特殊的平行四边形练习题

特殊的平行四边形练习题

一、选择题

1.下列命题中，真命题是( )

A ．两条对角线垂直的四边形是菱形

B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形

C ．两条对角线相等的四边形是矩形

D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 2.下列命题中正确的是( )

A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B ．两条对角线相等的四边形是矩形

C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

D ．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 3.下列命题不正确的是( )

A ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

B ．邻边相等的矩形是正方形

C ．对角线互相垂直的四边形是菱形

D ．对角线相等的菱形是正方形 4．菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )

A.两组对边分别平行

B.两组对角分别相等 C ．对角线互相平分 D ．对角线互相垂直 5.菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长和面积分别为( )

A ．24 ，48

B ．20 ，24

C ． 10 ，24

D ． 5 ，48 6.在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （，0），C （0，），D （，0），则以这四个点为顶点的四边形是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．梯形 7．如图1，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，

E 、

F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

图

2 图

3 图4

8.如图2,在平行四边形ABCD 中，对角线和相交于点，则下面条件能判定平行

四边形ABCD 是矩形的是( )

A ．

B ．

C ．且

D ． 9.如图3,平行四边形ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是菱形，那么这个条件是( ) A ． AB =CD B ．AC =BD C ． AC ⊥BD D ．AB ⊥BD 10．如图4，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，

E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于( )

A ．3.5

B ．4

C ．7

D ．14 11.下列命题中错误．．的是( ) Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形 12.下列命题中错误．．

的是( ) Ａ．平行四边形的对角线互相平分 Ｂ．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 Ｃ．矩形的对角线互相垂直平分 Ｄ．四边相等的四边形是菱形

32-2-32ABCD 3233343AC BD O AC BD =AC BD ⊥AC BD =AC BD ⊥AB AD =图1 F

A

D E B C

A C

B D

13．如图5，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则的△AEF 的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．

图5 图6 图7 图8

14．如图6，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B ′处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD 的面积是( )

A ．12 B. 24 C. 12 3 D. 16 3

15．如图7，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，则菱形的边长AB 等于( )

A ．10

B ．

C ．6

D ．5 16.如图8，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是矩形的为( )

① ② ③ ④ A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④

二、填空题

1. 如图9，菱形中，，对角线，则菱形的周长等于 ．

图9 图10 图11 图12

2．如图10，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________.

3.如图11，在四边形中，，，若再添加一个条件，就能推出四边形是矩形，你所添加的条件是 ．（写出一种情况即可）

4．如图12，菱形的边长为2，，则点的坐标为 ． 5．如图13，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若∠AOD ＝120°，AB ＝4cm ，则AC 的长为________cm ．

图13

图

14

图15 6.如图14，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 °． 7.如图15， 正方形ABCD 的边长为4，点P 在DC 边上，且DP ＝1，点Q 是 AC 上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为____________．

AC BD ⊥90BAD ∠=

AB BC =AC BD =ABCD 60A ∠= 8BD =ABCD ABCD AD BC ∥90D ∠= ABCD ABCD 45ABC ∠= D A B C

D A B D F A D O

E B C B C D A P

F D O

B E A 三、解答题

1．如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．

（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．

（1）求证：△AEF ≌△DEB ； （2）证明四边形ADCF 是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．

3．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ． （1）求证：四边形DBFE 是平行四边形；

（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？为什么？

4．已知：如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC 于E，F两点，连结BE，DF．

（1）求证：△DOE≌△BOF；

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．

5．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．请说明理由．

6．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．

(1)求证：△ABM≌△DCM；

(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

(3)当AD∶AB＝__________时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)．

1．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．

（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．

2．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．

（1）求证：△AEF≌△BED．

（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．

3．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC 于点O．

（1）求证：△ABD≌△BEC；

（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．

4．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC 于点F，连接CE．

求证：四边形BECD是矩形．

A B P D E

5．已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．

6．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ． （1）求证：BE = DF ；

（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ， 使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．

7．如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且PE=PB . （1）求证：PE=PD ；（2）PE ⊥PD ； 8．如图12，B 、C 、E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 是都是正方

形.连接BG 、DE.

（1）观察猜想BG 与DE 之间的关系，并证明你的结论.

（2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.

图12

G F

E

D

C B

A

A E

B

C

F

D 1

2

3

30．（2015?简阳市模拟）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM=DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：

（1）AE=AB；

（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．

3.（2014?江苏盐城,第25题10分）菱形ABCD中，对角线

AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的

延长线于点E、F，连接BE、DF．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．

4、（2008泰州市）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3．

（1）在边CD上找．一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分）

（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：点B平分线段AF；（3分）

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分）

5.（2014?山东临沂,第25题11分）【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】

（1）证明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

14．(2013年内蒙古赤峰)如图4-3-47，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t s(0 < t≤ 15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

(1)求证：AE＝DF；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．新课标第一网

图4-3-47

13、（2008年江苏省苏州市）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点

时，Q 点随之停止运动．

（1）梯形ABCD 的面积等于 ；

（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒；

（3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？

26、（2008上海市）如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；

（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．

38、（2008鸡西）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=

，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，

它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．

E

B A

C

B

当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=． （1）当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

40．（2010福建南平）如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）.

（1）求证：∠EAP=∠EPA；

（2）□APCD 是否为矩形？请说明理由；

（3）如图2，F 为BC 中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点）.猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论.

43．（2010 山东莱芜）在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE . （1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；

图1

B

B

B

M

B

C

N

C

N

C

N

M 图1

图2

图3

A

A

A

D

D

D

（2）如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；

（3）如图③，在（2）的条件下，若AC =BD ，四边形EGFH 的形状是 ； （4）如图④，在（3）的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.

46．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.

⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为时，求正方形的边长.

13

A D

B C

H

G F E O D

C B

A

图①

H G F E O D

C

B

A

图②

A B

C

D O E

F G H 图③ A B

C D O E F G H

图④