初中数学二次函数经典综合大题练习卷
1、如图9（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过A （-1，0）、B （0，3）两点，
与x 轴交于另一点C ，顶点为D ．
（1）求该抛物线的解析式及点C 、D 的坐标；
（2）经过点B 、D 两点的直线与x 轴交于点E ，若点F 是抛物线上一点，以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标；
（3）如图9（2）P （2，3）是抛物线上的点，Q 是直线AP 上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q 点的坐标．
2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y 2与投资成本x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资成本的单位：万元）
图① 图②
（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；
（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z 与投入种植花卉的投
资量x 之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
3、如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点
从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿方向以
个单位每秒速度运动，运动时间为．求：
（1）的坐标为；
（2）当为何值时，与相似？
（3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及
的最大值．
4、如图①，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为，顶点C,D在第一象限．点P从点
A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P,Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使∠OPQ=90°的点有个．
5、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度
动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．
（1）求边的长；
（2）当为何值时，与相互平分；
（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？
6、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与
轴，
轴相交于两点，并且与直线相交于点.
(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.
，0)和点B(2，0)，与y轴的正半轴交于点7、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(x
C，其对称轴是直线x＝－1，tan∠BAC＝2，点A关于y轴的对称点为点D．
(1)确定A.C.D三点的坐标；
(2)求过B.C.D三点的抛物线的解析式；
(3)若过点(0，3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M.N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y 的函数解析式．
(4)当＜x＜4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．
8、如图，直线AB过点A(m,0)，B(0,n)(m>0,n>0)反比例函数的图象与AB交于C，D两点，P为双曲线一点，过P 作轴于Q ，轴于R，请分别按(1)(2)(3)各自的要求解答闷题。
(1)若m+n=10，当n 为何值时的面积最大?最大是多少?
(2)若，求n的值：
(3)在(2)的条件下，过O 、D 、C 三点作抛物线，当抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ 的面积是多少?
9、已知A 1、A 2、A 3是抛物线上的三点,A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3分别垂直于x 轴，垂足为B 1、B 2、B 3，
直线A 2B 2交线段A 1A 3于点C 。
（1） 如图1，若A 1、A 2、A 3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA 2的长。
（2）如图2，若将抛物线改为抛物线，A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数，
其他条件不变，求线段CA 2的长。
（3）若将抛物线改为抛物线，A
1、A
2
、A
3
三点的横坐标为连续整数，其他
条件不变，请猜想线段CA
2
的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。
10、如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．
（1）求直线所对应的函数关系式；
（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：
①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及
取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．
11、OM是一堵高为2.5米的围墙的截面，小鹏从围墙外的A点向围墙内抛沙包，但沙包抛出后正好打在了横靠在围墙上的竹竿CD的B点处，经过的路线是二次函数图像的一部分，如果沙包不被竹竿挡住，将通过围墙内的E点，现以O为原点，单位长度为1，建立如图所示的平面直角坐标系，E点的坐标(3，)，点B和点E关于此二次函数的对称轴对称，若tan∠OCM=1(围墙厚度忽略不计)。
(1)求CD所在直线的函数表达式；
(2)求B点的坐标；
(3)如果沙包抛出后不被竹竿挡住，会落在围墙内距围墙多远的地方?
12、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线
经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
13、如图，抛物线交轴于A．B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C．D两点.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A．B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.
14、已知四边形是矩形，，直线分别与交与两点，为对角线
上一动点（不与重合）．
（1）当点分别为的中点时，（如图1）问点在上运动时，点、、能否构成直角三角形？若能，共有几个，并在图1中画出所有满足条件的三角形．
（2）若，，为的中点，当直线移动时，始终保持，（如图2）求的面积与的长之间的函数关系式．
15、如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
16、如图，已知抛物线经过原点O
和x轴上另一点A,它的对称轴x=2
与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过
抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、
直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函
数关系式；
（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所
.
