千题百炼第29炼 图像变换在三角函数中的应用
图像变换在三角函数中的应用
在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ω?=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。 一、基础知识：
（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：
（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b -：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：
（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的
1
k
（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()f
x ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴
对称的图像
（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称） （二）图像变换中要注意的几点：
1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？
在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换
例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤
()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换
2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”? 平移变换 （2）添“系数”?放缩变换 （3）加“绝对值”?翻折变换
3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 例如：()()21y f x y f x =→=+可有两种方案
方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x →+。再放缩（横坐标变为原来
的1
2
），此时系数2只是添给x ，即()()121f x f x +→+ 方案二：先放缩（横坐标变为原来的1
2
），此时()()2f x f x →，再平移时，若平移a 个单
位，则()()()()2222f x f x a f x a →+=+（只对x 加a ），可解得12a =，故向左平移
1
2
个单位
③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：()()21y f x y f x =→=+有两种方案
方案一：先放缩：()()2y f x y f x =→=，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即()()()
221y f x y f x =→=+
方案二：先平移：()()1y f x y f x =→=+，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a 倍，那么()()()
11y f x y a f x =+→=+，无论a 取何值，也无法达到()21y f x =+，所以需要对前一步进行调整：平移1
2
个单位，再进行放缩即可（2a =） 二、典型例题：
例1：要得到函数sin 23y x π??
=-
??
?
的图像，只需要将函数sin 2y x =的图像（ ）
A. 向左平移
3π个单位 B. 向右平移3π
个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6
π
个单位
思路：观察发现原始函数与变换后的函数仅仅多一个常数，说明只有平移变换，在变换的过程中要注意只有含x 的地方进行了变化，所以只有sin 2sin 263y x x ππ?
?
?
?=-=- ? ??
???
，所以是向右平移6
π
个单位 答案：C
小炼有话说：（1）图像变换要注意区分哪个是原始函数，哪个是变化后的函数。 （2）对于x 前面含有系数时，平移变换要注意系数产生的影响。
例2：把函数sin y x =的图像上所有的点横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向右平移
34
π
个单位，这是对应于这个图像的解析式是（ ） A. cos 2y x = B. cos 2y x =- C. 13sin 24y x π??=-
??? D. 1
3sin 2
8y x π??=-
???
思路：132
4
3sin sin 2sin 24
y x y x y x ππ??
?
=????→=????→=-
??
?
横坐标向右平移
，经过化简可得：33sin 2sin 2cos 242y x x x ππ?
??
?
=-
=-= ?
??
??
?
答案：A
例3：为了得到函数sin 26y x π??
=- ??
?
的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移
3π个单位 B. 向右平移3π
个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6
π
个单位
思路：观察可发现两个函数的三角函数名不同，而图像变换是无法直接改变三角函数名的，只有一个可能，就是在变换后对解析式进行化简，从而使得三角函数名发生改变。所以在考虑变换之前，首先要把两个函数的三角函数名统一，cos 2sin 22y x x π?
?
==+
??
?
，第二步观察可得只是经过平移变换，但是受到x 系数影响。所以考虑对两个函数进行变形以便于观察
平移了多少，目标函数：sin 212y x π??
?
?=- ????
???
；
原函数：sin 2sin 224y x x ππ???
?
??=+=+ ? ????
??
??? 可得平移了3
π
个单位 答案：B
小炼有话说：常见的图像变换是不能直接改变三角函数名，所以当原函数与目标函数三角函数名不同时，首先要先统一为正弦或者余弦 例4：要得到sin y x =的图像只需将sin 23x y π??
=+ ??
?的图像（ ） A. 先向左平移
23π个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的1
2 B. 先向右平移23π个单位，再将图像上各点的横坐标缩短至原来的1
2
C. 先将图像上各点的横坐标缩短至原来的12，再将图像向左平移3
π
个单位
D. 先将图像上各点的横坐标扩大为至原来的2倍，再将图像向右平移
3
π
个单位 思路：本题中共用两个步骤：平移与放缩。步骤顺序的不同将会导致平移的程度不同，所以可以考虑按照选项的提示进行变换，看结果是否与已知相同 A. 121
22sin sin sin sin 23233233x y y x x y x πππππ????
?????
?=+→=+
+=+→=+
? ? ?
??????????
?
?? B. 121sin sin sin sin 232332x y y x x y x πππ??
??
??=+→=-
+=→=
? ?????????
