2006年高考数列部分

数列部分

选择题

1. （广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()121

2

n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，

则(B) （Ａ）

3

2

（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５ 2. （福建卷）3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是

（ A ）

A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

3. （湖南卷）已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=

=+，则20a =

（B ）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．

2

3 4. （湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则

n

n n a a a a a a -+

+-+-+∞

→12312l i m 1

11(

= （C ）

A ．2

B ．

2

3

C ．1

D ．

2

1 5. （湖南卷）设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（C ） A ．sinx

B ．－sinx

C ．cos x

D ．－cosx

6. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=(C )

( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 7. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则(B )

(A)1845a a a a +<+

(B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =

8. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则(B)

(A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 9. （山东卷）{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于(C ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 10. （上海）16．用n 个不同的实数a 1,a 2,┄a n 可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3

一个n!行的数阵.对第i 行a i1,a i2,┄a in ,记b i =- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)n na in , 1 3 2 i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b 1+b 2+┄+b 6=-12+2?12-3?12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1

的数阵中, b 1+b 2+┄+b 120等于 3 1 2

3 2

1

[答]( C ) (A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720

11. （浙江卷）lim n →∞2

123n

n ++++ ＝( C )

(A) 2 (B) 4 (C) 2

1

(D)0

12. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C)

(A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 13. （江西卷）

填空题

1. （广东卷）

设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f _____5________；当ｎ＞４时，()f n ＝__

)1)(2(2

1

+-n n ___________． 2. （北京卷）已知n 次多项式1

011()n n n n n P x a x a x

a x a --=++++ , 如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 2

1

n (n ＋3) 次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…，n －1）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的 值共需要 2n 次运算．

3. （湖北卷）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，

则q 的值为 -2 .

4. (全国卷II ) 在83和27

2

之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积

为_______216 __．

5. （山东卷）22

223

lim __________(1)2

n n n n C C n -→∞+=+ 6. （上海）12、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，

!,,3,2,1n i =。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，

所以，2412312212621-=?-?+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ =_-1080_________。

7、计算：1

12323lim -+∞→+-n n n n n =_3 _________。

8. （天津卷）设*

∈N n ,则=

++++-1

2321666n n n n n n C C C C 1(71)6

n

- 9. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，

则100S =_2600_ ___.

10. (重庆卷)321

3223lim 23n n n n

n +→∞-+= -3 .

解答题 1.（北京卷）

设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11

为偶数

2

1

为奇数

4

n n n a n a a n +???=?

?+??,

记211

4

n n b a -=-

，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；

（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；

（III ）求123lim()n n b b b b →∞

++++ ．

解：（I ）a 2＝a 1+

41=a +41，a 3=21a 2=21a +8

1

； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21

a 4=41a +316,

所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －4

1

),

猜想：{b n }是公比为2

1

的等比数列·

证明如下：

因为b n +1＝a 2n +1－

41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=2

1

b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为2

1

的等比数列·

（III ）11121(1)

12lim()lim

2()1141122

n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---

. 2.（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

3

n n a S +=，n =1，2，3，……，求

（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++ 的值.

解：（I ）由a 1=1，11

3

n n a S +=

，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327

a S a a a ==++=，

由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得14

3

n n a a +=（n ≥2），

又a 2=31

，所以a n =214()33

n -(n ≥2),

∴ 数列{a n }的通项公式为2

1

114()2

33

n n n a n -=??

=???≥；

（II ）由（I ）可知242,,,n a a a 是首项为

31

，公比为24()3

项数为n 的等比数列，∴ 2462n a a a a ++++ =2224

1()1343[()1]4373

1()3

n n -?

=-- 3．（福建卷）

已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列.

（Ⅰ）求q 的值；

（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比

较S n 与b n 的大小，并说明理由.

解：（Ⅰ）由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即 .012,021=--∴≠q q a

.2

11-=∴或q

（Ⅱ）若.2

312)1(2,12n

n n n n S q n +=?-+

==则 当.02

)

2)(1(,21>+-=

=-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S >

若.4

9)21(2)1(2,212n

n n n n S q n +-=--+

=-=则 当,4

)

10)(1(,21---

==-≥-n n S b S n n n n 时

故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当 4. （福建卷）已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+

n

a 1

我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当a =1时，得到无穷数列：.0,1,2

1

:,21;,35,23,

2,1---=得到有穷数列时当a （Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0； （Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=

)(1

1

+∈-N n b n ，

求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }； （Ⅲ）若

)4(22

3

≥<

n a a a a +

==+

.

