2015年杭州市下城区一模试卷 带答案

2014学年杭州市各类高中升学考试模拟试卷

数 学

考生须知：

1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．满分120分，考试时间100分钟； 2．答题前，必须在答题卡填写校名，班级，姓名，正确涂写考试号；

3．不允许使用计算器进行计算，凡题目中没有要求取精确值的，结果中应保留根号或π．

一，仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案． 1．下列各数中，整数部分为3的数是（ ） A ．π B

C ．3

D ．2 2．右图三视图所表示的几何体是（ ）

A ．直三棱柱

B ．直四棱柱

C ．圆锥

D ．不存在

3．某校为了解九年级11个班级学生（每班40名）的视力情况，下列做法中，比较合理的是（ ） A ．了解每一名学生的视力情况； B ．了解每一名男生的视力情况； C ．了解每一名女生的视力情况；

D ．每班各抽取10名男生和10名女生，了解他们的视力情况． 4．在下列各式的变形中，正确的是（ ）

A ．()()2

2

x y y x x y ---+=-- B ．()41322

2--=--x x x

C ．1

11x x

-

=- D ．()x y y x -=-1- 5．买1根油条和3个大饼共7元，买3根油条和1个大饼共5元．下列说法中正确的是（ ） A ．买1根油条和1个大饼共2.5元； B ．2根油条比1个大饼便宜； C ．买2根油条和4个大饼共9元； D ．买5根油条和7个大饼共19元．

6．在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，若BC ：AC =3：4，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，则tan ∠DBC 的值为（ ） A ．

31 B ．21 C ．53 D ．5

4

（第2题） 主视图

左视图

俯视图

（第16题）

7．对于反比例函数k

y x =

，如果当2-≤x ≤1-时有最大值4=y ，则当x ≥8时，有（ ） A ．最小值y =2

1- B ．最小值1-=y C ．最大值y =21

- D ．最大值1-=y

8．在直径为8cm 的圆外有一点P ，点P 到圆上的点的最短距离为4cm ，则过点P 的圆的切线长 为（ ）

A ．4cm

B ．24cm

C ．34cm

D ． 6cm

9．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，AC =3cm ，点A ，B 在直线l 上．将Rt △ABC 沿直线l 向右作无滑动翻滚，则Rt △ABC 翻滚一周时点A 经过的路线长是（ ） A ．π5 B ．23π C ．213π D ．2

23π

10．已知方程组?

?

?+=--=+531a y x a

y x 的解x 为正数，y 为非负数，给出下列结论：

①3-＜a ≤1；②当3

5

-

=a 时，y x =； ③当2-=a 时，方程组的解也是方程a y x +=+5的解；④若x ≤1，则y ≥2． 其中正确的是（ ）

A ．①②

B ． ②③

C ．③④

D ．②③④ 二， 认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分） 要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案． 11．已知∠A 与∠B 互余，若∠A =20°15′，则∠B 的度数为 ． 12．数据2，2，6，3，-3，-1的平均数是 ，中位数是 ． 13．分解因式：2

3

363x x x -+-= ．

14．已知：⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A =8∠C ，则∠C 的度数是___________． 15．已知抛物线)2

)(1(k

x x k y -

+=与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．若△ABC 为等腰三角形，则k 的值为 ．

16．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且BD =CE =B C ．若∠A =25°， 则∠BFC = ；若∠A =45°且BF ：CF =5：12，则AE ：AB = ．

l

（第9题）

三，全面答一答（本题有7个小题，共66分）

解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17．（本小题满分6分）

用若干火柴首尾相接摆成一个长方形．设一根火柴的长度为1，长方形的两邻边的长分别为x ，y ，要求摆成的长方形的面积为18．

（1）求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围； （2）能否摆成正方形？请说明理由．

18．（本小题满分8分）

记3(3)(43)(3)z x y x x y x y =---+．

（1）若,x y 均为整数，求证：当x 是3的倍数时，z 能被9整除； （2）若1y x =+，求z 的最小值．

19．（本小题满分8分）

在A ，B ，C ，D 四张卡片上分别用一句话描述了一个图形，依次为： A ：内角和等于外角和的一半的正多边形；B ：一个内角为

108的正多边形； C ：对角线互相平分且相等的四边形；D ：每个外角都是

36的多边形． （1）依次说出这四张卡片上描述的图形名称；

（2）从这四张卡片中任取两张，描述的图形都既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是多少（利

用树状图或列表来求解）？

已知在△ABC 中，AB =4，AC =3，AB 与AC 的夹角为α，设△ABC 的面积为S ． （1）求S 关于α的函数表达式；

（2）何时△ABC 的面积最大？请用尺规作出它（用给定的单位长度， 不写作法，保留作图痕迹），并计算出此时的面积．

21．（本小题满分10分）

写出以下命题的逆命题，判断逆命题的真假．若为假命题，请举反例；若为真命题，请给予证明． （1）一次函数b kx y +=，若0>k ，0

（第20题）

1 单位长度

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接OC，作直线BD∥OC交⊙O于点D．点P是直线BD 上的动点，连接AP．

