2013年高考数学仿真模拟试卷6(理科)

2013 年高考数学模拟试卷六
2013 年高考数学模拟试卷六 数 学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试事间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 注意事项：
参考公式： 如果事件 A ， B 互斥，那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A ， B 相互独立，那么
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?
棱柱的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积， h 表示棱柱 的高 棱锥的体积公式
1 Sh 3 其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱锥的高 V? V? 1 h 1 ? S 3
在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好
k 发生 k 次的概率是 Cn pk ?1 ? k ? n?k
棱台的体积公式
?
1
S S? S 2 2
?
，
其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下底面积，
其中 p 表示在一次试验中事件 A 发生的概率 4 球的体积公式 V ? ? R3 3
h 表示棱台的高球的表面积公式 S ? 4? R 2
其中 R 表示球的半径
选择题部分（共 50 分） 一．选择题（本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每题所给的四个选项中，只有一个是 正确的） 1．【原创】．已知集合 M= ? x | y ?
? ?
3 ? x 2 }, N ? { y | y ? 2 sin(2 x ?
?
4
) ? 1, x ? R} ，
且 M 、N 都是全集 R 的子集， 则右图韦恩图中阴影部分表示 的集合为（ ） B． {y|- 1 ? y ? 3 } D． Φ
N M
A．{x|- 3 ? x ? 3 } C．{x| 3 ? x ? 3 }
R
1题
（命题意图：考查函数定义域、值域、集合运算） 2. 【原创】已知 i 为虚数单位，a 为实数，复数 z ? (a ? 2i)(1 ? i) 在复平面内对应的点 为 M，则“ a ?
1 ”是“点 M 在第四象限”的( 2
) （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（A）充分而不必要条件 （C）充要条件
（命题意图：考查复数运算、复平面的理解、充分、必要条件）
?2 x ? y ? 4 ? 3. 【原创】设 x，y 满足 ? x ? y ? 1 ，则 z＝x＋y： ?x ? 2 y ? 2 ?
A．有最小值 2，最大值 3 C．有最大值 3，无最小值 （命题意图：考查线性规划）
(
)
B．有最小值 2，无最大值 D．既无最小值，也无最大值
1
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4．[原创]某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时，发现号码的 最后一个数字被撕掉了， 于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字， 且用过了的数字不再重 复.则拨号不超过 3 次而拨对甲的手机号码的概率是（ ）. （A）
3 10
（B）
2 10
（C ）
1 10
（D）
1 3
（命题意图：考查古典概型的计算） 5．【改编教材必修 3】如果执行右面的程序框图，输入 正整数 n，m，满足 n≥m，那么输出的 P 等于( )
m A． Cn ?1 m B. An ?1 m C. Cn m D. An
（命题意图：考查排

列数、组合数，算法中的循环结构） 6．[原创] 已知： m, l 是直线， ? , ? 是平面，给出下列 四个命题： ①若 l 垂直于 ? 内的两条直线，则 l ? ? ； ②若 l // ? ，则 l 平行于 ? 内的所有直线； ③若 m ? ? , l ? ? , 且 l ? m, 则 ? ? ? ； ④若 l ? ? , 且 l ? ? , 则 ? ? ? ； ⑤若 m ? ? , l ? ? 且 ? // ? , 则 m // l 。其中正确命题的个 数是( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 （命题意图：考查空间位置关系） 7．[原创] 函数 f ( x) ? x sin x, x ?[ ? 则下列不等式一定成立的是( A． x1 ? x2 ? 0 B． x1 ? x2
2 2
5题
? ?
, ], 若f ( x1 ) ? f ( x2 ) ， 2 2
2 2
) C． x1 ? x 2 D． x1 ? x2
（命题意图：考查函数奇偶性、单调性、三角函数）
2 2 8． 【2010 年福建高考题改编】 已知双曲线 x ? y 2 ? 1(b ? 0) 的左、 右焦点分别是 F1 、F2 ， 2 b
其一条渐近线方程为 y ? x ，点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF ? PF2 ＝( 1 A. －12 B. －2 C. （命题意图：考查双曲线的性质、向量的数量积） 9． 【原创】在等差数列 ?an ? 中，若 0 D. 4
)
a11 ? ?1 ，且它的前 n 项和 Sn 有最小值，那么当 Sn a10
D．21
取得最小正值时， n ? （ ） A．18 B．19 C．20 （命题意图：考查等差数列的概念、性质）
2
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10．【2012 温州市高三第一次适应性测试】如图，直线 l ? 平面 ? ，垂足为 O ，正四面 体 ABCD 的棱长为 4 ， C 在平面 ? 内， B 是直线 l 上的动点，则当 O 到 AD 的距离为最 大时，正四面体在平面 ? 上的射影面积为 A． 4 ? 2 2 C． 4 B． 2 2 ? 2 D． 4 3
B l A D
（
）
（命题意图：考查空间想象力、创新思维）
O C
?