C. 2sin sin sin 2333x y y x y x πππ?????
?
=+→=+→=+
? ? ??????
?
D. 11
sin sin sin sin 234343344x x y y y x x πππππ??????????=+→=+→=-+=+ ? ? ? ? ??????
?????
答案：B
例5：为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）
A.向右平移
4π个单位 B.向左平移4π
个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12
π
个单位
思路：先将两个函数化为相同的结构，再考虑图像变换，从x x y 3cos 3sin +=入手化为
()
sin y A x ω?=+的形式：34y x x x π??
?=+=+? ????
，从而得到需要x y 3sin 2=向左平移12
π
个单位。 答案：D
例6：将函数()sin 2y x ?=+的图像沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶函数的图像，则?的一个可能取值为（ ） A ．4
π
-
B ．0
C ．
4π D ．4
3π 思路：首先先求出平移后的解析式，()8
sin 2sin 28y x y x π
π?????
?
=+????→=+
+ ????
???
向左平移
即sin 24y x π
??
?
=+
+ ??
?
，在由已知可得其中一条对称轴为0x =，所以()24
2
k k Z π
π
?π+=
+∈ ，解得：()24
k k Z π
?π=
+∈，当0k =时，4
π
?=
答案：C
小炼有话说：本题为图像变换与三角函数性质相结合的题目 例7：若将函数()sin y x ω?=+0,2πω??
?
>< ??
?
的图像向右平移
6
π
个单位可得到一个奇函数的图像，向左平移
3
π
个单位可得到一个偶函数的图像，则,ω?可取的一组值是（ ） A. 2,3πω?== B. 2,6π
ω?==-
C. 1,6πω?==
D. 1,26
π
ω?==
思路：本题也可按照例6的处理方式，通过两次平移得出解析式然后列出,ω?的方程组求
解，但从另一方面，由两次平移后得到的对称轴（对称中心）的位置可以推出平移之前的对称位置，从而确定出原函数的对称轴与对称中心：向右平移
6
π
个单位后关于()0,0对称，则原函数关于,06π??
-
???
中心对称；
向左平移3π个单位关于0x =轴对称，则原函数关于3x π=轴对称，从而确定周期4236T πππ??
??=--= ??
?????
，进而1ω=，而()sin y x ?=+向右平移
6
π
个单位得到奇函数，可得6π?=
答案：C
例8：若把函数sin y x ω=图像向左平移3
π
个单位，则与函数cos y x ω=的图像重合，则ω的值可能是（ ） A.
13 B. 12 C. 23 D. 32
思路：首先将两个函数的三角函数名统一：cos sin 2y x x πωω?
?
==+
??
?
，将函数sin y x ω=向左平移
3π得到的解析式为sin sin 33y x x πωπωω?????
?=+=+ ? ????
?????，由于两个函数图像重合，可得sin sin 32x x ωππωω??
?
?+
=+ ? ??
??
?，所以()232x x k k Z ωππωωπ+=++∈，解得：()3
62
k k Z ω=
+∈，故选择D 答案：D
例9．将函数()()sin 22
2f x x π
πθθ??=+-
<< ???的图象向右平移()0??>个单位长度后
得到函数()g x 的图象，若()(),f x g x 的图象都经过点0,2P ??
? ???
，则?的值可以是（ ）
A.
53π B.56π C.2π D.6
π
思路：可以考虑先求出()f x 的解析式，从而减少()g x 中的变量个数。()0sin 2
f θ==
，而
2
2
3
π
π
π
θθ-
<<
?=
，即
()sin 23f x x π?
?=+ ?
?
?，所
以
()()()s i n 2s i n 22
33g x f x x x ππ????
??
?=-=-+=-+ ?
???
??
?，依题意
()0s i 2=3g π??
?=
-+ ??
?，可得：2233k ππ?π-+=+或22233k ππ?π-+=+，k Z ∈解得：k ?π=或6
k π
?π=-+，只有B 符合题意
答案：B
例10：函数()sin()f x A x ω?=+（其中)2
,0π
?<
>A ）的图象如图所示，为了得到
()sin g x x ω=
的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）
A ．向右平移
6
π个单位长度 B ．向右平移12π
个单位长度
C ．向左平移6
π个单位长度 D ．向左平移12π
个单位长度
思路：本题分为两步，先根据图像求解析式，再确定图像
变换。由图像可得：()f x 最小值为1-，所以1A =，再由对称中心与对称轴距离可得周期
74123T ππ??=-= ???，从而2ω=。此时()sin(2)f x x ?=+，由()f x 过7,112π??
