立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合练习
立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
1．若指数函数x
a y )2(-=在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ）
A 、 01< B 、 12<<-a C 、 3>a D 、 32< } {n a 的通项公式是(1)(32)n n a n =--,则1210a a a ++???+= （ ） A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于（ ） 4．已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = A 5．已知α为锐角，若，则tan α=（ ） 6 ．在ABC ?中， ，则cos B =（ ） 7．已知数列满足，，则( ) A. 143 B. 156 C. 168 D. 195 8．已知数列｛a n ｝是等比数列，a 1=1，并且a 2，a 2+1，a 3成等差数列，则a 4=（ ） A 、－1 B 、－1或4 C 、 －1或8 D 、8 9． 在△ABC 中，3=a ，A=120°，则B 等于 A. 30° B. 60° C. 150° D. 30°10．在ABC ?中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、 C 则ABC ?的面积S = （ ） A ．1 B C D ．2 11．函数 2,0 ()2,0x x f x x x +?=? -+>≤?，则不等式2()f x x ≥的解集是 {}n a 10a =11n n a a +=+13a = （A ）[1,1]- （B ）[2,2]- （C ）[2,1]- （D ）[1,2]- 12．在△ABC A 的度数为（ ） A ．30° B ．150° C ．60° D ．120° 13．若角α的终边经过点)2,1(-P ，则αtan 的值为（ ） C. 2- D. 14．在锐角ABC ?中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若，则角A 等 于（ ） 15．已知向量)2,1(=a ，)2,(-=x b ，且b a ⊥，则 ） A ．5 B 16 ） A ．2ab b < C ．2ab a -<- D 17．直三棱柱111ABC A B C -中，若CA =a CB =b 1CC =c 1A B =则 (A) a+b-c (B) a –b+c (C)-a+b+c ． (D)-a+b-c 18 ） （A （B （C ）1 （D 19．的部分图象如图所示，()()00f x f =-，则正确的选项是（ ） A C 20．已知a b a ,2||,1||== 与b 的夹角为600 , 若b k a +与b 垂直 ,则k 的值为（ ） A C D 21．函数 , 且() ()12f x f x =, 则()12f x x +=（ ） A ．1 22 ． ． 设 G 是 ABC ?的重心，且 0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为 （ ） A ．45° B ．60° C ．30° D ．15° 23．在△ABC 中，a=2，b=2，B=45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．60°或120° D ．30°或150° 24．已知数列满足（ ） A ． B ． C ． D ． 25．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且，则=b ( ) A ．)2,4( B ．)2,4(-- C ．)3,6(- D ．)2,4(或)2,4(-- 26．已知平面向量→ OA 、→ OB 、→ OC 为三个单位向量， 且→ OA 0=?→ OB ，满足→ OC +=→ OA x ),(R y x OB y ∈→ ，则y x +的最大值为（ ） A ．1 B ．2 27．设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤?? --≤??--≥? ，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为 {}n a {}12430,,103 n n n a a a a ++==-则的前项和等于() -10-61-3()-101 1-39 ()-1031-3()-1031+3 1a +，则实数a 的取值范围是 A ．[2,1]- B ．[1,2]- C ．[3,2]-- D ．[3,1]- 28．已知函数212x y x ?+=?-? (0) (0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ． ．2或-229 ） A ．1 30．在ABC ?中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若() 222tanC a b c ab +-=，则角C 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120° 31．设直线,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ） A.//,//,m n m n αβ⊥ B.//,,//m n m n αβ⊥ C.,//,m n m n αβ⊥⊥ D.,,//m n m n αβ⊥⊥ 32．已知函数，若且，则的取值范围 是（ ） A ． B ． C ． D ． 33．已知α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，则下列命题不正确．．．的是（ ） A ．若m n ∥ ，m α⊥，则n α⊥ B ．若m α⊥ ，m β⊥，则αβ∥ C ．若m α⊥，m β? ，则αβ⊥ D ．若m α⊥，n αβ=I ，则m n ∥ 34 ） 二、填空题（题型注释） 35． ()lg 1x f x x =-()()0f a f b +=01a b << ??10,4?? ??? 36．已知正数x , y 满足x +2y =1,的最小值是 . 37．若实数y x ,满足?? ? ??≥++≤-≥+-020022y x y x y x ，则y x z 2+=的最小值为__________ 38．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(2)f =__________． 39．函 一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是 . 40． 若实数,a b 满足(1)()0f a f b -+=，则a b +等于 . 41．数列{}n a 满足12a =，，其前n 项积为n T ，则 42．已知函数f(x)＝log a x(a>0，a ≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题（题型注释） 43．