高中数学竞赛模拟试卷

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【说明】解答本试卷不得使用计算器

一、填空(前4小题每小题7分,后4小题每小题8分,供60分) 1.计算:0!

1!

2!

100!i +i +i +

+i = .(i 表示虚数单位)

2.设θ是某三角形的最大内角,且满足sin 8sin 2θθ=,则θ可能值构成的集合

是 .(用列举法表示)

3.一个九宫格如图,每个小方格内都填一个复数,它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等,则x 表示的复数是 .

4.如图,正四面体ABCD 的棱长为6cm ,在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ,若1AE =cm ,

2CF =cm ,则线段EF 的长为 cm .

5.若关于x 的方程4(3)250x x

a ++?+=至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数a 的取值范围为 .

6.a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素(允许重复),则abcd e +为奇数的概率为

7.对任意实数x 、y ,函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--,若(1)1f =,则对负整数n ,()f n 的表达式

8.实数x 、y 、z 满足0

x y z ++=,且2221x y z ++=,记m 为2

x 、2

y 、2

z 中最大者,

则m 的最小值为 . 二、(本题满分14分)

设()f x =

a 的值:至少有一个正数

b ,使()f x 的

定义域和值域相同.

i x 1

A B F

D

E

三、(本题满分14分)

已知双曲线22221x y a b

-=(a 、b ∈+R )的半焦距为c ,且2

b a

c =.,P Q 是双曲线上

任意两点,M 为PQ 的中点,当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时,求PQ OM k k ?的值. 四、(本题满分16分)

设[]x 表示不超过实数x 的最大整数.求集合2|,12004,2005k n n k k ??????

=≤≤∈??????????

N 的元素个数.

五、(本题满分16分)

数列{}n f

的通项公式为1122n n

n f ??????=- ???????

?,n ∈+Z . 记1212C +C +C n

n n n n n S f f f =,求所有的正整数n ,使得n S 能被8整除.

高中数学竞赛专题精讲27同余(含答案)

27同余 1.设m 是一个给定的正整数,如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同,则称a 与b 对模同余,记作,否则,就说a 与b 对模m 不同余,记作,显然,; 每一个整数a 恰与1,2,……,m ,这m 个数中的某一个同余; 2.同余的性质: 1).反身性:; 2).对称性:; 3).若,则; 4).若,,则 特别是; 5).若,,则; 特别是 ; 6).; 7).若 ; 8).若, ……………… ,且 例题讲解 1.证明:完全平方数模4同余于0或1; 2.证明对于任何整数,能被7整除; )(mod m b a ≡)(mod m b a ≡)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡)(mod m a a ≡)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡)(mod m b a ≡)(mod m c b ≡)(mod m c a ≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ±≡±)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ≡)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡?∈≡则)(mod )(m ac ab c b a +≡+)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时,则当)(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d m b a d m c ≡?≡≡=特别地,时,当)(m od 1m b a ≡)(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡)(mod n m b a ≡)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=,则0≥k 153261616+++++k k k

2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷) 一、填空题:本大题共 8小题,每小题 8分,共64分. 1.设集合{1,2,3,,99}A = ,{2}B x x A =∈,{2}B x x A =∈,则B C 的元素个数 . 解析:因为{1,2,3,,99}A = ,所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ,共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上,使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ,则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析:过点P 作平面α的垂线,这垂足为O ,则点Q 的轨迹是以O 为圆心,分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为,,,,,a b c d e f ,则abc def +是偶数的概率为 . 解析:(直接法)将1,2,3,4,5,6随机排成一行,共有6 6720A =种不同的排法,要使 abc def +为偶数,abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. (1)若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形; (2)若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形; 共有648种情形.综上所述,abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. (间接法)“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”, abc def +是偶数分成两种情况:“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”,每 P O M N α

全国高中数学联赛试题及答案教程文件

2009年全国高中数学联赛试题及答案

全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题,其中一道平面几何题. 一 试 一、填空(每小题7分,共56分) 1. 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????,则() ()991f = . 2. 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=,点A 在直线L 上,B ,C 为圆M 上两点,在ABC ?中,45BAC ∠=?,AB 过圆心M ,则点A 横 坐标范围为 . 3. 在坐标平面上有两个区域M 和N ,M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤,N 是随t 变化的区 域,它由不等式1t x t +≤≤所确定,t 的取值范围是01t ≤≤,则M 和N 的公共面积是函数()f t = . 4. 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 . 5. 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ,Q ,若OP OQ ⊥,则乘积 OP OQ ?的最小值为 . 6. 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根,那么k 的取值范围是 . 7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示) 8. 某车站每天800~900∶∶,900~1000∶∶都恰有一辆客车到站,但到站的时

