弹性地基上矩形贮液结构的液_固耦合振动特性

第28卷第2期 V ol.28 No.2 工 程 力 学 2011年 2 月 Feb. 2011 ENGINEERING MECHANICS

186

———————————————

收稿日期：2009-07-09；修改日期：2010-03-19

基金项目：国家自然科学基金项目(50778077)；兰州理工项目博士基金项目(SB04200802)；兰州理工大学优秀青年教师培养计划项目(Q200809)；

甘肃省建设厅科技攻关项目(JK2008-28)；甘肃省教育厅科技攻关项目(0803-10)

作者简介：*程选生(1972―)，男，甘肃人，教授，博士，主要从事结构工程、流-固耦合等方面的教学和科研工作(E-mail: cxs702@https://www.360docs.net/doc/0018834125.html,)； 杜永峰(1962―)，男，甘肃人，教授，博士，博导，主要从事结构工程的研究(E-mail: dooyf@https://www.360docs.net/doc/0018834125.html,).

文章编号：1000-4750(2011)02-0186-07

弹性地基上矩形贮液结构的液-固耦合振动特性

*

程选生，杜永峰

(兰州理工大学土木工程学院，兰州 730050)

摘 要：针对无旋、无粘和不可压缩的理想液体，根据Winkler 弹性地基上矩形贮液结构的液-固耦合振动分析模型，通过引入无量纲参数建立了矩形贮液结构的液-固耦合系统的振动方程。为简化计算，根据梁的振型函数和频率方程，将三维问题转化为一维问题来处理，利用振型函数的正交性求解了Winkler 弹性地基上矩形贮液结构的液-固耦合振动频率。最后，为便于工程应用，结合工程实际讨论了无量纲参数对矩形贮液结构液-固耦合振动频率的影响，从而为以后工程结构中矩形贮液结构的设计计算提供了理论依据。 关键词：弹性地基；矩形；贮液结构；弹性底板；液-固耦合；振动特性 中图分类号：TU357; TU311.3 文献标识码：A

VIBRATION CHARACTERISTIC ANALYSIS OF RECTANGULAR LIQUID-STORAGE STRUCTURES CONSIDERING LIQUID-SOLID

COUPLING ON ELASTIC FOUNDATION

*

CHENG Xuan-sheng , DU Yong-feng

(School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Abstract: In connection with the irrotational, inviscid and incompressible ideal liquid, and according to a liquid-solid coupling vibration analysis model of rectangular liquid-storage structures on a Winkler elastic foundation, the vibration equation of rectangular liquid-storage structures considering liquid-solid coupling is established by introducing dimensionless parameters. In order to simplify the calculation, the three-dimension problem is transformed into the one-dimension by the mode shape function and frequency equation of a beam. The liquid-solid coupling vibration frequency of rectangular liquid storage structures on the Winkler elastic foundation is obtained through using the orthogonality of vibration mode functions. Finally, for the convenience of engineering application, the influence of dimensionless parameters on the liquid-solid coupling vibration frequency of rectangular liquid-storage structures is discussed considering engineering practice. Thusly, the theory base about the design calculation of the rectangular liquid-storage structures is provided for corresponding engineering structures.

Key words: elastic foundation; rectangle; tank; elastic soleplate; liquid-solid coupling; vibration characteristics

随着城市和工业建设的发展，特别是石油和化学工业的发展，大型钢筋混凝土矩形贮液结构的建设日益增多。这类结构在长周期地震波的作用下，

液面会出现较大幅度的晃动。现有文献已对刚性矩形贮液结构的液面晃动效应进行了广泛的研究。诸如，王照林等[1

―2]

