导数与微分练习题

导数与微分

1.根据导数的定义求函数的导数

1）设函数)(1)(3x x x f ?-=，其中1)(=x x 在?处连续，则1)(0)1(==x x f 在是?处可导的什么条件？

2）设0)0(=f ，则)1(1lim 0h h e f h

-→存在是0)(=x x f 在可导的什么条件？ 3）设函数)(x f 在a x =处可导，则0)(0)(≠'=a f a f 且是函数)(x f 在a x =处不可导的什么条件？

4）已知???≥<=00sin )(x x

x x x f ，求)(x f ' 5）设函数)(x f 可导，则)sin 1)(()(x x f x F +=，若使)(x F 在0=x 处可导，证明必有0)0(=f

2.利用导数求极限或待定参数

1）设)(0x f '存在，求下列各极限 i)x

x f x x f x ?-?+→?)()3(lim

000 ii)h h x f h x f h )()(lim 000--+→ 2)设???>+≤==0

02b )(x x ax x x x x f y ，选取合适的b a ,值，使得)(x f 处处连续可导

3.利用求导的四则运算及初等函数求导法则函数的导数

1）设)(),(x g x f 是恒大于零的可导函数，且0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有（ ）

A.)()()()(x g b f b g x f >

B.)()()()(x g a f a g x f >

C.)()()()(b g b f x g x f >

D.)()()()(a g a f x g x f >

2)设函数)()2)(1()(2n e e e x f nx x x -???--=，其中n 为正整数，则=')0(f （ ）

A.)!1()1(1---n n

B.)!1()1(--n n

C.!)1(1n n --

D.!)1(n n -

3)设x x y 2

cos )(sin =，求y ' 4.复合函数求导

1）求下列函数的导函数

i)52)cos (x x y +=

ii)3cos x e y = iii)x y cos ln arcsin = iiii)x y 1

sin 1

=

2)设函数)(x g 可微，2)(,1)1(,)()(1='='=+x g h e x h x g ，则)1(g 等于多少？

3)设??????>-≤=>≤=000)(,000)(2x x x x g x x x x f ，求[])(x f g dx

d 4)设x x x f y g x arctan ln )()(+==是的反函数，求)4

(π

g ' 5.求函数的高阶导数

1）设函数2)(=x x f 在的某邻域内可导，且1)2(,)()(=='f e

x f x f ，则)2(f ''等于多少？ 2）设x x x y cos sin sin 3+=，求)(n y

3）求函数)1ln()(2x x x f +=在0=x 处的n 阶导数)3)(0()(≥n f n

4）设211ln x

x y +-=，则0=''x y 等于多少？ 5）函数)21ln(x y -=在0=x 处的n 阶导数)0()(n f

6.隐函数求导问题

1）设)(x y y =是由方程y e y x =+-12所确定的隐函数，则

dx dy 等于多少？ 2）设函数)(x y y =由方程y y f e xe =)(确定，其中f 具有二阶函数，且1≠'f ，求22dx

y d 3）设函数)(x y y =是由方程1+=+x e xy y 确定的隐函数，求0

22=x dx y d

7.适用于幂指函数和对数求导法则

1）设a

x x x x a x a x y ++=，求y '

2）设函数31321

2)())((x c x b x a y +++=，求y ' 8.参数方程求导法

1）设???==t

b y t a x sin cos ，求22dx y d 2）设?

??+==322t y t x ，求22dx y d 3）设)(x y y =由???=+-=5

2arctan 2t e ty y t x 确定，求22dx y d 9.求函数的微分

1）设函数)(x y y =由方程y x xy +=2所确定，则0=x dy 等于多少？

2）设)()(ln x f e

x f y =其中)(x f 可微，求dy 3）设方程y y x =确定y 是x 的函数，求dy

4）设函数???<-≥=1121

ln )(x x x x x f ，))((x f f y =，求0

=x dx dy 5）设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f

证明：（1）0)(=x x f 在处可微；

（2）)(x f '在0=x 处不可微