2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题1(集合与常用逻辑用语)

阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．(文)(2014·甘肃临夏中学、金昌市二中期中)设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x(x－2)<0}，则A∩B 等于()

A．{x|x>2}B．{x|0

C．{x|1

[答案] C

[解析]∵B＝{x|x(x－2)<0}＝{x|0

∴A∩B＝{x|1

(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－x＝0}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则M∩N为()

A．{0} B．{1}

C．{0,1} D．?

[答案] B

[解析]∵M＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}中的元素是奇数，∴M∩N＝{1}，选B.

2．(2014·威海期中)已知集合A＝{－1,1}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合B等于() A．{－2,2} B．{－2,0,2}

C．{－2,0} D．{0}

[答案] B

[解析]∵x∈A，y∈A，A＝{－1,1}，m＝x＋y，∴m的取值为－2,0,2，即B＝{－2,0,2}，故选B.

3．(2014·山西曲沃中学期中)集合A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}，B＝{x|x<0}，则A∪B＝()

A．(－∞，0] B．(－∞，1]

C．[1,2] D．[1，＋∞)

[答案] B

[解析]∵A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|x<0}，∴A∪B＝{x|x≤1}，故选B.

4．(文)(2014·山东省德州市期中)若U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3,6}，则?U(M∪N)＝()

A．{1,2,3} B．{5}

C．{1,3,4} D．{2}

[答案] B

[解析] ∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ∪N ＝{1,2,3,4,6}， ∴?U (M ∩N )＝{5}．

(理)(2014·文登市期中)已知集合A ＝{x |log 4x <1}，B ＝{x |x ≥2}，则A ∩(?R B )＝( ) A ．(－∞，2) B ．(0,2) C ．(－∞，2] D ．[2,4)

[答案] B

[解析] ∵A ＝{x |log 4x <1}＝{x |0

5．(文)(2014·福州市八县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．?x ∈R ，|x |>0 B ．?x 0∈R ，|x 0|>0 C ．?x ∈R ，|x |≤0 D ．?x 0∈R ，|x 0|≤0

[答案] C

[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.

(理)(2014·甘肃临夏中学期中)命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0成立”的否定是( ) A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m ≤0 D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m >0 [答案] D

[解析] 特称命题的否定是全称命题．

6．(文)(2014·河北冀州中学期中)下列命题中的真命题是( ) A ．?x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32

B ．?x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1

C ．?x ∈(－∞，0)，2x <3x

D ．?x ∈(0，π)，sin x >cos x [答案] B

[解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，32>2，∴不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝3

2成

立，故A 错；令f (x )＝e x －x －1(x ≥0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝0，∴x >0时，f (x )>0恒成立，即e x >x ＋1对?x ∈(0，＋∞)都成立，故B 正确；在同一坐标系内作出y ＝2x 与y ＝3x 的图象知，C 错误；当x ＝π4时，sin x ＝2

2＝cos x ，∴D 错误，故

选B.

(理)(2014·山东省德州市期中)下面命题中，假命题是( ) A ．?x ∈R,3x >0

B ．?α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β

C ．?m ∈R ，使f (x )＝mxm 2＋2m 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增

D ．命题“?x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“?x ∈R ，x 2＋1>3x ” [答案] D

[解析] 由指数函数性质知，对任意x ∈R ，都有3x >0，故A 真；当α＝π

3，β＝2π时，sin(α＋β)

＝sin α＋sin β成立；故B 真；要使f (x )＝mxm 2＋2m 为幂函数，应有m ＝1，∴f (x )＝x 3，显然此函数在(0，＋∞)上单调递增，故C 真；D 为假命题，“>”的否定应为“≤”．

7．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)a 、b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[答案] B

[解析] ∵f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2a ·b ＋x (|b |2－|a |2)－a ·b ，当f (x )为一次函数时，a ·b ＝0且|b |2－|a |2≠0，∴a ⊥b ，当a ⊥b 时，f (x )未必是一次函数，因为此时可能有|a |＝|b |，故选B.

(理)(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 [答案] C

[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ?(a －m b )·a ＝0?|a |2－m a ·b ＝0?m ＝1，故选C.