分别对失重时方形贮液容器内液

工程力学 187

体的自由晃动和微重情况下带有隔板的球形贮箱内液体的晃动特性进行了研究，Choun等[3]对具有水下挡块的刚性矩形贮液结构进行了晃动特性分析，Ikeda等[4]对刚性矩形贮液结构由于水的晃动所引起的非线性振动进行了分析，Warnitchai等[5]对具有阻尼装置的刚性矩形贮液结构进行了晃动特性分析，陈科等[6]针对刚性矩形贮箱进行了非线性晃动的动力学建模与分析，岳宝增等[7]研究了带有弹性隔板的圆柱形贮箱中液体的耦合晃动问题，程绪铎等[8]研究了带弹性隔板的矩形贮箱中液体的耦合晃动问题，张素侠等[9]针对矩形弹性壳液耦合系统进行了模态试验，刘习军等[10]进行了重力波分析，傅衣铭等[11]进行了弹性底板矩形贮箱流固耦合系统的自由振动分析，程选生[12]针对钢筋混凝土弹性壁板进行了液动压力计算，并针对钢筋混凝土弹性顶板和弹性底板进行了液-固耦合振动分析。这些研究对贮液结构的液-固耦合振动分析典定了坚实的基础。

为此，本文针对Winkler弹性地基和理想液体的情况，考虑底板的弹性建立矩形贮液结构液-固耦合振动方程。为使结论具有广泛性，引入无量纲参数建立矩形贮液结构液-固耦合系统的自由振动方程，根据梁的振型函数和频率方程得到Winkler弹性地基上矩形贮液结构的液-固耦合自振频率。结合工程实际，讨论无量纲对矩形贮液结构液-固耦合自由振动频率的影响，从而为以后工程结构中矩形贮液结构的设计计算提供了理论依据。

1 液-固耦合振动分析模型和

基本方程

1.1分析模型

根据现有文献[13―14]，当地基承载力的特征值不小于100kN/m2时，矩形贮液结构的底板可采用构造底板，底板的厚度不宜小于120mm，常用150mm―200mm，并在底板顶面配置不少于φ8@200的钢筋网。可以看出，底板的刚度远远小于壁板的刚度，因此，为简单起见，视壁板为完全刚性，构造底板为弹性。

如图1所示的矩形贮液结构，OXYZ为惯性坐标系，oxyz为连体坐标系(其坐标原点根据分析问题的方便来定)，V为液体域，S f0为静止的液体表面，S f为液体的自由表面，S为液体与贮液结构壁板的接触面，

d

S为液体与贮液结构底板的接触面，

w

ρ

为液体的质量密度，

c

ρ为贮液结构的质量密度，液体的深度为H。假定贮液结构内的液体是理想(忽略粘滞力的影响)、无旋(忽略角速度的影响)和不可压缩的。

图1物理模型

Fig.1 Physical model

1.2 基本方程

设沿x、y、z方向流场内一点的速度分量分别为u、v、w，速度势函数为(,,,)

x y z t

?。

根据速度分量和势函数间的关系：u

x

??

=

?

、

v

y

??

=

?

、w

z

??

=

?

，则由连续性方程为[15]：

0 w w w w

w

u v w u v w

t x y z x y z

ρρρρ

ρ

??

???????++++++=

??

???????

??

考虑到不可压缩的(

w

ρ为常量)条件，从而有：

2(,,;)0

x y z t

?

?=，在V内(1) 其中，2(,,;)

x y z t

?

?=

222

222

x y z

???

???

++

???

。

液体自由表面的方程为：

(,;)(,;)0

f

S x y t z x y t

η

=?=(2) 其中：(,;)

x y t

η为液体的表面波函数。

由流体力学理论[16]，设p为液体压力，则理想

无旋有势流体的兰姆——葛罗米柯方程为：

1

()0

2

w

p

gz

t

?

??

ρ

?

+???++=

?

(3)

其中，

x y z

???

?

???

?=++

???

i j k。

如设σ为液体的表面张力系数，则由式(2)和式(3)可知，自由面的动力学条件可表示为：

1

()0

2

w

g

t

?σκ

??η

ρ

?

