2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

一、填空题（每题8分）

1、若2013的每个质因子都是某个正整数等差数列{}n a 中的项，则2013a 的最大值

是．

2、若,,0a b c >，

123

1a b c

++=，则23a b c ++的最小值为． 3、若123!12!3!4!

(1)!n n

S n n ??=?++++- ?+?? ，则2013S = ．

4、如果一个正方体X 与一个正四面体Y 的表面面积（各面面积之和）相等，则其体

积之比

V V = ． 5、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离

之和的最小值是．

、函数()f x = ．

7、设合数k 满足：1100k <<，而k 的数字和为质数，就称合数k 为“山寨质数”，

则这种“山寨质数”的个数是．

8、将集合{}1,2,3,4,5,6,7,8中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对

于其余的每个数n ，在n 的左边某个位置上总有一个数与n 之差的绝对值为1，那么，满足条件的排列个数为．

9、（20分）设直线1x y +=与抛物线2

2(0)y px p =>交于点

,A B ，若OA OB ⊥，求抛物线方程以及OAB ?的面积．

10、（20分）如图，四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中

点，P 是对角线BD 上的一点；直线,EP PF 分别交,AB DC 的延长线于,M N ．

证明：线段MN 被直线EF 所平分． 11、（20分）在非钝角三角形ABC 中，证明：sin sin sin 2A B C ++>．

12、（26分）试确定，是否存在这样的正整数数列{}n a ，满足：20132013a =，且对

每个{}2,3,,2013k ∈ ，皆有120k k a a --=或13；而其各项122013,,,a a a 的值恰好构成1,2,,2013 的一个排列？证明你的结论．

1、答案：4027．

解：201331161=??，若3,11,61皆是某正整数等差数列中的项，则公差d 应是

1138-=与61358-=的公因数，为使2013a 取得最大，则其首项1a 和公差d 都应取尽可能

大的数，于是13,2a d ==，所以2013a 的最大值是320124027d +=．

2、答案：36．

解：据柯西不等式，()()2123232312336a b c a b c a b c ??

++=++++≥++= ???

． 3、答案：1

2014

．解：因

(1)111

(1)!(1)!!(1)!

k k k k k k +-==-+++，则

123112131(1)1112!3!4!(1)!1!2!3!(1)!(1)!

n n n n n ---+-++++=++++=-+++ 所以，11

!11(1)!1

n S n n n ????=-

-=-?? ?++????，故201312014S =-． 4

解：记表面面积为12（平方单位），则正方体每个面的面积为2

2x V =；正四面体每个面的面积为3，设其边长为a

3=，得1

423a =?；于是312

23y V -=?

，因此1

43x

V V ==

5、答案：61．

解：设椭圆方程为22

221x y a b +=，0a b >>，椭圆中心O 到长、短轴端点距离为,a b ，

到焦点距离c 满足：2

c a b =-，到准线距离

d 满足：2

a d c

=，由于,,a b c 组成勾股数，

满足20a ≤的勾股数组有{}{}{}{}{}{},,3,4,5,6,8,10,9,12,15,12,16,20,5,12,13,a b c =

以及{}8,15,17，其中只有

215259=与2

202516=，而(,,,)(15,12,9,25)a b c d =使得 a b c d +++的值为最小，这时有61a b c d +++=．

6、答案：[1,2]．

解：()f x =[2,3]，故可设2

2sin (0)2

x π

αα=+≤≤，

则()cos 2sin()6

f x π

ααα==+=+，

而

2663π

πα≤+

≤

，这时1sin()126π

α≤+≤，因此12f ≤≤．

7、答案：23个．解：用()S k 表示k 的数字和；而()M p 表示山寨为质数p 的合数的集合．当99k ≤时，

()18S k ≤，不大于18的质数共有7个，它们是：2,3,5,7,11,13,17，山寨为2的合数有

{}(2)20M =，而{}{}{}(3)12,21,30,(5)14,32,50,(7)16,25,34,52,70M M M ===； {}(11)38,56,65,74,92M =，{}(13)49,58,76,85,94M =，{}(17)98M =；

共得23个山寨质数．

8、答案：128．（即7

2个）．

解：设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为k ，(18)k ≤≤，则在其余

7个数中，大于k 的8k -个数1,2,,8k k ++ ，必定按递增的顺序排列；而小于k 的1

k -个数1,2,,1k - ，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）

事实上，对于任一个大于k 的数k n +，设8k n +<，如果1k n ++排在k n +的左边，则与1k n ++相差1的另一数2k n ++就必须排在1k n ++的左边；同样，与2k n ++相差1的另一数3k n ++又必须排在2k n ++的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与k 相差1，矛盾！因此1k n ++必定排在k n +的右边．

用类似的说法可得，小于k 的1k -个数1,2,,1k - ，必定按递降的顺序排列；

由于当排在左边的第一个元素k 确定后，右边还有7个空位，从中任选8k -个位置填

写大于k 的数，（其余1k -个位置则填写小于k 的数），选法种数为87k

C -；而当位置选定后，

则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为

877

j k k C

C -====∑∑．

二、解答题

9、解：设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由

22y px =与1x y +=，得2220y py p +-=，

故有111x p y p =+=-

以及221x p y p =+=-

因OA OB ⊥，即0OA OB ?=

，所以12120x x y y +=，即

2222

(1)(2)(2)0p p p p p p ????+-++-+=????，化简得120p -=，因此抛物线方程为

y x =，从而交点,A B

坐标为：,A B ????