8．(2014·江西都昌一中月考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,4}，集合B ＝{2,4,5}，则右图中的阴影部分表示( )

A ．{2,4}

B ．{1,3}

C ．{5}

D ．{2,3,4,5} [答案] C

[解析] 阴影部分在集合B 中，不在集合A 中，故阴影部分为B ∩(?U A )＝{2,4,5}∩{1,5,6}＝{5}，

故选C.

9．(2014·华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中六校联考)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )

A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n

B ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ

C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β

D ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β [答案] D

[解析] m ∥α，n ∥α时，m 与n 可平行，也可相交或异面，故A 错误；由正方体相邻三个面可知，α⊥β，α⊥γ时，β与γ可能相交，故B 错；当α∩β＝l ，m ?α，m ?β，m ∥l 时，m ∥α，m ∥β，故C 错，故选D.

10．(2014甘肃临夏中学期中)已知函数f (x )＝x ＋b cos x ，其中b 为常数．那么“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

[答案] C

[解析] 当b ＝0时，f (x )＝x 为奇函数，故满足充分性；当f (x )为奇函数时，f (－x )＝－f (x )，∴－x ＋b cos x ＝－x －b cos x ，从而2b cos x ＝0，∵此式对任意x ∈R 都成立，∴b ＝0，故满足必要性，选C.

11．(2014·海南省文昌市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．?m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x

m 2

－4m ＋3

是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减

B ．?a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点

C ．?α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β

D ．?φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D

[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －

1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；

∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－1

4，＋∞)，∴对?a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B

真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π

2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x

为偶函数，故D 为假命题．

12．(2014·黄冈中学检测)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是( )

A ．M ＝{(x ，y )|y ＝1x }

B ．M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }

C ．M ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x ＋2}

D ．M ＝{(x ，y )|y ＝log 2(x －1)} [答案] B

[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0知OA ⊥OB ，由理想集合的定义知，对函数y ＝f (x )图象上任一点A ，在图象上存在点B ，使OA ⊥OB ，对于函数y ＝1

x ，图象上点A (1,1)，图象上

不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝x 2－2x ＋2图象上的点A (1,1)，在其图象上也不存在点B ，使OA ⊥OB ；对于函数y ＝log 2(x －1)图象上的点A (2,0)，在其图象上不存在点B ，使OA ⊥OB ；而对于函数y ＝cos x ，无论在其图象上何处取点A ，总能在其位于区间[－π2，π

2]的图象上找到点B ，使OA ⊥

OB ，故选B.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“?x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．

[答案] (－∞，－2)

[解析] 由条件知?????

－m 2>0，m 2－4>0，

∴m <－2.

(理)(2014·福州市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________．

[答案] m ≤－2或－1

[解析] p ：m ≤－1，q ：－2

14．(文)(2014·安徽程集中学期中)以下四个命题：①在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B ，则B ＝π

4；②设a ，b 是两个非零向量且|a ·b |＝|a ||b |，则存在实数λ，使得

b ＝λa ；③方程sin x －x ＝0在实数范围内的解有且仅有一个；④a ，b ∈R 且a 3－3b >b 3－3a ，则a >b ；其中正确的是________．

[答案] ①②③④

[解析] ∵b sin A ＝a cos B ，∴sin B sin A ＝sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴sin B ＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π

4

，故①正确； ∵|a ·b |＝||a |·|b |·cos 〈a ，b 〉|＝|a |·|b |，∴|cos 〈a ，b 〉|＝1，∴a 与b 同向或反向，∴存在实数λ，使b ＝λa ，故②正确；由于函数y ＝sin x 的图象与直线y ＝x 有且仅有一个交点，故③正确；∵(a 3－3b )－(b 3－3a )＝(a 3－b 3)＋3(a －b )＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2＋3)>0，∵a 2＋ab ＋b 2＋3>0，∴a －b >0，∴a >b ，故④正确．

(理)(2014·屯溪一中期中)下列几个结论：

①“x <－1”是“x <－2”的充分不必要条件； ②??0

1(e x ＋sin x )d x ＝e －cos1；

③已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值为9

2；

④若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π

3的值为－3；

⑤函数f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心为(k π2＋π

6，0)(k ∈Z )

