六年级下数学思维训练教程(尖子生)

六年级下期

第一讲 图形题

例1 一个长方形(左下图)被分为9个面积不相等的小长方形。其中A 、B 、

C 、

D 、

E 的面积分别是A ＝160，B ＝172，C ＝215，D ＝240，E ＝300(单位：㎝2)。原来大长方形的面积是多少平方厘米？(北京市第十一届迎春杯数学竞赛题)

解：给大

长方形宽上的四个点标上字母（右上图），NP MN ＝C B ＝215172＝54, PQ MN ＝D A ＝240160＝6

4，所以MN ∶NP ∶PQ ＝4∶5∶6。设MN 、NP 、PQ 分别为4a 、5b 、6c ，那么原长方形的长＝a A 4＋a C 5＋a E 6＝a 1(4A ＋5C ＋6

E )＝a 133。所以原长方形的面积是a 133×(4＋5＋6)a ＝1995(㎝2)。

例2 如图，阴影部分小正六角星形的面积是16㎝2。问：大正六角形的面

积是多少平方厘米？(第五届“华杯赛”决赛题)

解：小正六角星形可以分成12个相等的小正三角形，每个小正三角形的面

积是16÷12＝13

1(㎝2)。围绕小正六角星形的正六边形比小六角星形大了6个小等边三角形，每个小等边三角形的面积等于一个小正三角形的面积，所以正六

边形的面积是16＋13

1×6＝24(㎝2)，而大正六角星形面积等于正六边形面积的2倍，是24×2＝48(㎝2)。

例3 如左下图，将三角形ABC 的BA 边延长1倍到D ，CB 边延长2倍到E ，

AC 边延长3倍到F 。如果三角形ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是多少？(北京市第一届“迎春杯”数学竞赛题)

D D

A A

C C

B B

E F E F

解：连结CD 、AE 、BF 如右上图，那么△ACD ＝△ABC ＝1，△ADE ＝△ABE ＝2，A B C

D E M N P Q A B C D E

△CDF ＝△CBF ＝3，△BEF ＝6，所以，△DEF ＝1×2＋2×2＋3×2＋6＝18。

例4 如图，长方形的面积为35㎝2，左下方直角三角形的面积为5㎝2，

右上方直角三角形的面积为7㎝2，那么中间的三角形(阴影部分)的面积是 平方厘米。(1996年全国奥赛初赛题)

解：设长方形的长为a 、宽为b 。左下方直角三角形的底是a 的

3525?＝72，右上方直角三角形的高是b 的35

27?＝52，于是，右下方直角三角形的底是a 的1－72＝75，高是b 的1－52＝53，面积是21×(75a ×53b)＝143ab ＝14

3×35＝7.5(㎝2)，所以，阴影部分的面积是35－(7＋5＋7.5)＝15.5(㎝2)。

练 习 一

1．一个长方形(左下图)被两条直线分为四个长方形，其中三个的面积分别

是20、25、30(单位：㎝2)。问：另一个(图中阴影部分)长方形的面积是多少平方厘米？(第一届“华杯赛”复赛题)

2．图中，BE ＝31BC ，CD ＝4

1AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 的 几分之几？(北京市第八届“迎春杯”数学竞赛题) A

D

B E C

3．图中,直线DF 与平行四边形ABCD 的BC 边交于E 点,与直线AB 的延长线

交于F 点。已知AB ＝28㎝，EG 等于7㎝,那么 D C

三角形CEF 的面积是多少平方厘米？(南京市小学数学竞赛题)

F

4．如图，长方形的广告牌长为10m ，宽为8m ，A 、B 、C 、D 点分别在四

条边上，并且C 比A 低5m ，D 在B 左边2m ，四边 D

形ABCD 的面积是多少平方米？(南京市小学数学 A

B

5．图中ABCD是直角梯形，其上底CD＝3，下底AB＝9，线段DE、EF把梯形

分成面积相等的三块S

1＝S

2

＝S

3

。已知CF＝2，求这个直角梯形的面积。(第三届

“祖冲之杯”小学数学竞赛题) D C

S1 F

S2 S3

A E B

6．图中三角形ABC的面积是1㎝2，且BE＝2EC，F是CD的中点，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？(北京市第十二届“迎春杯”数学竞赛题)

A D B

7．如图，在三角形ABC中，BC＝8㎝，E、F分别为AB和AC的中点。那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？(北京市第七届“迎春杯”数学竞赛题)

D B C

8．图中，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD＝DC＝4，BE ＝3，AE＝6。求甲部分面积是乙部分面积的几分之几？(第三届《小学生数学报》数学竞赛题)A

