全国中学生数理化竞赛试题

（数学部分）

第一部分解题技能竞赛大纲

第二部分解题技能竞赛试题样题

第三部分数学建模论文示范论文

首届全国中学生数理化学科能力竞赛

化学学科笔试部分竞赛大纲（2008年试验稿）

为了提高广大青少年走进科学、热爱科学的兴趣，培养和发现创新型人才，团中央中国青少年发展服务中心、全国“青少年走进科学世界”科普活动指导委员会办公室共同举办首届“全国中学生数理化学科能力竞赛”（以下简称“竞赛”）。竞赛由北京师范大学《高中数理化》杂志社承办。为保证竞赛活动公平、公正、有序地进行，现将数学学科笔试部分竞赛大纲颁布如下：

1 命题指导思想和要求

根据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，着重考查学生的基础知识、基本能力、科学素养和运用所学知识分析问题、解决问题力及创新能力。命题吸收各地高考和中考的成功经验，以能力测试为主导，体现新课程标准对能力的要求，注意数学知识中蕴涵的丰富的思维素材，强调知识点间的内在联系；注重考查数学的通法通则，注重考查数学思想和方法。激发学生学科学的兴趣，培养实事求是的科学态度和创新能力，促进新课程标准提出的“知识与技能”、“过程与方法”、“情感与价值观”三维目标的落实。总体难度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原则。并提出以下三个层面上的命题要求：

1）从宏观上看：注意对知识点和能力点的全面考查，注意对数学基本能力（空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力）的考查，注意对数学思想和方法方面的考查，注意考查通则通法。

2）从中观上看：注意各个主要知识块的重点考查，注意对主要数学思维方法的考查。

3）从微观上看：注意每个题目的基础性（知识点）、技能性（能力点）、能力性（五大基本能力为主）和思想性（四种思想为主），注意考查大的知识块中的重点内容（如：代数中的函数的单调性、奇偶性、周期性），注意从各个知识点之间的交

汇命题，注意每个题目的通则通法使用的同时也适度引进必要的特技，注意题目编拟中一些题目的结构特征对思路形成的影响。

2 命题范围

依据教育部《全日制义务教育数学课程标准》和《全日制普通高级中学数学课程标准》的要求，初赛和决赛所考查的知识点范围，不超出相关年级在相应的时间段内的普遍教学进度。另外要明确初二年级以上开始，每个年级的命题范围包含下年级的所有的内容。比如：高一的命题范围包括初中所有内容和高中阶段所学的内容。

3 考试形式

初一、初二、初三、高一、高二组：闭卷，笔答。考试时间为120分钟，试卷满分为120分。

4 试卷结构

全卷选择题6题，非选择题9题（填空6题、解答题3题）

5 难度系数

1）初赛试卷的难度系数控制在0.6左右；

2）决赛试卷的难度系数控制在0.5左右。

A

D

初中一年级样题

一、 选择题（每小题5分，共30分）

1、若5=a ，3=b ，那么b a ?的值有( )个 【C 】 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

2、若

1

4+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ).【D 】

（A ）3个 （B ） 4个 （C ） 5个 （D ） 6个

3、如果代数式4y 2－2y +5的值为7，则代数式2y 2－y +1的值等于（ ）【A 】 （A ）2 （B ）3 （C ）-2 （D ）4

4、已知A ∠与B ∠之和的补角等于A ∠与B ∠之差的余角，则B ∠＝（ ）【C 】 （A ）750

（B ）600

（C ）450

（D ）300

5、如右图所示，在△ABC 中，∠ACB 是钝角，让点C 在射线BD 上向右移动，则（ ）【D 】

（A ）△ABC 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形

（B ）△ABC 将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形

（C ）△ABC 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形

（D ）△ABC 先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形

6、观察这一列数：34

-，57

, 910

-

,

1713

,3316

-

，依此规律下一个数是（ ）【D 】

（A ）4521

（B ）4519

（C ）6521

（D ）

6519

二、

填空题（每小题5分，共30分）

7、已知

a

b

=

=

，则b

a 323

+＝_________ 【128】

8、甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页。

若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了 页【35】 9、

如果多项式3mx a

y 与—2nx 4a —3

y 是关于x 、y 的单项式，且他们的和是单项式，则a

2004

—1=______

【0】

10、一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是_________cm 3。【60】

11、张、王、李三人预测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果：王说："丁队得冠军，乙队得亚军"； 李说："甲队得亚军，丙队得第四"；张说："丙队得第三，丁队得亚军"。 赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是___________。【丁】 12、如果a 、b 、c 是非零有理数，那么c

c b b a a ++的所有可能值是

【3、1、-1、-3】

三、 解答题（每小题20分，共60分）

13、计算()

()()

12

13

12

2008

2007

30165200120011??

