据均值间差异的显著性检验。它常用于以下场合: 1.样本均值与总体(理论)均值差别的显著性检验 检验所测得的一组连续资料是否抽样于均值已知的总体 根据大量调查的结果或以往的经验,可得到某事物的平均数(例如生理生化的正常值),以此作总体均值看待。 SAS 中采用MEANS 过程,计算出观察与总体均值的差值,再对该差值的均值进行t 检验。 2.同一批对象实验前后差异的显著性检验(自身对照比较)或配对资料差异的显著性检验(配对比较检验) 比如,在医学研究中,我们常常对同一批病人治疗前后的某些生理生化指标(如血压、体温等)进行测量,以观察疗效;或对同一批人群进行预防接种,以观察预防效果;或把实验对象配成对进行测定,比较其实验结果。 SAS 中采用MEANS 过程,计算出两样本观察的差值(如治疗前、后实验数据的差值),再对该差值的均值进行t 检验。 3.两样本均值差异的显著性检验 作两样本均值差异比较的两组原始资料各自独立,没有成对关系。两组样本所包含的个数可以相等,也可以不相等。每组观测值都是来自正态总体的样本。 设1X 与2X 为两样本的均值,1n 与2n 为两样本数,21s ,22s 为两样本方差,分两种情形,其数学模型为: (1)方差齐(相等)时: ) /1/1(212 21n n s x x t +-= )2/(])1()1[(212 222112-+-+-=n n s n s n s

T检验及其与方差分析的区别

T 检验及其与方差分析的区别 假设检验是通过两组或多组的样本统计量的差别或样本统计量与总体参数的差异来推断他们相应的总体参数是否相同。 t 检验:1.单因素设计的小样本(n <50)计量资料 2.样本来自正态分布总体 3.总体标准差未知 4.两样本均数比较时,要求两样本相应的总体方差相等 ? 根据研究设计t 检验可由三种形式: – 单个样本的t 检验 – 配对样本均数t 检验(非独立两样本均数t 检验) – 两个独立样本均数t 检验 (1)单个样本t 检验 ? 又称单样本均数t 检验(one sample t test),适用于样本均数与已知总体均数μ0的比较, 其比较目的是检验样本均数所代表的总体均数μ是否与已知总体均数μ0有差别。 ? 已知总体均数μ0一般为标准值、理论值或经大量观察得到的较稳定的指标值。 ? 单样t 检验的应用条件是总体标准 未知的小样本资料( 如n <50),且服从正态分布。 (2)配对样本均数t 检验 ? 配对样本均数t 检验简称配对t 检验(paired t test),又称非独立两样本均数t 检验,适用 于配对设计计量资料均数的比较,其比较目的是检验两相关样本均数所代表的未知总体均数是否有差别。 ? 配对设计(paired design)是将受试对象按某些重要特征相近的原则配成对子,每对中 的两个个体随机地给予两种处理。 ? 应用配对设计可以减少实验的误差和控制非处理因素,提高统计处理的效率。 ? 配对设计处理分配方式主要有三种情况: ①两个同质受试对象分别接受两种处理,如把同窝、同性别和体重相近的动物配成一对,或把同性别和年龄相近的相同病情病人配成一对; ②同一受试对象或同一标本的两个部分,随机分配接受两种不同处理,如例5.2资料; ③自身对比(self-contrast)。即将同一受试对象处理(实验或治疗)前后的结果进行比较,如对高血压患者治疗前后、运动员体育运动前后的某一生理指标进行比较。 (3)两独立样本t 检验 两独立样本t 检验(two independent samples t -test),又称成组 t 检验。 ? 适用于完全随机设计的两样本均数的比较,其目的是检验两样本所来自总体的均数 是否相等。 ? 完全随机设计是将受试对象随机地分配到两组中,每组对象分别接受不同的处理, 分析比较处理的效应。或分别从不同总体中随机抽样进行研究。 ? 两独立样本t 检验要求两样本所代表的总体服从正态分布N (μ1,σ12)和N (μ2,σ 22),且两总体方差σ12、σ22相等,即方差齐性(homogeneity of variance, homoscedasticity)。 ? 若两总体方差不等,即方差不齐,可采用t ’检验,或进行变量变换,或用秩和检验方法 处理。 t 检验中的注意事项 1. 假设检验结论正确的前提 作假设检验用的样本资料,必须能代表相应的总体,同时各

t检验、卡方检验、方差分析

一、T检验 t检验有单样本均数t检验,配对t检验和两随机样本均数t检验。 1、单样本均数t检验:是用样本均数代表的未知总体均数和已知总体均数进行比较,来推论此样本代表的总体与已知总体是否同质。 检验条件:正态分布 2、配对t检验:是采用配对设计方法观察以下几种情形: (1)两个同质受试对象分别接受两种不同的处理; (2)同一受试对象接受两种不同的处理; (3)同一受试对象处理前后效应。 检验条件:差数服从正态分布 3、两随机样本均数t检验。 检验条件:正态分布、方差齐性 从两研究总体中随机抽取样本,要对这两个样本进行比较的时候,首先要判断两总体方差是否相同,即方差齐性。若两总体方差相等,则直接用t检验,若不等,可采用t'检验或变量变换或秩和检验等方法。判断两总体方差是否相等,用F检验。