- ???
可得：
773sin 1226623k k ππππ??π?π??+=-?+=+?=+ ???
，所以()sin(2)3f x x π=+，
()sin2g x x =，则需()f x 向右平移6π个单位：sin 2sin2663f x x x πππ???
???-=-+= ? ??????
??? 答案：A
三、近年好题精选
1、函数()()
12sin sin f x x x x =-+的图像向左平移3
π
个单位得函数()g x 的图像，则函数()g x 的解析式是（ ） A ．()2sin 22g x x π??
=-
??
? B ．()2cos2g x x = C ．()22cos 23
g x x π??
=+
??
?
D ．()()2sin 2g x x π=+ 2、（2016，陕西八校联考）下图是()sin()f x A x ω?=+，,0,0,02x R A πω???
∈>><<
?
?
?
在区间5,66ππ??
-
???
?上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）
A ．向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B ．向左平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变 C ．向左平移3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变
3、（2015，山东）要得到函数sin 43y x π?
?
=- ??
?
的图像，只需将函数sin4y x =的图像（ ）
A. 向左平移
12π
个单位 B. 向右平移
12π
个单位
C. 向左平移3π个单位
D. 向右平移3
π
个单位
4、（2014，辽宁）将函数3sin 23y x π?
?
=+ ??
?
的图像向右平移
2
π
个单位长度，所得图像对应的函数（ ） A. 在区间7,1212ππ???
???上单调递减 B. 在区间7,1212ππ??
????
上单调递增 C. 在区间,63ππ??-
????上单调递减 D. 在区间,63ππ??
-????
上单调递增 5、（2014，四川）为了得到函数()sin 21y x =+的图像，只需把函数sin2y x =的图像上所有的点（ ）
A. 向左平行移动
12个单位长度 B. 向右平行移动1
2
个单位长度 C. 向左平行移动1个单位长度 D. 向右平行移动1个单位长度
6、为了得到函数3sin 23y x π??
=+ ??
?
的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（ ）
A. 向左平行移动
3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 B. 向左平行移动3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍
C. 向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
D. 向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
7、把函数sin y x =的图像上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图像上所有点
的横坐标缩短到原来的
1
2
（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ） A. sin 23y x π??
=-
??
?
B. sin 26x y π??=+
???
C. sin 23y x π??
=+ ??
?
D. 2sin 23y x π??=+
??
?
习题答案： 1、答案：A
解析：()2
12sin cos cos222sin 26f x x x x x x x π??
=--==--
??
?
()2sin 22sin 22sin 233622g x f x x x x πππππ?????????
?∴=+=-+-=-+=- ? ? ? ??????
???????
2、答案：D
解析：由图像可得()f x 的周期5263T πππ??
=-=
???
，所以2ω=，另一方面由最值可得1A =，即()sin(2)f x x ?=+，由5036f f ππ????== ?
?????可知7112f π??
=- ???
，可解得()732122k k Z ππ?π?
+=+∈，即3π?=。那么()sin 23f x x π?
?=+ ??
?。可知sin ()y x x R =∈按选项D 的方式变换即可得到()f x
3、答案：B 解析：sin 4sin 4312y x x ππ???
?
?
?=-=- ? ????
??
???，故将sin4y x =向右平移12π单位即可
4、答案：B
解析：变换后的图像解析式为：23sin 23sin 2233y x x πππ??
???
?=-+=- ? ????
??
???，考虑其单增区间：()22222
32k x k k Z π
ππππ-+<-
<+∈，解得：71212
k x k ππ
ππ+<<+，B 正确
5、答案：A
解析：()1sin 21sin 22y x x ??
??=+=+ ???????
，故只需将sin2y x =的图像向左平行移动12个单位长度 6、答案：A
解析：可知要经过放缩与平移，若先平移，则要先向左移动3π，再将坐标变为原来的1
2
，A 符合 7、答案：C
解析：1
3
2sin sin sin 233y x y x y x πππ???
?=????→=+?????→=+ ? ????
?向左平移
横坐标缩短
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
三角函数图像变换顺序详解(全面).
