高一数学函数的奇偶性例题分析教案

函数的奇偶性例题分析

例1 )证明1()f x x x

=+在（0,1）上是减函数 证明：(1)设1201x x <<<, 则12121212121212

11111()()()()()()(1)()f x f x x x x x x x x x x x x x -=+-+=-+-=-- 1201x x <<< 121210,10x x x x ∴-<-

< 1212()()0,()()f x f x f x f x ∴->>即 ()f x 在（0,1）上是减函数

例 判断下列函数是否具有奇偶性

(1)3()2f x x x =+ 42(2)()23f x x x =+ 32(3)()f x x x =+ (4)()0f x =

(5)()f x (6)()()n n f x x x n Z -=-∈

(7) ()(f x x =- (8) 32()(1)3(1)2f x x x =+-++ (9) 221,0()01,0x x f x x x ?->?=??-

解:(1)函数的定义域为

R ，关于原点对称。当x R ∈时，333()()2()2(2)()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，所以3()2f x x x =+是奇函数

(2).定义域R 关于原点对称，且x R ∈时，4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=

42()23f x x x =+是偶函数.

(3)定义域R 关于原点对称，3232()()()f x x x x x -=-+-=-+,与()f x 、()f x -都不相等

所以()f x 非奇非偶。

(4). ()f x 的定义域为R,()0,()0,()(),()()f x f x f x f x f x f x -==-=-=-同时成立，所以, ()0f x =即使奇函数又是偶函数

(5) ()f x 的定义域为{1},不关于原点对称，所以()f x 不是奇函数也不是偶函数.

(6)n=0时，()0f x =,既是奇函数又是偶函数.n 是不为0的偶数时，()()()()n n n n f x x x x x f x ---=---=-=,()f x 是偶函数；n 是奇数时，()f x 为奇函数.

(7).函数的定义域是[-1,1），不关于原定对称，所以既不是奇函数又不是偶函数.

(8).322323()(1)3(1)21333323f x x x x x x x x x =+-++=+++--+=+.33()()3()()()f x x x x x f x -=-+-=-+=-,所以()f x 是奇函数

(9).函数的定义域为R,当0x =时，()0f x =;当0x >时，0x -<，

222()()11(1)()f x x x x f x -=--=-=--=- ；当当0x <时，0x ->，222()1()1(1)()f x x x x f x -=--=-=--=-.综上()f x 是奇函数.

例 判断

()(f x x =-. 错解

: ()(f x x =-==()(),()f x f x f x -=∴ 为偶函数

正解：函数的定义域是[-1,1），不关于原定对称，所以既不是奇函数又不是偶函数

例 已知()f x 是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数，且()0f x <,试问1()()

F x f x =

在（-∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论.

解：取120x x <<，则120x x ->->， 212112()()0,()()0,()()0f x f x f x f x f x f x ∴-<-<---<-->

211212121212()()()()11()()0()()()()()()

f x f x f x f x F x F x f x f x f x f x f x f x ----∴-=-==>--， ()F x 在（-∞，0)上是减函数.