有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
17、如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交
于点C，且当=0和=4时，y的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的
横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥轴于点Q。若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式
及自变量t的取值范围；
（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；
（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。
试卷答题纸
1、解：（1）∵抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，
∴解得：
抛物线的解析式为：
∵由，解得：
∴
∵由
∴D（1,4）
（2）∵四边形AEBF是平行四边形，
∴BF=AE．
设直线BD的解析式为：，则
∵B（0，3），D（1,4）
∴解得：
∴直线BD的解析式为：
当y=0时，x=-3 ∴E（-3，0），∴OE=3，
∵A（-1，0）
∴OA=1，∴AE=2 ∴BF=2，
∴F的横坐标为2，∴y=3，∴F（2，3）；
（3）如图，设Q，作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），∴AR=+1，QR=，PS=3，RS=2-a，AS=3
∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA
=
=
∴S△PQA=
∴当时，S△PQA的最大面积为，
此时Q
2、（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），
所以2=k?1，k=2，
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2=ax2，
由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a?22，，
故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2= x2；
（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8－x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2（8－x）+ x2= x2－2x+16= （x－2）2+14，
当x=2时，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，∴当x=8时，z的最大值是32．
3、（1）Ｃ（４，１）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
（３）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）（1分）当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，（1分）Ｓ＝（1分）
当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，Ｓ＝（1分）
当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝，Ｓ＝（1分）
4、解：（1）作BF⊥y轴于F。
因为A（0，10），B（8，4）
所以FB=8，FA=6
所以
（2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10秒。
又因为AB=10，10÷10=1
所以P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位。
（3）方法一：作PG⊥y轴于G
则PG//BF
所以，即
所以
所以
因为OQ=4+t
所以
即
因为
且
当时，S有最大值。
方法二：当t=5时，OG=7，OQ=9
设所求函数关系式为
因为抛物线过点（10，28），（5，）所以
所以
所以
因为
且
当时，S有最大值。
此时
所以点P 的坐标为（）。
（4）当点P沿AB边运动时，∠OPQ由锐角→直角→钝角；当点P沿BC边运动时，∠OPQ由钝角→直角→锐角（证明略），故符合条件的点P有2个。
5、解：（1）作于点，
如图所示，则四边形为矩形．
又
在中，由勾股定理得：
（2）假设与相互平分．
由
则是平行四边形（此时在上）．
即
解得即秒时，与相互平分．（3）①当在上，即时，
作于，则
即
=
当秒时，有最大值为
②当在上，即时，
=
易知随的增大而减小．
故当秒时，有最大值为
综上，当时，有最大值为
6、
（1）.
（2）由题意得点与点′关于
轴对称，，
将′的坐标代入得，
（不合题意，舍去），.
，点到轴的距离为3.
，，直线的解析式为，
它与轴的交点为点到轴的距离为.
.
（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，得：
（不舍题意，舍去），，
.
当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，
．
与关于原点对称，，
将点坐标代入抛物线解析式得：，
（不合题意，舍去），，．
存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．7、解：(1)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，点B的坐标是(2，0)
∴点A的坐标是(－4，0)
由tan∠BAC＝2可得OC＝8
∴C(0，8)
∵点A关于y轴的对称点为D
∴点D的坐标是(4，0)
(2)设过三点的抛物线解析式为y＝a(x－2)(x－4)
代入点C(0，8)，解得a＝1
∴抛物线的解析式是y＝x2－6x＋8
(3)∵抛物线y＝x2－6x＋8与过点(0，3)平行于x轴的直线相交于M点和N点
∴M(1，3)，N(5，3)，＝4
而抛物线的顶点为(3，－1)
当y＞3时
S＝4(y－3)＝4y－12
当－1≤y＜3时
S＝4(3－y)＝－4y＋12
(4)以MN为一边，P(x，y)为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大
∴当x＝3，y＝－1时，h＝4
S＝?h＝4×4＝16
∴满足条件的平行四边形面积有最大值16
8、解：(1)
所以n=5时，面积最大值是
(2)当时，有AC=CD=DB
过C分别作x轴，y轴的垂线可得c坐标为() 代入得
(3)当时，得
设解析式为得，
所以对称轴
因为P(x，y)在上
所以四边形PROQ的面积
9、解：（1）∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1= ，A2B2＝，A3B3＝
设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b。
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113 +113 + 3）点Q的坐 标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式； （2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1 2 CD＝CE．利 用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标； （3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛 物线的解析式联立，得出方程组 223 33 y x x y x ?=-- ? =-+ ? ，求解即可得出点Q的坐标． 【详解】 （1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）， ∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1）， 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK AD l K ：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值. 练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 第十四讲二次函数的同象和性质 【重点考点例析】 考点一：二次函数图象上点的坐标特点 例1已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 对应训练 1．已知二次函数y= 1 2 x2-7x+ 15 2 ，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对 应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1 考点二：二次函数的图象和性质 例2 对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点； ②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1； ④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3． 