?

??-?-?---??

?

? ??【2007】 14、三个互不相等的有理数，既可以表示为1，b a +，a 的形式，也可以表示为0，a

b ，b 的

形式，试求20012000b a +的值

【解：由于三个互不相等的有理数，既表示为1，b a +，a 的形式，又可以表示为0，

a

b ，

b 的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等。

于是可以判定b a +与a 中有一个是0，b a

b 与中有一个是1，但若0=a ，会使a

b 无意义，

∴0≠a ，只能0=+b a ，即b a -=，于是1-=a

b

．只能是1=b ，于是a ＝－1。

∴原式＝2 。】

15、现在由五个福娃带我们去参观国家体育馆“鸟巢”，贵宾门票是每位30元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，我们一行共有18人（包括福娃），当领队欢欢准备好零钱到售票处买18张票时，爱动脑筋的晶晶喊住了欢欢，提议买20张票，欢欢不明白，明明我们只有18人，买20张票岂不是“浪费”吗？

（1）请你算算，晶晶的提议对不对？是不是真的“浪费”呢？

（2）当人数少于20人时，至少要有多少人去“鸟巢”，买20张票反而合算呢？ 【略】

16、如图，已知l 1∥l 2，MN 分别和直线l 1、l 2交于点A 、B ，ME 分别和直线l 1、l 2交于点C 、D ．点P 在MN 上（P 点与A 、B 、M 三点不重合）．

α

β

γ

l l 1

2

A

B

C

D M

N

E

P

（1）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由． （2）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，∠α、∠β、∠γ有何数量关系？（只须写出结论） 【答案：①过点P 作P F ∥AC ，交ME 于点F,则∠γ= ∠α+∠β

②当点P 运动到射线AN 上时：∠α= ∠γ+∠β 当点P 运动到线段BM 上时: ∠β= ∠γ+∠α】

初中二年级样题

一、 选择题（每小题5分，共30分）

1、一个多边形的内角和与外角和的总和为1800°，则这个多边形的边数是（ ）【B 】 （A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）14

2、若直线b kx y +=1过第一、二、四象限，那么直线k bx y +=2不经过（ ）【B 】 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

3、如图是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD 的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD 中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如就视

为同一种图案，则不同的涂法有 ( )【C 】

(A)4种 (B)6种 (C)8种 (D)12种。

4、在ABC ?中，设C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,,若3:2:1::=∠∠∠C B A ，那么

c b a ::等于 ( ) 【B 】

(A)3:2:1 (B)2:3:1 (C) 9:4:1 (D) 3:2:1

5、如右图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，

N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小为（ ）．

（A ）8 B ．．．10

【D 提示：D 点和B 点关于AC 对称】

6、、已知长度为l0cm 的线段AB ，以AB 为直径向上作半圆，记该半圆的周长为C 1；将AB 两

等分，分别以其一半线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C 2；再将AB 三等分，分别以其三分之一线段为直径向上作半圆，记该两个半圆的周长之和为C 3；如此继续，记k 等分时各半圆周长之和为 C k ，那么随着等分数k 的增加，各半圆周长之和C k 的数值 ( )

（A ）越来越大 （B ）越来越小 （C ）不变 （D ）无法判断 【C 不管等分数为多少，各个半圆的周长之和始终为5π】

二、 填空题（每小题5分，共30分）

7、如图1，直线l 上放置了一个边长为6的等边三角形，当等边

三角形沿着直线翻转一次到达图2的位置.如果等边三角形翻转 204次，则顶点A 移动的路径总长是_____ _ (用π表示) 【544π】

8、下列4个判断：

①有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

②两个三角形的6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等； ③有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； 其中正确判断的编号是___________________【①②③】