C 9．街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1m的甬道，如果甬道的面积是12m2，那么中间的花坛的面积是多少平方米？(北京市第十二届“迎春杯”数学竞赛题)

10．已知四边形的周长是60㎝，四边形内有一个点，这个点到各边的距离都是4.5㎝，求这个四边形的面积。(1997年全国奥赛决赛题)

11．如图，三角形ABC和三角形DEC都等腰直角三角形，阴影部分是正方形，三角形ABC与三角形DEC面积的比是多少？(第九届《小学生数学报》数学竞赛

A

B E C

12．如图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF＝FC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等。已知梯形ABCD的面积是32平方厘米，求图中阴影部分的面积。（第八届《小学生学习报》数学竞赛决赛试题）

第二讲立体图形

例1 有10个表面涂了漆的正方体木块，棱长分别是2、4、6、8、……、20㎝。如果把这些木块全部锯成棱长1㎝的小正方体，那么，锯成的小正方体木块中，至少有一个面上有漆的有多少块？(第八届“中原之星”数学竞赛题) 解：为了找出规律，取出一个表面涂了漆的正方体木块进行研究。比如，取棱长是10㎝的正方体木块，它的体积是103㎝3。因为漆是涂在它的表面上的，可以设想，从长、宽、高每个方向的两端各去掉一层1㎝厚的表层，得到一个棱长是10－2＝8(㎝)的较小的正方体木块，而这个较小的正方体木块的表面上是没有漆的，体积是83㎝3。这就说明，去掉的部分的体积是(103－83)㎝3，因为最后锯成的小正方体木块的棱长是1㎝，所以，至少有一个面上有漆的小正方体木块好就有103－83块。其它木块的情况可以依此类推，由此得出，至少有一个面上有漆的小正方体木块的总数应该是：

(23－03)＋(43－23)＋(63－43)＋…＋(183－163)＋(203－183) ＝(23＋43＋63＋…＋183＋203)－(03＋23＋43＋…＋163＋183)

＝203

＝8000(块)。

答：至少有一个面上有漆的小正方体木块有8000块。

例2 有一个长60cm、宽50cm、高30cm的长方体木箱，如图那样用绳子捆扎，绳子的总长至少有多少米？

30cm

50cm

60cm

解：观察发现，绳子沿长的方向有6段，宽的方向有8段，高的方向有10段，所以，绳子的长度至少有60×6＋50×8＋30×10＝1060(cm)，1060cm＝10.6m。

答：绳子的总长至少有10.6m。

例3 在墙角处有若干个体积都等于1的正方体堆成如下图所示的立体图形(每个正方体都可以独立地搬走，但如果抽走下面的正方体，上面的正方体就会自动落下去。)有人希望搬走其中部分正方体，但从前面、上面、右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，则最多可以搬走多少个小正方体？(2005年南京市少年数学智力冬令营竞赛试题)

解：要想搬走一部分小正方体，但是从前面、上面、右面用平行光线照射时，在墙面及地面上的影子不变，就只能搬走既不挨墙也不挨地的那些小正方体，这样的小正方体有1＋3＋6＝10(个)。

答：最多可以搬走10个小正方体。

例4 一个圆柱，底面直径和高都是8，一个圆锥，底面直径和高都是4。圆柱体积与圆锥体积的比是多少？(第四届“华杯赛”初赛题)

解：再取一个底面直径和高都是4的小圆柱，大、小两个圆柱体积的比是83∶43＝512∶64＝8∶1，而小圆柱与圆锥体积的比是3∶1，所以大圆柱与圆锥体积的比是(8×3)∶1＝24∶1。

答：圆柱体积与圆锥体积的比是24∶1。

练习二

1．有一个长方体，长4cm、宽3cm、高2cm，各面都涂上蓝色，再把它切成棱长1cm的的正方体。这些正方体中两个面是蓝色的有多少个？(第二届“中原之星”数学竞赛题)

2．把三个长10cm、宽6cm、高4cm的长方体拼成一个大长方体，这个长方体表面积的最大值与最小值相差多少平方厘米? (第一届“九章杯”小学数学竞赛初赛试题)

3．把一根长2.4m的长方体木料锯成5段，表面积比原来增加了96 cm2。这根木料原来的体积是多少立方厘米？

4．有一个长、宽、高分别是 5cm、4cm、3 cm的长方体, 将它截成两个长方体, 使这两个长方体的表面积之和最大。这时, 表面积之和是多少平方厘米？

5．一个长方体的正面和上面的面积之和是77 cm2,它的长、宽、高都是整数厘米，并且都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米?

