专题五不等式

专题五不等式
专题五不等式

专题五 不等式

2013.3

【真题感悟】

1. (2012浙江)设a 大于0,b 大于0.

A.若2a +2a=2b +3b ,则a >b

B.若2a +2a=2b +3b ,则a >b

C.若2a -2a=2b -3b ,则a >b

D.若2a -2a=2b

-3b ,则a <b 2. (2012福建)下列不等式一定成立的是 A.21lg()lg (0)4

x x x +

>> B. 1sin 2(,)sin x x k k Z x

π+

≥≠∈

C. 2

12()x x x R +≥∈ D. 2

11()1

x R x >∈+

3. (2012江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50计,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入减去总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为

A .50,0

B .30,20

C .20,30

D .0,50

4. (2012山东理13)若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤,则实数k =__________.

【考点梳理】

1. 不等式的性质:

(1)对称性:a >b ?________; (2)传递性: a >b ,b >c ?a ______c ;.

(3)加法法则:a >b ?a +c >b +c ;同向可加性a >b ,c >d ?a +c ______b +d ;

(4)可乘性:a >b ,c >0?ac ______bc ;a >b ,c <0?ac ______bc ;a >b >0,c >d >0?ac ______bd ; (5)乘方法则:a >b >0(n ∈N *)?a n ______b n ;开方法则:a >b >0(n ∈N *,n ≥2)?n

a ______n

b .

(6)倒数法则:a >b ,ab >0?1a ______ 1

b 。

(7)含绝对值不等式的性质:

①a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-; ②a b 、异号或有0?||||||a b a b +=-≥||||||||a b a b -=+. ①②合在一起,即: ||||||||||a b a b a b -≤±≤+。

注意:(1)不等式的性质是解、证不等式的基础,对任意两实数a 、b 有a -b >0?a >b ,a -b =0?a =b ,a -b <0?a

(2)不等式的传递性:若a >b ,b >c ,则a >c ,这是放缩法的依据,在运用传递性时,要注意不等式的方向,否则易产生这样的错误:为证明a >c ,选择中间量b ,在证出a >b ,c >b 后,就误认为能得到a >c .

2.均值不等式:

(1)均值不等式:若a ,b +

∈R ,则ab ≤

a +b

2

(当且仅当a=b 时取等号);在应用均值不等式求最值时,

要把握不等式成立的三个条件:“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,三个条件缺一不可. (2)运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2

+b 2

≥2ab 逆用就是ab ≤a 2

+b 2

2

a +

b 2≥ab (a ,b >0)逆用就是ab ≤????a +b 22

(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.

(3

)两个常用不等式:①

22

11a b a b

+≥≥

+(根据目标不等式左右的运算结构选用)

②a 、b 、c ∈R ,222a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号)

3.不等式的解法:

(1)一元二次不等式的解法:一元二次不等式ax 2

+bx +c <0 (a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2-4ac 的符号的影响,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象,数形结合求得不等式的解集.①若一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化为ax 2+bx +c >0(或<0)(其中a >0)的形式,其对应的方程ax 2

+bx +c =0有两个不等实根x 1,x 2,(x 1

-4ac >0),则可根据“大于取两边,小于夹中间”求解集.②若a <0,则可先进行转化,使x 2

的系数为正,但一定注意在转化过程中不等号的变化.

(2)解分式不等式()()

()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是:移项→通分→分子分母分解因式→x 的系数

变为正值→数轴标根(奇穿偶切);

(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值:一般是根据定义分类讨论、零点分段法、平方法、公式法;

(4)解含参不等式常分类等价转化,必要时需分类讨论。注意:按参数讨论,最后按参数取值分别说明其解集,但若按未知数讨论,最后应求并集(此法一般不用)。

(5)解不等式是求不等式的解集,最后务必用集合的形式表示;不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。

注意绝对值不等式的几何意义:||||||x a x b a b -+-≥-; ||||||||a b x a x b a b --≤---≤-。 4.不等式的证明:

比较大小的方法和证明不等式的方法主要有:差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法、反证法、换元法、判别式法和放缩法(注意:对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径, “配方、函数单调性等”对放缩的影响)。 5. 线性规划:

(1)确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.

①直线定界,即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直线画成实线. ②特殊点定域,即在直线Ax +By +C =0的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0)作为测试点代入不等式检验,若满足不等式,则表示的就是包括该点的这一侧,否则就表示直线的另一侧.特别地,当C ≠0时,常把原点作

为测试点;当C =0时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点. (2)利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是:

①确定线性约束条件;②确定线性目标函数; ③画出可行域;④确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解(注意是否要求整点最优解);⑤求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

6.不等式恒成立、能成立、恰成立问题的常规处理方式是:优先考虑“分离变量法”转化为求函数的最值问题,若不易分离变量,则直接分类讨论研究函数的性质。

【要点突破】

题型一、不等式的性质:

例1.(2012江苏)已知正数a b c ,,满足:4l n 53l n b c a a c c c a c b -+-≤≤≥,,则b a

的取值范围

是 .

题型二、均值不等式:

例2.若x ,y ∈(0,+∞)且2x+8y ﹣xy=0,求(1)xy 的最小值;(2)求x+y 的最小值。

题型三、不等式的解法:

例3.(1)(2012浙江)设a ∈R ,若x >0时均有[(a -1)x -1]( x 2

-ax -1)≥0,则a =______________. (2)解关于x 的不等式: 12

>-x ax

题型四、线性规划问题:

例4.(2012福建)若函数y=2x

图像上存在点(x ,y )满足约束条件30230x y x y x m +-≤??--≤??≥?