+???+?=

?

(4)

188 工 程 力 学

其中：

222ηηηηηηηηηκ+++?=

。

自由面的运动学条件可表示为：

0t x x y y z

η?η?η???????++?=?????? (5) 考虑到常见液体的w

σ

ρ很小[17]，约为10?5，故为

简单和工程实用起见，忽略表面张力σ的作用。另外，忽略式(5)的二阶微量，由式(1)、式(4)和式(5)得：

22(,,)

0z x y t g z t η??=??

??+=??

???? (6) 为便于分析，如图2所示，取oxyz 为坐标系，设贮液结构的长为b ，宽为a 。

图2 简化模型 Fig.2 Simplified model

由于贮液结构的壁板为刚性，故液体在贮液结构的壁板处的边界条件为：

000;

0x y x a

y b

x

y

?

?====??==?? (7)

液体振动的初始条件为：

00

0 ,

t t t t t x y

z

t ???ηη=====????=

=

=????????=???

= (8)

根据Bernoulli 方程，底板的液动压力为：

(,,;)w

d w z H p x y z t t ?ρ=??=?? (9)

则弹性底板在弹性地基上的运动控制方程为：

24

2w z H w D w m kw t t

?ρ=?′??′′?++=?? (10)

其中：3

212(1)

Eh D μ=?；h 为弹性底板的厚度；E 和

μ分别为弹性底板的弹性模量和泊松比；m 为弹

性底板的单位质量；w ′为从平衡位置算起的弹性底板的挠度。

由于壁板的弯曲刚度和底板相比很大，故考虑四边固定情形，底板在壁板处的边界条件为：

0000

0 ;0x y x x a y b y x a

y b

w w w w x y ========′′

??′′=

===?? (11) 在弹性底板与液体的接触面上，沿z 方向的速度应相等，即：

z H

z H

w z

t ?=?=?′

??=

?? (12)

2 液-固耦合振动基本方程的

无量纲化

如设无量纲参数：

w W M E ga ατ?

?=??????

???=??

?′????

(13) 则弹性底板的无量纲运动控制方程为：

4444

2442242W W W E γλλααββ?????′+++????????

2

212

0W M KW ξψγγττ

=???+?=?? (14) 由式(11)可知，弹性底板的无量纲边值条件为：

0101010

1=0,

=0W

W W W ααααββββαβ========??=????

?

??=????

(15) 由式(12)可知，系统无量纲化的连续性条 件为：

工 程 力 学 189

1

1

W ξξψχγ

ξ

τ=?=???=?? (16)

由式(1)可知，液体无量纲化的连续性方程为：

22

22222210ψψψλαβχξ

???++=??? (17) 由式(6)可知，液体无量纲化的自由面坡度方 程为：

220

10ξψψ

χξτ=??+=?? (18) 由式(7)和式(8)可知，液体无量纲化的边值条 件为：

=0=0

=1=100000= =0,0,0

αβαβτττττψψ

αβψ

ψψαβξζζτ=====????

????

????===????????==??

?

(19) 3 液-固耦合自由振动的解答

严格地说，贮液结构的液动压力属于三维问题，精确的计算应在三维空间坐标系下进行，但如

果按照三维问题来考虑，其速度势函数?的表达式极为复杂，且包含二重级数，从而在实际计算中极为不便，这一点已经被Werner 等[18]证明了。但是不论是地上式贮液结构还是地下式贮液结构，其地震作用均应按两个主轴方向分别计算，且各方向的水平地震作用均由该方向的抗侧力构件全部承担。根据现有文献[19]，对于矩形贮液结构的抗震设计而言，双向和三向地震耦合作用的影响较小，进行单向地震作用的计算就可满足设计要求，为此，为简化计算，设液体的运动与沿宽度a 方向上的运动方程基本一致，即假定ψ、W 、ζ与β无关。