在t检验中,如果假设检验的目的是比较大于小于之类的就用单侧检验,等于、是否相同之类的问题就用双侧检验。 二、卡方检验 是对两个或两个以上样本率(构成比)进行差别比较的统计方法,在临床和医学实验中应用十分广泛,特别是临床科研中许多资料是计数资料,就需要用到卡方检验。资料类型: 1、四格表资料;两个样本率比较 2、配对四格表: 3、行列表资料:多个样本率比较 三、方差分析 1、定义、目的:用方差分析比较多个样本均数,可有效地控制第一类错误。方差分析(analysis of variance,ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出,以F命名其统计量,故方差分析又称F检验。 其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同,检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。我们要学习的主要内容包括:

第一节 方差分析的基本原理与步骤

第一节方差分析的基本原理与步骤 方差分析有很多类型,无论简单与否,其基本原理与步骤是相同的。本节结合单因素试验结果的方差分析介绍其原理与步骤。 一、线性模型与基本假定 假设某单因素试验有k个处理,每个处理有n次重复,共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式如表6-1所示。 表6-1k个处理每个处理有n个观测值的数据模式 处理 观测值合 计 平 均 A1 x11 x12 …x1j …x 1n A2 x21 x22 …x2j …x 2n … … A i x i1 x i2 …x ij …x in … … A k x k1 x k2 …x kj …x kn xk . 合 计 表中表示第i个处理的第j个观测值(i=1,2,…,k;j=1,2,…,n); 表示第i个处理n 个观测值的和; 表示全部观测值的总和; 表示第i 个处理的平均数;表示全部观测值的总平均数;可以分解为 (6-1) 表示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的影响大小,将再进行分解,令

(6-2) (6-3) 则 (6-4) 其中μ表示全试验观测值总体的平均数,是第i个处理的效应(treatmenteffects)表示处理i对试验结果产生的影响。显然有 (6-5) εij是试验误差,相互独立,且服从正态分布N(0,σ2)。 (6-4)式叫做单因素试验的线性模型(linearmodel)亦称数学模型。在这个模型中表示为总平均数μ、处理效应αi、试验误差εij之和。由εij相互独立且服从正态分布N(0,σ2),可知各处理Ai(i=1,2,…,k)所属总体亦应具正态性,即服从正态分布N(μi,σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相等,σ2则必须是相等的。所以,单因素试验的数学模型可归纳为:效应的可加性(additivity)、分布的正态性(normality)、方差的同质性(homogeneity)。这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。 若将表(6-1)中的观测值xij(i=1,2,…,k;j=1,2,…,n)的数据结构(模型)用样本符号来表示,则 (6-6) 与(6-4)式比较可知,、、分别是μ、(μi-μ) =、(xij-)=的估计值。 (6-4)、(6-6)两式告诉我们:每个观测值都包含处理效应(μi-μ或),与误差(或),故kn个观测值的总变异可分解为处理间的变异和处理 内的变异两部分。 二、平方和与自由度的剖分 我们知道,方差与标准差都可以用来度量样本的变异程度。因为方差在统计分析上有许多优点,而且不用开方,所以在方差分析中是用样本方差即均方(meansquares)来度量资料的变异程度的。表6-1中全部观测值的总变异可以

t检验和方差分析的前提条件及应用误区

t检验和方差分析的前提条件及应用误区 用于比较均值的t检验可以分成三类,第一类是针对单组设计定量资料的;第二类是针对配对设计定量资料的;第三类则是针对成组设计定量资料的。后两种设计类型的区别在于事先是否将两组研究对象按照某一个或几个方面的特征相似配成对子。无论哪种类型的t检验,都必须在满足特定的前提条件下应用才是合理的。 若是单组设计,必须给出一个标准值或总体均值,同时,提供一组定量的观测结果,应用t检验的前提条件就是该组资料必须服从正态分布;若是配对设计,每对数据的差值必须服从正态分布;若是成组设计,个体之间相互独立,两组资料均取自正态分布的总体,并满足方差齐性。之所以需要这些前提条件,是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布,而t检验正是以t 分布作为其理论依据的检验方法。 值得注意的是,方差分析与成组设计t检验的前提条件是相同的,即正态性和方差齐性。 t检验是目前医学研究中使用频率最高,医学论文中最常见到的处理定量资料的假设检验方法。t检验得到如此广泛的应用,究其原因,不外乎以下几点:现有的医学期刊多在统计学方面作出了要求,研究结论需要统计学支持;传统的医学统计教学都把t检验作为假设检验的入门方法进行介绍,使之成为广大医学研究人员最熟悉的方法;t检验方法简单,其结果便于解释。简单、熟悉加上外界的要求,促成了t检验的流行。但是,由于某些人对该方法理解得不全面,导致在应用过程中出现不少问题,有些甚至是非常严重的错误,直接影响到结论的可靠性。将这些问题归类,可大致概括为以下两种情况:不考虑t检验的应用前提,对两组的比较一律用t检验;将各种实验设计类型一律视为多个单因素两水平设计,多次用t检验进行均值之间的两两比较。以上两种情况,均不同程度地增加了得出错误结论的风险。而且,在实验因素的个数大于等于2时,无法研究实验因素之间的交互作用的大小。 医学论文中常见的统计方法误用 一、等级资料用卡方检验代替秩和检验