6．由27个棱长为1的小正方体拼成一个棱长为3的大正方体，若自上而下去掉中间的3个小正方体，如下图所示，则剩下的几何体的表面积是多少？(第四届“希望杯”小学数学邀请赛试题)

7．下面是一个正方形的表面展开图，每个面上各有一个数，这个正方体相交于一个顶点的三个面上的数之和最大是多少？(第九届“中原之星”数学竞赛题)

1

6 2 5 4

3

8．有一个棱长5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个完全穿透的的“十字形”孔(如图)。求这个立方体的内、外表面的总面积。

9．用一些棱长是1的小正方体码成一个立体，从上向下看这个立体，如左下图，从正面看这个立体，如右下图，则这个立体的表面积最多是多少？(第十二届“华杯赛”决赛题)

10．一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5cm，深20cm。在水深15cm 时，将一个底面半径为2cm，高为17cm的铁圆柱垂直放入容器中。求容器这时的水深是多少厘米？(第五届“华杯赛”试题)

11．一种厚度为d厘米的铜板纸(一种优质纸)被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外半径是R厘米，内半径是r厘米。这卷铜板纸的总长度是多少？

12．如图，将高是1m，底面半径分别为1.5m、1m、0.5m的三个圆柱组成一

个物体，求这个物体的表面积是多少平方米？(π取3)(第三届“华杯赛”初赛

题)

第三讲枚举

例 1 红领巾春节慰问小组在确定去敬老院演出的节目单时，遇到如下问题：除夕夜的演出有唱歌、舞蹈、杂技、小品四个节目。如果要求唱歌不排在第四项，舞蹈不排在第三项，杂技不排在第二项，小品不排在第一项，那么，满足上述要求的节目单，共有多少种不同的排法？(北京市第十三届“迎春杯”数学竞赛题)

解：用逐项枚举的方法：

(1)唱歌、小品、杂技、舞蹈；(2)唱歌、舞蹈、杂技、小品；

(3)唱歌、舞蹈、小品、杂技；(4)舞蹈、小品、唱歌、杂技；

(5)舞蹈、唱歌、杂技、小品；(6)舞蹈、唱歌、小品、杂技；

(7)杂技、小品、唱歌、舞蹈；(8)杂技、唱歌、小品、舞蹈；

(9)杂技、舞蹈、唱歌、小品。

共有9种。

答：共有9种不同的排法。

例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。问：有多少种不同的支付方法？(第五届“华杯赛”初赛题)

解：23＝5＋5＋5＋5＋2＋1

23＝5＋5＋5＋5＋1＋1＋1

23＝5＋5＋5＋2＋2＋2＋2

23＝5＋5＋5＋2＋2＋2＋1＋1

23＝5＋5＋5＋2＋2＋1＋1＋1＋1

当5分的少于3枚时，无法凑成23分，所以只有上面5种不同的支付方法。

答：有5种不同的支付方法。

例3 恰有两个数字相同的三位数共有多少个？(2002年全国奥赛决赛题) 解：设三位数中有两个a、一个b，恰有两个数字相同的排列就有aab、aba、baa三种。

当a≠0、b≠0时，a有9种选择，b有剩下的8种选择，a、b确定后，它

们有三种排列，可以组成9×8×3＝216(个)三位数；

当a＝0、b≠0时，b有9种选择，只有一种排列baa，可以组成9×1＝9(个)三位数；

当a≠0、b＝0时，a有9种选择，有两种排列aab、aba，可以组成9×2＝18(个)三位数。

一共可以组成216＋9＋18＝243(个)三位数。

答：恰有两个数字相同的三位数共有243个。

例4 如果1＝1!

1×2＝2!

1×2×3＝3!

1×2×3×4＝4!

……

1×2×3×…×99×100＝100!