9、若a 、c 、d 都是整数，b 是正整数，且a ＋b ＝c ，b ＋c ＝d ，c ＋d ＝a ，则a ＋b ＋c ＋d 的最大值是____________

【－5 ∵a ＋b ＝c ①，b ＋c ＝d ②，c ＋d ＝a ③，∴由①＋②得a+c+2b=c+d=a ，即c= －2b 进而得a=－3b,d=－b,∴a+b+c+d=－5b,∵b 是正整数，∴最大值为－5】

10、现有长为150的铁丝，要截成若干个小段，要求每段的长度都是不小于1的整数，如果其中任意三小段都不能组成三角形，问当切成最多段时，共有___________种切法.

【7．提示：要尽可能多的切成段，且任意三小段都不能组成三角形，只能这样切成10段： （1）1，1，2，3，5，8，13，21，34，55＋7（2）1，1，2，3，5，8，13，21，35，55＋6 （3）··· ，36，55＋5 （4）··· ，37，55＋4（∵59－37>21） (5)··· 13,22,35,57+3 (6)···,22,36,57+2（∵59－36>22） (7)···,8,14,22,36,58】

11、一批旅客决定分乘几辆大汽车，并且要使每辆车有相同的人数。起先，每辆车乘坐22人，发现有一人坐不上车。若是开走一辆空车，那么所有的旅客刚好平均分乘余下的汽车。已知每辆车的载客量不能多于32人，则原有 辆汽车，这批旅客有 人。 【提示：设原有k 辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n 个人，显然k ≥2，n ≤32．

易知旅客人数等于122+k ，当一辆空车开走以后，所有旅客的人数可以表示为)1(-k n ，由此列出方程

)1(122-=+k n k 。 所以 1

2322123

)1(221

122-+

=-+-=

-+=

k k k k k n 。

因为n 为正整数数，所以1

23-k 必为正整数，但由于23是质数，因数只有1和23两个，

且k≥2，所以1

1=

-

k，或23

1=

-

k。

如果1

1=

-

k，则2

=

k，45

=

n，不满足n≤32的条件。

如果23

1=

-

k，则24

=

k，23

=

n，符合题意。

所以旅客人数等于)1

(-

k

n＝23×23＝529（人）】

12、∣

a

c

b

d

|叫做二阶行列式，它的算法是：ad bc

-，将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式，则不同的计算结果有＿＿个，其中，数值最大的是＿＿＿【6，14】

三、解答题（每小题20分，共60分）

13、如图，横向或纵向的两个相邻格点的距离都是1．若六边形(可以是凸的或凹的)的顶点都在格点上，且面积为6，画出三个形状不同的这样的六边形．

【答案：如右图,符合条件的六边形有许多．】

14、甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离s （千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。请根据图象中的数据回答：

（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？

（2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？

（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？

【答案：（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析

式为s kt

=

将(2.4,48)代入，解得20

k=所以20

s t

=

由图可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当30

s=

千米时，

30

1.5

2020

s

t===（小时）。即甲车出发1.5

小时后被乙车追

上

（2）由图知，可设乙车由A 地前往B 地函数的解析式为s pt m =+ 将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得030 1.5p m p m

=+??=+?，解得6060

p m =??

=-?

所以6060s t =-

当乙车到达B 地时，48s =千米。代入6060s t =-，得 1.8t =小时 又设乙车由B 地返回A 地的函数的解析式为30s t n =-+ 将（1.8，48）代入，得4830 1.8n =-?+，解得102n = 所以30102s t =-+

当甲车与乙车迎面相遇时，有3010220t t -+=

解得 2.04t =小时 代入20s t =，得40.8s =千米

即甲车与乙车在距离A 地40.8千米处迎面相遇

（3）当乙车返回到A 地时，有301020t -+= 解得 3.4t =小时 甲车要比乙车先回到A 地，速度应大于

48483.4 2.4

=-（千米/小时）】

15、当x=20时，一个关于x 的二次三项式的值等于694．若该二次三项式的各项系数及常数项

都是绝对值小于10的整数，求满足条件的所有二次三项式．

【答案：将x =20代入a x 2+b x +c 得400a+20b +c =694①，于是400a =694-(20b +c )， 由-10

又-10

16、现有一台天平，一个2克的砝码和一个7克的砝码，要求只使用这台天平三次，将一包重140克的食盐分成90克和50克。此外，为了便于减少误差，每次分离食盐时，规定重量是整数千克。请你设计尽可能多的方案，说明基本理由

【此题有多种答案。若考虑现有砝码与其不同放置的情况，可将指定重量分为2份，它们的重量之差(克数)仅限于：0、2、5、7与9。因此可设如下数学模型：

为整数、，奇数或或偶数或y x )(N 975)(N 20 k y -x N,

y x ?