,则实数m

的最大值为 A .

1

2

B.1

C.

32

D.2

题型五、不等式的应用

例5. (2012上海)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线2

49

12x y =

;②

定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为t 7.(1)当5.0=t 时,写出失事船所在位置P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

例6. 已知等差数列{}n a 的的前n 项和为n S ,公差0d ≠,11a =且217a a a ,,成等比数列.(1)求数列

{}n a 的的前n 项和公式

n S ;(2)设221

n n S b n =-,数列{}n b 的的前n 项和公式n T , 求证:

11

64918(1)(9)2n

n n n b b n T n b -+-+>

>+。

【巩固提高】

1. 若x

x x x f ln 42)(2

--=,则0)('>x f 的解集为 ( )

A. (0,∞+)

B. (-1,0)?(2,∞+)

C. (2,∞+)

D. (-1,0)

A . 04π?? ?

?

?

B .14π

??

???

, C .

14π??

????

, D .

42ππ??

????

, 3. (2010·四川)设a >b >c >0,则2a 2+1ab +1

a (a -

b )

-10ac +25c 2的最小值是 ( )

A .2

B .4

C .2 5

D .5

4. (湖北理8)已知向量a=(x +z,3),b=(2,y-z ),且a ⊥ b .若x ,y 满足不等式1x y +≤,则z 的取值范

围为 A .[-2,2] B .[-2,3] C .[-3,2] D .[-3,3] 5. 两正数x ,y ,且x+y≤4,则点P (x+y ,x-y )所在平面区域的面积是( ) A .4

B .8

C .12

D .16

6. 设a 、b 、c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( )

A ≤-

B .(a-b)+1a-b

≥2

C .a 2

+b 2

+c 2

>ab+bc+ca D .|a-b|≤|a -c|+|c-b| 7.已知R 上的奇函数12()2

x

x b f x a

+-+=+,则对任意的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立的k 的

取值范围为 .

8. 已知x,y 为正实数,满足1≤lg(xy)≤2,3≤lg

x y

≤4,则 lg (42x y )的取值范围是 .

9. +

≤x y R +

∈,)

恒成立的a ②设a 、b 、c R ∈, ab+bc+ca=1,

则2

3a b c ≥++();③若正数m,n 满足m n ≤,2

n ≤

;④若0,0,a a m a b m b

b m

+<<><

+则

⑤若0,0,4,2a b ab a >>>>则。其中是真命题的有 。

10. (2004重庆)设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->。(1)求导数/

()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ;(2)若不等式12()()0f x f x +≤成立,求a 的取值范围.

11. 已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和S n 满足S 1>1,且)

2)(1(6++=n n n a a S ,*N n ∈。(I)求数列}{n a 的

通项公式;(II)设数列}{n b 满足1)12(=-n b n a ,记n

T 为数列}{n b 的前n 项和。求证:)

3(log 122+<+n n

a T

12. 某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足31x t -+与成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为:其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完。 (1)将2010年利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数; (2)该企业2010年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?(注:利润=销售收入—生产成本—促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

13.已知1F 、2F 是椭圆122

22

=+b

y

a x

的两个焦点,O 为坐标原点,点)22

,1(-P 在椭圆上,线段2P F 与轴的交点M 满足20PM F M +=

;⊙O 是以F 1F 2为直径的圆,一直线l :m kx y +=与⊙O 相切,并与椭圆

交于不同的两点A 、B .

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)当4

332,≤

≤=?λλ且满足

OB OA 时,求△AOB 面积S 的取值范围.

14. (2012浙江)已知a>0,b∈R,函数()3

=--+.(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,(ⅰ)函数()

f x

42

f x ax bx a b

的最大值为|2a-b|﹢a;(ⅱ) ()

f x+|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤()

f x≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.

专题五 不等式参考答案

【真题感悟】

1. A 。解:若2223a

b

a b

+=+,必有2222a

b

a b

+>+.构造函数:()22x f x x =+,则()2ln 220

x f x '=?+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.故选A

2. C.解:此类题目多选用筛选法,对于A当4

1=

x 时,两边相等,故A错误;对于B具有基本不等式的形

式,但是x sin 不一定大于零,故B错误;对于C,0)1(012||21222≥±?≥+±?≥+x x x x x ,显然成立;对于D任意x 都不成立.故选C.

3. B 解:设黄瓜的种植面积为x ,韭菜的种植面积为y ,则有题意知??

?

??≥≤+≤+0,549.02.150y x y x y x ,即

??

?

??≥≤+≤+0,180

3450y x y x y x ,目标函数y x y x y x z 109

9.02.163.0455.0+

=--?+?=,作出可行域如图,由图象可知当直线经过点E 时,直线z x y 910

910+-=的解决最大,

此时z 取得最大值,由???=+=+1803450y x y x ,解得?

??==2030

y x ,选B.

4. 2=k .解:由2|4|≤-kx 可得62≤≤kx ,所以32

1≤≤

x k ,所以

12

=k ,故2=k 。

【要点突破】

例 1. []7,e 。解法一:根据条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥,,()c

b c c b c a ln ln ln =-≤,得到

ln ,1a

c b

a b

e c c c

≥≥>,

得到c b <.又因为b a c ≤-35,所以35a b c +<,由已知a c b -≤4,得到4a b c +>.从而

b b a ≤+4

,解得

3

1≥

a

b .