那么1!＋2!＋3!＋…＋100! 的个位数字是几？(北京市第四届“迎春杯”数学竞赛题)

解：因为5!＝1×2×3×4×5＝120，可知对于所有大于4的自然数n，n! 的个位数字都是0，所以1!＋2!＋3!＋…＋100! 的个位数字就是1!＋2!＋3!＋4! 的个位数字，计算得到1!＋2!＋3!＋4!＝33，于是1!＋2!＋3!＋…＋100! 的个位数字是3。

答：个位数字是3。

练习三

1．有八张卡片，上面分别写着自然数1到8。从中取出3张，要求这三张卡片上的数字之和是9。问有多少种不同的取法？(第二届“华杯赛”试题) 2．在1000和9999之间由四个不同的数字组成，而且个位数和千位数的差(大数减小数)是2，这样的整数共有多少个？(2001年全国奥赛预赛题) 3．某人射击8枪，命中4枪，命中的4枪中，恰好有3枪的环数连在一起的情况有多少种？(2001年全国奥赛预赛题)

4．有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直到不能写为止，如246,1459等等，这类数共有多少个？(2002年全国奥赛预赛题)

5．四个装药用的瓶子都贴了标签，其中恰好有三个贴错了，那么错的情况

共有多少种？(2002年全国奥赛预赛题)

6．用0、1、2三个数字组成数字可以重复的三位数，一共可以组成多少个？

(南京市小学数学竞赛题)

7．将3个相同的小球放入A 、B 、C 三个盒子中，共有多少种不同的放法？

8．小明家的电话号码是一个很巧的七位数ABCDEFG ，把它从中间断开，分成一个三位数ABC 和一个四位数DEFG ，或者分成一个四位数ABCD 和EFG ，但无论前三位数和后四位数的和，还是前四位数和后三位数的和都是两个相等的四位数。小亮家后来也装电话了，小亮要求电信局的叔叔也给一个有小明家电话号码这样特点的号码，而且七位数比小明家的还要大。电信局的叔叔说，这样的号码小明家是最大的。那么小明家的电话号码是多少？(2003年全国奥赛预赛题)

9．甲、乙都是两位数，将甲的十位数与个位数对调得丙(甲≠丙)，将乙的十位数与个位数对调得丁(乙≠丁)，丙和丁的乘积等于甲和乙的乘积，而甲、乙两数的数字全为偶数，并且数字不能完全相同(如24和42)，则甲、乙两数的和最大是多少？(2001年全国奥赛预赛题)

10．将一个圆形纸片用直线画成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于

50个小纸片，至少要画多少条直线？(第三届“华杯赛”决赛题)

11．四个连续自然数的倒数之和等于20

19，则这四个自然数两两乘积的和等于多少？(2001年全国奥赛预赛题)

12．一本书有500页，编上页码1, 2，3，…。问数字1在页码中出现多少

次？(美国长岛小学数学竞赛题)

第四讲 计数

例1 图中大长方形ABCD 的AB 边上有多少 B

条线段？AD 边上有多少条线段？ 图中有多少个

正方形？多少个长方形(不包括正方形)？

C

解：AB 上有4＋3＋2＋1＝10(条)线段，AD 上有3＋2＋1＝6(条)线段。可以

形成长方形和正方形共10×6＝60(个)，其中小正方形4×3＝12(个)；由4个小正方形组成的正方形3×2＝6(个)；由9个小正方形组成的正方形2个。共12＋6＋2＝20(个)。长方形(不包括正方形)60－20＝40(个)。

例2 由四个边长为1的正方形拼成如左下图所示的左右对称图形，以图中

正方形的14个顶点为顶点可以得到许多不同的三角形，那么，在这些三角形中，

面积为1的三角形共有多少个？(面积为1的三角形的三条边中，至少有一条边

是水平或垂直的)(2003年全国奥赛预赛题)

A B

C D E F G

H I J K L

M N

解：(1)像△ABH那样水平线段为1的有22个；(2)像△CGH那样水平线段为2的有14个；(3)像△AIF那样无水平线段的8个，共44个。

例3 如图所示，把A、B、C、D、E这五部分，用四种不同的颜色着色，

并且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部 A

分可以使用同一种颜色。那么这幅图一共有多少种 B

不同的着色方法。(北京市第十二届“迎春杯”数 C

学竞赛题) D E 解：A有4种着色方法。A着色后，B有3种着色方法。A、B着色后，C有2种着色方法。A、B、C着色后，D有2种着色方法。A、B、C、D着色后，E有2种着色方法。共有4×3×2×2×2＝96(种)不同的着色方法。

例4 现有如下一系列图形：

A B A B A B

n＝1 n＝2 n＝3 当n＝1时，长方形ABCD分为2个直角三角形，总计数出5条边；

当n＝2时，长方形ABCD分为8个直角三角形，总计数出16条边；

当n＝3时，长方形ABCD分为18个直角三角形，总计数出33条边；

……

按如上规律请你回答：当n＝100时，长方形ABCD应分为多少个直角三角形？总计数出多少条边？(第六届“华杯赛”决赛题)