??=??

?==+k 。从而可得下列5种解决方案

而若考虑将已称量的食盐当作新的砝码，则还可以得到其他的解决方案(略)。】

B

C

初中三年级样题

一、选择题（每小题5分，共30分）

1、已知4=-b a ，042=++c ab ，则b a +＝（ ） 【B 】 （A ）4 （B ）0 （C ）2 （D ）－2

2、将五张分别画有等边三角形、直角三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是 （ ）【B 】

（A ）

5

1 （B ）

5

2 （C ）

5

3 （D ）

5

4

3、一块含30°角的直角三角板（如右图），它的斜边AB =8cm ，里面空心

△DEF 的各边与△ABC 的对应边平行，且各对应边的距离都是1 cm ，那么△DEF 的周长是（ ） (A) 5 cm (B) 6 cm (C)（36-

）cm (D)（33+

）cm

【B ：提示：连结BE ，分别过E ，F 作A C 的平行线交BC 于点M 和N ，则EM =1，BM =3，MN =33134-=--．∴ 小三角形的周长是632=++MN MN MN cm 】 4、作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平

移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1)1(22-+=x y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是（ ）【D 】

(A) 2)3(22-+-=x y (B) 2)3(22++-=x y (C) 2)1(22---=x y (D) 2)1(22+--=x y

5、如图，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白 两个甲壳虫同时从A 点出发，以相同的速度分别沿棱 向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA 1→A 1D 1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB →BB 1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第n n 与第2+条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n 是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案： C

黑甲壳虫爬行的路径为：111111111......AA A D D C C C C B BA AA A D →→→→→→→→

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

D 1

白甲壳虫爬行的路径为：

111111111......AB BB B C C D D A A A AB BB →→→→→→→→

黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因2008=334×6+4，所以当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C ，白甲壳虫停在点D 1，因此

1CD =

6、一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是（ ） 【C 】 （A ）11 （B ）13 （C ）17 （D ）19

二、填空题（每小题5分，共30分）

7、正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点A 顺时针旋转60°得正方形AB ′C ′D ′，点C 所

经过的路径长为 。π3

】

8、已知直角三角形的两直角边长分别为3 cm 和4 cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm ． 【

5

12 解：不难证明其公共弦就是直角三角形斜边上的高(设为h )，则5h =3×4，h =

5

12】

9、设1x 、2x 是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实根，且8)1)(1(21=++x x ．则k 的值是 ． 【1】

10、从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5．则这个等边三角形的面积是 【327】

11、将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数（当数据的个数是奇数时），或最中间两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数．现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是 【答案：35％或65％ 解：如果平均数小于中位数，那么小于平均数的数据有35个；如果平均数大于中位数，那么小于平均数的数据有65个，所以这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是35％或65％】

12、在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）、Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，点M 的横坐标x ＝ 【2

5】

三、解答题（（每小题20分，共60分）

13、如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，求△AOB 面积的最小值．

【解：设一次函数解析式为y kx b =+，则32k b =+，得

32b k =-，令0y =得b x k

=-

，则OA ＝b k

-

．

令0x =得y b =，则OA ＝b ．

2

2

2

1()21(32)214129

2124]

2

12.

AO B b S b

k k k

k k k

?=

?-?-=?--+=?