解法二:条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥,可化为:

354a c a b

c c a b c c

b

e c

??+≥???+≤????≥?。 设==a b

x y c c ,,则题目转化为:

已知x y ,满足354

00x

x y x y y e

x >y >+≥??

+≤??≥???

,,求y x 的取值范围。作出(x y ,)所在平面区域(如图)。求出=x y e 的切线的斜率e ,设过切点()00P x y ,的切线为()=0y ex m m +≥, 则000

=

=y ex m m e x x x ++

,要使它最小,

须=0m 。 ∴

y x

的最小值在()00P x y ,处,为e 。此时,点()00P x y ,在=x y e 上,A B 之间。

当(x y ,)对应点C 时, =45=205=7=7=534=2012y x

y x y y x y x y x

x --???????--??,

y x

的最大值在C 处,为7。 ∴

y x

的取值范围为[] 7e ,,即

b a

的取值范围是[] 7e ,。

例2. (1)由2x+8y ﹣xy=0,得2x+8y=xy ,∴+=1,又0,0x y >> ,

168282

164=

4

x xy y x

y

x

y =?∴=+≥=≥?=?解得,当且仅当即时取等号。 xy ∴的最小值为64.

(2)由2x+8y ﹣xy=0,得2x+8y=xy ,∴+=1, ∴x+y=(x+y )=10+

+

=10+2

≥10+2×2×

=18,

当且仅当

=,即x=2y 时取等号,又2x+8y ﹣xy=0,∴x=12,y=6,

∴当x=12,y=6时,x+y 取最小值18.

例3. (1)a =

(A )2

(1)1010

a x x ax ≤??

≤?----, 无解;(B )2

(1)1010

a x x ax ≥??

≥?----, 无解.

因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x >0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图)

我们知道:函数y 1=(a -1)x -1,y 2=x 2

-ax -1都过定点P (0,1). 考查函数y 1=(a -1)x -1:令y =0,得M (11a -,0),还可分析得:

a >1;考查函数y 2=x 2

-ax -1:显然过点M (1

1a -,0),代入得:2

11011a a a ??

--= ?

--??

,解之得:a =,

舍去a =a =

(2)解:

12

>-x ax 可化为

(1)2

02

a x x -+>-,下略解:

例 4.B.解:如图当直线m x =经过函数x y 2=的图像与直线

03=-+y x 的交点时,函数x

y 2=的图像仅有一个点在可行域内,有方

程组???=-+=0

32y x y x

得1=x ,所以1≤m ,故选B.

例5.

例6. 解:(1)∵a 1,a 2,a 7成等比数列,∴a 22

=a 1?a 7,即(a 1+d )2

=a 1(a 1+6d ), 又a 1=1,d ≠0,∴d=4.∴S n =na 1+

d=n+2n (n ﹣1)=2n 2

﹣n .

(2)证明:由(1)知b n ===2n,∴{b n}是首项为2,公差为2的等差数列,

∴T n ==n2+n,∴2T n﹣9b n﹣1+18=2n2+2n﹣18(n﹣1)+18=2n2﹣16n+36=2(n2﹣8n+16)+4=2(n ﹣4)2+4≥4,当且仅当n=4时取等号.①

=当且仅当即n=3时,取等号.②

∵①②中等号不能同时取到,∴.

3. B.提示:原式=()

(

)

22

11

-++++-10+254(==

-25

a a

b ab a a

c c a c

a a

b ab

????

?? ?

??

??

5. D.解:令s=x+y,t=x-y,则P(x+y,x-y)为P(s,t)由s=x+y,t=x-y可

得2x=s+t,2y=s-t,因为x,y是正数,且x+y≤4,有

s t0

s t0

s4

+

?

?

-

?

?≤

?

>,在直角坐标系

上画出P(s,t)s横坐标,t纵坐标,即可得知面积为16,故选D。

6.B.7.

1

.

3

??

-∞-

?

??

8.[]

6,10,换元法,转化为线性规划问题。9.①②③④。

10. 解:(I).

)

1(2

3

)

(2a

x

a

x

x

f+

+

-

=

'2

()032(1)0.

f x x a x a

'=-++=

令得方程

2

12

1212

1122

4(1)40,,

,()3()()():

,()0;,()0;,()0

a a a x x

x x f x x x x x f x

x x f x x x x f x x x f x

?=-+≥>

''

<=--

'''

<<<<<>>

因故方程有两个不同实根

不妨设由可判断的符号如下

当时当时当时

因此

1

x

是极大值点,

2

x是极小值点.

(II)因故得不等式

,0

)

(

)

(

2

1

+x

f

x

f3322

121212

(1)()()0.

x x a x x a x x

+-++++≤

22121212121212()[()3](1)[()2]()0.x x x x x x a x x x x a x x ++--++-++≤即

又由(I )知12122(1)3

3x x a a x x ?

+=+????=??

,代入前面不等式,两边除以(1+a ),并化简得22520.a a -+≥

121

2().,2,()()0.2

a a a f x f x ≥≤≥+≤解不等式得或舍去因此当时不等式成立

11.

12. 解:(1)由题意:()301

k x k t -=

>+ (1)

将0,1t x ==代入得:2

k

=…………………………………………………2分

231

x t ∴=-

+…………………………………………3分

当年生产x (万件)时

年生产成本=年生产费用+固定费用=29935

332332311

t x t t +?

?+=+-

= ?++??

当销售x (万件)时,年销售收入=

150100

〔233231t ?

?

+-

?+?

?〕+2

t =

399352

1

t t +?