解：因为直角三角形的个数等于小长方形个数的2倍，而小长方形的个数等于n2，所以直角三角形的个数等于2n2。n＝100时，应分为2×1002＝20000(个)直角三角形。

可以把边分成四类：外边；斜边；内部水平边；内部垂直边。外边显然等于

4n；斜边的条数与小长方形的个数相同，等于n2；内部水平边有n－1整条，每条又分成n条，共n(n－1)条；内部垂直边与内部水平边的条数相同，共n(n－1)条。总计可数出4n＋n2＋2n(n－1)＝n2＋2 n(n＋1)条。当n＝100时，总计数出1002＋2×100×(100＋1)＝30200(条)边。

练习四

1．图中有多少个三角形？

2．联结图中的点，最多可以得到多少个正方形？

····

····

····

····3．从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站。铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中最多有多少种不同的票价？(第四届《小学生数学报》数学竞赛题)

4. 4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着站在正中间，有多少种不同的排法？(南京市小学数学竞赛题)

5．由四个不同的非0数字组成的所有四位数中，数字和等于12的共有几个？(第七届“华杯赛”决赛题)

6．图中共有多少条线段？(南京市小学数学竞赛题)

C

F G

H

I

A E D B

7．用长短相同的火柴棍摆成3×1996个

小的方格网(每一个小方格的边长为一根火柴

棍长，如图)。一共需用多少根火柴棍？(北京

市第十二届迎春杯数学竞赛题)每行1996个小方格

8．用三根等长的火柴可以摆成一个等边三角形。

用这样的等边三角形如右图所示，拼合成一个大的

等边三角形。如果这个大等边三角形的底为20根火

柴长，那么一共要用多少根火柴。(北京市第十二届

“迎春杯”数学竞赛题）

9．图中(单位：㎝)：①一共有几个长方形？②所有这些长方形的面积的和是多少？(第一届“从小爱数学”竞赛题)

2

4

7

3 10．下图是由19个边长2㎝的立方体重叠而成的，求这个立方体图形的表

面积。

11．下图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形。其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个。那么图中包含“*”号的大、小正三角形共有多少个？(北京市第十一届“迎春杯”数学竞赛题)

*

16．印在卡纸上的号码倒过来看，显然数码0、1、8不变；6与9互换，而其余数码没有意义。

某工厂制作了从001到999的号码牌，由于制作的号码牌上下一样，所以有些号码牌拿倒了就会发生混乱(例如068倒过来看是890)；有些号码牌倒着看仍保持不变(例如808，倒看仍是808)；有些号码牌倒着看就没有意义。

(1)有多少号码牌倒看仍保持不变？

(2)有多少号码牌倒看会发生混乱？

(只需写出符合题意的号码牌的个数，不必将号码牌一一列举出来。)

第五讲整除

例1 把图中相邻两个数的积填入第二行，再把第二行相邻两个数的积填入第三行……最下面那个数的末尾有几个0？

解：要判断积的末尾0的个数，就要从因数中含有质因数2、5的个数入手。

(1)原来五个数中, 12含有2个质因数2, 从12所在的位置分析, 这2 个2经过多次乘法运算将变成8个；

(2)同理，20所含的2个质因数2, 最后仍为2个；

(3)同理，15 所含的1个质因数5, 最后将变成6个；

(4)同理，25所含的2个质因数5, 最后将变成8个；

(5)同理，20所含的1个质因数5, 最后仍为1个。

因此, 最下面的积中将含有8＋2＝10个质因数2，6＋8＋1＝15个质因数5, 所以积的末尾应该有10个0。

答：最下面那个数的末尾有10个0。

例2 小宇问大成：“你射击三枪，共中几环？”大成说：“一、二枪的环数乘积是48，二、三枪的环数乘积是72，一、三枪的环数乘积是54。”大成三枪共中多少环？(北京市第十届“迎春杯”数学竞赛题)

解：设第一、二、三枪分别击中a、b、c环，则a×b＝48，b×c＝72，a×c＝54，由a2＝(a×b)×(a×c)÷(b×c)＝48×54÷72＝36＝62，得a＝6，b＝8，c＝9，所以三枪共中6＋8＋9＝23(环)。

答：大成三枪共中环23环。

例3 两个自然数之差为4，它们的最小公倍数与最大公因数之差是436，则这两个数之和是多少？(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)