-=?-

+≥

所以，三角形AOB 面积的最小值为12．】

14、小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm ，宽为8cm 的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长。

解：分三种情况 ：（1）当底边在长方形的长边上时，如图1，AB =AC =10 cm ，

BE

=

==6 cm ，BC =2BE =12 cm

（2）当腰在长方形的长边上时， 如图2（a ），BC =AB =10 cm ，CE =BC -BE =10-6=4 cm ，

AC

=

=

=cm

如图2（b ），BC =AC =10 cm ，BE =BC ＋CE =10＋6=16 cm ， AB

=

==cm

故等腰三角形的底边长为12 cm

或cm

或 cm

15、边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2的两部分，那么所有这些等腰三

角形中，面积最小的三角形的面积是多少？ 答案：

4

63

解：设这个等腰三角形的腰为x ，底为y ，分为的两部分边长分别为n 和2n ，得

A

C

E 图1 A C E 图

2(a)

图2(b)

????

?=+=+;22,2n y x n x x 或?????

=+=+.2,

22n y x n x x 解得??

???==;

35,

32n y n

x 或????

?

==.3,

34n

y n x

∵ 35322n n <

?(此时不能构成三角形，舍去)，∴ 取?????

==,3

,34n y n x 其中n 是3的倍数． 三角形的面积222

3663)6()

3

4(

3

2

1n n n n S =-??

=

?．对于2

36

63n S =?， 当n ≥0时，?S 随着n 的增大而增大，故当n =3时，4

63=

?S 取最小．

高中一年级样题

一 选择题（每小题5分，共30分）

1．已知(22)44x x x x f ---=+，则()f x =（ B ）

（A ）44x x -+ （B ）22x + （C ）22x - （D ）2x

2．已知{}{}22()1,()()1,A x f x x B f x f x x ==+==+{}2[()]()1C f f x f x x ==+，则下列结论正确的是（D ）

（A ）A B C == （B ）A B C ?= （C ）A B C ?= （D ）A B C ??

3．设1 < a < b < a 2，则在四个数2，log a b ，log b a ，log a b a 2中，最大的和最小的分别是（ A ） （A ）2，log b a （B ）2，log a b a 2 （C ）log a b ，log b a （D ）log a b ，log a b a 2 令2,3a b ==，则

2

23969log log 3(1,2),log log 2log 4(0,1),log log 4log 4a b ab b a a =∈==∈=>

故选A

4．如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ C ） （A ）[2,2]-（B

）2]（C

）(2]（D

）[2]

由2

30,a -<或2030a a >??-=?，或?????>->≥--=?,

03,0,

0)3(42

22a a a a

解得，(2]a ∈，故选C

5

> 1 – log 2 x 的解是（ B ）

（A ）x ≥ 2 （B ）x > 1 （C ）1 < x < 8 （D ）x

> 2 222

22

1log 0

1log 1log (1log )x x x x -≥?-??+>-?，或221log 01log 0x x -，故选B

6．已知y = f ( x ) 是定义在R 上的单调函数，则（ D ） （A ）函数x = f – 1

( y ) 与y = f ( x )的图象关于直线y = x 对称 （B ）函数f ( – x ) 与f ( x )的图象关于原点对称 （C ）f – 1 ( x )和f ( x )的单调性相反

（D ）函数f ( x + 1 ) 和f – 1

( x ) – 1的图象关于直线y = x 对称 二 填空题（每小题5分，共30分） 7．已知不等式(

12

) x 2 – a > 4 – x

的解集是( – 2，4 )，那么实数a 的值是 8 。

8．已知函数y = lg ( m x 2 – 4 x + m – 3 ) 的值域是R ，则m 的取值范围是[0，4] 。

0,m =或0

164(3)0

m m m >??

?=--≥?，解得04m ≤≤

9．如果函数f ( x ) = a x 2 + b x + c ，x ∈[ 2 a – 3，a 2 ]是偶函数，则a = -3或1 ，b = 0 。 10．多项式226512248x xy y x y -+-+-因式分解的结果是(28)(36)x y x y ---+。 提示：十字相乘法

11．若方程| x 2 – 4 x + 3 | – x = a 有三个不相等的实数根，则a =1-或34

-。

提示：图象法 12

．函数y =

。

提示：y ==

三 解答题

13（本小题满分20分）

已知,1a ,0a ≠>试求使方程)a x

(log

)ak x (log 2

2

2

a a -=-有解的k 的取值范围

解：由对数函数的性质可知，原方程的解x 应满足 ??

?

??>->--=-)

3(.0a x )2(,0ak x )1(,a x )ak x (22222 当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解

??