++2t

由题意,生产x 万件化妆品正好销完,

∵年利润=年销售收入—年生产成本—促销费

y ∴=

39935

21

t t +++2

t —

99351

t t ++—t

=

()

()2

9835

021t t t t -++≥+…………………………………………6分

(2)方法一:

()()()

()

()

()()

()

22

2

2

2

298212983541792632121t t t t y t t t t t t t -++--++'=

+-++--+=

=

++…………………………………………9分

当07t ≤<时,0y '>,当7t >时0y '<.

则y 在[)0,7上单调递增,在()7,+∞上单调递减. …………………………11分 故当7t =时,y 取最大值.

所以当促销费定在7万元时,企业的年利润最大.………………………………12分 方法二:

1

32505050422

1t y t +??=-+≤-- ?

+?? ………………………………10分

当且仅当

1322

1

t t +=

+时取等号.即t=7时,y 取最大值. ……………………………11分

所以当促销费定在7万元时,企业的年利润最大. ………………………………12分 13. 解:(Ⅰ)20PM F M +=

点M 是线段2P F 的中点 OM 是12P F F ?的中位线

又 12OM F F ⊥ 112PF F F ∴⊥

22

22211112c a

b a b c

=???∴+=???=+? , 解得222

2,1,1a b c ===,椭圆的标准方程为2

212x y += ┅┅5分 (Ⅱ)圆O 与直线l 相切

2

11

k =+ 即:22

1m k =+

22

12

x y y kx m ?+=?

??=+?

消去y :222(12)4220k x km x m +++-=,设1122(,),(,)A x y B x y

2

12122

2

422,

1212km m x x x x k

k

-+=-

?=

++,

22

2

121212122

1()()()12k

y y kx m kx m k x x km x x m k

-?=++=?+++=

+

222

121222

12131,,11231242

k k OA OB x x y y k k k λ++?=?+?==∴≤≤∴≤≤++

14. 解:(Ⅰ)(ⅰ)()2122f x ax b '=-.

(1)当b ≤0时,()2

122f x a x b '=->0在0≤x ≤1上恒成立,此时()f x 的最大值为:

()1423f a b a b a b =--+=-=|2a -b |﹢a ;

(2)当b >0时,令()2122f x ax b '=-=0,解得6b x a

=

①max 61,[01]()0()(0)2.6b b a x f x f x f b a a b a a

'≥≥∈≤==-=-+若,

则当,时,,则

②061,()[0b a f x <<<

<若,则0在上单调递减;在单调递增;

max ()max{(0)(1)}max{3}2.f x f f b a a b a b a ==--=-+因此,,,

综上所述,函数max ()[01]()2f x f x a b a =-+在,上的最大值为。

(ⅱ) 证法一:要证()f x +|2a -b |﹢a ≥0,即证()g x =﹣()f x ≤|2a -b |﹢a . ∵()342g x ax bx a b =-++-,∴()2122g x ax b '=-+.

(1)当b ≤0时,()2

122g x ax b '=-+<0在0≤x ≤1上恒成立,

此时()g x 的最大值为()03g a b a b =-<- =|2a -b |﹢a ;

(2)当0b >时,令()2122g x ax b '=-+=0

,解得x =

①max 61,[01]()0()(1)32.b a x x x g b a b a a b a '≥≥∈≥==-≤-=-+若则当,时,g ,则g

②061,()[0b a g x <<<

<若,则0在上单调递增;在单调递减;

所以(

)m ax 43

g x g a b

=

=-,此时|2a -b |﹢a =,23,2b a b a a b b a

-≥-

?。

[)2

2

3

2

2

3

3

3

2

()2426()3

2227540,3

3

2754

02,6.||a b a g x a b f x a b a b a b a b a ab a a b b b

b

a a a

a a

≤<-≤-≤-≤--+≤+∈≤-≤当时,要证明证明

只需证明

,即证(

(),只需证明2b b-27同除以,即证明2(

=﹣-﹢,-27,即)(

)

[)[)[)[)3

2

2

2

3

2

m ax 2,6,()2754()54546(99)92,6,262

2,6()2,6()(2)28274542270.2754

b t h t t t t h t t t t t a

t h h h t h t b b b

h t h a a

a '∈=-+=-+=-+''∈<<'∴<∴==?-?+?-<∴-+令=

2-27,6,

该二次函数的图象开口向上,对称轴方程为=

且()0,(

)0,()0在区间上恒成立,所以函数y=在区间上单调递减,2()(

)-2[)02,6().2()26||b

a

a b a g f b a x x a ≤≤∈≤<=﹣-﹢7,当时,成立。

()()()2

2

3

3

3

3

3

m ax 42()33

22,3

3

270,2.0,2,()0,2227(()2)(2)8.()||22

|2()|b a g x a b a b a a f x a b a f x a b a a b b b t h t t a

a a

h t h b a g a x <<-≤-≤≤≤≤

∈∈=∴<=<

<<≤≤当0时,要证明证明

只需证明,即证(,只需证明2b 27同除以,

即证明(

),令=则在上递增,成立即当0=﹣-时,﹢,即=﹣-﹢也成立。

综上所述:函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a .即()f x +|2a -b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立.

证法二:(ⅱ) 要证明()f x +|2a -b |﹢a ≥0成立,即证3

4220ax bx a b b -+-+≥成立

(1)当b ≤0时,即证明3

4220ax bx a -+≥成立,0,01a x >≤≤ 又,∴34220ax bx a -+≥恒成

立,即b ≤0时,()f x +|2a -b |﹢a ≥0成立; (2)当0b >时,要证明3

4220ax bx a b b -+-+≥成立,

①3

02()24220b a f x a b a ax bx a <<+-+=-+≥当时,要证明成立,

()[]3

3

3

min ()2420,0,2.(b ()0,2()(2)4422(221).

h b xb ax a b a h b a h b h a ax ax a a x x =-++≥∈∴==-+=-+令看成关于的一次函数,这种看法很重要!)

