大一高等数学期末考试试题

2012学年第一学期

《高等数学（2-1）》期末模拟试卷

专业班级

姓名

学号

开课系室高等数学

考试日期 2012年12月11日

页号一二三四五六总分得分

阅卷人

注意事项

1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；

2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

1．

.

2．

.

3．设函数

由方程

确定，则 .

4. 设可导，且，，则 .

5．微分方程的通解为 .

二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1．设常数，则函数

在内零点的个数为（ ）.

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.

2． 微分方程的特解形式为（ ）.

（A ）; （B ）

; （C ）; （D ）.

3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若,则必有

;

（B ）若在上可积,则;

（C ）若是周期为的连续函数,则对任意常数都有;

（D ）若可积函数为奇函数,则也为奇函数. 4. 设

, 则是的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;

(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.

三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）

2

1

lim()x x x e x →-=

()()120051

1x x x x e e dx --+-=

?

()y y x =2

1

x y t e dt x

+-=?

x dy

dx

==

()x f 1

()()x

tf t dt f x =?1)0(=f ()=x f 044=+'+''y y y 0>k k e x x x f +-

=ln )(),0(∞+43cos2y y x ''

+=cos2y A x *=cos2y Ax x *=cos2sin2y Ax x Bx x *

=+x A y 2sin *=[][]b a d c ,,?()()??

≤b

a

d

c

dx

x f dx x f 0)(≥x f []b a ,()0b

a

f x dx ≥?()x f T a ()()??+=T

T

a a

dx

x f dx x f 0

()x f ()0x

t f t dt ?()x

x e e

x f 11

321++=

0=x )(x f 36分

本页得分

1．计算定积分.

2．计算不定积分.

3．求摆线在处的切线的方程.

2

230

x x e dx

-?

dx x x

x ?

5

cos sin ?

??-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 2π=t 本页满分 12分 本页得分 本页满分 12分 本页得分

4. 设，求.

5．设，求.

四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.

20

()cos()x

F x x t dt

=-?)(x F 'n n n n n x n

n )

2()3)(2)(1( +++=

n

n x ∞→lim 2-=x y x 本页满分15分 本页得分

2．设平面图形由与所确定，试求绕直线

旋转一周所生成的旋转体的体积.

3. 设

在内的驻点为问为何值时最小? 并求最小值.

D 222x y x +≤y x ≥D 2=x 1,a >at a t f t

-=)((,)-∞+∞ (). t a a )(a t 本页满分18分 本页得分

五．证明题（7分） 设函数

在上连续，在内可导且

试证明至少存在一点, 使得

一．填空题（每小题4分，5题共20分）：

1．

.

2．

.

3．设函数由方程确定，则.

4. 设可导，且

，，则.

5．微分方程的通解为

.

二．选择题（每小题4分，4题共16分）：

1．设常数，则函数

在

内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.

2． 微分方程的特解形式为 （ C ）

（A ）； （B ）

； （C ）； （D ）

3．下列结论不一定成立的是 （ A ）

(A) (A) 若,则必有

;

(B) (B) 若在上可积,则;

(C) (C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有

;

(D) (D) 若可积函数为奇函数,则也为奇函数.

()f x [0,1](0,1)1

(0)=(1)0,()12f f f ==，

(0,1)ξ∈()=1.f ξ'2

1

lim()

x

x x e x →-=

2

1

e ()()

1

2005

1

1x

x

x x e e

dx --+-=

?e 4

()y y x =2

1

x y

t e dt x

+-=?

x dy

dx

==

1-e ()x f 1

()()

x tf t dt f x =?

1)0(=f ()=x f 22

1x e

044=+'+''y y y x

e x C C y 221)(-+=0>k k

e x x x

f +-

=ln )(),0(∞+x y y 2cos 34=+''cos2y A x *=cos2y Ax x *

=cos2sin2y Ax x Bx x *

=+x A y 2sin *=[][]b a d c ,,?()()??

≤b

a d

c

dx

x f dx x f 0)(≥x f []b a ,()0b

a

f x dx ≥?()x f T a ()()??

