大学物理实验A

大学物理实验A

期末考核

题目：重力加速度的测量

专业：10化学2 班

姓名：黄应胡

学号：2010364244

学年：2011---2012第2学期

任课教师：钟兰花

重力加速度的测量原理和方法

作者：黄应胡学号：2010364244

摘要：本文主要介绍三种重力加速度的测量原理和方法，分别是一. 用凯特摆测重力加速度；二. 用平衡法测重力加速度；三. 用三线摆法测重力加速度。其原理几乎都建立在中学、大学所学物理内容的基础上，对于大学生特别是物理专业的学生更加易于理解。在过程中所用仪器也较简便，都是在实验室里比较常见的仪器。

关键词：重力加速度，测量原理，物理实验

引言：重力加速度是物理学中的一个十分重要的物理量，在地面上不同的地区，重力加速度g值不相同，它是由物体所在地区的纬度、海拔等因素决定，随着地球纬度和海拔高度的变化而变化，准确地确定它的量值，无论从理论上、还是科研上、生产上以及军事上都有极其重大的意义。

测量重力加速度的方法有很多，我所要做的就是通过学习前人的理论知识，经过思考，在现有的实验室条件下，进行实验，做出归纳和总结，提出自己的看法与体会。且实验方法虽然多，但有的测量仪器的精确度受环境因素的影响比较大，不是每种方法都适用，所以有必要对测量方法进行研究，找出一种适合测量本地重力加速度的方法。

正文：

（一）用凯特摆测重力加速度

1.实验介绍及实验仪器

实验介绍：1818年凯特提出的倒摆，经雷普索里德作了改进后，成为当时测量重力加速度g 最精确的方法。波斯坦大地测量研究所曾用五个凯特摆用了8

年时间（1896-1904），测得当地的重力加速度2

0.003)cm/s

(981.274±=g ，许多地区的g 值都曾以此为根据。凯特摆测量重力加速度的方法不仅在科学史上有着重要的价值，而且在实验设计上亦有值得学习的技巧。 实验仪器：凯特摆、光电探头、米尺、周期测定仪。 2.实验原理：

图一.复摆示意图 图二 凯特摆摆杆示意图

设一质量为m 的刚体，其重心G 到转轴Ｏ的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当摆幅很小时，刚体绕O 轴摆动的周期T 为：

mgh

I

T π

2= （1） 式中g 为当地的重力加速度。设复摆绕通过重心G 的轴的转动惯量为G I ，当G 轴与O 轴平行时，有2mh I I G +=，代入上式，得：

m gh

m h I T G 2

2+=π （2）

对比单摆周期的公式g

l

T π2=，可得：mh mh I l G 2+=。l 称为复摆的等效摆长。

因此只要测出周期和等效摆长便可求得重力加速度。

复摆的周期我们能测得非常精确，但利用mh

mh I l G 2

+=来确定l 是很困难的。

我们利用复摆上两点的共轭性可以精确求得l 。在复摆重心G 的两旁，总可找到两点O 和O ’，使得该摆以O 悬点的摆动周期1T 与以O ’为悬点的摆动周期2T 相同，那么可以证明'OO 就是我们要求的等效摆长l 。

对凯特摆而言，两刀口间的距离就是该摆的等效摆长l 。在实验中当两刀口位置确定后，通过调节A 、B 、C 、D 四摆锤的位置可使正、倒悬挂时的摆动周期1T 和2T 基本相等，即21T T ≈。由公式⑻可得：

1

2

112mgh mh I T G +=π （3）

2

2

2

22m gh m h I T G +=π （4）

其中1T 和1h 为摆绕O 轴的摆动周期和O 轴到重心G 的距离。当21T T ≈ 时，

l h h =+21即为等效摆长。由式（9）和（10）消去G I ，可得：

b a l h T T l T T g +=--++=)

2(22412

22122212π （5） 式中，l 、1T 、2T 都是可以精确测定的量，而1h 则不易测准。由此可知，a 项可以精确求得，而b 项不易精确求得。但当21T T =以及l h -12的值较大时，b 项的值相对a 项是非常小的，这样b 项的不精确对测量结果产生的影响就微乎其微了。