则在上递减,

②3

2()242(1)20b a f x a b a ax b x a ≥+-+=+--≥当时,要证明成立,

()[)3

3

3

m in ()2(1)42,2,+.

()2,+()(2)4422(221)

m b x b ax a b a m b a h b h a ax ax a a x x =-+-∈∞∞∴==-+=-+令则在上递增,

32

()221(01)()620x x x x x x x ??'=-+≤≤=-=?=

记,令:

()0()()x x x x ????

??∴= ?

?

??

容易得到,在上递减,在1上递增,在,有最小值,

m in 110.()20.9

f x a b a ?=->+-+>且因此,

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知()2()2.a b a f x a b a -+<≤-+可得,-

1()1[01]2 1.31

122.00f x x a b a a b b a a b a b a a -≤≤∈-+≤-≤-≤???

?

?≥>?

?

要使对任意,都成立,当且仅当或

取b为纵轴,a为横轴,作出可行域如图所示,目标函数为z=a+b,作图如下,由图易得,当目标函数

为z=a+b过P(1,2)时,有

max 3

z=;目标函数为z=a+b过Q(0,-1)时,有min1

z=-.∴所求a+b的取值范围为:(]

13,

-.

必修五-不等式知识点总结

不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110,> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式

1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2112a b a b +≥+(当 a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +?∈,||ax b c x φ+?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: ①分式不等式的解法:先移项通分标准化,则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式:转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f

高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题

第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考查求最值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题,以选择、填空题的形式呈现,属中档题. 1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 +bx +c >0(a ≠0),再求相应一元二次方程ax 2 +bx +c =0(a ≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0); ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时,a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x ); ②当0a g (x ) ?f (x )1时,log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0,g (x )>0; ②当0log a g (x )?f (x )0,g (x )>0. 2.五个重要不等式 (1)|a |≥0,a 2 ≥0(a ∈R ). (2)a 2 +b 2 ≥2ab (a 、b ∈R ). (3) a +b 2 ≥ab (a >0,b >0). (4)ab ≤(a +b 2)2 (a ,b ∈R ). (5) a 2+ b 22 ≥ a +b 2 ≥ab ≥ 2ab a +b (a >0,b >0). 3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.

高中数学必修5基本不等式知识点总结

高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值

(浙江专用)2020高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第3讲 数列的综合问题学案

第3讲 数列的综合问题 [考情考向分析] 1.数列的综合问题,往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景,利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点,也是一个难点,主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等. 热点一 利用S n ,a n 的关系式求a n 1.数列{a n }中,a n 与S n 的关系 a n =??? ?? S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2. 2.求数列通项的常用方法 (1)公式法:利用等差(比)数列求通项公式. (2)在已知数列{a n }中,满足a n +1-a n =f (n ),且f (1)+f (2)+…+f (n )可求,则可用累加法求数列的通项a n . (3)在已知数列{a n }中,满足 a n +1 a n =f (n ),且f (1)·f (2)·…·f (n )可求,则可用累乘法求数列的通项a n . (4)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列). 例1 (2018·浙江)已知等比数列{a n }的公比q >1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足 b 1=1,数列{(b n +1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n . (1)求q 的值; (2)求数列{b n }的通项公式. 解 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项, 得a 3+a 5=2a 4+4, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28,解得a 4=8. 由a 3+a 5=20,得8? ?? ??q +1q =20, 解得q =2或q =1 2. 因为q >1,所以q =2. (2)设c n =(b n +1-b n )a n ,数列{c n }的前n 项和为S n . 由c n =? ?? ?? S 1,n =1, S n -S n -1,n ≥2,解得c n =4n -1(n ∈N * ). 由(1)可得a n =2 n -1 , 所以b n +1-b n =(4n -1)×? ?? ??12n -1 ,

高中数学必修五第三章:不等式专题

《不等式专题》 第一讲:不等式的解法 知识要点: 一、不等式的同解原理: 原理1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得不等式与原不等式是同解不等式; 原理2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数或同一个大于零的整式,所得不等式与原不等式是同解不等式; 原理3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式,并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。 二、一元二次不等式的解法: 一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根,是对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。 二次函数 () 的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注意: (1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x 是相应的不等式2 0(0)ax bx c a ++>≠的解集的端点的取值,是抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标; (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式,然后讨论解决; (3)解集分0,0,0?>?=?<三 种情况,得到一元二次不等式2 0(0)ax bx c a ++>≠与20(0)ax bx c a ++<≠的解集。

三、一元高次不等式的解法: 解高次不等式的基本思路是通过因式分解,将它转化成一次或二次因式的乘积的形式,然后利用数轴标根法或列表法解之。 数轴标根法原则:(1)“右、上”(2)“奇过,偶不过” 四、分式不等式的解法: (1)若能判定分母(子)的符号,则可直接化为整式不等式。 (2)若不能判定分母(子)的符号,则可等价转化: ()()()()() ()()()()()()()()() ()()()()000;0.0000;0.0 f x g x f x f x f x g x g x g x g x f x g x f x f x f x g x g x g x g x ?≥?>??>≥??≠??≤?>?>><>?>>><>?<-><>?-<<>?<->?>或或 对于含有多个绝对值的不等式,利用绝对值的意义,脱去绝对值符号。

