合肥工业大学2014级研究生《数值分析》试卷(A)

合肥工业大学研究生考试试卷(A)

课程名称 数值分析 考试日期 2015年1月15日 学院 2014级研究生 姓名 年级 班级 学号 得分

一、填空题 (每空2分，满分20分) 1. 设

2014

2012

()657f x x

x

=-+，则差商[1,2,,2015]f = .

2. 设函数(0.9) 1.2178,(1)1,(1.1)0.6018f f f =-=-=-, 用三点数值微分公式计算

(1)f '的近似值为 , (1)f ''的近似值为 .

3. 设

T

(2,5,7,3)=-x ，2

3

4

5A -=-??

?

???

，则2

=x ，1Cond()A = . 4. 函数()f x 以0,1,2为节点的二次Lagrange 插值多项式

2()p x =

. 5. 设S 是函数

f 在区间[0,2]上的三次样条：

()()()3

23

12,01,

()2111,

12,

x x x S x b x x x x c +-≤≤=--+-≤≤++???

则b

= ，c = .

6. 四阶Runge-Kutta 方法的局部截断误差是 ，其整体截断误差是 .

二、(本题满分8分) *x 的相对误差的绝对值不超过0.01%，求*

x 至

少应具有几位有效数字？

三、(本题满分12分) 已知线性方程组1

2

3

1

2

3

1

2

3

1041,21072,3210 3.

x x x

x x x

x x x --+=-+-=++=??

???

(1) 写出求解上述方程组的Gauss –Seidel 迭代格式。

(2) 写出求解上述方程组的Jacobi 迭代格式的迭代矩阵J B . (3) 计算范数J B ∞

，判断上述Jacobi 迭代格式是否收敛？若收敛，试估计要达到

精度4

10ε-=，Jacobi 迭代法所需的迭代步数；取初值

T

0(0,0,0)=x .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 装 订 线

四、(本题满分10分) 用下列表中的数据求次数不超过4次的插值多项式

()p x ，使之满足

()()i i p x f x =，0,1,2i =，和00

11()(),()()p x f x p x f x ''''==.（要求写出差商表）

五、(本题满分12分) (1) 确定012,,A A A ，使下面的求积公式具有尽可能高的代数精度。

012()d (2)(0)(2)h

h

f x x A f h A f A f h -≈-++?

.

(2) 用两点古典Gauss 公式计算1

23

sin d I x x x =?

的近似值。

六、(本题满分10分). (1) 用改进的Newton 迭代法求方程432

330x x x x -+-=的重根，取初值

02x =，求21,x x .（要求先验证重根的重数。） (2) 用弦截法求上述方程的单根，取初值010.5,0.4x x ==，求23,x x .

七、(本题满分10分) 求拟合下列表中数据的1次最小二乘多项式

1()p x ，取权1i ρ=，

0,1,2,3,4i =，并计算总误差Q .

八、(本题满分10分) (1) 写出改进的Euler 方法的增量函数(,,)t y h ?.

(2) 用改进的Euler 方法求解初值问题

4()()0,

(0)

1

t y t t y t y y

'+-==??

?的解()y t 在

0.2,0.4t t ==处的近似值，要求小数点后保留5位数字（取步长0.2h =）。

九、(本题满分10分) 若迭代函数()x ?在有限区[,]a b 上满足下列两个条件:

(1) 对任意的[,]x a b ∈，有()[,]x a b ?∈; (2)

()x ?'在[,]a b 上存在，且()0,|()|1x x L ??''≠≤<，

证明：(1) 对任意初值0[,]x a b ∈，由迭代格式1()(1,2,)k k x x k ?-== 产生的序列

{}k x 收敛到方程()x x ?=的根*

x ;

(2) 估计式 *

11k k k L x x x x L

--≤

-- 成立。