凯特摆由底座、压块、支架、V 形刀承和一根长一米的金属摆杆组成。金属摆杆上嵌有二个对称的刀口E 和F ，作悬挂之用，一对大小形状相同、但质量不同的大摆锤A 、B 分别位于摆杆的两端，另一对小摆锤D 、C 位于刀口E 和F 的内侧，摆锤A 、D 由金属制成，摆锤C 、B 由塑料制成。就摆杆的外形而言，摆杆各部分处于对称状态，其目的在于抵消实验时空气浮力的影响以及减小阻力的影响。调节刀口E 和F 可以改变等值单摆长l 。调节摆锤A 、B 、C 、D 的位置，可以改变摆杆系统的质量分布。1h 和2h 分别为悬点O 和O ’到摆杆体系重心的距离。当四个摆锤调节到某一合适的位置时，以O 为悬点和以O ’为悬点的摆动周期相等。当l 、1h （或2h ）和四个摆锤的位置确定之后，只要测出摆动周期T

（21T T T ≈≈），便可求得重力加速度g 。

选定两刀口间的距离即该摆的等效摆长l ，固定刀口时要注意使两刀口相对摆杆基本对称，两刀口相互平行。用米尺测出l 的值，取参考g 值（g ≈9.80m/s2），利用g

l

T π

2=粗略估算T 值，作为调节21T T =时的参考值。将摆杆悬挂到支架上水平的V 形刀承上，调节底座上的螺丝，借助于铅垂线，使摆杆能在铅垂面内自由摆动，倒过来悬挂也是如此。 实验步骤：

（1）实验中将光电探头放在摆杆下方，调整它的位置和高度，让摆针在摆动时经过光电探测器。调好光电探测器，然后接通电源。让摆杆作小角度的摆动，待其摆动若干次稳定后，按下数字测试仪的“复位”按钮。此时测试仪开始自动记录一个周期的时间。显示屏左边显示摆动的次数（即周期数），右边显示摆动数个周期的时间数值。

（2）测量摆动周期1T 和2T 。调节四个摆锤的位置，使2T 与1T 逐渐靠近（一般粗调用大摆锤，微调用小摆锤。当1T 和2T 比较接近估算值T 时，最好移动小塑锤），且1T 与2T 的差值小于0.001s 。当周期的调节达到要求后，将测试仪的计停开关拨到“计数”档，测量凯特摆正、倒摆动10个周期的时间，101T 和102T 各测量5次取平均值。

（3）计算重力加速度g 及标准误差。将摆杆从刀承上取下，平放在刀口上，使其平衡，平衡点即重心G 的所在，测出（1h ）或（1h l -）的值，代入公式中计算g 值。并计算误差。 3.实验数据以及处理

表一 凯特摆法测重力加速度

由测量得：m l 906.0= m h 454.01= 则：m h l 420.01=- 则：2/804.9s m g =

经过计算得：2/011.0)(s m g u =

所以实验所得重力加速度为：2/)011.0804.9(s m g ±=

（二）用平衡法测重力加速度

1.实验仪器：弹簧秤，已知质量的钩码，物理天平。

2.实验原理、步骤

实验原理：用弹簧秤和已知质量的钩码测量，将已知质量为m 的钩码挂在弹簧秤下，待平衡后，弹簧秤示数为G ,利用公式：

mg G = （6）

得： m G g /= （7）

多次测量，做m G -图像，求斜率，其斜率即为g 。 实验步骤：

（1）用物理天平测量5个钩码质量

（2）将所测钩码依次挂在弹簧秤下，带平衡后，读出弹簧秤上试数，并记录。 （3）根据测量出的G 值和m 值，做出m G -图像，求出图像的斜率，其斜率便为、g

（4）计算误差。 3.实验数据以及处理

表二 平衡法测重力加速度数据表

根据所得数据可得下图：

Y (N )

X (kg)