2020浙江高考数学二轮专题强化训练:专题一第4讲 不等式 Word版含解析

专题强化训练 1.(2019·金华十校联考)不等式(m -2)(m +3)<0的一个充分不必要条件是( ) A .-3<m <0 B .-3<m <2 C .-3<m <4 D .-1<m <3 解析:选A.由(m -2)(m +3)<0得-3<m <2,即不等式成立的等价条件是-3<m <2, 则不等式(m -2)(m +3)<0的一个充分不必要条件是(-3,2)的一个真子集, 则满足条件是-3<m <0. 故选A. 2.已知关于x 的不等式(ax -1)(x +1)<0的解集是(-∞,-1)∪????-1 2,+∞,则a =( ) A .2 B .-2 C .-1 2 D.12 解析:选B.根据不等式与对应方程的关系知-1,-1 2是一元二次方程ax 2+x (a -1)-1=0 的两个根,所以-1×????-12=-1 a ,所以a =-2,故选B. 3.已知x >0,y >0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则1x +1 3y 的最小值是( ) A .2 B .2 2 C .4 D .2 3 解析:选C.因为lg 2x +lg 8y =lg 2, 所以x +3y =1, 所以1x +13y =????1x +13y (x +3y )=2+3y x +x 3y ≥4, 当且仅当3y x =x 3y , 即x =12,y =1 6 时,取等号. 4.若平面区域???? ?x +y -3≥0, 2x -y -3≤0,x -2y +3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间 的距离的最小值是( )

A.35 5 B.2 C.322 D.5 解析:选B.不等式组???? ?x +y -3≥02x -y -3≤0x -2y +3≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A (1,2)、 B (2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A 与B ,又两平行直线的斜率为1,直线AB 的斜率为-1,所以线段AB 的长度就是过A 、B 两点的平行直线间的距离,易得|AB |=2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B. 5.(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f (x )=2x 2-a x -1(a <2)在区间(1,+∞)上的最小值为 6,则实数a 的值为( ) A .2 B.32 C .1 D.12 解析:选 B.f (x )= 2x 2-a x -1 = 2(x -1)2+4(x -1)+2-a x -1 =2(x -1)+ 2-a x -1 + 4≥2 2(x -1)·2-a x -1+4=2 4-2a +4,当且仅当2(x -1)=2-a x -1 ?x =1+ 2-a 2 时,等号成立,所以2 4-2a +4=6?a =3 2 ,故选B. 6.若不等式组? ????x 2-2x -3≤0, x 2+4x -(1+a )≤0的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-4] B .[-4,+∞) C .[-4,20] D .[-4,20) 解析:选B.不等式x 2-2x -3≤0的解集为[-1,3],

高中数学必修五基本不等式题型(精编)

高中数学必修五基本不等式题型(精编) 变 2.下列结论正确的是 ( ) A .若a b >,则ac bc > B .若a b >,则22a b > C .若a c b c +<+,0c <,则a b > D >a b > 3. 若m =(2a -1)(a +2),n =(a +2)(a -3),则m ,n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 (1)2230x x --≥ (2)2280x x -++> (3) 405x x ->- (4)405 x x -≥- (5)112x ≥ (6)已知R a ∈,解关于x 的不等式()()01<--x x a .

变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32<

例5、 1. 积为定值 (1)函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . (2)设2a >,12 p a a =+-的最大值是 . (3)函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . (4) 变、 (1 )2y = 的最小值是 . (2) . 2. 和为定值 (1) ,y=x(4-x) 的最大值是 . (2), 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=,则 y x 11+的最小值为______

高中数学必修五《基本不等式》培优专题(无答案)

高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优(1)常规配凑法 培优(2)“1”的代换 培优(3)换元法 培优(4)和、积、平方和三量减元 培优(5)轮换对称与万能k法 培优(6)消元法(必要构造函数求异) 培优(7)不等式算两次 培优(8)齐次化 培优(9)待定与技巧性强的配凑 培优(10)多元变量的不等式最值问题 培优(11)不等式综合应用

培优(1) 常规配凑法 1.(2018届温州9月模拟)已知242=+b a (a,b ∈R ),则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ,则22y x +的最大值为_____________ 3.(2018春湖州模拟)已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立,则正实数m 的最小值 是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.(2017浙江模拟)已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -++ +1 1 的最小值是_____________ 5.(2018江苏一模)已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2,则ab 的最小值是_____________ 6.(诸暨市2016届高三5月教学质量检测)已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 b b a 21 4+ -的最小值是_____________

7.(2018届浙江省部分市学校高三上学期联考)已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ,则a+2b 的最小值 是( ) A.23 B.22 C.3 D.2 培优(2) “1”的代换 8.(2019届温州5月模拟13)已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.(2018浙江期中)已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为( ) A.24 B.28 C.8 D.9