0.11

111.1111.1111,.}{.11

,1,1:)(.03

2

.32,11.21,11.1,01

1,0:.03

2.1223111

1211,11111112

1

21231121

114222333

44342312=∴-==+

=+=∴=+=+=∴=+=+=∴==+=∴-=

-==-=-=∴+==∴+

=-=∴=+∴==-=++=+

=++=+=+=+=+=∴+----++n n n n n n n

n n n n n n n a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b b b b b b II a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

中的任一个数不妨设取数列解法一时故当解法二时故当

故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }

5. （湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且

.)(,112211b a a b b a =-=

（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n

n

n b a c =

，求数列}{n c 的前n 项和T n . 解：（1）：当;2,1

11===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当

故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设{b n }的通项公式为.4

1,4,,11=

∴==q d b qd b q 则 故.42}{,4

121

1

1

1---=?

-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即

（II ）,4)12(422411

---=-==n n n

n n n n b a c

]

4)12(4

)32(454341[4],4)12(45431[1

3

2

12121n

n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴--

两式相减得

].

54)56[(9

1

]

54)56[(31

4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T

6. （湖北卷）已知不等式

n n n 其中],[log 2

1

131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足

,4,3,2,),0(1

1

1=+≤

>=--n a n na a b b a n n n

（Ⅰ）证明 ,5,4,3,]

[log 222=+<

n n b b

a n

（Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b >0，都有.5

1

11,0,211111n

a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤

<≥-----时

即

,1

111n

a a n n ≥-- 于是有

.111,,3111,211112312n

a a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得

.1

3121111n

a a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，

].[log 2

1

1121n a a n >- ∵.]

[log 22.2][log 2][log 21

11,2221n b b

a b

n b n b a b a n n +<

+=+>∴

=

证法2：设n

n f 1

3121)(+++=

，首先利用数学归纳法证不等式 .,5,4,3,)(1 =+≤

n b

n f b

a n

（i ）当n=3时， 由 .)3(112233133331

1

2223b f b

a a a a a a +=++?≤+=+≤

知不等式成立.

（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1b

k f b

a k +≤

则1)(1)1(1

1)

1(1)1()1(1++?++≤

+++=+++≤

+b

b k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)1

1

)((1)()1()1()1(b

k f b

b k k f b

b

b k f k k b

k ++=

++

+=

+++++=

即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤

n b

n f b

a n

又由已知不等式得 .,5,4,3,]

[l o g 22][l o g 2

1

122 =+=

+<

n n b b

b n b a n

（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞

→n n a

（Ⅲ）∵

,5

1

][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令

则有,10242

,10][log log 10

22=>?>≥n n n

故取N=1024，可使当n>N 时，都有.5

1

<

n a 7. （湖南卷）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明

.11

1112312<-++-+-+n

n a a a a a a

（I ）解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .

由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.

所以,)1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即.12+=n n a

（II ）证明因为

n

n n n n a a a 2

1

21111=-=-++， 所以

n n n a a a a a a 2

121212111132112312++++=-++-+-+

.12112

1121212

1<-=-?

-=n n 8. （湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考

察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （Ⅰ）求x n+1与x n 的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不

要求证明）

（Ⅱ）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N *，则捕捞强度b 的 最大允许值是多少？证明你的结论.

解（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为

.(**)

*),1(.(*)

*,,1212N n cx b a x x N n cx bx ax x x cx n n n n n n n n n ∈-+-=∈--=-++即因此

（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得 ..0*,,0)(11c

b

a x cx

b a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于 因为x 1>0，所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ，且c

b

a x -=

1时，每年年初鱼群的总量保持不变. （Ⅲ）若b 的值使得x n >0，n ∈N* 由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知

0

由此猜测b 的最大允许值是1.

下证 当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N* ①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2), 则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0.

又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2+1≤1<2, 所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x 1∈(0, 2), 都有x n >0， n ∈N*，则捕捞强度b 的最大允

许值是1.

9. （江苏卷）设数列｛a n ｝的前项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且

1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+, ,,3,2,1 =n 其中A,B 为常数.

(Ⅰ)求A 与B 的值;

(Ⅱ)证明数列｛a n ｝为等差数列;

(Ⅲ)1m n >对任何正整数、都成立. 解：(Ⅰ)由11a =，26a =，311a =，得11S =，22S =，318S =． 把1,2n =分别代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28,

248A B A B +=-??+=-?

