中考专题图形与几何(全等三角形)

全等三角形

1.如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点. 试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.

解答：

证明：OE⊥AB.理由如下：

在△ABC和△BAD中,

AC=BD；∠BAC=∠ABD；AB=BA，

∴△ABC≌△BAD(SAS)；

∴∠DAB=∠CBA，

∴OA=OB，

∵点E是AB的中点，

∴OE⊥AB.

2.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：

“如图①，已知，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP则BQ=CP.”

小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP，从而证得

BQ=CP.之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明。

解答：

证明：∵∠QAP=∠BAC

∴∠QAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC

即∠QAB=∠PAC

在△ABQ和△ACP中，

AQ=AP；∠QAB=∠PAC；AB=AC，

∴△ABQ≌△ACP(SAS)，

∴BQ=CP.

3.如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B′C 相交于点O,连接BB′.

(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母)；

(2)求证：△AB′O≌△CDO.

解答：

(1)△ABB′,△AOC和△BB′C；

(2)在平行四边形ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，

由轴对称知AB′=AB,∠ABC=∠AB′C，

∴AB′=CD,∠AB′O=∠D.

在△AB′O和△CDO中

∠AB′O=∠D；∠AOB′=∠COD；AB′=CD，

∴△AB′O≌△CDO(AAS).

4.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD.求证：△ABC=△BAD；

解答：

证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴△ABC、△BAD都是直角三角形，

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

AC=BD ,AB=BA，

∴△ABC≌△BAD(HL)，

5.已知AB、CD相交于点O，且AD=CB，AB=CD.求证：∠B=∠D.

解答：

证明：连接AC，

在△ABC和△CDA中，

AB=CD ,CB=AD，AC=CA，

∴△ABC≌△CDA(SSS)，

∴∠B=∠D.

6.如图,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证：△ADF≌△BCE.

解答：

证明：∵AE=BF，

∴AE+EF=BF+EF，

∴AF=BE，

在△ADF与△BCE中，

AD=BC ，∠A=∠B ，AF=BE，

∴△ADF≌△BCE(SAS)

7.如图，在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，AB=AD，∠1=∠2.求证：△ABC≌△ADE；

解答：

证明：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，

∴∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

∠B=∠D ,AB=AD ,∠BAC=∠DAE，

∴△ABC≌△ADE(ASA).

8.如图,已知AB⊥AC,AB=AC,DE过点A,且CD⊥DE,BE⊥DE,垂足分别为点D,E.求证：△ADC≌△BEA.

解答：

证明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠BAC=∠D=∠E=90°，

∴∠CAD+∠BAE=90°,∠DCA+∠CAD=90°，

∴∠DCA=∠EAB；

在△ADC和△BEA中，

∠D=∠E=90°,∠DCA=∠EAB,AC=BA，

∴△ADC≌△BEA(AAS).

9.如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.连接DP.

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由；

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?

解答：

(1)全等，理由如下：

∵点P在线段BC上以1cm/s的速度由B点向C点运动，

∴BP=3cm，

∵BC=8cm，

∴CP=5cm；

∵AB=AC=10cm，点D为AB的中点，

∴∠B=∠C，BD=5cm，

∴CP=BD，

∵BP=CQ=3cm，

在△BPD和△CQP中,

BD=CP ，∠B=∠C，BP=CQ，

∴△BPD≌△CQP(SAS)；

(2)设当点Q的运动速度为x cm/s时，运动时间是t s时，能够使△BPD与△CQP全等，∵BD=5cm,BP=3t cm,CP=(8?3t)cm，CQ=xt cm，∠B=∠C，

∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，

即①3t=xt，5=8?3t，

解得：x=3(不合题意,舍去)，

②3t=8?3t，5=xt，

15，

解得：x=

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15cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等.

即:当点Q的运动速度为

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