在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,已知向量)cos ,(cos B A m =→ )2,(b c a n -=→ ,且→ →n m //. （1）求角A 的大小； （2）若4,a ABC =?求面积的最大值。 44．已知函数f （x ）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx （ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间. 45．已知等比数列{}n a 中，252,128a a ==.若2log n n b a =，数列{}n b 前n 项的和为n S . （Ⅰ）若35n S =，求n 的值； （Ⅱ）求不等式2n n S b <的解集. （Ⅲ）设 (3)n n n c a b =+,求数列{}n c 的前n 项的和Tn 。 46．已知数列{}n a 与{}n b 满足()()112n n n n a a b b n N *++-=-∈. （1）若11,35n a b n ==+数列{}n a 的通项公式； （2）若() 16,2n n a b n N *==∈且22n n a n λλ>++对一切n N *∈恒成立,求实数λ的取值范围. 47．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知13a =，123n n a S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 48．(本小题共13分) (I)求()f x 的最小正周期； (II)求()f x 在区间. 49．（本小题满分12分）在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA 1=1，D 、E 分别为棱AB 、BC 的中点，M 为棱AA 1上的点。 （1）证明：A 1B 1⊥C 1D ； （2 50．如图，在棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面 1,3,4,5,4A B C A C B C A B A A ====，点D 是AB 的中点. （1）求证：1//AC 平面1CDB ； （2）求直线1AB 与平面11BB C C 所成的角的正切值. 51．（本题满分16分） 如图，在棱长为1的正方体1AC 中，E 、F 分别为11D A 和11B A 的中点． （1）求异面直线AE 和BF 所成的角的余弦值； （2）求平面1BDD 与平面1BFC 所成的锐二面角的余弦值； 参考答案 1．D 【解析】 试题分析：由指数函数x a y )2(-=在()-∞+∞，上是减函数可知： 02123a a <- 【解析】121014710(25)28a a a ++???+=-+-++???+-+ (14)(710)(2528)33315.=-++-++???+-+=++???+=故选A 3．C 【解析】 试题分析： 32642d a a =-= -=，故答案为：2. 考点：1.等差数列的前n 项和；2.等差数列的公差. 4．D 【解析】略 5．A 【解析】 试 题 分 析： 2 2 o s c o s t α α +-=- ?，故选A. 考点：三角恒等变换. 6．B 【解析】由正弦定理B b A a sin sin = ，可得331560sin 10sin == B ，又因为b a >，所以A>B ，B 为锐角，3 6 3 11cos =-=B ，故选B 7．C 【解析】 试题分析：由，可知 ， ，故数列是公差为1 的等差数列， 11n n a a += +2 11111)n n a a ++=++=1= ，则. 故选 C. 考点：数列的递推问题，等差数列的通项公式. 8．C 【解析】 试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则2a q =，2 3a q =．因为2a ，21a +，3a 成等差 数列，所以()22321a a a +=+，即()2 21q q q +=+，解得：1q =-或2q =．当1q =-时， ()3 3411a q ==-=-；当2q =时，33428a q ===．故选C ． 考点：1、等比数列的通项公式；2、等差中项． 【思路点晴】本题主要考查的是等比数列的通项公式和等差中项，属于容易题．本题通过求等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等比数列的通项公式和 等差中项，即等比数列的通项公式：11n n a a q -=；若a ，A ，b 成等差数列，则2a b A =+． 9．A 【解析】略 10．B 【解析】根据余弦定理得：2222cos ,3 b c bc π =+-23()393b c bc bc =+-=- 2.bc =所以11sin 2sin 22 3 2 S bc A π ==??= 故选B 11．A 【解析】本题考查分段函数的含义,不等式的解法,分类讨论思想. （1）当0x ≤时，2 ()f x x ≥可化为2 02x x x ≤??+≥?，即2020x x x ≤??--≤? ，解得10;x -≤≤ （2））当0x >时，2 ()f x x ≥可化为2 2x x x >?? -+≥?，即2 20 x x x >? ? +-≤?，解得01;x <≤ 综上：不等式2 ()f x x ≥的解集是{}|11.x x -≤≤故选A 12．A 【解析】 试题分析：在ABC ?中，有余弦定理，再由），（ 180,0∈A 可得 30=A 考点：余弦定理 13．C 【解析】 1213==13168a = 故选C. 考点：任意角的正切的定义. 14．D 【解析】 试题分析： D. 考点：正弦定理. 15．A 【解析】 试题分析：因为b a ⊥ 所以40)2(210=?=-?+??=?x x b a 所以)0,5()0,41(=+=+b a 所以5||=+b a 故答案选A 考点：向量的数量积；向量的模. 16．D 【解析】 试题分析：0a b <<，设2,1a b =-=-，代入不等式验证可得D 正确 考点：不等式性质 17．D 【解析】要表示向量 1A B ，只需要用给出的基底a b c ， ， 表示出来即可，要充分利用图形的直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算． 解答：解：1A B =11A A AB CC CB CA +=-+- =-a b c +- 故选D ． 18．A 【解析】略 19．A 【解析】 试题分析： 因为 ，解得01x =，故选A ． 考点：三角函数的图象与性质． 20．A 【解析】因为a 与b 的夹角为60°，所以 1 cos6022|||| a b a b a b ??===?，则1a b ?=。又因 为a kb +与b 垂直，所以2 ()||410a kb b a b k b k +=?+=+=，解得1 4 k =- ，故选A 21．C 【解析】 试题分析：1=A , 所以2=ω， C. 考点：1.()?ω+=x A y sin ；2. 三角函数的性质. 22．B 【解析】略 23．