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图,在锐角?ABC 中,AB

高中数学竞赛训练题(0530)

数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和,且2412-+=n n T S n n ,则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数,则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中,已知DA ⊥平面ABC ,△ABC 是边长为2的正三角形,则当二面角A-BD-C 的正切值为2时,四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足: (1)()11=f ; (2)当10<x f ; (3)对任意的实数x 、y 均有()()()()y f x f y x f y x f -=--+12。则=??? ??31f _______。 6、已知x 、y 满足条件484322=+y x ,则542442222++-+++-+y x y x x y x 的最 大值为_______。 7、对正整数n ,设n x 是关于x 的方程nx 3 +2x-n=0的实数根,记()[]()11>+=n x n a n n (符号表示不超过x 的最大整数),则()=++++20114321005 1a a a a _______。 8、在平面直角坐标系中,已知点集I={(x ,y )|x 、y 为整数,且0≤x ≤5,0≤y ≤5},则以 集合I 中的点为顶点且位置不同的正方形的个数为_______。 9、若函数()x x x x f 2cos 24sin sin 42+?? ? ??+=π。 (1)设常数0>w ,若函数()wx f y =在区间??????- 32,2ππ上是增函数,求w 的取值范围; (2)集合??????≤≤=326ππx x A ,(){} 2<-=m x f x B ,若B B A =?,求实数m 的取值范围。

历年全国高中数学联赛试题及答案

1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一.选择题(本大题共5小题,每小题有一个正确答案,选对得7分,选错、不选或多选均得0分): 1.设有三个函数,第一个是y=φ(x ),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称,那么,第三个函数是( ) A .y=-φ(x ) B .y=-φ(-x ) C .y=-φ-1(x ) D .y=-φ- 1(-x ) 2.已知原点在椭圆k 2x 2+y 2-4kx +2ky +k 2-1=0的内部,那么参数k 的取值范围是( ) A .|k |>1 B .|k |≠1 C .-1π 3 ; 命题乙:a 、b 、c 相交于一点. 则 A .甲是乙的充分条件但不必要 B .甲是乙的必要条件但不充分 C .甲是乙的充分必要条件 D .A 、B 、C 都不对 5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过1个整点的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达式 ⑴ M ∪N ∪P=I ; ⑵ N ≠?. ⑶ M ≠?. ⑷ P ≠?中,正确的表达式的个数是 A .1 B .2 C .3 D .4 二.填空题(本大题共4小题,每小题10分): 1.设x ≠y ,且两数列x ,a 1,a 2,a 3,y 和b 1,x ,b 2,b 3,y ,b 4均为等差数列,那么b 4-b 3 a 2-a 1= . 2.(x +2)2n +1的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为 . 3.在△ABC 中,已知∠A=α,CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高,则DE BC = . 4.甲乙两队各出7名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再及负方2号队员比赛,……直至一方队员全部淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数为 . 三.(15分)长为2,宽为1的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体的体积. 四.(15分) 复平面上动点Z 1的轨迹方程为|Z 1-Z 0|=|Z 1|,Z 0为定点,Z 0≠0,另一个动点Z 满足Z 1Z=-1,求点Z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 五.(15分)已知a 、b 为正实数,且1a +1 b =1,试证:对每一个n ∈N *, (a +b )n -a n -b n ≥22n -2n +1.

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其 他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。 2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分,5分为一个档次,不要再增加其他中间档次。 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 本题共有6小题,每小题均给出A ,B ,C ,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。 1.使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是( ) A .63- B .3 C .63+ D .6 2.空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值( ) A .只有一个 B .有二个 C .有四个 D .有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的

顺序排列,则第2020个数是( ) A . 43273767575+++ B .43272767575+++ C .43274707171+++ D .4327 3707171+++ 二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数,若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立,则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7,那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 13.数列}{n a 满足:.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明:(1)对任意n a N n ,∈为正整数;(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2,…,9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法) 15.过抛物线2 x y =上的一点A (1,1)作抛物线的切线,分别交x 轴于D ,交y 轴于B.点C 在抛物线

高中数学竞赛讲义_平面几何

平面几何 一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','C B A 三点共线,则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若',','CC BB AA 三线平行或共点,则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 或其延长线上的点,若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 所在直线上的点,则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形,则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ,当且仅当A ,B ,C ,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点,P 不同于B ,C ,则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点,这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。(到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为一条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 ΔABC 的外心O ,垂心H ,重心G 三点共线,且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中,∠ABC=700,∠ACB=300,P ,Q 为ΔABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=100,∠ PBQ=∠PCB=200,求证:A ,P ,Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1,直线BP 交AQ 于P 2,因为∠ACP=∠PCQ=100,所以 CQ AC QP AP =1 ,①在ΔABP ,ΔBPQ ,ΔABC 中由正弦定理有