，

222222

112255OA x y OB x y =+=-=+=+，

因此12OAB S OA OB ?=

?=． 10、证：设EF 交MN 于G ，直线EF 截PMN ?，则1NG ME PF

GM EP FN

??=；为证G 是线段MN 的中点，只要证，PF PE

NF ME

= … ①，直线AB 截PDE ?，得

1PM EA DB ME AD BP ??=，即2MP BP

ME BD = … ②，直线CD 截PBF ?，则有

1PN FC BD

NF CB DP

??=，即2NP PD NF BD

= … ③， ②③相加得2MP NP ME NF +=，即11NP MP NF ME -=-，也即PF PE

NF ME

=，因此结论得证．

11、证一：sin sin sin 2sin sin sin()A B C A B A B ++-=+++

2222(sin cos )(sin cos )A A B B -+-+

22sin (1sin )sin (1sin )sin()(cos cos )A A B B A B A B =-+-++-+

G P

N M

F E

D C B A

sin (1sin )sin (1sin )cos (sin cos )cos (sin cos )0A A B B B A B A B A =-+-+-+->．

这里用到，在非钝角三角形ABC 中，任两个内角之和不小于0

90，所以由0

90A B +≥，得0090,90A B B A ≥-≥-，因此0sin sin(90)cos B A A ≥-=，同理sin cos ,A B ≥ 而1sin A -，1sin B -不能同时为0．从而结论得证．

证二：sin sin sin 2sin sin sin()2sin(

)22

A B C

A B C A B A B +++-=+++-+ 2sin

cos 2sin cos 2sin cos 2cos sin 22222222

A B A B A B A B A B C A B C

+-++++=+--2sin

(cos cos )2cos (sin sin )222222A B A B C A B A B C

+-++=-+- 4sin sin sin 2cos (cos sin )0222222A B A C B B C A A B C C ++-+-+=+->；

（这是由于，锐角三角形ABC ?中，任两个内角之和大于0

90，而任一个半角小于0

45；）

所以 sin sin sin 2A B C ++>．证三：令tan

,tan ,tan 222

A B C

x y z ===，则1xy yz zx ++=，且 222

222sin ,sin ,sin 111x y z A B C x y z

==+++；即要证

222

2222111x y z

x y z

++>+++ … ①，因为 21()()x x y x z +=++， 221()(),1()()y y x y z z z x z y +=+++=++，

故①式即

2()()()

x y y z x z >+++，也即()()()2x y y z x z +++<，

即 2x y z xyz ++-<

… ②

而因

,,(0,]2224

A B C π

∈，故,,(0,1]x y z ∈，所以(1)(1)(1)0x y z ---≥，即 1()()0x y z xy yz xz xyz -+++++-≥．此式即为 2x y z xyz +++≤ … ③

由③立知②式成立（③式强于②式），因此命题得证．

12、解：存在．由于201333+=，而332013，（即有20133361=?）；

我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果120k k a a --=或13，那么，

对任何整数c ，也有1()()20k k a c a c -+-+=或13；

为此，先将集合{}1,2,,33 中的数排成一个圈，使得圈上任何相邻两数之差皆为20或13，如图所示．

将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列

1233,,,a a a ，都满足120k k a a --=或13，

为将数列锁定，在前面添加一项00a =，使数列01233,,,,a a a a 也满足条件，我们可选择与数33相邻的一个间隙剪开；例如从33右侧间隙剪开，并按顺时针排列，就成为：

0；13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29,9,22,2,15，

28,8,21,1,14,27,7,20,33；

若从33左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：0；20,7,27,14,,6,26,13,33 ；这两种排列都满足120k k a a --=或13；

记分段数列0(13,26,6,19,32,12,25,5,18,31,11,24,4,17,30,10,23,3,16,29M =，

9,22,2,15,28,8,21,1,14,27,7,20,33)1233(,,,)a a a = ，而分段数列

13323333331233(,,)(33,33,,33)k k k k M a a a a k a k a k +++==+++ ，1,2,,60k = ，

将这些段作如下连接：01600,,,,M M M ，所得到的数列0122013,,,,a a a a 满足条件．因为，20133333603333603333602013a a a +?==+?=+?=；对其中任意两个邻项1,k k a a -，若1,k k a a -属于同一个分段，显然有120k k a a --=或13；若相邻项1,k k a a -属于两个相邻段

n M 与1n M +，则k a 是1n M +的首项：即133(1)1333(1)k a a n n =++=++，而1k a -是n M 的

末项，即133333333k a a n n -=+=+，这时有

[][]11333(1)333313k k a a n n --=++-+=，并且1013a a -=，

因此，数列122013,,,a a a 满足条件．

11427

203313266193212255

11244

1730

233162992221528