?>--=-)

2(,

0ak x )1(,a x )ak x (222

由（1）得)4()

k 1(a kx 22

+=

当k=0时，由a>0知（4）无解，因而原方程无解 当k ≠0时，（4）的解是

)5(.k

2)

k 1(1x 2

+=

，把（5）代入（2），得

.k k

2k 12

>+

解得：.1k 01k <<-<<∞-或

综合得，当k 在集合)1,0()1,(?--∞内取值时，原方程有解

14（本小题满分20分）

已知{}22,A t s t s B =+∈，且,x y A ∈ （1）若B Z =，求证：xy A ∈ （2）若B Q =，且0y ≠，求证：

y A x ∈

（1）证明：因为B Z =，且,x y A ∈，

所以可设2222,x m n y p q =+=+，其中,,,m n p q Z ∈

因为2222222222()()()()()()()()xy m n p q m p m q np nq m p nq np m q =++=+++=++- 而,,,(),()m n p q Z mp nq np mq Z ∈?+-∈ 所以xy A ∈

（2）证明：因为B Q =，且,x y A ∈，

所以可设2222,x m n y p q =+=+，其中,,,m n p q Q ∈ 因为 2222

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

()()

()()

(

)(

)()

()

x xy m n p q m p nq np m q m p nq np m q y y

p q p q p q

p q

++++-+-==

=

=+++++

而,,,m n p q Q ∈2

2

2

2

(

),(

)mp nq np mq Q p q

p q

+-?∈++

所以y A x

∈

15（本小题满分20分）

已知点 M 是 A B C ? 的中线 A D 上的一点, 直线 BM 交边 A C 于点

N , 且 A B 是 N B C ? 的外接圆的切线, 设

B C B N

λ=, 试求

B M M N

(用 λ 表示)

证明：在B C N

?中，由Menelaus定理得B M N A C D M N A C D B

??=

因为BD D C

=，所以B M A C M N A N

=

由ABN AC B

∠=∠，知?∽A C B

?，则A B A C

A N A B

==

所以，

2

AB AC C B

AN AB BN

??

?= ?

??

，即

2

?

?

?

?

?

=

BN

BC

AN

AC

因此，

2

?

?

?

?

?

=

BN

BC

MN

BM

．又

B C

B N

λ

=，故2

B M

M N

λ

=

高中二年级样题

一 选择题（每小题5分，共30分）

1．已知{}{}22()1,()()1,A x f x x B f x f x x ==+==+{}2[()]()1C f f x f x x ==+，则下列结论正确的是（D ）

（A ）A B C == （B ）A B C ?= （C ）A B C ?= （D ）A B C ??

2．设1 < a < b < a 2，则在四个数2，log a b ，log b a ，log a b a 2中，最大的和最小的分别是（ A ） （A ）2，log b a （B ）2，log a b a 2 （C ）log a b ，log b a （D ）log a b ，log a b a 2

令2,3a b ==，则

2

23969log log 3(1,2),log log 2log 4(0,1),log log 4log 4a b ab b a a =∈==∈=>

故选A

3．圆x 2

+ ( y – 1 ) 2

= 1上任意一点P ( x ，y )都满足x + y + c ≥ 0，则c 的取值范围是（ C ） （A ）( – ∞，0 ] （B ）

[+ ∞ ) （C ）

1，+ ∞ ) （D ）[ 1

+ ∞ ) 4

> 1 – log 2 x 的解是（ B ）

（A ）x ≥ 2 （B ）x > 1 （C ）1 < x < 8 （D ）x

> 2 222

221log 0

1log 1log (1log )

x x x x -≥?-??+>-?，或221log 01log 0x x -，故选B

5．棱长为32的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放入一个小球，则这些的

最大半径为 （C ） （A ）

2 (B)

2

2 (C)

4

2 (D)

6

2

如果正四面体的棱长为a ，则根据正四面体的性质和球的性质可计算出正四面体的内切球半径

为

12

（正四面体的内切球的球心将高四等分），后放入小球是一个新正四面体的内切球，且

新正四面体的高为原正四面体的高减去其内切球的直径，所以新正四面体的高

为

2312

-

?

6

=

，进而得到所求球的半径为

146

4

?

=