05 第五章 导数及其运用

第五章导数及其运用

知识网络

第1讲 导数的概念及运算

★ 知 识 梳理 ★

1.用定义求函数的导数的步骤.

（1）求函数的改变量Δy ；（2）求平均变化率

x

y ??.（3）取极限，得导数f '（x 0）=0lim →?x x y

??.

2.导数的几何意义和物理意义

几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s =s （t ），在点P （i 0，s （t 0））处导数的意义是t =t 0处 的

解析：斜率.；瞬时速度. 3. 几种常见函数的导数

'c =0（c 为常数）；()n x '=1

n nx

-（R n ∈）；

()

____'

=x ;_____1'

=??

?

??x

'(sin )x = ；'(cos )x = ；

(ln )x '=

1x ； (log )a x '=1

log a e x

； '()x e =x e ；'()x a =ln x a a .

解析：cos ;sin ;x x - 4.运算法则

①求导数的四则运算法则：

'

()u v ±='

'

u v ±；'

()uv = ；'

u v ??

= ???

(0)v ≠.

解析：'

'

u v uv +； ''

2

u v uv v -

②复合函数的求导法则：'(())x f x ?=''

()()f u x ?或x u x u y y '''?=

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法

2.难点：切线方程的求法及复合函数求导

3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题. （1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。

问题1.比较函数()2x

f x =与()3x

g x =,当[1,2]x ∈时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是

(1)计算自变量的改变量21x x x ?=-

(2)计算对应函数值的改变量22()()y f x f x ?=- (3)计算平均增长率:

2121

()()f x f x y x x x -?=?- 对于()2x

f x =,2111223,21y x ?-==?-又对于()3x

g x =,212

233821

y x ?-==?-

故当[1,2]x ∈时, ()g x 的平均增长率大于()f x 的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题2. 已知2)2cos 1(x y +=,则='y .

点拨：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='.

设2

u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x

)2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='.

（3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。

问题3. 求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。

点拨：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．切忌直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。

4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y

即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．

设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2

9

00--=

x y k PQ ，

故

002

042

6

2x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。 即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：

1512,14-=-=x y x y

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点1: 导数概念

题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则x

x f x x f x ?-?-→?)

()(lim

000

等于

A ．)('0x f

B ．0'()f x -

C ．0()f x

D ．0()f x - 【解题思路】由定义直接计算 [解析]000000

0()()[()]()

lim

lim ()()

x x f x x f x f x x f x f x x x ?→?→-?-+-?-'=-=-?-?.故选B

【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式00

()()

lim

()x f x x f x f x x

?→+?-'=?

考点2.求曲线的切线方程

[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .

【解题思路】区分过曲线P 处的切线与过P 点的切线的不同，后者的P 点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为

(5)'(5)(5)y f f x -=-即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-

它与8+-=x y 重合,比较系数知:'(5)1,(5)3f f =-= 故)5()5(f f '+=2

【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．

题型3.求计算连续函数()y f x =在点0x x =处的瞬时变化率

[例3]一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s 内其运动方程是v =v(t )=t 2(位移单位：m ，时间单位：s )，求小球在t =5时的加速度.

【解题思路】计算连续函数()y f x =在点0x x =处的瞬时变化率实际上就是()y f x =在点

0x x =处的导数.

解析：加速度v =t t t s t s t t ?-?+=?-?+→?→?2

2005)5(lim )5()5(lim

lim →?=t (10+Δt )=10 m /s.

∴加速度v =2t =235=10 m /s.

【名师指引】计算连续函数()y f x =在点0x x =处的瞬时变化率的基本步骤是

1. 计算00()()

f x x f x y x x

+?-?=

?? 2. 计算0lim x y

x

?→??

【新题导练】.

1. 曲线1

y x

=

和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 解析：曲线x

y 1=和2

x y =在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x

－1，它们与x 轴所围成的三角形的面积是4

3

.

点拨::与切线有关的问题,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可. 2. 某质点的运动方程是2)12(--=t t S ，则在t=1s 时的瞬时速度为 （ ）

A ．－1

B ．－3

C ．7

D ．13

解:B 点拨:计算0

lim

x ?→(1)(1)s s t s t t

?+?-=??即可 3. 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程.