图三 m G -图像

由（图三）所拟合直线得：

2/939.9s m g =

由所测数据得：2/019.0)(s m g u =

所以重力加速度的测量结果：2/)019.0939.9(s m g ±=

（三）用三线摆法测重力加速度

1.实验仪器：三线摆，数字毫秒计，待测物，天平

2.实验原理、公式推导

图四 三线摆原理图

实验原理：三线摆测重力加速度g 实验原理如（图四）所示。三线摆是由上下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系点构成等边三角形，下盘B 处于悬挂状态，并可绕O O '轴线作扭转摆动.由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，因此将待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变.这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。再根据转动惯量的平行轴定理，求出重力加速度g 。

公式推导：设下圆盘质量为0m ，其悬线距圆心为R ，H 为上下两盘之间的垂直

距离，上圆盘选线距圆心为r ，所以有下圆盘绕中心轴的转动惯量为:

2

02

004T H

gRr m I π=

（8） 在下盘盘心上放上2个质量均为m 、转动惯量为c I （ 对O O '轴）的圆柱体时，得到总转动惯量为1I ，测出周期为1T ,则有：

2

12

014)2(T H

gRr m m I π+=

（9） 那么，此时一个圆柱体的转动惯量(对O O '轴)为2c I ,将2个圆柱体对称地放置于下盘两侧，且圆柱体m 的质心到下盘心的距离为x ，得到总转动惯量为2I ，测出周期为2T ，则有：

2

22

024)2(T H

gRr m m I π+=

（10） 利用转动惯量的平行轴定理，此时2个圆柱体对O O '轴的总转动惯量为：

2222)2

()2(mx I mx I mx I I c c c c +=+++='

（11）

则2个圆柱对O O '的转动惯量增加了22m x ,因此有：

2222mx I I =- （12） 所以有： )

()2(82

12

202

2T T Rr m m mHx g -+=

π （13）

实验时，测出下盘质量0m 、圆柱体质量m 、下盘盘心到绳子的悬点距离R 、上盘盘心到绳子的悬点距离r 、上盘和下盘的距离H 、圆柱体的质心到下盘盘心的距离x 以及1T 、2T ，就可以求出g 。 3.实验步骤：

（1）调节上盘绕线螺丝使3根线基本登场，将2个质量分别为m 的圆柱体放在下盘中心，再将3根细绳严格调为等长（绳长cm l 00.40=），调节底脚螺丝，是上、下盘处于水平状态。

（2）三线摆平衡后，用手轻轻扭转上盘?5左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴做小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出10次完全震动的时间101T ，重复测量五次求平均值，计算出振动周期1T 。

（3）将2个质量分别为m 的圆柱体对称放在下盘，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出10次完全振动的时间102T ，重复测量五次求平均值，计算出振动周期2T 。

（4）测出圆柱体质量m 。圆柱体的质心到盘心的距离x 及仪器有关参量0m 、

R 、r 和H 等，因上盘对称悬挂，使三选点正好联成1个正三角形，若测得两悬

点间的距离为3

2

1b b ，所测数据如（表三）所示。

4.实验数据以及处理

下盘质量g m 5.6260=，圆柱体质量g m 5.310=，cm R )002.0062.8(±=，

cm r )002.0118.3(±=，cm x )002.0200.4(±=

表三 三线摆法测重力加速度数据表 cm l 00.40=

由实验数据得：cm H )05.069.39(±=，2/821.9s m g =，2/033.0)(s m g u = ∴2/)033.0821.9(s m g ±=

总结

本文用凯特摆、平衡法、三线摆法三种方法对重力加速度进行测量,对每种实验方法的实验数据进行记录、处理、误差分析，得到最终结果并与本地重力加速度的公认值进行分析比较，得到在这三种测量方法中以凯特摆法测得的g 与公认值最接近。相比较下，凯特摆法是我们目前实验室测量本地重力加速度的最佳方法，从总体上来说是相对简便准确的。

用三线摆法测量时主要是长度数据的测量上，下盘摆动上以及摆线的选择上会给实验结果带来较大误差。

总之，通过对每种实验方法进行分析比较、研究，这三种测量方法各有各的优缺点。从总体上看，利用凯特摆法来测量本地重力加速度是目前我们实验室中所能进行的最佳方案。