其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点． 对应训练 2．如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=1 2 （x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平 行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论： ①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC； 其中正确结论是（） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系 例3 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2， 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 、中考导航图 顶点 对称轴 1. 二次函数的意义 ; 2. 二次函数的图象 ; 3. 二次函数的性质 开口方向 增减性 顶点式： y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式： y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。 三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象 在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a 公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 b 4ac-b 2 反之当 a0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向 下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 二次函数 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a (- 2b a 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点 4a 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a 最小值= 4ac-b 2 4a 高中数学二次函数对称轴典型问题练习题 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类： ①定区间，定轴； ②定区间，动轴， ③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0. 第一类问题 二次函数中的动轴定区间 例一已知函数2 142+-+-=a ax x y 在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a 的值。 〖解答〗.3 106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2 (,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02 ,2,42)2(max max max 22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为-==∴==∴>>≤≤-===≤≤≤≤-===<<=+-+--=a a f y a a a a a f y a a a f y a a a x a a a x y 第二类问题 二次函数中的定轴动区间 例二 函数f (x )＝142-+-x x 在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值记为g (t )． (1)求g (t )的解析式；(2)求g (t )的最大值 (1)对区间[t ，t ＋1](t ∈R)与对称轴x ＝2的位置关系进行讨论： ①当t ＋1<2，即t <1时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上递增， 此时g (t )＝f (t ＋1)＝－t 2＋2t ＋2； ②当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上先增后减， 此时g (t )＝f (2)＝3； 例三 已知f (x )＝)(2)34(2R a a x x a ∈+--a ∈R)，求f (x )在[0,1]上的最大 值 ()()()()()()2222[1]4122(1)3(12)241(2) 3. t f x t t g t f t t t t t t g t t t t t g t >?-++? ③当时，函数在区间，＋上递减，此时＝＝－＋－，综上，＝利用图象解得的最大值是()()()[]()()()()[]()()max max 4430342.30,140.34430341()43003430,10.12a a f x x f x f x f a a a a x a f x f x f a ????≠≠ <><-????若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析()()()()()[]max max 41()4300343112043231221124<<<0.243330,12a a x a a a f x f a a f x f a a f x ><>-<≤≤-????????-?ⅱ若－，即，因为对称轴＝ ，故又分两种情况讨论： ①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关 -X 二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数y = α√-2αχ + 3的最大值为4,且该抛物线与A 轴的交点为C ,顶点为 D ? (1) 求该二次函数的解析式及点C , D 的坐标: (2) 点P(ΛO)是X 轴上的动点， ① 求IPC - PDl 的最大值及对应的点P 的坐标： ② 设0(0,2/)是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数y = a ?x ?1 -2a ?x ?+3的图像只有一个 公共 点，求f 的取值范围. 【答案】(i) y = -χ2+2x + 3, C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4)； (2)①最 _ 3 7 大值是J∑, P 的坐标为(一 3,0),②,的取值范围为U_3或才Qv3或心?? 2 2 【解析】 【分析】 孕=1,计算对称轴，即顶点坐标为(1, 4),再将两点代 2a 入列二元一次方程组求出解析式： (2)根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时IPC-PDl 取得最大值，求出直线CD 与X 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标； —χ-+ 2Λ"+3, X n 0, , ,此函数是两个二次函数 —XJ — 2x + 3, X < 0. 的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点(0, 3 ),即点Q 与点C 重合时，两 图象有一个公共点，当线段PQ 过点(3, 0),即点P 与点(3, 0)重合时，两函数有两 个公共点，写出t 的取值：②线段PQ 与当函数y=a∣x∣2-2a∣×∣+c (x>0)时有一个公共点 时，求t 的值：③当线段PQ 过点 (-3, 0),即点P 与点(-3, 0)重合时，线段PQ 与当 函数y=a∣x∣2-2a∣x∣+c (×<0)时也有一个公共 点,则当t 冬3时,都满足条件;综合以上结 论，得出t 的取值. 【详解】 —2a (I) VX= ???y = ax'-ax+3的对称轴为X = 1? T y = ax 2 -ax + 3人最大值为4, ???抛物线过点(1,4). 得 a-2a+3 = 4, 解得a = -l. ???该二次函数的解析式为y = —X? + 2x + 3. C 点坐标为(0,3),顶点 D 的坐标为(1,4). (2) ①.? IPC-PDI≤CD, (1)先利用对称轴公式X= (3)先把函数中的绝对值化去，可知y = < 二次函数基础练习题 练习一 二次函数 1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t 写出用t 表示s 的函数关系式： 2、 下列函数：① y =② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 2 1y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = 3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m =时，函数()2221m m y m m x --=+是关于x 的二次函数 5、当____m =时，函数()256 4m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿. 