《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移：
将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这
三角函数图像的变换
1、函数y=sin(x+π)，x∈R和y=sin(x- 6- O 3 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系？2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象，试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 )，x∈R的简图。 π2 3 )，x∈R 6 )，x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳： 系？ π 34 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 π y=1 5、函数y＝Asin(ωx＋φA>0,ω>0，｜φ｜＜π） 的图象如图，求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业：（A组） 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 （3）y=4sin(x- π （4）y=sin(2x+π 第1页共2页
6 ) ，x ∈R （2） y = 1 sin( 3 x - （1） y = 5 sin( 1 x + 4 ) ，x ∈R 6、把函数 y ＝cos(3x ＋ π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 （3） y = 3sin(2 x － ) ，x ∈R （4） y = 2 cos( x + π ) ，x ∈R 3 ，φ ＝－ 6 B.A ＝1，Ｔ＝ 2 3 ，φ ＝－ 4 D.A ＝1，Ｔ＝ 3 sin(2x + 3 sin(2x + （1） y = 8sin( － ) ，x ∈[0,＋∞） （2） y = 1 7 ) ，x ∈[0,＋∞） 2 的图象的一部分，求这个函数的解析式。 4、(1)y ＝sin(x ＋ π (2)y ＝sin(x － π (3)y ＝sin(x － π 4 )是由 y ＝sin(x ＋ 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin （x - π A.y ＝sin(x ＋ 3π B.y ＝sin( x ＋ π C.y ＝sin(x － π D.y ＝sin(x ＋ π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组)： 7、如图：是函数 y ＝A sin(ω x ＋φ ）＋2 的图象的一部分，它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A ＝3，Ｔ＝ 4π π 4π 3π 3 ，φ ＝－ 4 C.A ＝1，Ｔ＝ 2π 3π 4π π 3 ，φ ＝－ 6 8、如左下图是函数 y ＝A sin （ω x ＋φ ）的图象的一段，它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图，直接 写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出（注意定义域）： x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y ＝sin(x ＋ 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )－ 4 4 ) π 4 )，则原来的函数
三角函数图像及其变换
高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换 一、知识要点： ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 , 0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。 3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ =T 4．图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A
(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→ ?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? ?? ????????????→?<<>倍 到原来的 或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→ ?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图 象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。 二.基础练习 1． 函数1π2sin()23 y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4．函数2 2cos()()363 y x x ππ π=- ≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ??????? 的图象经过点(01)， ，则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ??? 的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． ⑤R x x x f ∈+ =),32sin(3)(π 的图象关于点)0,6 (π - 对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析： 题型1：三角函数图像变换 例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1 cos 2 y x =的图象怎样变换？
三角函数图像变换
三角函数图像及其变换 一、 知识梳理 1、sin y x =与cos y x =的图像与性质 2、sin y x =与sin()y A x ωφ=+ （1） 形如sin()y A x ωφ=+的函数图像的画法 （2） sin y x =与sin()y A x ωφ=+图像的关系 二、 典型例题 1、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π =+，x R ∈ （C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)3 2y x π =+，x R ∈ 2、为得到函数πcos 23y x ? ?=+ ???的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移 5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位
3、函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2??-???? ，的简图是（ ） 4、下面有五个命题： ①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a = Z k k ∈π ,2 |. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36 )32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π π+= ⑤函数.0)2 sin(〕上是减函数，在〔ππ - =x y 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 5、将函数3sin()y x θ=-的图象向右平移3 π 个单位得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4 x π =,则θ的一个可能取值是 A. π125 B. π125- C. π12 11 D. 1112π- 三、高考再现 1、已知函数2 π()sin sin 2 f x x x x ωωω?? =++ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03?????? ，上的取值范围．
三角函数图像的平移、变换练习题
三角函数图像的平移、变换练习题 1、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4 π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π个长度单位 2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5 y x π =- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=- 5y Asin x x R 66ππω???=∈???? 右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个 函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的（ ） (A)向左平移 3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 6 π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4、若将函数()tan 04y x πωω? ?=+> ???的图像向右平移6 π个单位长度后，与函数tan 6y x πω??=+ ?? ?的图像重合，则ω的最小值为（ ） A ．16 B. 14 C. 13 D. 12 5、已知函数()sin()(,0)4f x x x R π ??=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数 ()cos g x x ?=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）