人教A版高中数学选修4-5_《不等式选讲》全册教案

选修4--5 不等式选讲

一、课程目标解读 选修系列4-5专题不等式选讲,内容包括:不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大(小)值、数学归纳法与不等式。通过本专题的教学,使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系都是基本的数学关系,它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用;使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景,以加深对这些不等式的数学本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。 二、教材内容分析 作为一个选修专题,虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块,教材内容仍以初中知识为起点,在内容的呈现上保持了相对的完整性.整个专题内容分为四讲,结构如下图所示: 第一讲是“不等式和绝对值不等式”,为了保持专题内容的完整性,教材回顾了已学过的不等式6个基本性质,从“数与运算”的思想出发,强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式,突出几何背景和实际应用,同时推广到n个正数的情形,但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。 对于绝对值不等式,借助几何意义,从“运算”角度,探究归纳了绝对值三角不等式,并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法,学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法,而不是系统研究。 第二讲是“证明不等式的基本方法”,教材通过一些简单问题,回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法,反证法、放缩法。其中,用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过,此处再现也是为了专题的完整性,对于新增的放缩法,应通过实际实际例子,使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法,比如舍掉或加进一些项,在分式中放大或缩小分子或分母,应用基本不等式进行放缩等(见分节教学设计)。本讲内容也是本专题的一个基础内容。 第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容,教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上,柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用,二者同样重要,在某些问题中,异曲同工。比如课本P41页,习题3.2 第四题。

最新高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答

不等式的基本知识 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则:b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论) 3、应用不等式性质证明不等式 (二)解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、, ac b 42-=?, 0>? 0=? 0a )的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2

一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < (三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,),把它的坐标(y x,)代入

高考专题数列与不等式放缩法

高考专题——放缩法 一、基本方法 1.“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路。 例1. 设a ,b 为不相等的两正数,且a 3-b 3=a 2-b 2,求证143 <+<a b 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零,求证: a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++>() [变式训练]已知* 21().n n a n N =-∈求证: *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 2. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小,一个真分式,分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大,利用这些性质,可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边,求证:12<++<a b c b a c c a b +++。 3. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*,求n 2n 13 12 11<…+ ++ + 。 例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?= ,求证:2 )1(2)1(2 +< <+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 4. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解。 例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ,证明:对于* N n ∈且3≥n 都有1 )(+>n n n f 。 例7. 已知2x 1)x (f +=,求证:当a b ≠时f a f b a b ()()-<-。

苏教版高中数学必修五高二(不等式)专题练习

高二数学(必修5不等式)专题练习 班级 姓名 一、选择题 1.若a>0,b>0,则不等式-b< 1 x 1b D.x<1b -或x>1a 2.设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a+b=2,则下列不等式成立的是 ( ) A 、2b a ab 122+<< B 、2b a 1ab 2 2+<< C 、12 b a ab 22<+< D 、1ab 2b a 2 2<<+ 3.二次方程22 (1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是A .31a -<< B .20a -<< C .10a -<< D .02a << ( ) 4.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2 x π∈ C .2 y = D .1y x =- 5.下列结论正确的是 ( )

A .当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且 B .21,0≥+>x x x 时当 C .x x x 1,2+ ≥时当的最小值为2 D .当x x x 1,20-≤<时无最大值 6.已知函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则 a 的取值范围是A .(1,3) B .(1,2) C .[)2,3 D .[]1,3 ( ) 7.不等式组1 31y x y x ≥-???≤-+?? 的区域面积是 ( ) A .12 B .32 C .5 2 D .1 8.给出平面区域如下图所示,其中A (5,3),B (1,1),C (1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a 的值是 ( ) A .32 B .21 C .2 D .2 3 9、已知正数x 、y 满足81 1x y +=,则2x y +的最小值是( ) A.18 B.16 C .8 D .10 10.已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式 250bx x a -+>的解集为 A 、11{|}32 x x -<< B 、11 {|}32 x x x <->或 C 、{|32}x x -<< D 、{|32}x x x <->或 ( ) 二、填空题 11.设函数23 ()lg()4 f x x x =--,则()f x 的单调递减区间是 。 12.已知x >2,则y =2 1 -+x x 的最小值是 . 13.对于任意实数x ,不等式23 208 kx kx +-<恒成立,则实数k 的取值范围是 14、设y x ,满足,404=+y x 且,,+∈R y x 则y x lg lg +的最大值是 。 15.设实数,x y 满足2210x xy +-=,则x y +的取值范围是___________。

高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课

2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻 辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课时作业 理 A 组——高考热点基础练 1.已知a ,b ,c 满足c <b <a 且ac <0,则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a <b a B.b -a c >0 C.b 2c 0,∴c a 0,a -c ac <0, 但b 2 与a 2 的关系不确定,故b 2c 0,即-16x 2+56 x -1>0,解 得2

C .4 D .5 解析:先作出可行域,再求目标函数的最大值. 根据题意作出可行域如图阴影部分所示,平移直线y =-2x ,当直线平移到虚线处时,目标 函数取得最大值.由? ?? ?? 2x -y =0, x +y =3,可得A (1,2),此时2x +y 取最大值为2×1+2=4. 答案:C 4.已知函数f (x )=ax 2 +bx +c ,不等式f (x )<0的解集为{x |x <-3或x >1},则函数y =f (- x )的图象可以为( ) 解析:由f (x )<0的解集为{x |x <-3或x >1}知a <0,y =f (x )的图象与x 轴交点为(-3,0),(1,0), ∴f (-x )图象开口向下,与x 轴交点为(3,0),(-1,0). 答案:B 5.设a ,b ∈R ,且a +b =3,则2a +2b 的最小值是( ) A .6 B .42 C .2 2 D .26 解析:2a +2b ≥22a +b =223=42,当且仅当2a =2b ,a +b =3,即a =b =32 时,等号成立.故 选B. 答案:B