spss-协方差分析-的-基本原理

协方差分析的基本原理 1.协方差分析的提出 无论是单因素方差分析还是多因素方差分析,它们都有一些人为可以控制的控制变量。在实际问题中,有些随机因素是很难人为控制的,但它们又会对结果产生显著影响。如果忽略这些因素的影响,则有可能得到不正确的结论。 例如,研究3种不同的教学方法的教学效果的好坏。检查教学效果是通过学生的考试成绩来反映的,而学生现在考试成绩是受到他们自身知识基础的影响,在考察的时候必须排除这种影响。又比如,考查受教育程度对个人工资是否有显著影响,这时必须考虑工作年限因素。一般情况下,工作年限越长,工资就越高。在研究此问题时必须排除工作年限因素的影响,才能得出正确的结论。再如,如果要了解接受不同处理的小白鼠经过一段时间饲养后体重增加量有无差别,已知体重的增加和小白鼠的进食量有关,接受不同处理的小白鼠其进食量可能不同,这时为了控制进食量对体重增加的影响,可在统计阶段利用协方差分析(Analysis of Covariance),通过统计模型的校正使得各组在“进食量”这个变量的影响上相等,即将进食量作为协变量,然后分析不同处理对小白鼠体重增加量的影响。 为了更加准确地控制变量不同水平对结果的影响,应该尽量排除其它在实验设计阶段难以控制或者是无法严格控制的因素对分析结果的影响。利用协方差分析就可以完成这样的功能。协方差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量,在分析中将其排除,然后再分析控制变量对于观察变量的影响,从而实现对控制变量效果的准确评价。 协方差分析要求协变量应是连续数值型,多个协变量间互相独立,且与控制变量之间没有交互影响。前面单因素方差分析和多因素方差分析中的控制变量都是一些定性变量,而协方差分析中既包含了定性变量(控制变量),又包含了定量变量(协变量)。协方差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进行方差分析,是一种把直线回归或多元线性回归与方差分析结合起来的方法,其中的协变量一般是连续性变量,并假设协变量与因变量间存在线性关系,且这种线性关系在各组一致,即各组协变量与因变量所建立的回归直线基本平行。当有一个协变量时,称为一元协方差分析,当有两个或两个以上的协变量时,称为多元协方差分析。以下将以一元协方差分析为例,讲述协方差分析的基本思想和步骤。 2.协方差分析的计算公式 以单因素协方差分析为例,总的变异平方和表示为: Q Q Q Q ++ 总控制变量协变量随机变量 = 协方差分析仍然采用F检验,其零假设 H为多个控制变量的不同水平下,各总体平均值没有显著差异。 F统计量计算公式为: 2 2 S F S 控制变量 控制变量 随机变量 =, 2 2 S F S 协变量 协变量 随机变量 = 以上F统计量服从F分布。SPSS将自动计算F值,并根据F分布表给出相应的相伴概率值。 如果F 控制变量 的相伴概率小于或等于显著性水平,则控制变量的不同水平对观察变量产生了显著的影响;如果 F 协变量 的相伴概率小于或等于显著性水平,则协变量的不同水平对观察变量产生了显著的影响。 3.协方差分析需要满足的假设条件 (1)自变量是分类变量,协变量是定距变量,因变量是连续变量; (2)对连续变量或定居变量的协变量的测量不能有误差; (3)协变量与因变量之间的关系是线性关系,可以用协变量和因变量的散点图来检验是否违背这一假设;(4)协变量的回归系数是相同的。在分类变量形成的各组中,协变量的回归系数(即各回归线的斜率)必须是相等的,即各组的回归线是平行线。如果违背了这一假设,就有可能犯第一类错误,即错误地接受虚无假设。(5)自变量与协变量是直角关系,即互不相关,它们之间没有交互作用。如果协方差受自变量的影响,那么协

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