第 II 卷(共 100 分)
二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分） 11． 【由 2012 浙江省高考考试说明样卷改编】已知
（第 10 题）
sin(
?
4
? x) ?
3 ，则 sin 2 x 的值为 5
．
（命题意图：考查同角三角函数关系、两倍角关系、两 角和与差） 12． 【原创】设 a ? (2, 4), b ? (1,1) ，若 b ? (a ? mb ) ， 则实数 m ? ________。
1
3
正视图
2
侧视图
?
?
?
?
?
（命题意图：考查向量的坐标运算） 13. 【原创】 1 3 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积 为 . 俯视图 （命题意图：考查三视图、几何体积） 14． 【2012 年浙江省高考样卷改编】 已知随机变量 X 的分布列如下表所示， 的期望 EX=1.5， X 则 DX 的值等于 。 X P 0 0．1 1 a 2 b 3 0.2
1
（命题意图：考查期望、方差的计算） 15．【原创】 (1 ? x)(1 ?
x )6 展开式中 x3 项系数为
．
(命题意图：考查二项式定理） 16 ． 若 函 数 f ( x) ? l o g t
| x ?1|
在 区 间 (-2 ， -1) 上 恒

有 f ( x) ? 0, ， 则 关 于 t 的 不 等 式
f (8t ? 1) ? f (1) 的解集为____________
(命题意图：考查对数函数、指数函数、不等式)
3
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17．【2011 徐州高三第三次质量检测】
??? ?? ?? ? 如图， 在△ABC 和△AEF 中， 是 EF 的中点， B AB=EF=1， CA=CB=2， A A? A?A ? 若 BE CF ??? ? ??? ? 则 EF 与 BC 的夹角等于__________________。 (命题意图：向量的运算)
?
2，
（第 17 题）
三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (18)． 【根据 2011 年全国高考山东卷改编】 （本题满分 14 分） cos B b 在△ABC 中，a ，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 ＝－ . cos C 2a＋c （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积． （命题意图：考查正弦定理的运用、三角函数的性质）
(19)．【2009 浙江省高考命题解析改编】（本题满分 14 分） 已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ，且 S n , an , （Ⅰ）求数列 {an } 的通项公式；
2 （Ⅱ）若 an ? 2?bn ，设 cn ?
1 成等差数列. 2
bn 求数列 {cn } 的前项和 Tn . an
（命题意图：考查数列的性质和应用） (20)．【2012 浙江省高考样卷 20 改编】（本题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA ? 底面 ABCD, ? DAB 为直角，AB‖CD,AD=CD=24B,E、 F 分别为 PC、CD 的中点. （Ⅰ）试证：CD ? 平面 BEF; （Ⅱ）设 PA＝k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30 ? ,求 k 的取值范围. （命题意图：考查立体几何中的位置关系、空间角的 计算）
（第 20 题）
(21)．【2011 届宁波十校联考改编】（本题满分 15 分） 已知： x ? y ? 1 过椭圆 圆
2 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点， 与椭圆有且仅有两个公 a 2 b2
4
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共点：直线 y ? kx ? m 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切 ，与椭圆 记 ? ? OA ? OB, 且
??? ??? ? ?