根据液体无量纲化的连续性方程式(17)及其边值条件式(19)，可得液体无量纲化速度势函数的通解为：

1

(,;)[()cosh πn n A n ψαξττχξ∞

==+∑

()sinh π]cos πn B n n τχξα (20)

其中，()A τ和()B τ为待确定的时间函数。

根据弹性底板边值条件式(15)，设弹性底板无量纲化挠度的形函数为：

1

(;)()()n n n W W F αττα∞

==∑ (21)

其中：()n W τ为未知时间函数；()n F α为梁的振型函数。

由现有文献[20]可知，两端固支梁的振型函数

为：

()cosh cos n n n F b b ααα=??

cosh cos (sin sinh )sin sinh n n

n n n n

b b b b b b αα??? (22) 其中，n b 为待定系数。

频率方程为： 1cos cosh 0n n b b ?= (23)

将通解式(20)代入液体无量纲化自由面坡度方程式(18)，得：

22

()

π()0n n A n B τττ?+=? (24) 将式(20)、式(21)代入弹性底板无量纲运动控制方程式(14)及系统无量纲化连续性条件式(16)，可得：

2442

2

111

n n n n n n n n n n W E F b W M F K F W γγγτ∞∞∞

===?′++??∑∑∑ 1cosh πsinh πcos π0n

n n A

B n n n χχαττ∞

=????

?=??????

∑ (25)

1

[(cosh πsinh π)πcos π]n n n B n A n n n χχα∞

=??∑

1

0n

n n W F γτ∞

=?=?∑

(26) 式中：n W 为()n W τ；n A 为()n A τ；n B 为()n B τ；n F 为()n F α。

对式(25)和式(26)的两边分别乘以()n F α，并

对α进行积分，根据梁振型函数的正交性，得：

2442

2

n

n n

n W E b W KW M γ

γγτ?′++??

1cosh i πsinh i πi i i A B χχττ∞

=?????

?×??????

??∑ }1

0cosi πd 0n F αα=∫ (27)

1[cosi πsinh i π]n i i i W B A γχχτ∞=??

??×???

∑ }

1

0i πcosi πd 0n F αα=∫ (28)

由式(23)，有：

190 工 程 力 学

π(21)

2n b n =+ (29) 如图2所示，仅考虑一阶振型的情况下，则

式(27)和式(28)可分别简化为：

42

42

233

3π21cosh πsinh ππW E W KW M A A γγγτχχττ???′++??????????+×??????

120

cos π()d 0F ααα=∫

(30) 221πsinh πcosh ππW A A γχχττ????++×??????

1

20

cos π()d 0F ααα=∫ (31)

将式(31)对τ求导，并应用式(30)可得：

120

4

2

32πcos π()d 3ππcosh π2A F W E W KW M γ

τααα

χγγτ?=×????????′+++??????????????

∫

2sinh πW

χτ????? (32) 3

31

204

2

32cos π()d 3ππsinh π2A F W E W KW M γ

τ

ααα

χγγτ?=?×

????????′+++??????????????

∫

2cosh πW χτ?????

(33)

联立式(32)和式(33)，可得到W 关于的四阶线性微分方程为：

4212420W W

r r W ττ

??++=?? (34) 4

3213πππtanh ππ

2tanh ππE K M r M γγχχγ

????′+++??????????=

+ (35) 4

2

323ππtanh π2tanh ππE K r M χγχγ

????′+??

????????=

+ (36) 取式(34)的周期解为：

()sin ()W A t τ?φ=?

