《数学通讯》2002年3月第3期

《数学通讯》2002年3月第3期 三角函数解题中常用数学模型构造

浙江省定海一中（316000） 符海龙

构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。

1 构造直角三角形

例1 设x ∈[

4π，2

π

]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900

，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，

利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4

π

时成立。 2 构造单位圆

例 2若0<β<α<

2

π

，求证：α-β

AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =

21tg α，S ⊿AP O =2

1

tg β，由于S 扇形OAP

=

21α，S 扇形OAP =2

1

β。 ∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21

tg β。则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P

即 21（α-β）<2

1（tg α－tg β） 所以 α-β

3 构造函数表达式

例3已知x 、y ∈[-4π，4π

]，a ∈R ，且???=++=-+0

cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）

思路分析：由x 3

+sinx 与2（4y 3

+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。设f(t)=t 3

+sint ，t ∈[-4π，4π]，易证f(t)在[-4π，4

π

]上为单调递增。又题中条件变为?

?

?=--=-02)2(0

2)(a y f a x f ，得f(x)= f(-2y)，x= -2y 。所以cos （x+2y ）=0。 4构造二元一次方程

例4已知f(x)=asinx+bcosx ，a 、b 为常数，又存在x 1、x 2，使f(x 1)=f(x 2)=0，

B

A Ｄ C

且 x 1-x 2≠k π，k ∈Z ，求证：对一切实数x ，f(x)恒等于0。

思路分析：由题设可得?

??=+=+0sin sin 0

cos sin 2211x b x a x b x a ，视a 、b 为未知数，则构造出一个二元一次

方程，再利用方程组特点去证之。由消元法得sinx 1cosx 2-sinx 2cosx 1= sin （x 1-x 2）≠0，故方

程组只有零解，即 a=b=0，f(x)=0?sinx+0?cosx=0。所以对一切实数x ，f(x)恒等于0。 5构造一元二次方程

例5已知Ａ、Ｂ、Ｃ是⊿ＡＢＣ的三内角，sinA ≠sinB ， 且(sinC-sinA)2

-4(sinA-sinB)(sinB-sinC)=0。求证：0

3

π。 思路分析：题中所给等式是b 2

-4ac 的形式，故可构造一元二次方程。又sinA －sinB ≠０，故

可构造方程(sinC-sinA)x 2

+(sinA-sinB)x+(sinB-sinC)=0。方程各项的系数之和为０，所以１

是方程的一个根。由已知b 2

-4ac ＝０，知此方程的加一个根也是１，根据韦达定理得

1sin sin sin sin =--B A C B ，2sin 2B cos 2B =sin 2C A +cos 2C A -， cos 2

B

=sin 2C A +≠0，

∴ 2sin 2B = cos 2C A -≤1 ， sin 2B ≤21 ，∴ 0

π

。

6构造复数方程 例6试证：cos

7

π

-cos 72π+cos 73π=21

思路分析：由上式可用匹配的三角函数对偶式来构造复数方程，再利用复数性质解题。设a=

cos

7π-cos 72π+cos 73π，b= sin 7π- sin 72π+ sin 73π，z=cos 7π+isin 7

π (z 7

= -1)，则a+ib

= z -z 2+z 3 =z z z ++1)1(3=z z z z +-+7

3

)1(=311z -=2

1+i )

7

3cos 1(273sin ππ-.比较等式两边的实部，得a=21，即 cos 7

π

-cos 72π+cos 73π=21

7构造相似三角形

例7在⊿ABC 中，已知2b=a+c ，且a

，求sinA:sinB:sinC 的值。

思路分析：由C-A=900

可想到相似三角形，根据相似三角形性质及勾股定理来求出三边之比。

在⊿ABC 中，在AB 上取一点D ，满足∠ACD=900

，可得∠BCD=∠A ，∠B=∠B ，⊿ABC ∽⊿CBD ，得c

a y 2

=，c ab x =。

在Rt ⊿ABD 中，(c-y)2

=x 2

+b 2

，又2b=a+c ， 即得3a 2

-8ac+3c 2

=0，解得a=

3

7

4-c ， 又b=

21(a+c)=677-c ，所以 a:b:c=374-c: 6

77-c:c 得sinA:sinB:sinC=a:b:c=(7-1): 7:(7+1)

C

b x a

A D y B

8构造长方体

例8若锐角α、β、γ满足cos 2α+cos 2β+cos 2

γ=1，求tg αtg βtg γ的最小值。

思路分析：锐角α、β、γ满足cos 2α+cos 2β+cos 2

γ=1形式满足长方体的三度平方和等于对角线的平方，故可构造长方体。使三棱长分别为a 、b 、c ，对角线为１，对角线与三条棱所

成的角分别为α、β、γ，则tg α＝a c b 22+，tg β＝b a c 22+，tg γ＝c

b a 2

2+所以 tg

αtg βtg γ≥

a bc

2b ca 2c

ab

2＝２2 故tg αtg βtg γ的最小值是２2。 9 构造直角坐标系中常用性质

例9已知：sinA+sinB+sinC=0，cosA+cosB+cosC=0，求证：cos 2A+cos 2B+cos 2

C=0为定值。 思路分析：构造三点P （cosA ，sinA ），Q （cosB ，sinB ），R （cosC ，sinC ），利用求三角形重心坐标公式，可得⊿PQR 的重心坐标x G =3

1

( cosA+cosB+cosC)=0， y G =

3

1

( sinA+sinB+sinC)=0，又P 、Q 、R 在同一圆周上，所以⊿PQR 的重心与外心重合，故⊿PQR 是正三角形。不仿设P 、Q 、R 的顺序是逆时针方向，则向量OP 、OQ 、OR 的辐角A 、B 、C 满足下列关系：B-A=

32π，C-B=32π，C-A=3

4π。于是cos 2A+cos 2B+cos 2

C =23+21（cos2A+cos2B+cos2C ）=23+21

（cos2A+2cos(B+C)cos(C-B)） =23+21（cos2A-cos(C-B)）=23

+sin(B+C-2A)sin(2A+B+C) = 23+sin(32π+34π)sin(2A+B+C)= 2

3 10构造圆锥曲线方程

例10已知：B A 24cos cos +B A 24sin sin =1，求证：A B 24cos cos +A

B 2

4sin sin =1 思路分析：这是一道纯粹的三角命题，若能将题中的式子的形状而联想到椭圆方程，就有可

能构造椭圆方程来证题的新途径。设椭圆C ：B x 22cos +B

y 2

2sin =1，由题设得点M （cos 2A ，sin 2

A ）在椭圆C 上。又N （cos 2

B ，sin 2

B ）也满足椭圆

C ，可知点N 也在椭圆上。过点N 的椭圆C 的切

线方程为B B x 22cos cos +B

B y 2

2sin sin =1，即x+y=1。又点M （cos 2A ，sin 2

A ）满足x+y=1，所以点M 也在此切线上。由过椭圆上一点的切线的唯一性，得点M 和点N 重合，于是cos 2

A= cos 2

B ，

sin 2

B=sin 2

A ，所以 A

B 24cos cos +A B 24sin sin =B A 24cos cos +B

A

2

4sin sin =1 构造法解题是一种富有创造性的思维活动，一种数学形式的构造绝不是单一的思维方式，而是多种思维方式交叉、联系、融汇在一起共同作用的结果。上述所列举的各类思维构造，仅

是就构造形式的区分，旨在方便通过揭示构造法思维方式教会学生如何去构造。