解得，20A =-，8B =-．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即

11582208n n n na S S n ++--=--，

① 又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-． ④ ④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=， ∴32120n n n a a a +++-+=，

∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-= ，又215a a -=，

因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列． (Ⅲ)由(Ⅱ)知，54,()n a n n *=-∈N ．考虑

55(54)2520mn a mn mn =-=-．

21)11m n m n m n a a a a a a =++++…2515()9mn m n =-++．

∴251)15()291522910mn a m n -+-?-=>厖．

即251)mn a >1．

1>． 10. （辽宁卷）已知函数).1(1

3

)(-≠++=

x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*

21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=

（Ⅰ）用数学归纳法证明1

2)13(--≤n n

n b ；

（Ⅱ）证明.3

3

2<

n S 解：（Ⅰ）证明：当.11

2

1)(,0≥++

=≥x x f x 时 因为a 1=1， 所以*).(1N n a n ∈≥ ………………2分

下面用数学归纳法证明不等式.2

)13(1

--≤n n

n b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，

（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2

)13(1

--≤k k

k b 那么 k

k k k a a a b +--=

-=+-1|

3|)13(|3|11 ………………6分

.2

)13(2131

k

k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。

根据（1）和（2），可知不等式对任意n ∈N*都成立。 …………8分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， .2)13(1

--≤n n n b

所以 1

2212

)13(2)13()13(--++-+-≤+++=n n

n n b b b S 2131)

213(

1)13(----?-=n

…………10分 .3322

1

311)13(=--

?-<

故对任意.33

2

,<

∈*

n S N n ………………（12分） 11. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项2

1

1=a ，前n 项和为n S ，且

0)12(21020103010=++-S S S 。

（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=- 即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得.)(22012112012111010a a a a a a q +++=+++?

因为0>n a ，所以 ,1210

10

=q

解得21=

q ，因而 .,2,1,2

11

1 ===-n q

a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比2

1

=q 的等比数列，故

.2,2112

11)

211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),2

2221()21(2n

n n

n T +++-+++= ).2

212221()21(212132++-+++-+++=n n n n n n T 前两式相减，得

122)212121()21(212+++++-+++=n n n n n T 122

11)

211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n

n n n T 12. (全国卷Ⅰ)

设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n 。 （Ⅰ）求q 的取值范围；

（Ⅱ）设122

3

++-

=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小。 解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得

当;0,11>==na S q n 时

1(1)11,0,0,(1,2,)11n n

n a q q q S n q q

--≠=>>=-- 当时即

上式等价于不等式组：),2,1(,01,

01 =?

??<-<-n q q n

① 或),2,1(,01,

01 =?

??>->-n q q n

② 解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1

（Ⅱ）由2132n a n b a a ++=-

得.)23

(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(2

1

(-+=q q S n

又∵n S >0且－10

当1

12

q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >

当1

22

q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <

当1

2

q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =

13. (全国卷II ) 已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又

21

n

n b a =

，1,2,3,n = ． (Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列； (Ⅱ) 如果数列{}n b 前3项的和等于

7

24

，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．

(I)证明：∵1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列

∴22lg a =1lg a +4lg a ，即2214a a a =

又设等差数列{}n a 的公差为d ，则(1a －d )2

=1a (1a －3d )

这样21d a d =，从而d (d －1a )=0

∵d ≠0 ∴d =1a ≠0

∴122111(21)22

n n n n n n a a d db a d =+-===? ∴{}n b 是首项为1b =

12d ，公比为1

2的等比数列。 (II)解。∵1231117(1)22424

b b b d ++=++= ∴d =3 ∴1a =d =3

14.(全国卷II )

已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又21

n

n b a =，1,2,3,n = ．

(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；

(Ⅱ) 如果无穷等比数列{}n b 各项的和1

3

S =，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．

(注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限)

解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，由 2142lg lg lg a a a =+ 得2214a a a =

即)3()(112

1d a a d a +=+，得 10a d d ==或 因

1

221

+=+n n a a b b n n ∴ 当d =0时，{a n }为正的常数列 就有

11

221

==++n n a a b b n n 当d =1a 时，11

12112)12(,)12(1a a a a a a n n

n n -+=-+=++,就有1221+=

+n n a a b b n n 2

1

= 于是数列{n b }是公比为1或

2

1

的等比数列 （Ⅱ）如果无穷等比数列{}n b 的公比q =1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在。

A

B

C

D

E

F

P

因而d =1a ≠0，这时公比q =21，112b d = 这样{}n b 的前n 项和为11[1()]

22112

n n d

S -=- 则S=11[1()]

122lim lim 112

n n n n d

S d →+∞→+∞-==-

由1

3

S =，得公差d =3，首项1a =d =3

15. (全国卷III)

在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等差中项.