高中数学竞赛试题附详细答案

高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数,那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的( ) (A )必要而不充分条件 (B )充要条件 (C )充分而不必要条件 (D )既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素,100年后只剩原来质量的一半,现有这种元素1克,3年后剩下( )。 (A ) 100 5 .03?克 (B )(1-0.5%)3克 (C )0.925克 (D )100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出,其中t >0,[t ]表示 大于或等于t 的最小整数,则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为( )。 (A )5.83元 (B )5.25元 (C )5.56元 (D )5.04元 4. 已知函数 >0, 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3,7,11,15,…则113是它的( ) (A )第23项 (B )第24项 (C )第19项 (D )第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零,}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列,其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于( ) (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=(a 、b 为常数,0≠a ,R x ∈)在4 π = x 处取得最小 值,则函数)4 3( x f y -=π 是( ) A .偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B .偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C .奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D .奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5,那么cot (A +4 π )的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1,︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内,且∠AOC =30°,设 =m +n (m 、n ∈R ),则 n m 等于

全国高中数学联赛平面几何题

全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图,在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ,满足∠BAE =∠CAF ,作FM ⊥AB ,FN ⊥AC (M 、N 是垂足),延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D .证明:四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等. 2. (2001) 如图,△ABC 中,O 为外心,三条高AD 、BE 、CF 交于点H ,直线ED 和AB 交于点M ,FD 和AC 交于点N . 求证:(1) OB ⊥DF ,OC ⊥DE ; (2) OH ⊥MN . 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线,切点为A ,B 所作割线交圆于C ,D 两点,C 在P ,D 之间,在弦CD 上取一点Q ,使∠DAQ =∠PBC .求证:∠DBQ =∠PAC . A B C D E F M N

5.(2004)在锐角三角形ABC 中,AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ,以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点,FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i =0,1). 在AB 0的延长线上任取点P 0,以B 0为圆心,B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0;以C 1为圆心,C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1;以B 1为圆心,B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1;以C 0为圆心,C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ,交AB 0的延长线于P 0'. 试证: ⑴ 点P 0'与点P 0重合,且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0; ⑵ 四点P 0,Q 0,Q 1,P 1共圆. P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0

高中数学联赛组合专题

课程简介:全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛,其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克,获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程,无论是有意向参加竞赛的初学者,还是已入围二试的竞赛选手,都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲,轻松突破你的数学极限! 课程招生简章:https://www.360docs.net/doc/0518618433.html,/webhtml/project/liansaigz.shtml 选课中心地址: https://www.360docs.net/doc/0518618433.html,/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037#_170037_ 第二章组合专题 一、重要的概念与定理 1、完全图:每两个顶点之间均有边相连的简单图称为完全图,有个顶点的完全图(阶完全图)记为. 2、顶点的度:图中与顶点相关联的边数(环按2条边计算)称为顶点的度(或次数), 记为.与分别表示图的顶点的最小度与最大度.度为奇数的顶点称为奇顶点,度 为偶数的顶点称为偶顶点. 3、树:没有圈的连通图称为树,用表示,其中度为1的顶点称为树叶(或悬挂点).阶树常表示为. 4、部图:若图的顶点集可以分解为个两两不相交的非空子集的并,即 并且同一子集内任何两个顶点没有边相连,则称这样的图为部图,记作 . 2部图又叫做偶图,记为. 5、完全部图:在一个部图中, ,若对任意 均有边连接和,则称图为完全部图,记为. 6、欧拉迹:包含图中所有边的迹称为欧拉迹.起点与终点重合的欧拉迹称为闭欧拉迹. 欧拉图:包含欧拉迹的图为欧拉图. 欧拉图必是连通图. 哈密顿链(圈):经过图上各顶点一次并且仅仅一次的链(圈)称为哈密顿链(圈).包含哈密顿圈的图称为哈密顿图. 7、平面图:若一个图可画在平面上,即可作一个与同构的图,使的顶点与边在同一

全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联合竞赛试卷 (10月15日上午8:00?9:40) 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.设全集是实数,若A={x|≤0},B={x|10=10x},则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2.设sin?>0,cos?<0,且sin>cos,则的取值范围是() (A)(2k?+,2k?+),k?Z(B)(+,+),k?Z (C)(2k?+,2k?+?),k?Z(D)(2k?+,2k?+)∪(2k?+,2k?+?),k?Z 3.已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4.给定正数p,q,a,b,c,其中p?q,若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6.设ω=cos+i sin,则以?,?3,?7,?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二.填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.arcsin(sin2000?)=__________. 2.设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则(++…+))=________. 3.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________. 4.在椭圆+=1(a>b>0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是,则∠ABF=_________. 5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是________. 6.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a是a,b,c,d中的最小值, 那么,可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 1.设S n=1+2+3+…+n,n?N*,求f(n)=的最大值.