解：设这两个数为A、B，它们的最大公因数是C，最小公倍数是D，于是，

A＝aC，B＝bC，其中，a、b是两个互质数，并且a＞b。

436因为D＝abC，所以，D－C＝abC－C＝(ab－1)C＝436。由此推知：ab＝

C

＋1。另由A －B ＝aC －bC ＝(a －b)C ＝4推知：a －b ＝

C

4，C ＝1、2、4；a －b ＝1、2、4。 (1)当C ＝1时，ab ＝437＝23×19，a ＝23，b ＝19，a －b ＝4，A ＝23×1＝23，B ＝19×1＝19，A ＋B ＝23＋19＝42；

(2)当C ＝2时，ab ＝219＝73×3，a ＝73，b ＝3，a －b ＝70，无解；

(3)当C ＝4时，ab ＝110＝11×10，a ＝11，b ＝10，a －b ＝1，A ＝11×4＝44，B ＝10×4＝40，A ＋B ＝44＋40＝84。

答：这两个数的和是42或84。

例4 一根木棍上有三种刻度线，分别将木棍分成10等分、12等分、15等

分。如果沿每条等分线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？(第二届“华杯赛”决赛题)

解：因为10、12、15的最小公倍数是60，可以把木棍的60

1作为一个长度单位，这样，木棍10等分的每份长6个单位；12等分的每份长5个单位；15等分的每份长4个单位。

不算木棍的两端，在木棍内部，10等分时有9个分点；12等分时有11个分

点；15等分时有14个分点。共有9＋11＋14＝34(个)分点。由于5和6的最小公倍数是30，分点在30单位处有1次重合；4和5的最小公倍数是20，分点在20单位、40单位处有2次重合；6和4的最小公倍数是12，分点在12单位、24单位、36单位、48单位处有4次重合，所以沿分点锯断时，要锯34－1－2－4＝27(次)，锯成27＋1＝28(段)。

答：木棍总共被锯成28段。

练 习 五

1. 1368×a 的积是一个平方数, a 最小是多少？

2．有这样一些四位数，它们能被9整除，并且，去掉末位数后所得的三位

数是8的倍数，这样的四位数中最大的一个是多少？(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)

3．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140，如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？(1993年小学数学奥林匹克预赛题)

4．从运动场一端到另一端全长96m ，从一端起到另一端每隔4m 插一面小红旗。现在要改成每隔6m 插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面？(第

一届《小学生数学报》数学竞赛题)

5．马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407。那么甲、乙两数的乘积应是多少？(第八届“祖冲之杯”数学竞赛题)

6．李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平均分成4个小组，总共种树667棵。如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有多少人？(北京市第七届“迎春杯”数学竞赛题)

7．某书店所卖的贺年卡是以“角”为单位的整数。小杨用30元钱在这家书店一次购买同一种贺年卡若干张。一周以后，这家店的贺年卡全部降价，小杨上次买的那种每张降价1元。如果小杨现在还花30元钱，就可以比降价前多买8张。降价前这种贺年卡每张多少元？小杨买了这种贺年卡多少张？(第七届《小学生数学报》数学竞赛题)

8．已知两个自然数，每一个数除以它们的最大公因数所得的商之和等于18，而这两个数的最小公倍数是975，那么这两个数分别是多少？(第一届“陈省身杯”数学邀请赛试题)

9．有A、B两个两位数，A是B的13

4

倍，这两个数的和是一个三位数，并

且这个三位数能被7整除。A、B这两个数分别是多少？

10．一串数1、4、7、10、…、397、400相乘，则积的尾部有多少个零？(吉林省第九届小学数学邀请赛试题)

11．有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始，每隔4人发一个橘子，结果有10个小朋友苹果和橘子都拿到，那么这些小朋友最多有多少人？(1997年小学数学奥林匹克决赛题) 12．有三根铁丝，一根长300cm，一根长444cm，一根长516cm，把它们截成同样长而且尽可能长的小段(不许剩余)，每小段折成一个小正方形。然后将这些小正方形混合在一起拼成一个长方形(每拼一次都必须全部用上这些小正方形)，这样可以拼成多少个不同的长方形？(江西省首届小学数学竞赛题)。

第六讲比和比例

例1 车过河交渡费3元，马过河交渡费2元，人过河交渡费1元。某天过河的车和马数目的比为2∶9，马和人数目的比为3∶7，共收渡费315元。求这天过河的车、马和人的数目各是多少？(第十届“祖冲之杯”数学邀请赛试题) 解：为了求出车、马、人数目的比，首先把马和人数目之比的前项变成9，马和人数目的比为3∶7＝9∶21，于是，车、马、人数目的比为2∶9∶21。由所