解：设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,－(x 2－2)2) 对于C 1：y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为

y －x 12=2x 1(x －x 1),即y =2x 1x －x 12

①

对于C 2：y ′=－2(x －2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2－2)2=－2(x 2－2)(x －x 2),即y =－2(x 2－2)x +x 22－4 ②

∵两切线重合，∴2x 1=－2(x 2－2)且－x 12=x 22－4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0 ∴直线l 方程为y =0或y =4x －4

点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率. 考点2 导数的运算 题型1:求导运算

[例1] 求下列函数的导数：

（1） cos x y e x = （2）2

tan y x x =+ （3）ln(1)y x =+ 【解题思路】按运算法则进行

[解析] （1）()'

'

'

cos ,cos (cos )cos sin x

x x

x

x y e x y e

x e x e

x e x =∴=+=-

（2）()

2'

2'

2'2sin cos sin (sin )tan ,()2cos cos x x x x y x x y x

x x x

--=+∴=+=+ 2

1

2cos x x

=+

（3）'

'11(1)11

y x x x =?+=++ 【名师指引】 注意复合函数的求导方法（分解→求导→回代）；注意问题的变通：如x xe y -=的导数容易求错，但x e

x

y =

的导数不易求错. 题型2:求导运算后求切线方程

例2. (广州市2008届二月月考)已知函数).(323

2)(23

R ∈+-=

x x ax x x f （1）若1=a ，点P 为曲线)(x f y =上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

（2）若函数),0()(+∞=在x f y 上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a . 【解题思路】先按运算法则求导,再按几何意义求切线方程.

解析：（1）设切线的斜率为k ，则1)1(2342)(22+-++-='=x x x x f k

又35)1(=

f ，所以所求切线的方程为：13

5

-=-x y 即.0233=+-y x

【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.

与曲线2

1y x e

=

相切于P (,)e e 处的切线方程是（ D ） A ． 2y ex =- B ． 2y ex =+ C ． 2y x e =+ D ． 2y x e =-

题型3:求导运算后的小应用题

例 3. 某市在一次降雨过程中,降雨量()y mm 与时间(min)t 的函数关系可近似地表示为

()y f t =则在时刻40min t =的降雨强度为( )

A.20mm

B. 400mm

C.

1/min 2mm D. 1

/min 4

mm 【解题思路】先对t 的求导,再代t 的数值.

解析:1

'()10'(40)

4

f t f =

∴==选D 【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值. 【新题导练】.

4. 设函数()()(2)(3)f x x x k x k x k =++-，且(0)6f '=，则k =

A ．0

B ．-1

C ．3

D ．-6 思路分析: 按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于k 的方程求解. 解 :

'()()(2)(3)f x x k x k x k =++-+(2)(3)x x k x k +-+()(3)x x k x k +-+()(2)x x k x k ++

故3'(0)6f k =- 又(0)6f '=,故1k =-

5. 设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），

则

='+'+')

()()(c f c

b f b a f a ． 解析:'()()()()()()()f x x a x b x b x

c x c x a =--+--+--代入即得0..

6. 质量为10kg 的物体按2()34s t t t =++的规律作直线运动,动能212

E mv =,则物体在运动4s 后的动能是

解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1. (广东省六校2009届高三第二次联考试卷)()f x '是3

1()213

f x x x =

++的导函数，则(1)f '-的值是 ．

解析: 2'()2f x x =+故(1)f '-=3

2. (广东省2008届六校第二次联考)cos y x x =在3

x π

=

处的导数值是___________.

解析：'cos sin y x x x =-故填

126

- 3. 已知直线x +2y －4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 是抛物线的弧上求一点P ，当△PAB 面积最大时，P 点坐标为 .

解析：|AB |为定值，△PAB 面积最大，只要P 到AB 的距离最大，只要点P 是抛物线的平行于AB 的切线的切点，设P （x ,y ）.由图可知，点P 在x 轴下方的图象上

∴y =－2

x ,∴y ′=－

x 1,∵k AB =－21,∴－

21

1-=x

∴x =4,代入y 2=4x (y <0)得y =－4. ∴P (4,－4)

4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知()ln f x x =，217

()2

2

g x x mx =++

（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．求直线l 的方程及m 的值；

解：依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率

1

(1)11

k f '===，

所以直线l 的方程为1y x =-．

又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由

221

19(1)017

2222y x x m x y x mx =-??

?+-+=?=++??