其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号) [答案] ②③④

[解析] x <－1?/ x <－2，x <－2?x <－1，故①错误；??0

1(e x ＋sin x )d x ＝(e x －cos x )|10＝e －cos1，故

②正确；∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴y ＝1a ＋4b ＝12(a ＋b )(1a ＋4b )＝12(5＋b a ＋4a b )≥1

2(5＋2

b a ·4a b )＝9

2

，等号在?????

b a ＝4a b ，a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝4

3

时成立，故③正确；∵(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，∴3a ＝9，∴a

＝2，∴tan 2π3＝－tan π3＝－3，故④正确；f (x )＝2sin(2x －π3)－1的对称中心不落在x 轴上，故⑤错．正

确答案为②③④.

15．(2013·福建文，16)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：

(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1

②A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}； ③A ＝{x |0

其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) [答案] ①②③

[解析] 由(1)知T 是定义域为S 的函数y ＝f (x )的值域；由(2)知f (x )为增函数，因此对于集合A 、B ，只要能够找到一个增函数y ＝f (x )，其定义域为A ，值域为B 即可．

对于①，A ＝N ，B ＝N *，可取f (x )＝x ＋1，(x ∈A )；

对于②，A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |－8≤x ≤10}，可取f (x )＝92x －7

2(x ∈A )；

对于③，A ＝{x |0

2)π(x ∈A )．

16．(文)(2014·合肥八中联考)给出下列四个命题： ①?α，β∈R ，α>β，使得tan α

②若f (x )是定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上是增函数，θ∈(π4，π

2)，则f (sin θ)>f (cos θ)；

③在△ABC 中，“A >π6”是“sin A >1

2

”的充要条件；

④若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1

2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝3，其中所

有正确命题的序号是________．

[答案] ①④

[解析] ①当α＝3π4，β＝π

3时，tan α<0

∵f (x )是[－1,1]上的偶函数，在[－1,0]上单调递增，

∴在[0,1]上单调递减，又θ∈(π4，π2)，∴1>sin θ>cos θ>2

2，从而f (sin θ)

③当A ＝5π6时，A >π6成立，但sin A ＝1

2

，∴③为假命题；

④由条件知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝5

2，∴f (1)＋f ′(1)＝3，∴④为真命题．

(理)(2014·银川九中一模)给出下列命题： ①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1>a

b

，则a

②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若?x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ①②③

[解析] ①∵a ，b 是正数，∴a ＋1>0，b ＋1>0，∵a ＋1b ＋1>a

b ，∴b (a ＋1)>a (b ＋1)，∴b >a ，即a

∴①正确；

②∵对任意x ∈R ，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上为增函数， ∴f (1)

③“?x ∈R ，使得x 2－2x ＋1<0”的否定为“?x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”，∵x ∈R 时，x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0成立，

∴③正确；

④当x ≤1且y ≤1时，x ＋y ≤2成立；当x ＝3，y ＝－2时，满足x ＋y ≤2，∴由“x ＋y ≤2”推不出“x ≤1且y ≤1”，

∴④错误．

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(文)(2014·福州市八县联考)A ＝{x |x 2－2x －8<0}，B ＝{x |x 2＋2x －3>0}，C ＝{x |x 2－3ax ＋2a 2<0}，

(1)求A ∩B ；

(2)试求实数a 的取值范围，使C ?(A ∩B )．

[解析] (1)依题意得：A ＝{x |－21或x <－3}， ∴A ∩B ＝{x |1

(2)①当a ＝0时，C ＝?，符合C ?(A ∩B )； ②当a >0时，C ＝{x |a

要使C ?(A ∩B )，则?

????

a ≥1

2a ≤4，解得1≤a ≤2；

③当a <0时，C ＝{x |2a

∵a <0，C ?(A ∩B )不可能成立，∴a <0不符合题设． ∴综上所述得：1≤a ≤2或a ＝0.

(理)(2014·甘肃临夏中学期中)记函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .

(1)求A ∩B ；

(2)若C ＝{x |x 2＋4x ＋4－p 2<0，p >0}，且C ?(A ∩B )，求实数p 的取值范围．

[解析] (1)由条件知，x 2－x －2>0，∴A ＝{x |x <－1，或x >2}，由g (x )有意义得3－|x |≥0，所以B ＝{x |－3≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |－3≤x <－1，或2

(2)∵C ＝{x |x 2＋4x ＋4－p 2<0}(p >0)，∴C ＝{x |－2－p

∴实数p 的取值范围是{p |0

18．(本小题满分12分)(2014·山东省菏泽市期中)已知命题p ：关于x 的不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．

[解析] 不等式|x －1|>m －1的解集为R ，须m －1<0，即p 是真命题时，m <1； 函数f (x )＝(5－2m )x 是R 上的增函数，须5－2m >1，即q 是真命题时，m <2. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 、q 中一个为真命题，另一个为假命题． (1)当p 真，q 假时，m <1且m ≥2，此时无解； (2)当p 假，q 真时，m ≥1且m <2，此时1≤m <2， 因此1≤m <2.

19．(本小题满分12分)(文)(2014·灵宝实验高中月考)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．

[解析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0及a <0得，3a 0得，x <－4或x >2，

∴q ：x <－4或x >2.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，∴a ≤－4.

(理)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设命题p ：实数x 满足(x －a )(x －3a )<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足x －3x －2

≤0.

(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；

(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵a ＝1，∴不等式化为(x －1)(x －3)<0，∴1

≤0得，2

又q ：2

???

?

a ≤2，3a >3，∴1

20．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)设命题p ：f (x )＝2

x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数；

命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(綈p )∧q 为真，试求实数m 的取值范围．

[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1，

对命题q ：|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3， ∴m 2＋5m －3≥3?m ≥1或m ≤－6. 若(綈p )∧q 为真，则p 假q 真，

∴?

????

m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1. 21．(本小题满分12分)(2014·河北冀州中学期中)设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1

的值域，集合C 为不等式(ax －1a )(x ＋4)≤0的解集．

(1)求A ∩B ；(2)若C ??R A ，求a 的取值范围．

[解析] (1)由于－x 2－2x ＋8>0，解得A ＝(－4,2)，又y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1

x ＋1－1，

当x ＋1>0时，y ≥2

(x ＋1)·1

x ＋1

－1＝1；当x ＋1<0时，y ≤－2

(x ＋1)·1

x ＋1

－1＝－3.

∴B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)∵?R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)， 由(ax －1

a

)(x ＋4)≤0，知a ≠0，

当a >0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝[－4，1

a 2]，不满足C ??R A ；

当a <0时，由(ax －1a )(x ＋4)≤0，得C ＝(－∞，－4]∪[1

a 2，＋∞)，

欲使C ??R A ，则1

a 2≥2，

解得：－

22≤a <0或0

， 又a <0，所以－

2

2

≤a <0， 综上所述，所求a 的取值范围是[－

2

2

，0)． 22．(本小题满分14分)(2014·九江市七校第一次联考)“城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因．暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道，据统计，在不考虑其他因素的条件下，某段下水道的排水量V (单位：立方米/小时)是杂物垃圾密度x (单位：千克/立方米)的函数．当下水道的垃圾杂物密度达到2千克/立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克/立方米时，排水量是90立方米/小时；研究表明，0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数．

(1)当0≤x ≤2时，求函数V (x )的表达式；

(2)当垃圾杂物密度x 为多大时，垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克/小时)f (x )＝x ·V (x )可以达到最大，求出这个最大值．

[解析] 当0.2≤x ≤2时，排水量V 是垃圾杂物密度x 的一次函数，设为V (x )＝mx ＋n ，将(0.2,90)，(2,0)代入得V (x )＝－50x ＋100，

V (x )＝?

????

90(0≤x ≤0.2)，－50x ＋100(0.2

(2)f (x )＝x ·V (x )＝?

????

90x (0≤x ≤0.2)，－50x (x －2)(0.2

当0≤x ≤0.2时，f (x )＝90x ，最大值为1.8千克/小时； 当0.2≤x ≤2时，f (x )＝50x (2－x )≤50， 当x ＝1时，f (x )取到最大值50，

所以，当杂物垃圾密度x ＝1千克/立方米，f (x )取得最大值50千克/小时．