2014高考数学专题——椭圆的定义及几何性质

高三数学一轮复习专讲专练——椭圆

一、要点精讲

1、设P 是椭圆x 24＋y 2

9＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于 ( )

A ．4

B ．8

C ．6

D ．18

2、方程x 25－m ＋y 2

m ＋3

＝1表示椭圆，则m 的范围是

( )

A ．(－3,5)

B ．(－5,3)

C ．(－3,1)∪(1,5)

D ．(－5,1)∪(1,3)

解：由方程表示椭圆知????

?

5－m ＞0，m ＋3＞0，

5－m ≠m ＋3，

解得－3＜m ＜5且m ≠1.

3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为4

5，则k 的值为

( ) A ．－21

B ．21

C ．－19

25

或21

D.

19

25

或21 解：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－19

25；

若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 由c a ＝4

5，即k －54＋k ＝45

，解得k ＝21.

4．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为1

2，焦距为8.则该椭圆的方程是________．

解：∵2c ＝8，∴c ＝4，∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8. 又∵b 2＝a 2－c 2

＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.

5．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．

解：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π

2，

设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，所以离心率e ＝2c 2a ＝3

3.

三、典例精析

考点一：椭圆的定义与标准方程

1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2. 直线x ±y ＝0与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶

点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ( ) A. x 28＋y 2

2

＝1

B. x 212＋y 26＝1

C. x 216＋y 2

4

＝1 D. x 220＋y 2

5

＝1 解：∵椭圆的离心率为32， ∴c a ＝a 2－b 2a ＝3

2

，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.

∵曲线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为??

?

?

255b ，255b ，

∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×25

5b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20.

故椭圆C 的方程为x 220＋y 2

5

＝1.

2．椭圆x 24＋y 2

＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|=

A. 72

B.

3

2

C. 3

D ．4

解：因为a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.

不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则(－3)2

4＋m 2＝1，解得m

＝12，所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22－12＝72

.

3、(2011江西)若椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的焦点在x 轴上，过点????1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

解：由题意知一个切点为(1,0)，故切线长为12，以????1，12为圆心，12为半径的圆的方程为(x －1)2＋????y －122＝1

4， 即x 2＋y 2－2x －y ＋1＝0，与x 2＋y 2＝1相减得AB 的方程为2x ＋y －2＝0.令y ＝0得右焦点为(1,0)，令x ＝0 得上顶点为(0,2)．∴a 2

＝b 2

＋c 2

＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 2

4

＝1.

4．（2013新课标）已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于

两点.若的中点坐标为,则的方程为

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

说明：1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题．

2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为：(1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程． 3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2

n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，

B ＞0，且A ≠B )．

5．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2

＋y 2

b

2＝1(0＜b ＜1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且

|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝________.

解：由题意知|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，由椭圆的定义，|AF 1|＋|AF 2|＝2， |BF 1|＋|BF 2|＝2，

所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4 ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝3|AB |， 所以|AB |＝4

3

.

6．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 2

16＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|

的最大值为________．

解：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，

∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15， 当P ，M ，F 2三点共线时取等号． 考点二：椭圆的几何性质

7、（2012新课标)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a

2上一点，△F 2PF 1

是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.4

5

解：根据题意知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，直线PF 2的倾斜角是60°，所以32a －c ＝c ?e ＝34

，所以选C.

22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>(3,0)F F ,A B AB (1,1)-E 22

14536x y +=22

13627x y +=22

12718x y +=22

1189

x y +=

8、 (2012江西)椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，

|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( ) A. 14 B. 55 C. 12

D. 5－2

解: 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，故e ＝55

.

9．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2

＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16

解：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 2

4＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM

的周长为4a ＝4×2＝8.

10．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2

解：设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，

∴S ＝1

2×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22

. ∴a 2≥2.∴a ≥ 2. ∴长轴长2a ≥22，故选D.

11．设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，右焦点F (c,0)，方程ax 2＋bx －

c ＝0的两个实数根分别为x 1，

x 2，则点P (x 1，x 2) ( ) A ．必在圆x 2＋y 2＝1外 B ．必在圆x 2＋y 2＝1上

C ．必在圆x 2＋y 2＝1内

D ．与x 2＋y 2＝1的位置关系与e 有关 解：由于

x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2＝b 2a

2－2·－c a

＝b 2＋2ac a

2＝a 2－c 2＋2ac a

2＝1＋c 2a －c a

2

， ∵c ＞0,2a －c ＞0，故上式大于1，即x 21＋x 22＞1. ∴P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2

＝1外．

12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上

的射影恰好为右焦点F ，若13＜k ＜1

2，则椭圆离心率的取值范围是( )

A. ????14，94

B. ????23，1

C. ????12，23

D. ????0，1

2 解：点B 的横坐标是c ，故B 的坐标为????c ，±b 2

a ，已知k ∈????13，12，∴B ???