交钱数的比为(2×3)∶(9×2)∶(21×1)＝6∶18∶21，可以求出车、马、人所交的钱数分别是315÷(6＋18＋21)×6＝42(元)，315÷(6＋18＋21)×18＝126(元)，315÷(6＋18＋21)×21＝147(元)。所以，这天过河的车有42÷3＝14(辆)，马有126÷2＝63(匹)，人有147÷1＝147(人)。

例2 从甲地到乙地要先经过一段上坡路再经过一段下坡路。一辆汽车从甲地出发开往乙地，同时另一辆汽车从乙地出发开往甲地，这两辆车上坡的速度都是每小时 40 km ，下坡的速度都是每小时 60 km ，已知从甲地出发的汽车到达乙地所用的时间与从乙地出发的汽车到达甲地的时间的比是6∶5，那么，从甲地到乙地上坡路程与下坡路程的比是多少？

解：设从甲地到乙地的上坡路占全程的分率为 x 。列出方程： (x 40＋160-x )∶(140-x ＋x 60

)＝6∶5 化简得

(x ＋2)∶(3－x)＝6∶5

根据比例的性质化简后得

5x ＋10＝18－6x

11x ＝8

x ＝811

所以，从甲地到乙地上坡路程与下坡路程的比是 8∶11。

例3 如图所示，在三角形ABC 中，BD ＝2DC ，AE ＝2ED 。FC ＝7，那么，AF ＝？(2003年全国奥赛预赛题)

A

E F

B D C

解：作DG 平行于EF 如图，

△AEF 与△ADG 的对应角相等，像这样对应角相等的三角形叫相似三角形，A

B D F E

C G

相似三角形的对应边成比例。所以AF ∶FG ＝AE ∶ED ＝2∶1。△CGD 与△CFB 也是相似三角形，CG ∶FG ＝CD ∶BD ＝1∶2。于是，如果把FG 看作2份，AF 就等于4

份，FC 就等于3份。AF ∶FC ＝4∶3，AF ＝4FC ÷3＝4×7÷3＝93

1。 例4 某次数学竞赛设一、二等奖。已知：

(1)甲、乙两校获奖人数的比是6∶5；

(2)甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的60%；

(3)甲、乙两校获二等奖的人数之比为5∶6。

甲校获二等奖的人数占该校获奖总人数的百分数之几？(1998年全国奥赛

决赛题)

解：设甲校有60人获奖，则由(1)，乙校有60÷6×5＝50(人)获奖。由(2)，甲、乙两校获二等奖的有(60＋50)×60%＝66(人)。由(3)，甲校获二等奖的有66÷(5＋6)×5＝30(人)，占甲校获奖人数的30÷60＝50%。

练 习 六

1. 甲、乙两仓原有水泥袋数的比是4∶3, 甲仓运给乙仓48 袋后, 甲、乙两仓水泥袋数的比是2∶3, 甲、乙两仓原来各有水泥多少袋?

2. 一块地, 用它的25

种冬瓜, 其余的按3∶2种西红柿和茄子, 已知种茄子0.6公顷, 这块地一共有多少公顷?

3. 两筐苹果共65kg, 把甲筐苹果的16

装入乙筐, 甲、乙两筐苹重量的比恰好是7∶6, 甲、乙两筐苹果原来各有多少千克?

4. 货车与客车速度的比是3∶2, 两车同时从甲、乙两站相对开出, 2小时

后, 货车在途中的丙站卸货, 这时两车相距全程的37

, 再过几小时客车到达丙站?

5. 圆珠笔和铅笔的价格比是4∶3, 20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5 元, 则圆珠笔的单价是每支多少元？(1999 年全国奥赛预赛题)

6. 把两筐苹果分给甲、乙、丙三个班, 甲班分得总量的

25, 剩下的按 5∶7分给乙、丙两班。已知第二筐苹果重量是第一筐的910

, 且比第一筐少5 kg 。甲、乙、丙分得的苹果分别是多少千克？(2000 年全国奥赛决赛题)

7．姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，他们回家要从公园门口沿马路向西行。他们商量是先回家取车再骑车向东去某地省时间，还是直接从公园门口步行向东去某地省时间。姐姐算了一下：已知骑车与步行的速度比是4∶1，

从公园门口到某地的距离超过2000m 时，回家取车才合算。那么，公园门口到他们家的距离有多少米？(2001年全国奥赛决赛题)

8．乘火车从甲城到乙城，1998年初需要19.5小时，1998年火车第一次提速30%,1999年第二次提速25%，2000年第三次提速20%。经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需多少小时？(第八届“华杯赛”复赛题)