x2 y 2 ? ? 1 相交于 A，B 两点 a 2 b2
2 3 ??? . 3 4
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求 k 的取值范围； （Ⅲ）求 ?OAB 的面积 S 的取值范围. （命题意图：考查求曲线的轨迹方程、直线和圆锥曲线的位置关系）
(22)．【2009 年浙江省高卷 22 题改编】（本题满分 15 分） 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2ln x, g ( x) ? xe1? x .(a ? R, e为自然对数的底数) （I）当 a ? 1 , 求f ( x) 的单调区间； 时 （II）若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值； （III）若对任意给定的 x0 ? ? 0, e? , 在? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1,2) ，使得
1 2
f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 求a 的取值范围。
（命题意图：考查函数、导数、不等式的应用及分类讨

论问题。）
5
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2013 年高考模拟试卷 数学（理科）六参考答案及评分标准
一、选择题: 每小题 5 分，共 50 分． (1)C (2)A (3)B (4 )A (6) B (7)B (8)C (9) C 二、二、填空题：每小题 4 分，满分 28 分。 (11). (5) D (10) A
7 . 25
(12).-3
(13).3
(14) 0.85
(15) .16
(16) (0,
1 ) 3
(17)
? 3
三、本大题共 5 小题，满分 72 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． (18)．（本题满分 14 分） （Ⅰ）由正弦定理， 可得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， cos B b 将上式代入已知的 ＝－ ， cos C 2a＋c cos B sin B 得 ＝－ ，…………………………（3 分） cos C 2sin A＋sin C 即 2sin Acos B＋sin Ccos B＋cos Csin B＝0， 即 2sin Acos B＋s in(B＋C)＝0. ? A? B ?C ?? ， 因为 A＋B＋C＝π ，所以 sin(B＋C)＝sin A， 1 故 2sin Acos B＋sin A＝0.因为 sin A≠0，故 cos B＝－ ， 2 2 又因为 B 为三角形的内角，所以 B＝ π . …………………………………… 3
（7
分）
方法二 由余弦定理，得 a2＋c2－b2 a2＋b2－c2 cos B＝ ，cos C＝ . 2ac 2ab cos B b 将上式代入 ＝－ ， cos C 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b 得 × 2 ， 2 2＝－ 2ac a ＋b －c 2a＋c 2 2 2 整理得 a ＋c －b ＝－ac， a2＋c2－b2 －ac 1 所以 cos B＝ ＝ ＝－ ， 2ac 2ac 2 2 因为 B 为三角形内角，所以 B＝ π . 3 2 （Ⅱ）将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝ π 代入余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B 的变形式： 3 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B. ………………（9 分）
6
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1 所以 13＝16－2ac?1－2?，即得 ac＝3， ? ? 1 3 所以 S△ABC＝ acsin B＝ 3.……………………（14 分）. 2 4
(19)．（本题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由题意知 2a n ? S n ?
1 , an ? 0 2 1 1 当 n ? 1 时， 2a1 ? a1 ? ? a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2时， S n ? 2a n ? , S n ?1 ? 2a n ?1 ? 2 2
两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 （ n ? 2 ） 整理得：
an ? 2（n ? 2） a n ?1
………………………………………………4 分
∴数列 ?an ? 是
a n ? a1 ? 2 n ?1
1 为首项，2 为公比的等比数列. 2 1 ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ……………………………………6 分 2
………………………………7 分
2 （Ⅱ） an ? 2 ?bn ? 2 2n?4 ? bn ? 4 ? 2n
cn ?
Tn ?
bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n
8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ? 2 ? 3 ? ... ? ? …… ① 2 2 2 2 n ?1 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ... ? ? …… ② 2 2 2 2n 2 n ?1 1 1 1 1 16 ? 8n ①－②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ... ? n ) ? 2 2 2 2 2 n ?1
……………9 分
1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 ? 4 ?8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4 ? 4(1 ? n ?1 ) ? n ?1 …12 分 2 2 4n ? n 2
? Tn ? 8n 2n
……14 分
（第 20 题

） 1图 7
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(20)．（本题满分 14 分） 解法一： （Ⅰ） 由已知 DF∥AB 且 ? DAB 为直角， ABFD 是矩形， 证： 故 从而 CD ? BF. 又 PA ? 底面 ABCD, 故 PA ? CD，而 CD ? AD， 从面 CD ? 平面 PAD. CD ? PD. ………………………………………………3 分 在△PDC 中，E、F 分别 PC、CD 的中点，故 EF∥PD,从而 CD ? EF, 由此得 CD ? 面 BEF. ………………………………………………6 分
（Ⅱ）连结 AC 交 BF 于 G.易知 G 为 AC 的中点.连接 EG, 则 在△PAC 中易知 EG∥PA.又因 PA ? 底面 ABCD,故 BC ? 底面 ABCD. 在底面 ABCD 中，过 C 作 GH ? BD,垂足为 H,连接 EH. 由线面垂直知 EH ? BD. 从而 ? EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角. ………8 分 设 AB=a,则在△PAC 中，有 BG=
1 1 PA= ka. 2 2 1 1 BD·GH= GB·OF. 2 2 GB ? DF 故 GH= . BD
以下计算 GH， 考察底面的平面图 （如答(19)图２） .连结 GD. 因 S△CBD=
（第 20 题） 2图
在△ABD 中，因为 AB＝a,AD=2A,得 BD= 5 a 而 GB=
1 1 FB= AD-a.DF-AB,从而得 2 2
GH=
GB ? DF a?a 5 = ＝ a. BD 5 5a
1 ka EG 2 5 因此 tanEHG= = ? k. GH 2 5 a 5
由 k＞0 知 ?EHG 是锐角，故要使 ?EHG ＞ 30 ? ，必须
5 3 k ＞tan 30 ? = , 2 3
解之得，k 的取值范围为 k＞
2 15 . ………………………………………………14 分 15
8
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解法二： （Ⅰ）如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为：轴 建立空间直角坐标系，设 AB=a,则易知点 A,B,C,D,F 的坐标分别为 A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a, 2a,0),D(0,2a,0), F(a,2a,0). 从而 DC =(2a,0,0), BF =(0,2a,0),
DC · BF =0,故 DC ? BF
? ? b? 2? ? ? b? 2?
.
设 PA =b,则 P(0,0,b),而 E 为 PC 中点.故 E ? a, a, ? .从而 BE = ? 0, a, ? .
（第 20 题） 3图
DC · BE =0,故 DC ? BE .
由此得 CD ? 面 BEF. （Ⅱ）设 E 在 xOy 平面上的投影为 G，过 G 作 GH ? BD 垂足为 H,知 EH ? BD. 从而 ? EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角. 由 PA＝k·AB 得 P(0,0,ka),E ? a, a,
? ?
ka ? ? ,G(a,a,0). 2?
设 H(x,y,0)，则 GH =(x-a,y-a,0), BD =(-a,2a,0), 由 GH · BD =0 得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ①
又因 BH =(x,a,y,0),且 BH 与 BD 的方向相同，故 2x+y=2a 由①②解得 x= ②
x?a y ＝ ，即 a 2a
3 4 5 1 ? 2 ? a,y= a,从而 GH ＝ ? ? a,? a,0 ? ，｜ GH ｜＝ a. 5 5 5 5 ? 5 ?
Ka 2
EC
tanEHG= =
=
GH
5 a 5
5 k. 2
由 k＞0 知，EHC 是锐角，由 ? EHC＞ 30?, 得 tanEHG＞tan 30?, 即
5 3 k＞ . 2 3
故 k 的取值范围为 k＞
2 15 15
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(21)．（本题满分 15 分） 解：（Ⅰ）由题意知 2c=2,c=1 因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而 b=1. 故 a= 2 所求椭圆方程为
x2 ? y 2 ? 1 ………………………………………………4

分 2
（Ⅱ）因为直线 l:y=kx+m 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切 所以原点 O 到直线 l 的距离
|m| 1? k
2
＝1,即： ? k ? 1 ……………………………6 分 m
2 2
? y ? kx ? m ? 又由 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?2
，（ 1 ? 2k ） x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0
2 2 2
设 A（ x1 , y1 ），B（ x2 , y2 ），则 x1 ? x 2 ?
? 4km 2m 2 ? 2 , x1 x 2 ? ………8 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2
＝ 10 分 （III） | AB | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (1 ? k )[(x1 ? x2 ) ? 4x1 x2 ]
2 2 2 2 2
2 3 1 k 2 ?1 2 2 2 ，由 ? ? ? ，故 ? k ? 1 ，即 k的范围为 [?1,? ] ?[ ,1] ……… 2 3 4 2 2 2 1 ? 2k
＝2?
1 2 6 4 2 ，由 ? k ? 1 ，得： ?| AB |? ………14 分 2 2 2 3 (2k ? 1)
2
S?