高中数学竞赛试题及答案

浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分) 1.集合{,11P x x R x =∈-<},{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为( ) A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }:,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9,则第三项是( ) A. D. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位),且2 8z i =,则z =( ) A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线2 4y x =交于,A B 两点,M 为AB 的中点,C 为抛物线上一个动点,若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?,则下列一定成立的是( ) 。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 01 2 C M AB = 6. 某程序框图如下,当E =0.96时,则输出的K=( ) A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除,且,,a b c 成公差非零的等差数列,则这样的整数共有( )个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为( )。 A.

全国高中数学联赛试题及答案

2010年全国高中数学联赛 一 试 一、填空题(每小题8分,共64分,) 1. 函数x x x f 3245)(---= 的值域是 . 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2 -=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线12 2 =-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 . 4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列,}{n b 是等比数列,其中 3522113,,1,3b a b a b a ====,且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log , 则=+βα . 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8,则它在这个区 间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等,P 是1CC 的中点,二面角α=--11B P A B ,则=αsin . 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解(x ,y ,z )的个数是 . 二、解答题(本题满分56分) 9. (16分)已知函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f ,当10≤≤x 时,1)(≤'x f ,试求a 的最大值. 10.(20分)已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和,其中21x x ≠且 421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求ABC ?面积的最大值. 11.(20分)证明:方程02523 =-+x x 恰有一个实数根r ,且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ,使得 +++=3215 2 a a a r r r .

全国高中数学联赛试题及解答完整版

全国高中数学联赛试题 及解答 集团标准化办公室:[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

2000年全国高中数学联合竞赛试卷 (10月15日上午8:009:40) 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.设全集是实数,若A={x|≤0},B={x|10=10x},则A∩R B是() (A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D) 2.设sin>0,cos<0,且sin>cos,则的取值范围是() (A)(2k+,2k+),k Z(B)(+,+),k Z (C)(2k+,2k+),k Z(D)(2k+,2k+)∪(2k+,2k+),k Z 3.已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4.给定正数p,q,a,b,c,其中pq,若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx22ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6.设ω=cos+i sin,则以,3,7,9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0 (C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0 二.填空题(本题满分54分,每小题9分) 1.arcsin(sin2000)=__________. 2.设a n是(3)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则(++… +))=________. 3.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________. 4.在椭圆+=1(a>b>0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是,则∠ABF=_________. 5.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是________. 6.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}; (2)ab,bc,cd,da; (3)a是a,b,c,d中的最小值, 那么,可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 1.设S n=1+2+3+…+n,n N*,求f(n)=的最大值.

高中数学竞赛典型题目(一)

数学竞赛典型题目(一) 1.(2004美国数学竞赛)设n a a a ,,,21 是整数列,并且他们的最大公因子是1. 令S 是一个整数集,具有性质: (1)),,2,1(n i S a i =∈ (2) }),,2,1{,(n j i S a a j i ∈∈-,其中j i ,可以相同 (3)对于S y x ∈,,若S y x ∈+,则S y x ∈- 证明:S 为全体整数的集合。 2.(2004美国数学竞赛)c b a ,,是正实数,证明: 3252525)()3)(3)(3(c b a c c b b a a ++≥+-+-+- 3.(2004加拿大数学竞赛)T 为1002004的所有正约数的集合,求集合T 的子集S 中的最大可能的元素个数。其中S 中没有两个元素,一个是另一个的倍数。 4.(2004英国数学竞赛)证明:存在一个整数n 满足下列条件: (1)n 的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0; (2)2004能整除n . 5.(2004英国数学竞赛)在0和1之间,用十进制表示为 21.0a a 的实数x 满足:在表达式中至多有2004个不同的区块形式,)20041(20031≤≤++k a a a k k k ,证明:x 是有理数。 6.(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S ,满足:如果S n m ∈,,则S n m n m ∈+) ,( 7.(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点,并且无三点共线,S 为通过任何两点的直线的集合。证明:点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S 中有奇数条直线分离这两点。 8.(2004亚太地区数学竞赛)证明:)()!1(*2N n n n n ∈?? ????+-是 偶数。 9.(2004亚太地区数学竞赛)z y x ,,是正实数,证明:

