椭圆的几何性质2 教案

椭圆的几何性质

南昌十七中数学教师何东华

一、教学目标

(一)知识教学点

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．

(二)能力训练点

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．

二、教材分析

1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．

(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．)

2．难点：椭圆离心率的概念的理解．

(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响．)

三、施教对象

普通中学中等程度学生

四、教学手段

提问、讲解、阅读后重点讲解、智力小游戏、再讲解、动画演示、例题讲解、学生演板、讲解后归纳、小结．（运用几何画板）

五、活动材料准备

小黑板、多媒体演示平台、几何画板软件、MathFun数学画图软件

六、教学过程

(一)复习提问

1．椭圆的定义是什么？

2．椭圆的标准方程是什么？

学生口述，教师板书．

(二)几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题

之一.本节课就根据椭圆的标准方程

22

22

1

x y

a b

+=（a > b > 0）来研究椭圆的几何性质．

说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．

1．范围

引导学生从椭圆的标准方程

22

22

1

x y

a b

+=得出不等式

22

22

1,1

x y

a b

≤≤，即|x|≤a，|y|≤b，

这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．

另外，再把标准方程分成y=和y=

的定义域和值域来认识椭圆中x与y的范围。

2．对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．

设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．

向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．

事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1 (x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P 2 (-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、

P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．

最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．

向学生介绍一个有趣的小游戏：

有一张标准的椭圆形的桌子及足够多的一元硬币，两位同学利用上述道具进行一场游戏。规则为：两人轮流在桌上放硬币（硬币不能重叠累放），轮到在桌上没有空地放硬币的一方即为输。如果你来参加这个游戏，你会选择由你开始放还是由对方开始放硬币，而且有没有一种方法可以使自己不败？

此时课堂气氛会很活跃，注意控制和引导。下面是答案：

利用椭圆的对称性，中心对称，轴对称。先由特殊情形，

若椭圆桌子很小，小到只能放下一枚一元硬币，显然先放的

同学获胜，当椭圆桌和我们平时常见的一样，则还是先放的获胜，方法为：先放的同学最初一枚硬币放在椭圆桌中心，然后对方放好后只须找到对方所放位置的中心对称点即可。当然该题还可以利用轴对称性，如图：甲同学先放在中心位置后，乙同学任意放一处，如点P，则甲可以P关于x轴的P‘位置放，亦可获胜，当然找P关于y轴的对称点一样。

向学生指出：做题之前先考虑特殊情况是一种良好的思维方式，实际在做选择题时，我们所用的一种“特殊值法”即为该思维方式。

3．顶点

引导学生从椭圆的标准方程

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22

1

x y

a b

+=（a > b > 0）分析它与x轴、y轴的交点.

只须令x = 0，得y = ±b，(也就是椭圆在y轴上的截距)点B 1(0，-b)、B 2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；

令y = 0，得x=±a，（也就是椭圆在x轴上的截距）点A1(-a，0)、A 2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A 2(a，0)、B 1(0，-b)、

B 2(0，b)．

教师还需指出：

(1)线段A 1A 2、线段B 1B 2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ； (2)a 、b 的几何意义：a 是长半轴的长，b 是短半轴的长；

这时，教师可以小结一下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．

4．离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：椭圆的焦距与长轴的比 c e a

= 记忆方法：a b c d e 倒过来读 e 等于（d ）c 比（b ）a 等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e 的几何意义． 先分析椭圆的离心率e 的取值范围： ∵a ＞c ＞0，∴ 0＜e ＜1．

再结合多媒体演示分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

(1) 当e 接近0时，c 越接近a , 从而b = (2)当e 接近0时，c 越接近0，从而b 越接近a ，因此椭圆接近圆；

(3)当e = 0时，c =0，a=b 两焦点重合，椭圆的标准方程成为2

2

2

x y a +=，图形就是圆了．

(三)讲解例题

为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例题： 例1 求椭圆2

2

1625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．

本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分作图由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：

（1）列表，将

22

12516

x y +=变形为y =根据y = 及y 轴05x ≤≤的范围内算出几个点的坐标(x , y )

(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出

整个椭圆．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．

此时再利用几何画板（或名为MathFun 的一个数学画图软件）画出椭圆的图形，又快又标准。

巩固顶点坐标、离心率的概念，给出如下例题： 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点(3,0)P -、Q(0,-2)； （2）长轴的长等于20 ，离心率等于0.6.

本例题第（1）小题，注意启发学生观察P 、Q 两点的特殊性（即为椭圆的顶点）从而得a =3、b =2，再观察长轴在x 轴上，所以椭圆的标准方程为

22

194

x y +=. 向学生指出：一般情况下求椭圆的标准方程关键就是求出a 、b 、c 中的任意两个. 本例题第（2）小题，可以让一位学生回答，教师书写，列出关于a 、c 的方程组是关

键，解出a =10、c =6，再利用2

2

2

a b c =+得2

64b =，最后的答案为

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110064

x y +=或22

110064

y x +=. 向学生指出：不能判断长轴在x 或y 轴上时答案会有两种情况。

（四）学生练习

102页练习题4、5

4、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）16,,3a e ==焦点在x 轴上；（答案：

22

13632x y +=） （2）33,,5c e ==焦点在y 轴上.（答案：

22

12516

y x +=） 教师提问：把这两小题的后一段“焦点在x 、y 轴上”去掉，结果会怎样？ 5、下列每组椭圆中哪一个更接近圆？

（1）2

2

936x y +=与

22

11612

x y +=；(答案：第二个) （2）2

2

936x y +=与

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x y +=.(答案：第二个) (五)小结

解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：（课前用小黑板画好）

（六）布置作业

103页习题8.2 第1、2、3、4题

七、教学反思

1、这堂课在讲解对称性质时，还可以引入奇函数、偶函数的图形特征及它们的解析式特征。如：y=f(x)=f(-x)为偶函数即点（x , y）与（-x , y）都符合函数解析式（即为点（x , y）与（-x , y）都是方程表示的曲线上）图形关于y轴对称。

2、进行小游戏时学生开始还是想不到利用对称性，充分提示后（指出利用中心对称性），学生能够联想到还可以利用另外两种对称性质进行游戏，还有部分学生提出可以混合运用这三种对称性质。

3、在学生的课堂练习过程中，有少数学生求出了a、b但在写椭圆的标准方程时忘了平方。这说明这部分学生一是粗心，另外也是对椭圆的标准方程的识记不牢，今后还要反复强调。