， 得2(1)902m m ?=--=?=-（4m =不合题意，舍去）； 5.(湛江市实验中学2009届高三第四次月考)

已知函数)(),(),(2

1)(,ln )(2

x g x f l a a x x g x x f 与函数直线为常数+=

=的图象都相切，且l 与函数)(x f 图象的切点的横坐标为1,求直线l 的方程及a 的值； 解由1|)(1='=x x f ，故直线l 的斜率为1，切点为))1(,1(f

即（1，0） ∴1:-=x y l ① 又∵)2

1

,1(,

1)(a x x g +=='切点为

∴1)2

1(:-=+-x a y l 即a x y +-=2

1

② 比较①和②的系数得2

1

,121-=∴-=+-a a

综合拔高训练

6. 对于三次函数32

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，定义：设()f x ''是函数()y f x =的导函

数()y f x '=的导数，若()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。现已知3

2

()322f x x x x =-+-,请解答下列问题: （1）求函数()f x 的“拐点”A 的坐标;

（2）求证()f x 的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.

[解析]（1）2()362f x x x '=-+，()66f x x ''=-.令()660f x x ''=-=得 1x =， 3(1)13222f =-+-=-.∴拐点(1,2)A -

（2）设00(,)P x y 是()y f x =图象上任意一点，则32

0000322y x x x =-+-，

因为00(,)P x y 关于(1,2)A -的对称点为00(2,4)P x y '---，把P '代入()y f x =得

左边04y =--32000322x x x =-+--,

右边32000(2)3(2)2(2)2x x x =---+--32000322x x x =-+--

∴右边=右边00(2,4)P x y '∴---在()y f x =图象上∴()y f x =关于A 对称

7.已知定义在正实数集上的函数2

21()2,()3ln 2

f x x ax

g x a x b =

+=+，其中0a >。设两曲线(),()y f x y g x ==有公共点，且在公共点处的切线相同。

（1）若1a =，求b 的值；

（2）用a 表示b ，并求b 的最大值。

解：（1）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00(,)x y 处的切线相同

3

'()2,'()f x x g x x

=+=

由题意知0000()(),'()'()f x g x f x g x == ，∴2

00000123ln 2

32x x x b x x ?+=+????+=??

由00

3

2x x +=得，01x =，或03x =-（舍去）

即有52

b =

（2）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00(,)x y 处的切线相同

2

3'()2,'()a f x x a g x x

=+=

由题意知0000()(),'()'()f x g x f x g x == ，∴2

20002

00123ln 2

32x ax a x b a x a x ?+=+????+=

??

由2

00

32a x a x +=得，0x a =，或03x a =-（舍去）

即有2222215

23ln 3ln 22b a a a a a a a =

+-=-

令22

5()3ln (0)2

h t t t t t =->，则'()2(13ln )h t t t =-，于是

当2(13ln )0t t ->，即13

0t e <<时，'()0h t >； 当2(13ln )0t t -<，即13

t e >时，'()0h t <

故()h t 在(0,)+∞的最大值为123

33()2h e e =，故b 的最大值为2

332

e

8. 设三次函数32()(),f x ax bx cx d a b c =+++<<在1x =处取得极值，其图象在x m =处的切线的斜率为3a -。求证：01b

a

≤

<； 解：(Ⅰ)方法一、'

2

()32f x ax bx c =++ .由题设，得'

(1)320f a b c =++= ①

'2()323f m am bm c a =++=- ②

∵a b c <<，∴6326a a b c c <++<，∴0,0a c <>。 由①代入②得23220am bm b +-=，∴24240b ab ?=+≥， 得2

6()0,b

b a

a +

≥∴6b a ≤-或0b

a

≥ ③ 将32c a b =--代入a b c <<中，得11b

a

-<< ④ 由③、④得01b

a

≤

<； 方法二、同上可得：2

320132302a b c m a bm a c ++=??

+++=? （

）　（）

将（1）变为：32a b c =－－代入（2）可得：222

22013

1()24

m c m c b m m m --==≤-+-+，所以0a b <≤，则01b

a ≤<

方法三：同上可得：2

320132302a b c m a bm a c ++=??

+++=? （

）　（）

将（1）变为：32c a b =--代入（2）可得：2

32(1)0am b m +-=，显然1m ≠，所以2

31b m a m

=-

因为'2()32f x ax bx c =++图象的开口向下，且有一根为x 1=1 由韦达定理得123c x x a ?=

,2103c

x x a

∴=

<< ()30f m a '=->,所以(,1)3c m a ∈，即1m <，则2

301b m a m

=≥-，由a b c <<得：1b a <

所以：01b

a

≤<

第2讲 导数在研究函数中的应用

★ 知 识 梳理 ★

1. 函数的单调性与导数的关系

一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 . 解析：单调递增；单调递减

2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法

若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 解析：极大值点；极小值.