高中数学必修五基本不等式学案

高中数学必修五基本不等式:ab≤a+b 2(学案) 学习目标:1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点). [自主预习·探新知] 1.重要不等式 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”). 思考:如果a>0,b>0,用a,b分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a,b,可得到怎样的不等式? [提示]a+b≥2ab. 2.基本不等式:ab≤a+b 2 (1)基本不等式成立的条件:a,b均为正实数; (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. 思考:不等式a2+b2≥2ab与ab≤a+b 2成立的条件相同吗?如果不同各是 什么? [提示]不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R;ab≤a+b 2成立的条件 是a,b均为正实数. 3.算术平均数与几何平均数 (1)设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为a+b 2,几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 思考:a+b 2≥ab与? ? ? ? ? a+b 2 2 ≥ab是等价的吗? [提示]不等价,前者条件是a>0,b>0,后者是a,b∈R. 4.用基本不等式求最值的结论 (1)设x,y为正实数,若x+y=s(和s为定值),则当x=y=s 2时,积xy有最

小值为2xy . (2)设x ,y 为正实数,若xy =p (积p 为定值),则当x =y =p 时,和x +y 有最大值为(x +y )2 4. 5.基本不等式求最值的条件 (1)x ,y 必须是正数. (2)求积xy 的最大值时,应看和x +y 是否为定值;求和x +y 的最小值时,应看积xy 是否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. 思考:利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件?若求和(积)的最值时,一般要确定哪个量为定值? [提示] 三个条件是:一正,二定,三相等.求和的最小值,要确定积为定值;求积的最大值,要确定和为定值. [基础自测] 1.思考辨析 (1)对任意a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,a +b ≥2ab 均成立.( ) (2)对任意的a ,b ∈R ,若a 与b 的和为定值,则ab 有最大值.( ) (3)若xy =4,则x +y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )=x 2 +2 x 2+1 的最小值为22-1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.设x ,y 满足x +y =40,且x ,y 都是正数,则xy 的最大值为________. 400 [因为x ,y 都是正数, 且x +y =40,所以xy ≤? ???? x +y 22 =400,当且仅当x =y =20时取等号.] 3.把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ,则另一边长可表示为(8-x )m ,则面积S =x (8-x )≤? ???? x +8-x 22 =16,当且仅当x =4时取等号,故当矩形的长与宽相等,都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]

数列与不等式专题练习[1]

数列与不等式专题练习 一、选择题 1.等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于( ) A .66 B .99 C .144 D .297 2.等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为( ) A .81 B .120 C .168 D .192 3.12+与12-,两数的等比中项是( ) A .1 B .1- C .1± D .2 1 4.已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ,那么2113 -是此数列的第( )项 A .2 B .4 C .6 D .8 5.在公比为整数的等比数列{}n a 中,如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为( ) A .513 B .512 C .510 D .8 225 6.已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( ) A .4- B .6- C .8- D .10- 7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5 935,95S S a a 则( ) A .1 B .1- C .2 D . 21 8.若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列,则x 的值等于( ) A .1 B .0或32 C .32 D .5log 2 9.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是( ) A .15(0,)2+ B .15(,1]2- C .15[1,)2+ D .)2 51,251(++- 10.在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是( ) A .钝角三角形 B .锐角三角形 C .等腰直角三角形 D .以上都不对 11.在等差数列{}n a 中,设n a a a S +++=...211,n n n a a a S 2212...+++=++,n n n a a a S 322123...+++=++,则,,,321S S S 关系为( ) A .等差数列 B .等比数列 C .等差数列或等比数列 D .都不对 12.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log ...log a a a +++=( ) A .12 B .10 C .31log 5+ D .32log 5+

专题一 第3讲 不等式

第3讲 不等式 [考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功,在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式 恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查,中等难度. 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼 1.不等式的倒数性质 (1)a >b ,ab >0?1a <1b . (2)a <0b >0,0b d . 2.不等式恒成立问题的解题方法 (1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立?f (x )min >a ,x ∈I ;f (x )g (x )对一切x ∈I 恒成立?当x ∈I 时,f (x )的图象在g (x )的图象的上方. (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法. 例1 (1)若p >1,01 B.p -m p -n log n p 答案 D 解析 方法一 设m =14,n =1 2 ,p =2,逐个代入可知D 正确. 方法二 对于选项A ,因为01,所以00,所以p -m p -n >m n ,故B 不正确;对于 选项C ,由于函数y =x -p 在(0,+∞)上为减函数,且0n -p ,故C 不正确;对于选项D ,结合对数函数的图象可得,当p >1,0log n p ,故D 正确. (2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax -b ≤0的解集是[2,+∞),则关于x 的不等式ax 2+(3a -b )x -3b <0的解集是( )

专题3.3 数列与函数、不等式相结合问题(解析版)

一.方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题,难度较大,求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析. 二.解题策略 类型一数列中的恒成立问题 【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足,,数列满足,记数列的前项和为,若对于任意的,,不等式恒成立,则实数的取值范围为() A.B. C.D. 【答案】A 【解析】 由题意得,则,等差数列的公差, . 由, 得, 则不等式恒成立等价于恒成立, 而, 问题等价于对任意的,恒成立. 设,, 则,即,

解得或. 故选:A. 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题,仍要转化为求最值的问题求解,解答本题的关键是由等差数列通项公式可得,进而由递推关系可得 ,借助裂项相消法得到,又 ,问题等价于对任意 的 , 恒成立. 【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =,其前n 项和为n S ,且满足()2 142,n n S S n n n N -++=≥∈,若 对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立,则a 的取值范围是( ) A .()3,5 B .()4,6 C .[)3,5 D .[)4,6 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足 , ,则使 的正整数的最小值是( ) A .2018 B .2019 C .2020 D .2021

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