2014年全国高中数学联赛试题及答案

2014年全国高中数学联赛(B 卷) 一 试 一、填空题(每小题8分,共64分,) 1. 函数 x x x f 3245)(---=的值域是 . 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线122 =-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个 数是 . 4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列,}{n b 是等比数列,其中352211 3,,1,3b a b a b a ====,且存在常 数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ,则=+βα . 5. 函数 )1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值 是 . 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获 胜概率是 . 7. 正三棱柱 111C B A ABC -的 9条棱长都相等, P 是1CC 的中点,二面角α =--11B P A B ,则 =αsin . 8. 方程2010=++ z y x 满足z y x ≤≤的正整数解(x ,y ,z )的个数是 . 二、解答题(本题满分56分) 9. (16分)已知函数 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ,当10≤≤x 时,1)(≤'x f ,试求a 的最大值. 10.(20分)已知抛物线 x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和,其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求ABC ?面积的最大值. 11.(20分)证明:方程02523 =-+x x 恰有一个实数根r ,且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ,使得 +++=3215 2 a a a r r r . 解 答 1. ]3, 3[- 提示:易知)(x f 的定义域是[]8,5,且)(x f 在[]8,5上是增函数,从而可知)(x f 的值域为 ]3,3[-.

高中数学竞赛专题讲座---平面几何选讲

立身以立学为先,立学以读书为本 平面几何选讲 反演变换 基础知识 一. 定义 1. 设O 是平面π上的一个定点,k 是一个非零常数.如果平面π的一个变换,使得对于平面π上任意异 于O 的点A 与其对应点'A 之间,恒有(1)' ,,A O A 三点共线;(2)'OA OA k ?=,则这个变换称为平面π 的一个反演变换,记做(,)I O k .其中,定点O 称为反演中心,常数k 称为反演幂,点'A 称为点A 的反点. 2. 在反演变换(,)I O k 下,如果平面π的图形F 变为图形'F ,则称图形'F 是图形F 关于反演变换(,)I O k 的反形.反演变换的不动点称为自反点,而反演变换的不变图形则称为自反图形. 3. 设两条曲线u v 、相交于点A ,l 、m 分别是曲线u v 、在点A 处的切线(如果存在),则l 与m 的交角称为曲线u v 、在点A 处的交角;如果两切线重合,则曲线u v 、在点A 处的交角为0.特别地,如果两圆交于点,那么过点作两圆的切线,则切线的交角称为两圆的交角.当两圆的交角为90时,称为两圆正交;如果直线与圆相交,那么过交点作圆的切线,则切线与直线的交角就是直线与圆的交角.当这个交角为90时,称为直线与圆正交. 二. 定理 定理1. 在反演变换下,不共线的两对互反点是共圆的四点. 定理2. 在反演变换(,)I O k 下,设A B 、两点(均不同于反演中心O )的反点分别为' ' A B 、,则有''B A = ''k A B AB OA OB = ?. 定理3. 在反演变换下,过反演中心的直线不变. 定理 4. 在反演变换下,不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆;过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线. 定理5. 在反演变换下,不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆. 定理6. 在反演变换下,两条曲线在交点处的交角大小保持不变,但方向相反. 定理7. 如果两圆或一圆一直线相切于反演中心,则其反形是两条平行直线;如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心,则其反形(两圆或一圆一直线)相切. 定理8. 如果两直线平行,则其反形(两圆或一圆一直线)相切于反演中心. 典型例题 一. 证明点共线 例1. ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F , 设L 、M 、N 分别是EF 、FD 、DE 的中点.求证:ABC 的外心、 内心与LMN 的外心三点共线. 证明:如图,设ABC 的内心为I ,内切圆半径为r .以内心I 为反演中心,内切圆为反演圆作反演变换2 (,)I I r ,则A 、B 、C 的 反点分别为L 、M 、N ,因而ABC 的反形是LMN 的外接圆.故ABC 的外心、内心和LMN 的外心三点共线. 二. 证明线共点 例2. 四边形ABCD 内接于O ,对角线AC 与BD 相交于P ,设ABP 、BCP 、CDP 、DAP 的 I N M L F E D C B A

2015年全国高中数学联赛试题

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷) 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分 1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=,则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++= ,其中i 为虚数单位,n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC (包含点,D C )上的动点P 与CB 延长线上(包含 点B )的动点Q 满足DP BQ = ,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ? 的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱,它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{} (,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若 ,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题:本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.(本题满分16分)若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值. 10.(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是4个有理数,使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ,求1234a a a a +++的值. 11.(本题满分20分)在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d ,如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列,求d 的取值范围.

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