A 【解析】 试题分析：由题已知两边及一边所对的角则， ∵由正弦定理可得：sinA= = =， 又∵a=2＜b=2，∴A ＜ B ，∴可解得：A=30° 考点：运用正弦定理解三角形（注意角的多种情况的判断）. 24．C 【解析】 试题分析：由已知得14a =, 所以数列是以首项为4,{}n a 列,由等比数列前n 项和公式得故正确答案为C. 考点：1.等比数列定义;2.等比数列前n 项和. 25．D 【解析】分析：用向量平行的充要条件和向量的模的平方等于向量的平方求值． 解答：解：设b =k a =（2k ，k ）， ，即k=±2， 故=b （4，2）或（-4，-2）． 故答案为D 26．B. 【解析】 试题分析：因为平面向量→OA 、→OB 、→OC 为三个单位向量，且→OA 0=?→ OB ， 将→OC +=→OA x ),(R y x OB y ∈→ 两边平方得，→ →→→→?++=OB OA xy OB y OA x OC 22 2 2 2 2 ，所 以12 2=+y x . 又因为2)(22)(2 2222=+≤++=+y x xy y x y x ， 所以y x +的最大值 考点：平面向量及应用. 27．A 【解析】 试题分析：由z ax y =+得z ax y +-=，直线z ax y +-=是斜率为a -，y 轴上的截距为 z 的直线，做出不等式组对应的平面区域如图，则()11， A ，()42， B ，∵z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，∴直线z ax y =+过点B 时，取得最大值为24a +，经过点A 时取得最小值为1a +，若0=a ，则z y =，此时满足条件，若0>a ，则目标函数斜率 0<-=a k ，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数的斜率满 足1-=≥-BC k a ，即10≤-=a k ，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数的斜率满足2=≥-AC k a ，即02<≤-a ，综上12≤≤-a -2≤a ≤1，故选：A ． 考点：简单的线性规划. 28．A 【解析】 试题分析：根据题意，由于函数212x y x ?+=?-? (0)(0) x x ≤>，那么当x>0,-2x=5,x 的值为负数不符合题意，舍去，当0x ≤,则21x +=5，x=-2，故可值函数值为5的x 的取值为-2，选A. 考点：分段函数 点评：主要是考查了分段函数解析式的运用，属于基础题。 29．A 【解析】 试题分析：由题根据所给函数利用二次函数性质分析计算即可． 3cos y = 2cos 3 x ∴=A ． 考点：三角函数的最值 30．C 【解析】 故为30,150. 考点：解三角形． 31．D 【解析】 试题分析：两个平面的垂线平行，则这两个平面平行，故选D. 考点：空间点线面位置关系. 32．D 【解析】 注意，因为a b <，所以不能取等号.选D.考点：1、对数函数及对数的基本运算；2、重要不等式. 33．D 【解析】 试题分析：D选项，结论为m n ⊥.故选D. 考点：直线和平面平行和垂直的判定和性质. 34．B 【解析】 试题分析： 令， 有， 则，从 而 ，所 以 B.这里用了配角 技巧，具体方法从本题的解法去体会. 考点：三角函数求值和配角技巧. 35 【解析】解：因为sin3cos + α 36 【解析】 试题分析：根据题意，由于正数x, y满足 x+2y=1,则 ，当且仅当 x= 考点：均值不等式 点评：本题考查基本不等式的应用，把要求的式子变形为均值不等式的形式，属于基础题。37．-3 【解析】不等式组 ? ? ? ? ? ≥ + + ≤ - ≥ + - 2 2 2 y x y x y x 区域如右图阴影部分，把直线y x z2 + =平移到点（-1， -1）时，Z 有最小值为-1-2=-3 38 【解析】 试题分析：设()f x x α=，过点可得： 考点：求幂函数的解析式 39．()0,3 【解析】 在()1,2上单调递增，且函数一个零点在区间()1,2内，则有()10f a =-<且()230f a =->，解得03a <<. 考点：1.函数的单调性；2.零点存在定理 40．1 【解析】 试题分析 ：因 为，所以 ，若实数,a b 满足(1)()0f a f b -+=，则考点：对数的运算性质. 41．3 【解析】 试题分析：由可得，因为12a =，所以 ，， 所以数列{}n a 是周期为4的周期数列，且12341a a a a =，又因为201545033=?+，所以 考点：数列的递推公式，周期数列． 【方法点睛】该题考查的是有关数列的递推公式的问题，属于中等题目，在解题的过程中， ，结合题中所给的首项12a =，根据式子，写出数列的前几项，在写的过程中，可以发现规律，数列为周期数列，最后将2015T 转化为3T ，很简单就能求得结果，再者需要注意数列的周期性的推导过程． 42．(0，1) 【解析】因为f(2)>f(3)，所以f(x)＝log a x 单调递减，则a∈(0，1)． 43．（1 2 【解析】 试题分析：（I ） 因为m//n.，所以，cos (2)cos 0a B c b A --=，由正弦定理，得： sin cos (2sin sin )cos 0A B C B A --=，所以sin cos 2sin cos sin cos 0A B C A B A -+= 即sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，所以，sin(A+B)＝2sinCcosA 又A ＋B ＋C sinC ＝2sinCcosA ，因为0＜C ＜π ，所以sinC ＞0， 所以cosA 0＜A ＜π，所以A （2）由余弦定理，得：2222cos a b c bc A =+-，所以16＝2 2b c bc bc +-≥，所以bc ≤16，当且仅当 b ＝ c ＝4时，上式取“＝“，所以，△ABC 面积为S 所以△ABC 面积的最大值为考点：向量运算，三角函数化简及解三角形 点评：均值不等式求最值时注意验证等号成立条件 44．（Ⅰ）因为()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+ sin2cos2x x ωω=+ 所以()f x 的最小正周期 ，解得1ω=． 函数sin y x =的单调递增区间为（k ∈Ζ）． 所以()f x 的单调递增区间为（k ∈Ζ）． 【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性. 【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法； 2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较，与1比较等）求解． 45．（Ⅰ）421512,128a a q a a q ====得364q = 2322log log 223n n n b a n -∴===- 1[2(1)3](23)2n n b b n n +-=+---= {}n b ∴是以11b =-为首项，２为公差的等差数列. (7)(5)07n n n -+==即 （Ⅱ）22222(23)660n n S b n n n n n -=---=-+< n N *∈ 2,3,4n ∴= 即，所求不等式的解集为{2,3,4} （Ⅲ）解： 46．