2016年1月丰台区高三期末理科数学试题及答案

丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习

高三数学（理科） 2016.01

第一部分 （选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于

（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1

2.“2

0x >”是“0x >”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 3.已知数列{}n a 中，111

1,1n n

a a a +==

+，若利用下面程序框图,计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是 （A ）2014≤n （B ）2016n ≤ （C ）2015≤n （D ）2017n ≤ 4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θ

θ=+??=+?

（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的

最短距离为

（A ）21- （B ）2+1 （C ）2 （D ）2 5.函数()=sin 2+3cos2f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是

（A ）

23π （B ）712π （C ） 76π

（D ）43π

6. 若2

1

2x a dx =

?

，21

b xdx =?，2

21

log c xdx =?，则,,a b c 的大小关系是

（A ）c b a << （B ）b c a << （C ）c a b << （D ）a b c <<

7. 若F （c ,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x y

a b +=交于A ,B 两点，

线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为 （A ）32 （B ）12 （C ）22

（D ）33

8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

？结束

输出A 否是

A =

1A +1

n =n +1n =1,A =1

开始

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在71)x -（2的展开式中，2

x 的系数等于_____.（用数字作答）

10.若,x y 的满足30,

30,1.x y x y x -+≥??

+-≥??≥?

则2z x y =-的最小值为 .

11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= .

12.在ABC ?中，3,1==BC AC ,点,M N 是线段AB 上的动点，则CM CN ?

的最大值为_______.

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

14.设函数(1),()ln()(1).

x a x f x x a x ?-<=?+≥?e 其中1a >-.

①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；

②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________.

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题13分）如图，在ABC ?中，=12AB ，=36AC ，=56BC ，点D 在边BC 上，且

60O ADC ∠=.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅱ）求线段AD 的长.

2

2

2

俯视图

侧视图

主视图

16.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB =AD =PA =PB =2，

BC =1，PC =5.

（Ⅰ）求证：CF ∥平面PAB ；（Ⅱ）求证：PE ⊥平面ABCD ； (Ⅲ)求二面角B -PA -C 的余弦值.

17.（本小题14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者. （Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ； （Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为

310

， 那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；

（Ⅲ）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A 团队随机调查4人，则其

中恰好有1人是志愿者的概率为3P . 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）.

18.（本小题13分）已知函数3

21()(0)3

f x ax x a =+>. （Ⅰ）求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）若存在实数0(1,0)x ∈-，

且012x ≠-

，使得01

()()2

f x f =-，求实数a 的取值范围.

19.（本小题13分）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E .

（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为点P .点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.

20.（本小题13分）

已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=.

,1,2,i k k ≤=（3,,1)n - （Ⅰ）求证：111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=- （； （Ⅱ）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：

12)1(2

1

-≤≤+n n S n n

丰台区2015-2016年第一学期期末练习

高三数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案 D B C A C A B D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

9．-84 10．-2 11. 18 12. 3 13．

16

3

14．1 , [)1,e -+∞ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．(本小题共13分)

解：（Ⅰ）根据余弦定理：222cos 2AC BC AB C AC BC +-=?222(36)(56)121

323656

+-==?? ………6分

（Ⅱ）因为0C π<<，所以sin 0C > 22122

sin 1cos 1()33C C =-=-=

根据正弦定理得：sin sin AD AC

C ADC =∠ sin sin AC C A

D ADC

?=∠8= ……………13分 16．(本小题共14分)

解：（Ⅰ）取AP 的中点M ，连接,MF MB ，

因为M 是AP 中点，F 是PD 中点， 所以1

,2

MF AD MF AD =

， 又因为1

,2

BC AD BC AD =

， 所以四边形BCFM 是平行四变形

,FC BM FC ? 面ABP ，

BM ?面ABP

所以FC 面ABP …………………………5分 （Ⅱ）连接CE ，

因为在ABP ?中，AB AP BP ==，点E 是边AB 在的中点， 所以PE AB ⊥且22213PE =-=，

在Rt BEC ?中，1BE EC ==，EB BC ⊥，所以2EC = 在PEC ?中，3PE =，2EC =，5PC =，所以PE EC ⊥ 又因为,AB EC E AB =? 面ABCD ，EC ?面ABCD 所以PE ⊥面ABCD ……………………9分

（Ⅲ）取CD 中点N ，以EB ，EN ，EP 分别为轴x ，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标

为：(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)B ，(0,0,3)P ，(1,0,0)A - 因为：BC PE ⊥， AB BC ⊥ 所以BC ⊥面ABP

面ABP 的法向量为(0,1,0)BC =

设面ABP 的法向量为2000(,,)n x y z =

(1,0,3)AP = ，(2,1,0)AC =

200002030200AP n x z x y AC n ???=+=?????