三角函数题型及解法
高中数学常见三角函数题型及解法 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光. 三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. 例1（10全I 卷理2）记cos(80)k -?=,那么tan100?= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k - 解：Θ222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-o o o , ∴tan100tan80?=-o 2sin 801.cos80k k -=-=-o o 。故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2（10全1卷文1）cos300?=(A)32-(B)-12(C)12 (D)32 解：()1cos300cos 36060cos602 ?=?-?=?= 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值 这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值. 例3（10重文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则 23 23 1 1 cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________ 解： 又Θ1232αααπ++=，∴123 1cos 32 ααα++=- 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技 巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的. 例4（10全1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α =-,则tan(2)4πα+=. 解：Θα为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ2 32+k
三角函数图像及性质,图像变换习题
考点测试20 三角函数的图象和性质 一、基础小题 1．已知f(x)＝sin ? ????x ＋π2，g(x)＝cos ? ????x －π2，则f(x)的图象( ) A ．与g(x)的图象相同 B ．与g(x)的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得到g(x)的图象 D ．向右平移π 2 个单位，得到g(x)的图象 解析 因为g(x)＝cos ? ????x －π2＝cos ? ????π2－x ＝sinx ，所以f(x)向右平移π2个单位，可得到g(x)的图象，故选 D. 2．函数y ＝sin 2x ＋sinx －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．??????－54，－1 C ．???? ? ?－54，1 D ．? ?????－1，54 答案 C 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sinx －1，令sinx ＝t ，则有y ＝t2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1可得y ∈???? ??－54，1. 3．函数y ＝2sin ? ?? ??π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．??????－π，－5π6 B ．??????－π3，0 C ．??????－2π 3 ，－π6 D ．??????－π 3 ，－π6 答案 C 解析 因为y ＝2sin ? ????π6－2x ＝－2sin ? ????2x －π6，所以函数y ＝2sin ? ????π6－2x 的单调递增区间就是函 数y ＝sin ? ????2x －π6的单调递减区间．由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ(k∈Z)， 即函数y ＝2sin ? ????π6－2x 的单调递增区间为? ?? π3 ＋kπ， ? ??5π 6＋kπ(k ∈Z)，又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ? ????π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间为???? ??－2π3，－π6. 4．使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4 B ．π2 C ．π D ．3π 2 答案 C 解析 若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0，即sinφ＝0.∴φ＝kπ(k∈Z)，故选C. 5．已知函数f(x)＝sin ? ????x ＋π6，其中x ∈??????－π3，a ，若f(x)的值域是??????－12，1，则a 的取值范围是( ) A ．? ????0，π3 B ．??????π3，π2 C ．??????π2 ，2π3 D ．???? ??π3，π
高中三角函数的平移变换 讲解+习题
三角函数图像平移变换 由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点 的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0) 或向右(?＜0＝平移 ω ?| |个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移 5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3?? 的图象（ D ） A ．向右平移 π 6个单位 B ．向右平移 π 3个单位 C ．向左平移π 3 个单位 D ．向左平移π 6 个单位 3.为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ） (A)向右平移 6π个单位长度 (B)向右平移3π 个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3 π 个单位长度 4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象 上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( C ) A sin(2)3y x π=-，x R ∈ B sin()26x y π =+，x R ∈ C sin(2)3y x π=+，x R ∈ D sin(2)3 2y x π =+ ，x R ∈
三角函数图象变换习题
三角函数图象变换复习 1.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4 π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π个长度单位 2.函数f (x )=2sin x cos x 是（ ） (A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数 （D ）最小正周期为π的偶函数 3.设0ω>,函数sin()23y x πω=+ +的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） （A ）23 （B ） 43 （C ） 32 （D ） 3 4.将函数y=sin(x+π/6) (x 属于R)的图象上所有的点向左平行移动π/4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为( ) (A) y=sin(2x+5π/12) (x 属于R) (B) y=sin(x/2+5π/12) (x 属于R) (C) y=sin(x/2+π/12) (x 属于R) (D) y=sin(x/2+5π/24) (x 属于R) 5.下列函数中，周期为π，且在[ ,]42ππ上为减函数的是（ ） （A ）sin(2)2y x π=+ （B ）cos(2)2y x π=+ （C ）sin()2y x π=+ （D ）cos()2y x π =+ 6.已知函数()sin (0,)2y x πω?ω?=+>< 的部分图象如题（6）图所示，则（ ） A. ω=1 ?= 6π B. ω=1 ?=- 6 π C. ω=2 ?= 6π D. ω=2 ?= -6 π 7.将函数y=sin(x-π/3)的图像上所有的点的横坐标伸长 带原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 π/3个单位，得到的图象对应的解析式为（ ） (A)y=sin(x/2) (B)y=sin(x/2-π/2) (C) y=sin(x/2-π/6) (D)sin(2x-π/6)