3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根.

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值. 4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法

2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题

3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题

（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。 问题1. 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．令()(

)F x x f x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值；

点拨:根据求导法则有2ln 2()10x a

f x x x x

'=-

+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22

()10x F x x x x

-'=-=>，，

列表如下：

故知()F x 在(02)，

内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值

(2)22ln 22F a =-+．

（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.

问题2.已知函数)(x f 是),0(+∞上的可导函数，若()()xf x f x '>在0>x 时恒成立. （1）求证：函数x

x f x g )

()(=

在),0(+∞上是增函数； （2）求证：当0,021>>x x 时，有)()(2121x x f x x f +>+. 点拨:由()()xf x f x '>转化为

()

f x x

为增函数是解答本题关键.类似由 ()()0xf x f x '+>转化为()xf x 为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的. （1）由x x f x g )()(=得2

()()

(),xf x f x g x x '-'=

因为()()xf x f x '>， 所以()0g x '>在0>x 时恒成立，所以函数x

x f x g )

()(=在),0(+∞上是增函数.

（2）由（1）知函数x

x f x g )

()(=在),0(+∞上是增函数，所以当0,021>>x x 时，

有

2

22121112121)

()(,)()(x x f x x x x f x x f x x x x f >

++>++成立， 从而)()(),()(212

12

2212111x x f x x x x f x x f x x x x f ++<++<

两式相加得)()()(2121x f x f x x f +>+

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点1: 导数与函数的单调性 题型1.讨论函数的单调性

例1(08广东高考)设k ∈R ，

函数1

11()1x x f x x ?

-=???

，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试

讨论函数()F x 的单调性．

【解题思路】先求导再解'()0f x ≥和'()0f x ≤

【解析】1

,1,1()(),1,kx x x

F x f x kx kx x ?-

-=-=??≥?

21

,1,

(1)

'(),1,

k x x F x k x ?-

?≥??

对于1

()(1)1F x kx x x

=

-<-， 当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；

当0k >时，函数()F x

在(,1-∞

上是减函数，在(1上是增函数；

对于()(1)F x k x =-≥，

当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数； 当0k <时，函数()F x 在211,14k ??+

????上是减函数，在211,4k ??

++∞????

上是增函数。 【名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.

（1） 求函数()f x 的导数()f x '（2）令()0f x '≥解不等式，得x 的范围就是单调增区间;

令()0f x '≤解不等式，得x 的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.

[误区警示]求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数2

1ln(1)2

y x x x =+-

-的单调增

区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为(1,0)-. 题型2.由单调性求参数的值或取值范围

例2: 若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.

【解题思路】解这类题时,通常令'()0f x ≥(函数()f x 在区间[,]a b 上递增)或

'()0f x ≤(函数()f x 在区间[,]a b 上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.

解析：2()31f x ax '=+ 又()f x 在区间[－1,1]上单调递增

2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立 即213a x ≥-

在xt

[－1,1]的最大值为1

3

- 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1

[,]3

-+∞

【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用

法.

题型3.借助单调性处理不等关系 例3. 当0x >，求证1x

e x >+ 【解题思路】先移项,再证左边恒大于0

解析：设函数()(1)x f x e x =-+()1x f x e '=-

当0x >时， 01x

e e >=，()10x

f x e '∴=->故()f x 在[0,)+∞递增，∴当0x >时，

()(0)f x f >,又0(0)(10)0f e =-+=，()0f x ∴>，即(1)0x e x -+>，故1x e x >+

【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于函数的单调性来证明 【新题导练】.

1. 若函数f (x )=x 3－ax 2+1在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 A.a ≥3 B.a=2 C.a ≤3 D.0

分析：本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.

解析：f ′(x)=3x2－2ax=3x(x －32a),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(x －32

a)≤0, 即32

a ≥2,∴a ≥3.答案：A

2. 函数y =x 3+x 的单调增区间为

A.(－∞,+∞)

B.(0,+∞)

C.(－∞,0)

D.不存在 解析：∵y ′=3x 2+1>0恒成立，∴y =x 3+x 在(－∞,+∞)上为增函数，没有减区间.

