2010-2013北约自主招生数学笔试试题及解答

2010年“北约”自主招生数学试题

1．（仅文科做）02

απ

<<

，求证：sin tan ααα<<．

2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB ．（25分）

3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）

4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ

在0t 时取得最小值，问当01

05

t <<时，夹角的取值范围．（25分）

5．（仅理科做）存不存在02

x π

<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）

2010年“北约”自主招生数学解析

1．（仅文科做）02

απ

<<

，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02

x π

<<

时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02

x π

<<

上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->． (0)0g =，当02x π<<

时，2

1()10cos g x x '=->．于是()g x 在02

x π

<<上单调增。 ∴在02

x π

<<

上有()(0)0g x g >=。即tan x x >。 注记：也可用三角函数线的方法求解．

2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB

．（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面

直角坐标系．

⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；

⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．

不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．

且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是

22max AB R P R Q ==

由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．

下面研究正五边形对角线的长．

如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5

EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =．

由角平分线定理知1

11EF EH x FG

x HG

=

==-

．解得x =．

3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线

BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ， 且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>． 由于2y x '=-，

于是AC 的方程为2222x x y y =--；①

BD 的方程为1122x x y y =--． ②

联立,AC BD 的方程，解得1

2

1221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得2

2

2(,0)2y C x -；

对于②，令0y =，得1

1

2(,0)2y D x -． 于是22

12121212

22112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121

(1)2

ECD S CD x x ?=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则

2222111111

()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b ?++=++=+++++

1111

()(2)(2)44a b ab ab ab ab =+++?++≥ ③

0s >，则有

331111111

(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s

?=++=++++++

6个 9个

I H G

F

E 11

1

1x x-1

124

3

691616111116)]8()2393s s s ??[?(?()=?≥3218)3=?(= ④

又由当12x a x b s ===-==

∴min ()ECD S ?

注记：不妨设311

()(2)2g s s s s

=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．

由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当21

3

s <时()0g s '>．

则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值．

4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ

在0t 时取得最小值，问当01

05

t <<时，夹角的取值范围．（25分）

【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令

2

22()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-?-?2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+．

其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1

154cos 3

αα+-+≤≤．

当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<

． 当12cos 1054cos α

α

+-<+≤

时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．

于是夹角的范围为2[,]23

ππ

．

5．（仅理科做）存不存在02

x π

<<

，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )

cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x

-+-=-=，

则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x

x x

+=．

若cos sin 0x x -=，有4

x π

=1,1不成等差数列；

若cos sin 1sin cos x x x x

+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =．

而11

sin cos sin 2(0,]22

x x x =∈，矛盾！

2011北约自主招生数学试题

?1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。

?2求过抛物线错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。交点的直线方程。

?3、等差数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，这个数列的前n项和为错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。中哪一项最小，并求出这个最小值。

?4、?ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为?ABC的内角，求证：C≤错误！未找到引用源。。

? 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？

?6、错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和错误！未找到引用源。都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？

说明理由。

?7、求f(x)=错误！未找到引用源。的最小值。

2011北约自主招生数学试题解析

?1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。

解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+错误！未找到引用源。=2(9+25)，错误！未找到引用源。=32，∴x=4错误！未找到引用源。。

?2求过抛物线错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。交点的直线方程。

解：错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，7y=错误！未找到引用源。6x+1，∴6x+7y 错误！未找到引用源。1=0为所求。

?3、等差数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，这个数列的前n项和为错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。中哪一项最小，并求出这个最小值。

解：d=错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。，当n=错误！未找到引用源。，即n=6时错误！未找到引用源。最小，最小为错误！未找到引用源。。

?4、?ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为?ABC的内角，求证：C≤错误！未找到引用源。。

解：ab≤错误！未找到引用源。，cosC=错误！未找到引用源。≥错误！未找到引用源。，

所以C≤错误！未找到引用源。。

? 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？

解：设存在四个正实数分别为a

或解：∵abcd=32，而错误！未找到引用源。，不满足，故不存在。

?6、错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和错误！未找到引用源。都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。

解：设两定圆⊙错误！未找到引用源。的半径分别为错误！未找到引用源。，动圆C的半径为R。

⑴当错误！未找到引用源。

①错误！未找到引用源。相交时

a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段错误！未找到引用源。的垂直平分线去掉两圆的公共弦；

b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段错误！未找到引用源。的垂直平分线；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。R，|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。+R，|错误！未找到引用源。|+|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。，

轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的椭圆。

②错误！未找到引用源。时

a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段错误！未找到引用源。的垂直平分线去掉两圆的切点；

b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段错误！未找到引用源。的垂直平分线；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是直线错误！未找到引用源。，去掉错误！未找到引用源。和两圆的切点。

③错误！未找到引用源。相离时

a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段错误！未找到引用源。的垂直平分线；

b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段错误！未找到引用源。的垂直平分线；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=|错误！未找到引用源。|+错误！未找到引用源。，||错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。||=错误！未找到引用源。，

轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的双曲线。

⑵当错误！未找到引用源。，不妨设错误！未找到引用源。

①错误！未找到引用源。相交时

a).⊙C与它两都外切，|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。，轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的双曲线中(对应焦点错误！未找到引用源。)的一支，去掉两圆公共区域的部分；

b).⊙C与它两都内切，|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。，或错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的双曲线中(对应焦点错误！未找到引用源。)的一支；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|，轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的椭圆。

②错误！未找到引用源。时

a).⊙C与它两都外切，|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。，轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的双曲线中(对应焦点错误！未找到引用源。)的一支，去掉两圆的切点；

b).⊙C与它两都内切|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。，轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的双曲线中(对应焦点错误！未找到引用源。)的一支；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|，轨迹是直线错误！未找到引用源。，去掉错误！未找到引用源。和两圆切点。

③错误！未找到引用源。相离时

a).⊙C与它两都外切，|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=|错误！未找到引用

源。|错误！未找到引用源。，轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的双曲线中(对应焦点错误！未找到引用源。)的一支；

b).⊙C与它两都内切，|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。，轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的双曲线中(对应焦点错误！未找到引用源。)的一支；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|，轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的双曲线。

④错误！未找到引用源。内切时

a).⊙C与它两都外切，轨迹是射线错误！未找到引用源。在两圆切点以外部分；

b).⊙C与它两都内切，轨迹是以两圆切点为端点，方向是错误！未找到引用源。，去掉错误！未找到引用源。和两圆切点的射线。

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的椭圆，去掉两圆的切点。

⑤错误！未找到引用源。内含时

a).⊙C与它两都内切，轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的椭圆；

b).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以错误！未找到引用源。为焦点的椭圆。

?7、求f(x)=错误！未找到引用源。的最小值。

解：f(x)=|错误！未找到引用源。|+|错误！未找到引用源。|+|错误！未找到引用源。|+|错误！未找到引用源。|+|错误！未找到引用源。|+|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|+|错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|，一共有1+2+3错误！未找到引用源。2011=1006×2011个绝对值，则是偶数个，故中间第

503×2011个和第503×2011+1个之间取得最小值；设第503×2011个绝对值是|错误！未找到引用源。|，∴1+2+3错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。n(n+1)≤1006×2011=2023066，∵错误！未找到引用源。，∵1422×1423=2023506，∴取n=1421。∴第503×2011个和第503×2011+1个绝对值是

|错误！未找到引用源。|，∴错误！未找到引用源。|错误！未找到引用源。|+|错误！未找到引用源。|+|错误！未找到引用源。|+错误！未找到引用源。+|错误！未找到引用源。|

=错误！未找到引用源。(|错误！未找到引用源。|+|2错误！未找到引用源。1422|+|3错误！未找到引用源。1422|+?+|2011错误！未找到引用源。1422|)=错误！未找到引用源。(1421+1420+1419+?

+1+0+1+2+3+?+589)=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。(1010331+173755)=错误！未找到引用源。。

2012年“北约”自主招生数学试题

2012年“北约”自主招生数学试题解析

2013年北约自主招生数学试题

1．以2和321-为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

2．在66?的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法？

3．已知522

+=y x ，522

+=x y ，求3

2

2

3

2y y x x +-的值．

4．如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，DM 、DN 分别为∠ADB 、∠ADC 的角平分线，试比较BM ＋CN 与MN 的大小关系，并说明理由．

5．设数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S ，求2013a ．

6．模长为１的复数z y x ,,满足0≠++z y x ，求z

y x zx

yz xy ++++．

7．最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．

8．已知i a ，2013,,3,2,1 =i 为2013个实数，满足02013321=++++a a a a ，且

212a a -322a a -==…120132a a -=，求证02013321=====a a a a ．

9．对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326

---的值．

10．已知有mn 个实数，排列成n m ?阶数阵，记作{}

n

m ij

a ?使得数阵的每一行从左到右都

是递增的，即对任意的m i ,,3,2,1 =，当21j j <时，有21ij ij a a <；现将{}

n m ij

a ?的每一列

原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的n m ?阶数阵，记作{}

n

m ij

a ?'