+=?=????

23

(1,2,)3

n =--

由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ 12123

cos |

|||||2

n n n n θ?==

? 二面角B PA C --余弦值为：12123

cos ||||||2

n n n n θ?==

? ………………………14分 17．(本小题共14分)

解：（Ⅰ）13

3714

1012C C P C ?== 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为1

2

………5分 （Ⅱ）1

13

24

37()()0.4116

1010

P C =?= 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为1

2

…………………………10分

（Ⅲ）132P P P >> …………………………14分 18．(本小题共13分)解：（Ⅰ）/2()2f x ax x =+，令/()0f x =得20x =，32

x a

=-

. x

2(,)a

-∞-

2a -

2

(,0)a

- 0 (0,)+∞

/()f x

+

0 _

0 +

()f x

极大值

极小值

∴函数()y f x =的极大值为32221224

()()()33f a a a a a

-=

?-+-=； 极小值为(0)0f =. …………………………8分 (Ⅱ) 若存在011(1,)(,0)22

x ∈---

，使得01

()()2f x f =-，则

x

y

z N

F

E A

D

B C

P

由（Ⅰ）可知，需要

21

2

2

1,

1

(1)()

2

a

a

f f

?

-<-

?

?

?

->-

?

?

?

-<-

?

?

（如图1）或

312

2

a a

-<-<-（如图2）

.

（图1）（图2）

于是可得

18

(,4)(4,6)

7

a∈ . …………………………13分19．(本小题共13分)

（Ⅰ）有题意可知：RN RM

=，即点R到直线1

x=-和点M的距离相等.

根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点.

设R的轨迹方程为：22

y px

=，1

2

p

=，2

p=

所以R的轨迹方程为：24

y x

=. …………………………5分（Ⅱ）由条件可知(,0)

b

C

k

-，则

(,0)

b

Q

k

.

联立

24

y kx b

y x

=+

?

?

=

?

,消去y得222

(24)0

k x bk x b

+-+=，

222

(24)416(1)0

bk b k bk

?=--=->.

设

112212

(,),(,)()

A x y

B x y x x

<，则

22

(,)

P x y

-

122

42bk

x x

k

-

+=，

12

4241

2

bk bk

x

k

---

=，

22

4241

2

bk bk

x

k

-+-

=.

因为1212

12

2

()2

811

2

AP

y y k x x b k

k

x x bk bk

k

+++-

===

----

，

y

x

O

Q

P

C

B

A

11110()2(11)22[(1)1]12AQ y k kx b bk k

k b kx b bk bk bk x k k

-+--=

===

------- 所以 AP AQ k k =,,,A P Q 三点共线 . …………………………13分 20. （本小题共13分）

（Ⅰ）证明：因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=>≤=- 0（，

所以数列{}n a 是递增数列，即231n a a a <<<< .

又因为11,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≥≤=- （

， 所以111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=- （

. …………………………3分 （Ⅱ）解：因为211a a a -=，所以212a a =；

因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2.

因为1,1

,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=- （，所以当=i k 时有1=2k k a a +. 这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列.

所以12n n a -=. …………………………8分 （Ⅲ）证明：因为11=1a =，

22=2a =，

2332a ≤≤， 3442a ≤≤

… 12n n n a -≤≤ 由上面n 个式子相加，得到：

0121123+2+3++2+2+2++2n n n a a a a -≤++++≤ 1，

化简得 1231)

)(21)2

n n n n a a a a +<++++<- （（

所以12)1(2

1

-≤≤+n n S n n . ………13分