答案：A

3. 已知函数()ln f x x =,()(0)a

g x a x

=

>,设()()()F x f x g x =+． （Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；

（Ⅱ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率1

2

k ≤恒成立，求实数a 的最小值；

解析：（I ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+

>，()()221'0a x a F x x x x x

-=-=> ∵0a >，由()()'0,F x x a >?∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增。

由()()'00,F x x a

∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞。 （II ）()()2'03x a

F x x x

-=

<≤， ()()0002

01'032x a k F x x x -==

≤<≤恒成立?200max

12a x x ??

≥-+ ??? 当01x =时，20012x x -

+取得最大值12

。 ∴

12a ≥，∴min 12

a = 考点2: 导数与函数的极值和最大(小)值.

题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值 例1. 若函数1()cos sin 22f x m x x =+

在4

x π

=处取得极值,则m = . 【解题思路】若在0x 附近的左侧'

()0>f x ，右侧'

()0

()f x 的极大值；若在0x 附近的左侧'()0

()0>f x ，且'0()0f x =,那么0()f x 是

()f x 的极小值.

[解析]因为()f x 可导,且'

()sin cos2f x m x x =-+,所以'

()sin

cos

04

4

2

f m ππ

π

=-+=,解得

0m =.经验证当0m =时, 函数1()sin 22=f x x 在4

x π

=处取得极大值.

【名师指引】 若()f x 是可导函数，注意0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的必要条件.要确定极值点还需在0x 左右判断单调性.

例2．（20082深圳南中）设函数2

()()f x x x a =--（x ∈R ），其中0a >，求函数()f x 的

极大值和极小值．

【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。 解析：.2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-，

22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．

令()0f x '=，解得3

a

x =

或x a =． 由于0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：

因此，函数()f x 在3x =

处取得极小值)3

(f ，且3

)327(a f -

=； 函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．

【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。

例3. (广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测)已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值；

（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.

【解题思路】先求极值再求端点值,比较求出最大(小)值.当区间只有一个极大(小)值时,该值就是最大(小)值

解析：()f x 的定义域为0∞(，+)， …………1分 ()f x 的导数()1ln f x x '=+. ………………3分

令()0f x '>，解得1e x >

；令()0f x '<，解得10e

x <<. 从而()f x 在10e ?? ???，单调递减，在1e ??

∞ ???，+单调递增. ………………5分

所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1

e

-. ………………………… 6分

（Ⅱ）解法一：令()()(1)g x f x ax =--，则

()()1ln g x f x a a x ''=-=-+， ……………………8分 ① 若1a ≤，当1x >时，()1ln 10g x a x a '=-+>-≥，

故()g x 在(1

)∞，+上为增函数， 所以，1x ≥时，()(1)10g x g a ≥=-≥，即()1f x ax ≥-.…………………… 10分 ② 若1a >，方程()0g x '=的根为 10e a x -=，

此时，若0(1)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数. 所以0(1)x x ∈，时，()(1)10g x g a <=-<，

即()1f x ax <-，与题设()1f x ax ≥-相矛盾. ……………………13分

综上，满足条件的a 的取值范围是(1]-∞，. ……………………………………14分

解法二：依题意，得()1f x ax ≥-在[1)+∞，

上恒成立， 即不等式1

ln a x x ≤+

对于[1)x ∈+∞，恒成立 . ……………………8分 令1()ln g x x x =+， 则21111()1g x x x x x ??

'=-=- ???

. ……………………10分

当1x >时，因为11()10g x x x ??

'=-> ???

，

故()g x 是(1)+∞，上的增函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =， ……………… 13分 所以a 的取值范围是(1]-∞，. …………………………………………14分

【名师指引】求函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值（或最小值）的步骤：①求()f x 在(),a b 内的极大（小）值，②将极大（小）值与端点处的函数值进行比较，其中较大者的一个是最大者，较小的一个是最小者．

题型2.已知函数的极值和最大(小)值，求参数的值或取值范围。 例3．（广东省六校2009届高三第二次联考） 已知函数()3

2

f x x ax bx c =-+++图像上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+．

（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式

（2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围

【解题思路】求函数的解析式一般用待定系法法，求参数的取值范围一般需建立关于参数的不等式（组） 解析：()'

232f

x x ax b =-++， -----------------2分

因为函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3，

所以()'

1323f a b =-++=-，即20a b +=，------------------------3分

又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-。------------------------4分 （1）函数()f x 在2x =-时有极值，所以()'21240f a b -=--+=，-------5分

解得2,4,3a b c =-==-，------------------------------------------7分 所以()3

2

243f x x x x =--+-．------------------------------------8分

（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()'

23f

x x bx b =--+

在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，--------------------------------10分

则()()'21220,

'00,

f b b f b -=-++≥???