7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ） A 、一次函数关系 B 、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2. 10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？ （2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？ 练习二 函数2ax y =的图像与性质 1、填空：（1）抛物线22 1x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y 必修一二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若- 二次函数与几何综合 二次函数典型例题——最大面积 1、如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC 的两条直角边分别落在x 轴、y 轴上，且 OB=1,OC=3,将△OBC 绕原点O 顺时针旋转90°得到△OAE ，将△OBC 沿y 轴翻折得到△ODC ，AE 与CD 交于点 F. （1）若抛物线过点 A 、B、C, 求此抛物线的解析式; （2）求△OAE 与△ODC 重叠的部分四边形ODFE 的面积; （3）点M 是第三象限内抛物线上的一动点，点M 在何处时△AMC 的面积最大？最大面积 是多少？求出此时点M 的坐标. 解：(1)∵OB=1 ，OC=3 ∴C（0，-3），B（1，0） ∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△ OAE ∴A（-3,0） 所以抛物线过点A（-3 ，0），C（0，-3），B（1，0） 设抛物线的解析式 为 y 2 ax bx c(a 0) ，可得 a+b+c 0a1 c -3解得b2 9a-3b c 0c-3 ∴过点A,B,C 的抛物线的解析式为y x2 2x-3 （2）∵△OBC 绕原点顺时针旋转90°得到△ OAE ，△OBC 沿y 轴翻折得到△COD ∴ E（0，-1），D（-1,0） 1 可求出直线AE 的解析式为y 1x 1 3直线DC 的解析式为y 3x 3 ∵点F为AE、DC 交点 ∴F（-3，-3） 44 3 S 四边形 ODFE =S △AOE -S △ADF = 4 3）连接 OM ，设 M 点的坐标为 （m ，n ） 2 2、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y mx 2 （m 2）x 2 过点 （2, 4） ，且与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C.点 D 的坐标为 （2,0） ，连接 CA ，CB ，CD. （1）求证： ACO BCD ； （2） P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接 DP 交 BC 于点 E. ①当 △BDE 是等腰三角形时，直接写出点 E 的坐标； ②连接 CP ，当△ CDP 的面积最大时，求点 E 的坐标. ∵点 M 在抛物线上，∴ n 2 m 2m ∴ S AMC S AMO S OMC S AOC = 12OA m = 32(m 2 11 OC n OA OC 2 2 3m) 3(m 因为 0 m 3 ，所以当 m 所以当点 M 3 的坐标为 （ ， 2 3 9 3 (m n) (m n 3) 2 2 2 3 2 27 2) 8 3 时， 2 15 - ) 时， 4 n 15 ，△AMA ' 的面积有最大值 4 △ AMA '的面积有最大值 2016年10月26日二次函数压轴2 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标； （2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值． 3．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标； （3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内 交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C． （1）求△AOD的面积； （2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标； （3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标． 5．如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2， 与y轴交于点C． （1）求抛物线L2的解析式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 试题分类汇编－--－二次函数 一、顶点、平移 1、抛物线ｙ=－(ｘ+２)2 -3的顶点坐标是( ）. (A) （2，-3)； (B) （－2，３); (C) (2，3）； (D) (－2，－３） 2、抛物线2 21y x x =-+的顶点坐标是( ) Ａ.（1,0)? B ．(-1,0） ?Ｃ.(－2，1) ?D.（２，-1) ３、抛物线y=x 2 -2x -3的顶点坐标是 ． ４、下列二次函数中，图象以直线x = ２为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A ．y = (ｘ ? 2)2 + １ B ．ｙ ＝ （ｘ + 2）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.y = （x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式,则y = ． 6、二次函数522-+=x x y 有( ) Ａ. 最大值5- B. 最小值5- C. 最大值6-?D ． 最小值6- 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知( ) A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x Ｃ．其最小值为1 Ｄ．当3 二次函数 专题一：二次函数的图象与性质 考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，244ac b a -）. 例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5 y x =与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值； （2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系 抛物线y=ax 2 +bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b a 的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小. 例2 已知2 y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 考点3.二次函数的平移 当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2 -2 图1 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+ 103x 163 -，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0） 3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________. 4.小明从图2所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号） 专题复习二：二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式 例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙 的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2 ）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）． 考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式 1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）； 2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式. 图2 A B C D 图1 菜园 墙中考数学二次函数-经典压轴题及答案
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题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C二次函数典型例题——最大值问题
二次函数压轴题(经典版)
二次函数最经典练习题
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)