1 1 6 2 | AB | d ? | AB | ，所以： ?S? 2 2 4 3
………15 分
(22)．（本小题满分 15 分） 解：（I）当 a ? 1时, f ( x) ? x ? 1 ? 2 ln x, 则f ?( x) ? 1 ? 由 f ?( x) ? 0, 得x ? 2; 由 f ?( x) ? 0, 得0 ? x ? 2. 故 f ( x)的单调减区间为? 0,2?, 单调增区间为?2, ???. （II）因为 f ( x) ? 0在区间(0, ) 上恒成立不可能，
2 , …………1 分 x
…………3 分 …………4 分
1 2
10
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1 2 1 2 ln x 即对 x ? (0, ), a ? 2 ? 恒成立。 2 x ?1 2 ln x 1 , x ? (0, ), 令 l ( x) ? 2 ? x ?1 2
故要使函数 f ( x)在(0, ) 上无零点，只要对任意的 x ? (0, ), f ( x) ? 0 恒成立， …………6 分
1 2
2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 x ? , 则 l ( x) ? ? x ( x ? 1)2 ( x ? 1)2
2 1 ? 2, x ? (0, ), x 2 2 2 ?2(1 ? x) 则m ?( x) ? ? 2 ? ? ? 0, x x x2 再令m( x) ? 2 ln x ?
…………7 分
1 1 故m( x)在(0, )上为减函数, 于是m( x) ? m( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0, 2 2 1 从而,l ( x) ? 0, 于是l ( x)在(0, )上为增函数, 2 1 所以l ( x) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2, 2 2 ln x 故要使a ? 2 ? 恒成立, 只要a ? ? 2 ? 4 ln 2, ?? ? , x ?1
综上，若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 则a的最小值为2 ? 4ln 2. …………9 分 （III） g ?( x) ? e
1? x
1 2
? xe1? x ? (1 ? x)e1? x ,
当x ? (0,1)时, g ?( x) ? 0, 函数g ( x)单调递增; 当x ? ?1, e ?时, g ?( x) ? 0, 函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e ? e1?e ? 0,
所以，函数 g ( x)在? 0, e? 上的值域为? 0,1?. …………11 分
当a ? 2时, 不合题意;
2 (2 ? a) x ? 2 ? ? x x (2 ? a)( x ? x 2 ) 2 ? a , x ? ? 0, e
当a ? 2时, f ?( x) ? 2 ? a ? 当x ?
?
2 时, f ?( x) ? 0. 2?a 由题意得, f ( x)在 ? 0, e ? 上不单调,
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故0 ?
2 2 ? e,即a ? 2 ? 2?a e
①
…………12 分
此时，当 x变化时, f ?( x), f

( x) 的变化情况如下：
(0,
2 ) 2?a
—
2 2?a
0 最小值 ② ③
? 2 ? , e? ? ?2?a ?
+
f ?( x)
f ( x)
又因为,当x ? 0时, f ( x) ? ??, f(
2 2 ) ? a ? 2ln , f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2, 2?a 2?a 所以,对任意给定的x0 ? ? 0, e? , 在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2), 使得f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 当且仅当a满足下列条件 :
2 2 ? ? ) ? 0, ?a ? 2ln ? 0, ?f( 即? 2?a ? 2?a ? f (e) ? 1, ?(2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? 1. ? ?
2 2 , a ? ( ??, 2 ? ), 2?a e 2 a 则h ?(a ) ? 1 ? 2[ln 2 ? ln(2 ? a)]? ? 1 ? ? , 令h ?( a) ? 0, 2?a a?2 得a ? 0或a ? 2, 令h(a ) ? a ? 2 ln 故当a ? (??, 0)时, h ?(a ) ? 0, 函数h(a )单调递增; 2 当a ? (0, 2 ? )时, h ?( a ) ? 0, 函数h( a)单调递减. e 2 所以, 对任意a ? (??, 2 ? ), 有h( a) ? h(0) ? 0, e 2 即②对任意 a ? (??, 2 ? ) 恒成立。 e 3 . 由③式解得： a ? 2 ? ④ e ?1
综合①④可知，当 a ? ? ??, 2 ?
…………13 分 …………14 分
? ?
3 ? ? 时, 对任意给定的x0 ? ? 0, e? , e ? 1?
12
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在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1,2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立。…………15 分
13