=≥??得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞----14分

【名师指引】已知()f x 在0x x =处有极值，等价于'()0f x =。 【新题导练】

4．223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为

15

4，则a =（ ） A.3

2

-

B.

12

C. 12-

D. 12或32

-

解析：选B

2(1)4y x =-++ 在[,2]a 上的最大值为

15

4

，1a ∴>-且在x a =时，215234y a a =--+=最大

，解之12a =或32a =-（舍去），∴1

2

a =选B.

5．32()32f x x x =-+在区间[1,1]-上的最大值是

A ．2-

B ．0

C ．2

D ．4

[解析]2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=可得0x =或2（2舍去），当10x -≤<时，()f x '>0，当01x <≤时，()f x '<0，所以当0x =时，f （x ）取得最大值为2.选C

6．已知函数3

()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.

（1）求()f x 的单调区间和极大值；

（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立. [解析]（1）由奇函数定义，有()(),f x f x x R -=-∈. 即

33,0.ax cx d ax cx d d --+=---∴=因此，3(),f x ax cx =+ 2'()3.f x ax c =+

由条件(1)2f =-为()f x 的极值，必有'(1)0,f =

故 2

30

a c a c +=-??

+=? ,解得 1, 3.a c ==-

因此3()3,f x x x =-2

'()333(1)(1),f x x x x =-=+- '(1)'(1)0.f f -==

当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(,1)-∞-上是增函数. 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，故()f x 在单调区间(1,1)-上是减函数.

当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(1,)+∞上是增函数. 所以，()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1) 2.f -= （2）由(1)知，3()3([1,1])f x x x x =-∈-是减函数，且

()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)2,M f =-=最小值为(1) 2.m f ==-

所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--= [方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题12max min |()()|()()-≤-f x f x f x f x .

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练

1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷）

函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内有极小值 点

共有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个 解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A 2．、函数3

13y x x =+-有（ ）

A. 极小值－1，极大值1

B. 极小值－2，极大值3

C. 极小值－2，极大值2

D. 极小值－1，极大值3

解析：2

333(1)(1)y x x x '=-=-+，令0y '=得 1,

1x x ==-

当1x <-时，0y '>；当11x -<<时，0y '<；当1x >，0y '<

∴

1x =-时，1y =-极小，当1x =3y =极大，故选D.

3．函数y =f (x )=ln x －x ,在区间(0,e ］上的最大值为

A.1－e

B.－1

C.－e

D.0

解析：y ′=

1

－1,令y ′=0,即x =1,在(0，e ］上列表如下： 由于f (e)=1－e,而－1＞1－

e,从而y 最大=f (1)=－1.

答案：B

4．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若1>a ，求函数

)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.

[解析],121)(a x x

x f +-=

'

,

0)42(0)(,

)(421

21

,0)(222>+-+?>'∴+

>'a x a x x f a x x a x x a

x x

x f 得

令

),

1(164)42(,

0)42(0)(,2

2

22a a a a x a x x f -=--=?<+-+?<' 同样

（当a .>1时，对x ∈（0，+∞）恒有)(x f '>0， ∴当a .>1时，f (x )在（0，+∞）上为增函数；

5．（汕头市金山中学2009届高三上学期11月月考）已知函数f （x ）=ax 3+3x 2

－x +1，问是否存在实数a ，使得f （x ）在（0，4）上单调递减？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由。

解：f '（x ）=3ax 2

+6x －1. 要使f （x ）在[0，4]递减，则当x ∈（0，4）时，f '（x ）<0。

∴?????≤≤≥0)4('0)0(0'f f a 或??

?≤?

??

????≤-≥-≤≤<0001410)4('0)0(0'

a a a

f f a 或或，解得a ≤－3.

综合拔高训练

6．（东莞高级中学2009届高三上学期11月教学监控测试）已知函数f(x)=ax 3

+bx 2

－3x 在x=±1处取得极值.

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤4； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围. 解：（I ）f ′(x)=3ax 2

+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0，

即,03230

323?

??=--=-+b a b a …………………………………………2分

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x 3

－3x.……………………………………………………4分