+=T

T a a

dx

x f dx x f 0

()x f ()0x

t f t dt ?本页满分7分 本页得分

4. 设

, 则是的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;

(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分.

解：

-------2

-------2 --------2

2．计算不定积分.

解：

--------3

-----------3 3．求摆线在处的切线的方程. 解：切点为 -------2

-------2

切线方程为 即

. -------2

4. 设

，则

. 5．设，求.

解：

---------2 ()x

x e e

x f 11321++=

0=x )(x f ?

-2

32

dx

e x x ??

?----===2

02

020

322121,2

t t x tde dt te dx e x t x 则设?

??

???--=?--200221dt e te t t 2

223210221

----=--=e e e t dx x x x ?

5cos sin ???

???-==???x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin C x x x x x d x x x +--=+-=

?tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43

4

2

4???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 2π=t )),12((a a -π

2

π==

t dx dy k 2

)cos 1(sin π

=-=

t t a t a 1=)

12

(

--=-π

a x a y a

x y )2

2(π

-

+=?-=x

dt

t x x F 0

2)cos()(=')(x F )cos()12(cos 22

2x x x x x ---n n n n n x n

n )

2()3)(2)(1( +++=

n

n x ∞→lim )

1ln(1ln 1∑=+=n i n n i n x

--------------2

= ------------2

故 =

四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线与该曲线过坐标原点的切线及轴所围图形的面积.

解：

设切点为

，则过原点的切线方程为

，

由于点

在切线上，带入切线方程，解得切点为.-----3

过原点和点的切线方程为

-----------------------------3 面积

=-------------------3

或

2．设平面图形由

与所确定，试求绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积.

解： 法一：

-------6

?∑+=+==∞→∞→101)1ln(1

)1ln(lim ln lim dx

x n n i x n

i n n n 12ln 211

)1ln(1010-=+-+?dx x x

x x n n x ∞→lim e e

412ln 2=-2-=

x y x ),00y x （x

x y 2

21

0-=

),00y x （2,400==y x )2,4(22x y =

dy

y y s )222(2

2

?

-+=32

2322)22

21(

2

2120

4

2

=

--+=?

?dx x x xdx s D 222x y x +≤y x ≥D 2=x 21V V V -=[]

[]

?

??---=-----=10

22

1

210

2

2

)1(12)2()11(2dy

y y

dy y dy y πππ

--------3 法二：V =

------------------ 5

------------- 4

3. 设

在内的驻点为问为何值时最小? 并求最小值.

解:

--------------- 3

------------3

-----2

故

--------------1

五．证明题（7分）

设函数在上连续，在内可导且 试证明至少存在一点, 使得

证明：设，在上连续在可导，因,

有,--------------- 2

又由，知在上用零点定理，

根据，--------------- 2

可知在内至少存在一点，使得,

由ROLLE 中值定理得 至少存在一点使得

即，证毕. --------------3

)

314(201)1(3

1423-=??????--=ππππy ?---1

2)2)(2(2dx

x x x x π??----=10

10

22)2(22)2(2dx

x x dx x x x ππ[]

?--+--=1

02234

222)22(π

πdx x x x x x ππππππ

ππ32213421323

4141201)2(322223

2-=-+=-????????+-=x x 1,a >at a t f t

-=)((,)-∞+∞ (). t a a )(a t

.ln ln ln 1)(0ln )(a a

a t a a a t f t -

==-='得由 0)(ln 1

ln ln )(2

e e a a a a a t ==-=

'得唯一驻点又由.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>.1

1ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-

==最小值为的最小值点为()f x [0,1](0,1)1

(0)=(1)0,()12f f f ==，

(0,1)ξ∈()=1.f ξ'()()F x f x x =-()F x [0,1](0,1)(0)=(1)=0f f (0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-1()=12f 11111()=()-=1-=22222F f ，1[1]2，()F x 11(1)()=-0

22F F <1(1)2，η1()=0(,1)(0,1)

2F ηη∈?，(0)=()=0F F η(0,)(0,1)ξη∈?()=0F ξ'()1=0f ξ'-