，即

对任意的n j ,,3,2,1 =，当21i i <时，有j i j i a a 21''<，试判断{}

n

m ij a ?'中每一行的各数的

大小关系，并加以证明．

2013年北约自主招生数学试题解析

1． 解析 显然)2)1)((2(32+--x x 为满足要求的多项式，其次数为5．

若存在n 次有理系数多项式)(x f 以

2和321-为两根，则)(x f 必含有因式

)2)1)((2(32+--x x ，∴5≥n ，即最小次数为5．故选C ．

2．解析 先排3个红色車，从6行中任取3行，有203

6=C 种取法；在选定的3行中第一

行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法．故停放方法共14400645620=????种．故选D ．

3．解析 ∵32232y y x x +-)52()52)(52(2)52(++++-+=x y x y y x

50)(154-+--=y x xy ，

又由522+=y x ，522+=x y ，有)(22

2y x y x --=- ∴y x =或2-=+y x ．

当y x =时，有522

+=x x ，61±=x ，

50)(154-+--y x xy 503042---=x x 7038--=x 7038--=x 638108±-=；

当2-=+y x 时，5)2(22

++-=x x ，1)2(=+x x

50)(154-+--y x xy 20

)2(4----=x x 80)2(4-+=x x 16-=．

4．如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，DM 、DN 分别为∠ADB 、∠ADC 的角平分线，试比较

Ｃ Ｎ

BM ＋CN 与MN 的大小关系，并说明理由．

解析 延长ND 至E ，使ND ＝ED ，连结BE 、ME ， 则△BED ≌△CND ，△MED ≌△MND ，ME ＝MN ， 由BM ＋BE ＞EM ，得BM ＋CN ＞MN ．

5．解析 ∵11=a ，24121+=+a a a ，∴52=a ；

由 241+=+n n a S ，有2≥n 时，241+=-n n a S ，于是1144-+-=n n n a a a ， 特征方程442

-=x x 有重根2，可设n n c c a 2)(21?+=， 将11=a ，52=a 代入上式，得4

11-=c ，432=c ，

于是22)13(2)4

1

43(-?-=?-=n n n n n a ，∴2011201326038?=a ．

6．解析 取1===z y x ，便能得到

z

y x zx

yz xy ++++＝1．

下面给出证明，1===z z y y x x ，

于是2

z y x zx yz xy ++++???

? ??++++++++=z y x zx yz xy z y x zx yz xy z y x zx

yz xy z y x zx yz xy ++++?++++= 1111111=++++++++++++++++=

x

y x z x z x y z y z x x y x z x z x y z y z x ． ∴

z y x zx

yz xy ++++＝1．

7．解析 设满足条件的正整数为n 个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2． 则这n 个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故4≤n ．

当4=n 时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个．

8．解析 设212a a -322a a -==…120132a a -=k =，

若0=k ，则212a a =，322a a =，…，201320122a a =，120132a a =， 于是022

22120111

21112013321=+++++

=++++a a a a a a a a a ， ∴01=a ，进而02013321=====a a a a ．

若0>k ，则212a a -，322a a -，…，120132a a - 这2013个数去掉绝对值号后只能取k 和k -两值，

又212a a -+-+322a a …201320122a a -+0212013=-+a a ， 即这2013个数去掉绝对值号后取k 和k -两值的个数相同，这不可能．

9．解析 42c o s 122cos 122cos 4)2

2cos 1(

32cos 32233

6

+++=+=θθθθθ， θθθ2c o s 32c o s 46c o s

3

+-=-， 62c o s 124cos 62

+-=-θθ，

θθ2c o s

152cos 15-=-， 各式相加，得102cos 154cos 66cos cos 326

=---θθθθ．

10．解析 数阵{}

n

m ij

a ?'中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．

若在第p 行存在)1(''+>q p pq a a ，令)1()1('

++=q i q k k a a ，其中m k ,,3,2,1 =，

{}{}m i i i i m ,,3,2,1,,,,321 =，则当p t ≤

时，)1(+≤q i q i t t a a )1('+=q t a <≤+)1('q p a pq a '

即在第q 列中至少有p 个数小于pq a '，也就是pq a '在数阵{}

n

m ij a ?'

中的第q 列中至少排

在第1+p 行，这与pq a '排在第p 行矛盾．所以数阵{}

n

m ij

a ?'

中的中每一行的各数仍是递增

的．