（1）()()()11112,35,2238356n n n n n n n n n a a b b b n a a b b n n ++++-=-=+∴-=-=+--=, 所以{}n a ,是等差数列,首项为11a =,公差为6,即65n a n =-. （2）()1112,2222n n n n n n n b a a +++=∴-=-=, 当2n ≥时,()()()121112211...22...2622n n n n n n n n a a a a a a a a -+---=-+-++-+=++++=+, 当 1n =时,16a =, 符合上式,122n n a +∴=+, 由22n n a n λλ>++ 得 所以，当1,2n =时， 故λ的取值范围为 考点：等差数列的通项公式求和公式等有关知识的综合运用． 47．（1）当2n ≥时，由123n n a S +=+，得：123n n a S -=+， 两式相减，得：11222n n n n n a a S S a +--=-=，∴13n n a a +=，∴ 当1n =时，13a =，21123239a S a =+=+=，则 ∴数列{}n a 是以13a =为首项，公比为3的等比数列，∴1333n n n a -=?=. （2）由（1）得：(21)(21)3n n n b n a n =-=-?， ∴23133353(21)3n n T n =?+?+?++-?① 23413133353(21)3n n T n +=?+?+?++-?② ①-②得：231213232323(21)3n n n T n +-=?+?+?+ +?--? 23132 (333)(21)3n n n +=+?+++--? 16(22)3n n +=---? ∴1(1)33n n T n +=-?+. 考点：等比数列的有关知识和综合运用． 48． （1（2）[0,4x π∈ ,. 玉林市第十一中学2017春段考试卷 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 2．设数列,,,,…，则是这个数列的 A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 3．一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么()tan A C +的值是 A ．3 B ．3- C ．3- D ．不确定 4．（选修4—5）设,x y R +∈且2x y +=，则41x y +的最小值为（ ） A ．9 B ．92 C ．7 D ．72 5．已知首项为正数的等差数列{}n a 满足：0,02004200320042003+a a a a ， 则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数是 （ ） A ．4005 B.4010 C ．4011 D ．4006 ,. 6．在ABC ?中，bc c b a ++=222，则A 等于( ) A ????30.45.60.120.D C B 7．在ABC ?中，若tan tan 1A B >，则ABC ?是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 .38．在等差数列{}n a 中a 3＋a 4＋a 5＝12，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则S 7 ＝( ) A.14 B.21 C.28 D.35 9．已知ABC ?中，已知45,2,2,A AB BC ∠=?= =则C ∠= （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．30°或150° 10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，∠A=60o，1=b ， △ABC 的面积ABC S ?=3，则 C B A c b a sin sin sin ++++的值等于（ ） (A) 3932 (B) 3326 (C) 338 (D) 32 11．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则2a 10－a 12的值为 （ ） A.20 B.22 C.24 D.28 12．等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若12345,9,a a a a +=+=则10S 的值为 （ ） A 、55 B 、60 C 、65 D 、70 13．已知0>a ，0>b 且223=+b a ，则ab 的最大值为（ ） 三角函数综合 1、若点P 在 3 2π 的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 2、已知=- =-ααααcos sin ,4 5 cos sin 则（ ） A ． 47 B ．169- C ．32 9 - D ． 32 9 3、下列函数中，最小正周期为2 π 的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)3 2tan(π -=x y C ． ) 6 2cos(π +=x y D ．)6 4tan(π +=x y 4、等于则)2cos(),,0(,3 1 cos θππθθ+∈=（ ） A ．924- B ．924 C ．9 7- D ．9 7 5、若α是三角形的内角，且2 1 sin =α，则α等于（ ） A ． 30 B ． 30或 150 C ． 60 D ． 120或 60 6、下列函数中，最小值为－1的是（ ） A ．1sin 2-=x y B ．cos 1y x =- C ． x y sin 21-= D ．x y cos 2+= 7、设)4 tan(,41)4tan(,52)tan(π απββα+=-= +则的值是（ ） A ． 1813 B ． 22 13 C ． 22 3 D ．6 1 8、 300cos 的值是( ) A ． 2 1 B ．2 1- C ． 2 3 D ．2 3- 9、将函数x y 4sin =的图象向左平移 12 π 个单位，得到)4sin(?+=x y 的图象，则?等于( ) A ．12 π - B ．3 π- C ． 3 π D ． 12 π 10、 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A ．3 B ． 3 3 C ．3 3- D ．3- 11、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++等于( ) A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin 12、若θθθ则,0cos sin >在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四 象限 13、函数是x x y 2cos 2sin 2=( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数 D 周期为4 π的偶函数 14、设m M 和分别表示函数1cos 3 1 -= x y 的最大值和最小值，则等于m M + 基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠ 三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或t g） 余切（cot或ct g） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1]． 