?c ，b

2

a . 斜率k ＝

b 2

a c ＋a ＝

b 2a

c ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1. 由13＜k ＜12，解得12＜e ＜2

3.

13．(2012四川)椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB

的面积是__________．

解：如图，当直线过右焦点时周长最大(不过焦点时，可用斜边大于直角边排除)，F (－1,0)， 则由?????

x ＝1，x 24＋y 23

＝1，得y ＝±32， ∴S ＝32×2＝3.

14．（2013大纲版）椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取 值范围是,那么直线斜率的取值范围是

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

15．（2013辽宁）已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点,

连接,若,则的离心率______. 16．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.

(1) 求椭圆离心率的范围； (2) 求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关． 解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a .

在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn

＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·

???

?m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)． ∴c 2a 2≥14，即e ≥1

2

. 又0

17．(2012安徽)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直

线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.

(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝1

2

.

(2)：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ????85

c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·????85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2

＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.

22

:143

x y C +=12,A A P C 2PA []2,1--1PA 1324??

????

，3384??

????

，112??

????

，314??

????

，22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>,F C ,A B ,AF BF 410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=

C e =5

7

18．(2012安徽)如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，经过F 1作x

轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2

c 于点Q .

(1) 如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程； (2) 证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点． 解：(1)点P (－c ，y 1)(y 1＞0)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得：y 1＝b 2

a

，

PF 2⊥QF 2?b 2

a －0－c －c ×4－04－c ＝－1 ① 又a 2

c ＝4 ②

c 2＝a 2－b 2(a ，b ，c ＞0) ③

由①②③得：a ＝2，c ＝1，b ＝3， 即椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)直线PQ 的方程为y －2a b 2a －2a ＝x －

a 2c －c －a 2c ，即y ＝c a

x ＋a . 将上式代入椭圆方程得，x 2＋2cx ＋c 2

＝0， 解得x ＝－c ，y ＝b 2

a . 所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．

19．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为3

5

.

(1)求C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4

5的直线被C 所截线段的中点坐标．

解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16

b

2＝1，∴b ＝4.

又由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925， 即1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴C 的方程为x 225＋y 2

16

＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4

5(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得 x 225＋x －3

2

25＝1，即x 2－3x －8＝0，

解得x 1＝3－412，x 2＝3＋41

2

.

设线段AB 的中点坐标为(x ′，y ′)，则x ′＝x 1＋x 22＝3

2，

y ′＝

y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－6

5

，即中点坐标为????32，－65. 说明：1．求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝c

a 或e ＝

1－???

?b a 2

去整体求解．

2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．

20．（2010辽宁）设椭圆C ：的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两

点，直线l 的倾斜角为60o

,.

(1)求椭圆C 的离心率； (2) 如果|AB |＝

15

4

，求椭圆C 的方程． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0.

(1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.

联立?????

y ＝3x －c ，x 2a 2＋y 2b

2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2c －2a 3a 2＋b 2.

因为AF →

＝2FB →

，所以－y 1＝2y 2. 3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 2c －2a 3a 2＋b 2

. ∴得离心率e ＝c a ＝2

3. (2)因为|AB |＝

1＋13|y 2－y 1|， 所以23·43ab 23a 2＋b

2＝15

4.

由c a ＝23，得b ＝53a ，所以a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 2

5＝1. 21．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为1

2

.

(1)求椭圆C 的方程； (2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．

解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为1

2

，

所以a ＝2c ＝2，b 2

＝a 2

－c 2

＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0. 当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)． 由?????

y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)，

则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2. 所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2， y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ????x －4k 23＋4k 2.

在上述方程中，令x ＝0，得 y 0＝k 3＋4k 2＝1

3

k ＋4k . 当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43； 当k ＞0时，3

k ＋4k ≥4 3.

所以－

312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是???

?－312，312. 22

221(0)x y a b a b +=>>2AF FB =