第六讲 整式相关概念

第六讲 整式

一、单项式

1．单项式：

通过特征的描述，引导学生概括单项式的概念，从而引入课题：单项式，并板书归纳得出的单项式的概念，即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。然后教师补充，单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5。

2．练习：判断下列各代数式哪些是单项式？

(1)

2

1 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2

； (7)－5。 (加强学生对不同形式的单项式的直观认识，同时利用练习中的单项式转入单项式的系数和次数的教学)

3．单项式系数和次数：

直接引导学生进一步观察单项式结构，总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的。以四个单项式

3

1a 2

h ，2πr ，a bc ，－m 为例，让学生说出它们的数字因数是什么，从而引入单项式系数的概念并板书，接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么，各字母指数分别是多少，从而引入单项式次数的概念并板书。

4．例题：

例1：判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。

①x ＋1； ②

x

1； ③πr 2

； ④－2

3a 2

b 。

答：①不是，因为原代数式中出现了加法运算；②不是，因为原代数式是1与x 的商；

③是，它的系数是π，次数是2； ④是，它的系数是－

2

3

，次数是3。 例2：下面各题的判断是否正确？

①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2

的次数是0＋3＋2； ④－a 3

的系数是－1； ⑤－32x 2y 3

的次数是7； ⑥3

1

πr 2

h 的系数是3

1。

通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点： ①圆周率π是常数；

②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x 2，－a 2

b 等； ③单项式次数只与字母指数有关。 5．游戏：

规则：一个小组学生说出一个单项式，然后指定另一个小组的学生回答他的系数和次数；然后交换，看两小组哪一组回答得快而准。 二、同类项

1．同类项的定义：

我们常常把具有相同特征的事物归为一类。8x 2

y 与－x 2

y 可以归为一类，2xy 2

与－

3

2xy 可

以归为一类，－mn 2

、7mn 2

与0.4mn 2

可以归为一类，5a 与9a 可以归为一类，还有8

3、0与

9

5

也可以归为一类。8x 2y 与－x 2

y 只有系数不同，各自所含的字母都是x 、y ，并且x 的指数都是2，y 的指数都是1；同样地，2xy 2

与－

3

2xy 也只有系数不同，各自所含的字母都是x 、y ，

并且x 的指数都是1，y 的指数都是2。

像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms)。另外，所有的常数项都是同类项。比如，前面提到的83、0与9

5也是同类项。 通过特征的讲述，选择所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项作为研究对象，并称它们为同类项。(板书课题：同类项。)

(教师为了让学生理解同类项概念，可设问同类项必须满足什么条件，让学生归纳总结。) 板书由学生归纳总结得出的同类项概念以及所有的常数项都是同类项。 2．例题：

例1：判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。

(1)3x 与3mx 是同类项。 ( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项。 ( )

(3)3x 2

y 与－3

1yx 2是同类项。 ( ) (4)5a b 2与－2a b 2

c 是同类项。 ( ) (5)23

与32

是同类项。 ( ) 三、多项式及多项式的次数

1．多项式：

板书由学生自己归纳得出的多项式概念。上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。像这样，几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l)。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项(term)。其中，不含字母的项，叫做常数项(const a nt term)。例如，多项式

5232+-x x 有三项，它们是23x ，－2x ，5。其中5是常数项。

一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式5232

+-x x 是一个二次三项式。

注意：

(1)多项式的次数不是所有项的次数之和； (2)多项式的每一项都包括它前面的符号。

(教师介绍多项式的项和次数、以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想。)

2．例题： 例1：判断：

①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3

，次数为12；

②多项式3n 4－2n 2

＋1的次数为4，常数项为1。

(这两个判断能使学生清楚的理解多项式中项和次数的概念，第(1)题中第二、四项应为 －a 2b 、－b 3，而往往很多同学都认为是a 2b 和b 3

，不把符号包括在项中。另外也有同学认为该多项式的次数为12，应注意：多项式的次数为最高次项的次数。)

例2：指出下列多项式的项和次数：

(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2

。 解：略。

例3：指出下列多项式是几次几项式。

(1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2

。 解：略。

例4：已知代数式3x n

－(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式，求m 、n 的条件。 解：略。

(让学生口答例2、例3，老师在黑板上规范书写格式。讲述例2时应特别提醒学生注意，

多项式的项包括前面的符号，多项式的次数应为最高次项的次数。在例3讲完后插入整式的定义：

单项式与多项式统称整式(integr a l expression)。例4分析时要紧扣多项式的定义，培养学生的逆向思维，使学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问题的能力。)

练习题：

①填空：－4

5a 2

b －3

4a b ＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 。

②已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2

是关于字母x 、y 的三次三项式，求m 、n 的条件。