函数关系 倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②． 平方关系：①；②；③． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： mym-----数学作业六 1、已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 是等比数列，且27,24411=+==b a b a ， 1044=-b S . （1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2）记1121n n n n T a b a b a b -=++???+，* N n ∈，求n T 的值（* N n ∈）. 2 E D C B A P 3、解不等式：()0122>+++x a ax 4．（本小题满分12分） 如图，已知一四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2，E 是侧棱PC 上的动点 （1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）证明：BD ⊥AE 。 （3）求二面角P-BD-C 的正切值。 mym-----数学作业二 1．在ABC ?中，已知内角3 A π =，边BC =.设内角B x =,面积为y . (1)若4 x π = ，求边AC 的长； (2)求y 的最大值. 2. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB . （1）求证：AB BC ⊥； （2）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角1B AC A --的大小为 ?，当122A A AC BC ===时，求sin sin θ??的值. 3、解不等式)0( 01)1 (2 ≠<++-a x a a x 4、在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列. （Ⅰ）求d ，a n ； （Ⅱ) 若d<0，求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | . 练习题 1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π 个单位，平移后的图象如图所示，则平移后 的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π =+ B ．sin()6y x π =- C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π =- 2.设0a >，对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+=<<，下列结论 正确的是 A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 3.函数y =1+cos x 的图象 （A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线x =2π 对称 4.已知函数f (x )=2sin ?x(?>0)在区间[3π-,4π ]上的最小值是－2，则?的最小值等于 A.32 B.23 C.2 D.3 5.设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π ，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C. 2π D . 4π 6.已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝( ) （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 7为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π 的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的 点 （A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） 8.已知函数1 1 ()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是 三角函数、数列、不等式练习题 命题人：刁化清 一、选择题 1．对于任意的实数,,a b c ，下列命题正确的是 A ．若22bc ac >，则b a > B ．若0,≠>c b a ，则bc ac > C ．若b a >，则 b a 11< D ．若b a >，则22b c ac > 2. 设0 C ．0()0f x < D ．)(0x f 的符号不确定 7. 在等差数列｛n a ｝中，若,8171593=+++a a a a 则=11a （ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 8．已知等差数列前n 项和为n S ，且，则13S 的值为 A ．13 B ．26 C ．8 D ．162 9．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 10．在ABC ?中，角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若2cos a c B =，则ABC ?的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 {}n a 351024a a a ++= 必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π 6的值为( ) A ．0 B.3 3 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ 2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π 2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π 2 5．若sin ? ???? π2－x ＝－32，且π 7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?? ?? x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θ sin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 高三数学选择填空难题突破—立体几何的动态问题 一．