（1）求证：点C是

AD的中点；

（2）连接CD，问∠ABD为多少度时，四边形CDBO是菱形？

（3）①当AP在AC的左侧时，求证：∠CAO=∠APB+∠P AC；

②当AP在∠CAB的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这

三个角之间的数量关系；

③当AP在AB的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明．

（第22题）

已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为P （2，4）． （1）试写出b c ，之间的关系式；

（2）当0a >时，若一次函数4y x =+的图象与y 轴及该抛物线的交点依次为D ，E ，F ，且E ，F 的

横坐标1x 与2x 之间满足关系216x x =． ①求△ODE 与△OEF 的面积比；

②是否存在a ，使得∠EPF =90°？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．

2014学年杭州市各类高中升学考试模拟试卷

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答案及评分标准

一、选择题（每题3分，共30分）

11． 69°45′； 12． 1．5 , 2； 13． 2)1(3--x x ；

14． 20°； 15． 2，34，215+，2

5

1-； 16．130°，32． 三．解答题（共66分） 17．（6

解：（12分） 自变量的取值范围为：1，2，3，6，9，18；

（如写出“1≤x ≤18，取整”及相近答案给1分，写出完整答案才能得2分）

（2）不能摆成正方形．理由如下：

（2分）

18．（8分）

解：化简，得2297y x z +-=． （2分）

（1）∵x 为整数，且是3的倍数，∴设k x 3=（k 为整数） 则)7(99)3(72222y k y k z +-?=+-=

又∵y 为整数，∴227y k +-也为整数，故z 能被9整除； （3分）

（2）将1y x =+代入2

297y x z +-=，得91822++=x x z =2

63)2

9(22

-

+x 则z 的最小值为2

63

-． （3分） 19．( 8分)

解：（1）四张卡片上描述的图形依次为正三角形，正五边形，矩形，十边形；

（1分/个，共4分）

（2）画树状图，列表或枚举出AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 六种情况． （2分）

，所以，该事件概率为0． （2分）

20．（10分）

（1）如图1，若α为锐角，过点C 作CD ⊥AB ，则

αααsin 6sin 3421

sin 2121=???=??=?=

AC AB CD AB S （2分） 如图2，若α为钝角，过点C ’作C

’D ⊥AB ，则

分）

（2）当

90=α时，面积最大，最大面积是6；作图略． （计算作图各3分，共6分） 21．（10分）

解：（1）逆命题是“一次函数b kx y +=，若它的图像不经过第二象限，则0>k ，0

这个命题为假命题． （各得1分，共2分） 反例：它的图像经过第一．三象限，则满足不经过第二象限，但0>k ，0=b ．

（2分．若举出的反例不符合反例的定义：“满足条件，不满足结论”，则视为全错，不得分）

（2）逆命题是“如果一个三角形一边的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．”

这个命题为真命题． （各得1分，共2分） 证明如下： 已知：如图2，在△ABC 中，D 是BC 中点，

作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DE =DF ． （1分） 求证：△ABC 是等腰三角形． （1分） 证明：证明△BDE ≌△CDF ∴∠B =∠C ∴△ABC 是等腰三角形． （其它证法正确均可得分，2分）

图2

图1

22．（12分）

解：（1）∵BD ∥OC ∴∠COA =∠DBA ∵∠COA = ?AC ，∠DBA =

2

1?AD ． ∴?

AC =2

1?

AD ，即点C 是?

AD 的中点； （4分）

（2）当∠ABD =60°时，四边形CDBO 是菱形；

证明如下：先证四边形CDBO 是平行四边形．

又∵OB =OC ，∴四边形CDBO 是菱形； （3分）

（3）①延长AC 交BD 于点E ， ∵BD ∥OC ∴∠ACO=∠AEB

∵∠AEB =∠APB +∠P AC ， ∴∠ACO =∠APB +∠P AC

又∵OA =OC ∴∠OCA=∠OAC ∴∠OAC=∠APB +∠P AC ； （2分）

②∠OAC=∠APB —∠P AC

证法同上，只是在△AEP 中，∠AEB =∠APB —∠P AC ； （2分）

③不成立． （1分）

23．（12分）

解：（1）22(2)4444y a x ax ax a =-+=-++，

由a b 4-=，44+=a c ，可得4=+c b ； （4分） （2）∵同高，∴6:1:::21===x x DF DE S S O D F O D E △△,

∴5:1:=O EF O D E S S △△； （4分） （3）如图，∵直线4y x =+，∴设点E 的坐标为（m ，4+m ），则点F 的坐标为（m 6，46+m ）

∵∠EPF=90°，易证△EPM ∽△PFN ， ∴

PM PN EM =，即m

m 2-=， 整理得，02762

=++m m ，解得211=m ，3

22=m 此时，点E 1(21，29)，F 1（3，7）；或E 2(32，3

2

4)，F 2（4解法1：将点F 1，F 2分别代入二次函数，得31=a ，2a 即4)2(32

1+-=x y ；4)2(2

2+-=x y

然而，将E 1，E 2∴a 不存在．

【解法2：将点E 1，E 2分别代入二次函数，得921=

a ，2=a 然而，将F 1，F 2分别代入所求二次函数，却不满足此二次函数，∴a 不存在．】

（其它方法求解正确均得分，共4分）

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