(37)

?= (38) 其中：A 为待确定的常系数；?是与系统的自由振

动频率ω相对应的无量纲自由振动频率。

将式(37)代入式(34)，可得到系统的频率方程为： 42120r r ???+= (39) 对式(39)求解，可得：

?= (40) 4 数值算例及讨论

由式(40)可知，弹性地基上矩形贮液结构液-固耦合系统的自振频率不仅与底板材料的弹性常数和泊松比有关，而且与基床系数、底板的相对厚度和宽度、底板与液体的相对密度、液位相对高度

和液体密度有关。下面通过算例来讨论无量纲参数

E ′、K 、γ、χ和M 对液-固耦合系统无量纲自振频率?的影响。

为了使所得结论能够直接应用到工程实际中，

针对混凝土材料，取μ=1/6，c ρ=2.5×104N/m 3，w ρ= 0.8×104N/m 3―1.2×104N/m 3，a=6.0m ，γ=1/50―1/30，E =2.8×1010N/m 3―3.25×1010N/m 3，k =1×

106N/m 3―1×1010N/m 3[21]。经计算，χ=0.5―1.0，K =

1.02×101―1.02×105，

E ′=4081.6―4737.6，M =2.0― 3.2。

对不同的无量纲参数E ′、K ，取γ=1/40，

χ = 0.5，M =2.5。由式(40)，液-固耦合系统无量纲

自振频率?的变化情况如图3所示。

图3 E ′、K 对液-固耦合系统无量纲自振频率?的影响 Fig.3 E ′and K have effect on dimensionless vibration

frequency ? of liquid-solid coupling system

由图3可以看出，液-固耦合系统无量纲自振

800

K =500

K =200

K =?

无量纲自振频率无量纲参数E ′

工 程 力 学 191

频率?随无量纲参数E ′的增大而缓慢增大，随无量纲参数K 的增大而明显增大。

对不同的无量纲参数γ、

M ，取χ= 0.5，K =100，E ′= 4300。由式(40)，液-固耦合系统无量纲自振频

率?的变化情况如图4所示。

图4 1

50

γ=

、M 对液-固耦合系统无量纲 自振频率?的影响

Fig.4 γand M have effect on dimensionless vibration

frequency ? of liquid-solid coupling system

由图4可以看出，液-固耦合系统无量纲自振频率?随无量纲参数γ的增大而增大；随无量纲参数随M 的增大而减小。

对不同的无量纲参数K 、χ，取γ=1/40，

E ′=4300，M =2.5。由式(40)，液-固耦合系统无量纲自振频率?的变化情况如图5所示。

图5 χ、K 对液-固耦合系统无量纲自振频率?的影响 Fig.5 K and χ have effect on dimensionless vibration

frequency ? of liquid-solid coupling system

由图5可以看出，液-固耦合系统无量纲自振频率?虽随无量纲参数χ的增大而减小，但变化缓慢，影响不大；随无量纲参数K 的增大而明显增大。

5 结论

本文首先针对Winkler 弹性地基和理想液体的情况，考虑底板的弹性建立了矩形贮液结构液-固耦合振动方程，然后为了使结论具有广泛性，引入无量纲参数建立了矩形贮液结构液-固耦合系统的自由振动方程，并根据梁的振型函数和频率方程得到Winkler 弹性地基上矩形贮液结构的液-固耦合自振频率计算公式。由于工程结构中较低自振频率相应的振型对体系动力响应的贡献远大于较高自振频率相应振型的贡献，故为工程实用起见，结合工

程实际和数值算例，讨论了无量纲参数对矩形贮液结构液-固耦合无量纲自由振动频率的影响，具体 如下：

(1) 液-固耦合系统无量纲自振频率?虽随无量纲参数E ′的增大而缓慢增大，?值变化不大；随无量纲参数K 的增大而明显增大。

(2) 液-固耦合系统无量纲自振频率?随无量纲参数γ的增大而增大，随无量纲参数M 的增大而减小。

(3) 液-固耦合系统无量纲自振频率?虽随无量纲参数χ的增大而缓慢减小，?值变化不大。 参考文献：

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γ=

140

γ=

150

γ=

?

无量纲自振频率无量纲参数E ′

200

K =500

K =800

K =无量纲参数χ

?

无量纲自振频率

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