方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的。 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。 二．解题策略 类型一立体几何中动态问题中的角度问题 例1.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 θθ cos M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为. 【答案】 ，当时取等号.所以 ，当时，取得最大值. 【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M 在P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M 点向左移动时，EM 与AF 所成角逐渐变小时，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大。 【举一反三】 1、【2014四川，理8】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（） 2 5 281161 81455 2y y t t +=≥++-1t =2 211222 cos 511555451144 y y y θ-+==≤=?++?++0y =C 1111ABCD A B C D -O BD P 1CC OP 1A BD αsin α 利用基本不等式求三角函数中边长问题 一．解答题（共3小题） 1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2． （I）求角A的大小； （II）若a=，b+c=3，求b和c的值． 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）（Ⅰ）求角C； （Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 3．在锐角△ABC中，= （1）求角A； （2）若a=，求bc的最大值 4.在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=． ①求的值． ②若，求△ABC的面积S的最大值． 【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分） 又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分） 解得，∴．（6分） （II）由．（8分） 又．（10分） 由．（12分） 2【解答】解：（Ⅰ）由已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB） 由正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）（c+b），（2分） 即a2+b2﹣c2=ab．（3分） 所以cosC==，（5分） 又C∈（0，π），所以C=．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．所以（a+b）2﹣3ab=c2=7，（8分） 又S=sinC=ab=， 所以ab=6，（9分） 所以（a+b）2=7+3ab=25，即a+b=5．（11分） 所以△ABC周长为a+b+c=5+．（12分） 3.【解答】解：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB， ， ∴sin2A=1且， （2）2 4.【解答】解：①∵cosA=， ∴ = =； ②， ∴， ， ∴，， ∴， ． 高中数学阶段测试 测试范围：圆锥曲线、数列、三角函数、统计、不等式、命题 一、选择题（共12题，每题5分） 1．“2>x ”是“0822>-+x x ”成立的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．命题“,sin 1x R x ?∈>”的否定是（ ） A ．,sin 1x R x ?∈≤ B ．,sin 1x R x ?∈> C ．,sin 1x R x ?∈= D ．,sin 1x R x ?∈≤ 3. 等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a =（ ） A.15 B.30 C.31 D.64 4. 在平面直角坐标系xOy 中，若,x y 满足约束条件240100x y x y y +-≤??--≥??≥? ，则z x y =+的最大值为（ ） A ．73 B ．1 C ．2 D ．4 5. 如果方程22 x y 14m m 3 +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．3＜m ＜4 B ．7m 2 > C ．73m 2<< D ．7m 42<< 6. 已知}{n a 是公比为2的等比数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，若7612a S =+）（，则=3a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34 y x =±，且其右焦点为（5,0），则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -= B ．22 1169 x y -= C ．22134x y -= D ．22 143 x y -= 8. 已知椭圆22 1123 x y C +=：，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） 三角函数习题 1．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>u r r 且m n ?u r r 的最大值是5,求k 的值 2．在ABC ?中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向 量 (2sin ,m B =r ,2cos 2,2cos 12B n B ??=- ???r ,且//m n r r ? (I)求锐角B 的大小; (II)如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值 3．已知??? ? ??-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x ππ=,x f ?=)(? (1)求)(x f 的单调递减区间? (2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]3 4,0[∈x 时,)(x g y =的最大值? 4．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =?+ (I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3()2 f x ≥成立的x 的取值集合? 5 ．已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??∈???? ，． （1）求)(x f 的最大值和最小值； （2）2)(<-m x f 在ππ42x ??∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+ (I)求角A; (II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值? 7．在锐角ABC ?中，已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tan B ． (1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A ． B ．C 的大小； (2)已知向量m ρ＝(sinA ，cosA)，n ρ＝(cosB ，sinB)，求｜3m ρ－2n ρ｜的取值范围． 三角函数习题答案 1.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵01,∴t =1时,m n ?u r r 取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. ? 2.【解析】:(1) //m n r r 2sinB(2cos 2B 2-1)=-3cos2B 新建二中2011—2012学年度上学期高三数学周练（十三） 应届理科数学 考试范围：导数、数列、三角函数与向量、不等式与线性规划、立体几何 命题：邓国平 考试时间：2111、12、6 一：选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项屮，只有一项是 正确的。） 设集合 P={x\x + i>0} , T= {x\x 2 -2<0}，则 PUT 等于（C ） {x\x < -1 > > V2} B 、 {x|-l < x< V2} C 、{x\x > -A /2} D> {X \X > -1} 等比数列{如}屮，a^a 2 =34, a 6-a 2 =30,那么偽等于（A ） 8 B 、 16 C. ±8 D. ±16 T T ~ 已知向塑日、方满足° 夕 —> i = 1 |z?| = T T T T -^ <3 = 0,则与佥的夹角是（B ） 30° B 、 45° C. 60° D 、90° 在三角形ABC 屮，若sinC = 2 cos A sin B,则此三角形必是（A ） 等腰三角形 B ?正三角形 C ?直角三角形 D.等腰直角三角形 己知数列仁｝,那么“对任意的兀矿，点马3%>都在直线a ■加上,，是为等差数列” （B ） 必要而不充分条件B 、充分而不必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 A -2n （^-2x ）Gre[0.x] 函数 6 ）为增函数的区间是（c ） [■拓7腐] A 、》 B 、国 TT C 、 7、长方体从同一顶点出发的三条侧棱之和为11,对角线长为3厉，那么（B ） A.>全面积为3 B.全面积为76 C 、全面积不确定 D 、这样的长方体不存在 8、使不等式log 2x 数学立体几何解题技巧 数学立体几何解题技巧 1平行、垂直位置关系的论证的策略: (2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。 (3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。 2空间角的计算方法与技巧: 主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。 (1)两条异面直线所成的角： ①平移法：②补形法：③向量法： (2)直线和平面所成的角 ①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。 ②用公式计算. (3)二面角： ①平面角的作法： (i)定义法; (ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。 ②平面角的计算法： (i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算; (ii)射影面积法; (iii)向量夹角公式. 3空间距离的计算方法与技巧: (1)求点到直线的距离： 经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。 (2)求两条异面直线间距离： 一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。 (3)求点到平面的距离： 一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以 把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一 点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面 的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。 4熟记一些常用的小结论 诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。 5平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题 要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。 6与球有关的题型 只能应用“老方法”，求出球的半径即可。 7立体几何读题： 三角函数大题综合训练 1.已知函数 ()2sin()cos f x x x π=-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 2.设函数f (x )=cos(2x + 3 π)+sin 2 x .（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设A ,B ,C 为?ABC 的三个内角，若cos B =31， 1 ()24 c f =-，且C 为锐角，求sin A . 3.已知函数2()sin cos cos 2.222 x x x f x =+- （Ⅰ）将函数()f x 化简成sin()(0,0,[0,2))A x B A ω?ω?π++>>∈的形式， 并指出()f x 的周期； （Ⅱ）求函数17()[,]12 f x π π在上的最大值和最小值 4.已知函数 ()2sin cos 442x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ? ?=+ ?? ?，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 5.