9．袋子里红球与白球的数量之比是19∶13。放入若干只红球后，红球与白

球数量之比变为5∶3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13∶11。已知放入的红球比白球少80只。那么原来袋子里共有多少只球？(2003年全国奥赛决赛题)

10．汽车在南北走向的公路上行驶，由南向北顶风而行，每小时行50km ；由北向南顺风而行，每小时行70km 。两辆汽车同时从同一地点出发相背而行，一辆汽车往北驶去然后返回，另一辆汽车往南驶去然后返回，结果4小时后两车同时回到出发点。如果调头时间不计，在这4小时内两车行驶的方向相同的时间有多少小时？(2001年全国奥赛预赛题)

11．某班一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是

75.5分、81分。问：这个班男、女生人数的比是多少？(第三届“华杯赛”决赛题)

12．甲桶油比乙桶油多3.6kg ，如果从两桶油中各取出1kg ，则甲桶里剩下油的21

2等于乙桶里剩下油的71，那么甲桶原来有油多少千克？(1999年全国奥赛初赛题)

第七讲 综合练习(一)

1．如图，设AD ＝31AB ，BE ＝41BC ，FC ＝5

1AC 。如果三角形DEF 的面积是19 cm 2，那么三角形ABC 的面积是 cm 2。

A

D

F

B E C

2．阴影长方形ABCD 的周长为16cm ，在它的每条边上各画一个以该边为边

长的正方形。已知这四个正方形的面积和是68 cm 2，那么长方形ABCD 的面积是 cm 2。

B C

3. 如图，阴影部分的面积(π取3)是。

4．这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型。把这个模型的表面(包括底面)都涂上红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多块。

5. 在等式A×(B＋C)＝110＋C中，A，B，C是三个互不相等的质数，那么A ＋B＋C＝。

6．在一次象棋比赛中，有若干名选手参加，每位选手与其他选手恰好比赛一局，每局胜者得2分，负者得0分，平局各得1分。今有4人统计得分总数，分别是341、342、343、345，经核实只有1人统计正确，正确的数据是，共有名选手参加。

7．这是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线的交叉点上，但是不能在同一条棋盘线上，共有种不同的放法。

8．两个数的最小公倍数是1650，这两个数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是13。这两个数分别是、。

9．有6个人，他们的生日相同，属相也相同。已知这6个人岁数的连乘积是17597125，那么这6个人岁数的和是。

10．两个三位数6A2与B34的和可以被18整除。请问A与B的乘积的最大值是。

11．一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程长度的比依次是1∶2∶

3。某人走各段路所用时间的比依次是4∶5∶6。他上坡的速度是每小时3km ，路程全长60km ，这个人走完全程用了 小时。

12．一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险。如果将车速提高9

1，可以比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速行驶72km ，再将车速提高3

1，就只能比预定的时间提前30分赶到。这支解放军部队要行驶的路程是

km 。

第八讲 容斥原理

例1 在一次测验中，某班的36名同学中，答对第一题的有25名，答对第

二题的有23名，两题都答对的有15名，那么有几名同学两题都没答对？

解：根据题意，把这36名同学分成4种情况：①只答对第一题的同学；②

只答对第二题的同学；③两题都答对的同学；④两题都没答对的同学。画出示意图：

① ③ ② ④

解法一：①＋③表示答对第一题的同学，②＋③表示答对第二题的同学。因此，只答对第一题的同学有：①＝25－15＝10(名)，所以，两题都没答对的同学有：④＝36－[①＋(②＋③)]＝36－[10＋23]＝3(名)。

解法二：①＋③表示答对第一题的同学，②＋③表示答对第二题的同学。因此，只答对第二题的同学有：②＝23－15＝8(名)，所以，两题都没答对的同学有：④＝36－[(①＋③)＋②]＝36－(25＋8)＝3(名)。

解法三：①＋②＋③表示至少答对一题的同学，而①＋②＋③＝25＋23－15＝33，所以，两题都没答对的同学有：④＝36－33＝3(人)。

例 2 1000以内的自然数不能被13和31整除的有多少个?

解法一:

b a c

图中大椭圆表示1～1000 的自然数, 里面左边的小椭圆表示能被13整除的,右边的小椭圆表示能被31整除的。13和31的最小公倍数是403, 1000÷403商2, 1000÷13商76, 1000÷31商32, a ＝2, b ＝76－2＝74, c ＝32－2＝30, 满足条件的自然数有1000－2－74－30＝894(个)。

解法二：1000－(76＋32－2)＝894(个)。