已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在 区间[,]122 ππ-上的值域 6.设2()6cos 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；Ⅱ）若锐角α 满足 ()3f α=-4 tan 5 α的值． 7.已知0α βπ<<4，为()cos 2f x x π? ?=+ ?8??的最小正周期，1tan 14αβ????=+- ? ????? ，， a (cos 2)α=， b ，且m =·a b ．求22cos sin 2() cos sin ααβαα ++-的值． 8.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2()π2－x 满足f ()－π3＝f (0)．求函数f (x )在[] π4，11π 24上的最大值和最小值． 回归课本专题五 不等式、立体几何 第 1 页 回归课本专题五：不等式、立体几何 一、不等式： 1．不等式的基本概念和性质 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- 例1．（1）设a ∈R 且a ≠-2,比较a +22 与2-a 的大小． （2）若不等式|x-1|+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<-><-，则p 是q 的_________. （2）已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是 ____. 4.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 常用不等式的放缩法：① 21111111(2)1 (1)(1)1 n n n n n n n n n n - ==-≥+ +-- 1) n = =≥ 5.不等式的应用 例5：已知)(x f 对一切实数y x ,都有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，)(x f ＜0 （1）证明)(x f 为奇函数且是R 上的减函数；（2）若关于x 的不等式 22[cos ()][sin ()]()66f x f x f m ππ+-+<对一切0,2x π?? ∈???? 恒成立，求m 的取值范围. 6.练习： 1、不等式x x x <-2 4解集是___________. 2．函数)34(log 1 )(22-+-= x x x f 的定义域为_____________. 3．设命题甲为:???<<<+<3042xy y x ;命题乙为:???<<<<3 21 0y x ;则甲是乙的___________条件. 4．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是_____________. 5．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是__________. （1）||||||c b c a b a -+-≤- （2）a a a a 1 12 2+ ≥+ （3）21 ||≥-+ -b a b a （4）a a a a -+≤+-+213 6、若不等式|x -1|，则x 1与x 2的关系为____________. 10、若a,b,c ＞0且a(a+b+c)+bc =4-23,则2a+b+c 的最小值为 . 2020全国高考数学专题测试 专题 一 不等式推理与证明算法初步与复数 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2018·南昌摸底)已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，i 是虚数单位，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i 答案 B 解析 因为z ＝ 21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2 ＝1－i ，则复数z 的虚部为－1，故选B. 2．(2018·太原三模)已知复数z 满足i z ＝4＋3i 1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C 解析 z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i 5＝－1－2i ，所以复数z 在复 平面内对应的点在第三象限，故选C. 3．(2018·大庆质检一)若m >n >0，p 3．在等差数列 {} n a 中，已知 372 a a +=-，则数列 {} n a 的前9项和 9 S = 设A B C ?的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，平面向量(cos ,cos )m A C =， (,)n c a =，(2,0)p b =，且()0m n p -= 。求角A 的大小 ；当||x A ≤时，求函数 ()sin cos sin sin() 6f x x x x x π =+- 的值域。 4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2a 、4a 是方程022=--x x 的两个实数根，则5 S 的值是（ ） 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列， 则{}n a 的通项公式n a =______________． 已知A B C 、、是A B C △的三个内角，且满足2sin sin sin B A C =+，设B 的最大值为0B ． （Ⅰ）求0B 的大小； （Ⅱ）当034 B B = 时，求cos cos A C -的值． 已知函数a a x x f +-=2)(． （Ⅰ）若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值； （3）在等比数列}{n a 中，若3 753)3(-=??a a a ，则=?82a a （5）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若bc a c b 5 62 22= -+， 则)sin(C B +的值为 （ ） （3）在等比数列}{n a 中，若3 753)3(-=??a a a ，则=?82a a （5）在ABC ?中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若bc a c b 5 62 22= -+， 则)sin(C B +的值为 （ ） （13）设5 3cos sin = +αα，则=α2sin ____ 已知函数m x x x x f +-+ =2cos )6 cos(sin 2)(π ．三角函数数列不等式
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n p B.m q
|n |>0，|p |>|q |>0，所以n p
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