已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k

解：由题意得：412

2a a a =……………1分

即)3()(1121d a a d a +=+…………3分 又0,d ≠d a =∴1…………4分 又 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列, ∴该数列的公比为3313===d

d

a a q ，………6分 所以1

13

+?=n k a a n ………8分

又11)1(a k d k a a n n k n =-+=……………………………………10分

13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k ……………………………12分

16. （山东卷）

已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；

（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较

2(1)f '与22313n n -的大小.

解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得

()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当

1n =时

21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+

故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而11

21

n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；

（II ）由（I ）知321n n a =?-

因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++

从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()

23212321(321)n

n ?-+?-++?-

=()

232222n

n +?++? -()12n +++ =()1(1)

31262

n n n n ++-?-

+ 由上()

()22(1)23131212n f n n n '--=-?-()

2

1221n n --= ()()1212121(21)n n n n -?--+=12(1)2(21)n

n n ??--+??①

当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-

当3n ≥时，10n ->又()011211n

n n n

n n n n C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+ 所以()()12210n n n ??--+>??即①0>从而2(1)f '>2

2313n n -

17．(上海)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? [解](1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列, 其中a 1=250,d=50,则S n =250n+

502

)

1(?-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n ≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n ≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列, 其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1·0.85. 由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 18. （天津卷）

已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n . （Ⅰ）当b a =时，求数列{}n u 的前n 项和n S ； （Ⅱ）求1

lim

-∞→n n

n u u .

（18）解：（Ⅰ）当b a =时，n n a n u )1(+=．这时数列}{n u 的前n 项和

n n n a n na a a a S )1(432132++++++=- ． ①

①式两边同乘以a ，得 1432)1(432+++++++=n n n a n na a a a aS ② ①式减去②式，得 132)1(2)1(++-++++=-n n n a n a a a a S a 若1≠a ，

a a n a

a a S a n n n ++---=-+1)1(1)

1()1(，

2

21212)1(2)2()1(1)1()1()1(a a a a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+=

-+-+--=+++ 若1=a ，2

)

3()1(32+=

+++++=n n n n S n （Ⅱ）由（Ⅰ），当b a =时，n

n a n u )1(+=，则a n n a na a n u u n n n

n n n n =+=+=∞→-∞→-∞→)1(lim )1(lim lim 11

． 当b a ≠时，112[1()()n n n n n

n n b b b u a a b ab b a a a a

--=++++=+

+++ 1

111()1()1n n n n b

a a a

b b a b a

+++-==---

此时，n

n

n n n n b a b a u u --=++-1

11． 若0>>b a ，a a

b

a b b a b a b

a u u n

n

n n

n

n n n n n n =--=--=∞→++∞→-∞→)(1)(lim

lim lim

1

11

． 若0>>a b ，b b

a b b a

a u u n

n n n n

n =--==∞→-∞→1)()(lim lim

1

．

19. （天津卷）若公比为c 的等比数列｛n a ｝的首项1a ＝1且满足：12

2

n n n a a a --+=（n ＝3，4，…）。

（I ）求c 的值。

（II ）求数列｛n na ｝的前n 项和n S 。

20. （浙江卷）已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，了＋1，c ＋4成等比数列，

求a ，b ，c ．

解：由题意，得215 (1)2(2)(1)(4)(1)(3)a b c a c b a c b ?++=?

+=??++=+?

………………

由(1)(2)两式，解得5b =

将10c a =-代入(3),整理得213220a a -+= 解得 2a =或11a =

故2a =,5,8b c ==或11,5,1a b c ===- 经验算，上述两组数符合题意。

21（浙江卷）设点n A (n x ，0)，1

(,2

)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2

＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝－2－4n －

1

12

n -，n x 由以下方法得到：

x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2

＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1

上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线n C ：

y ＝x 2

＋a n x ＋b n 上，点n A (n x ，0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．

解：（I ）由题意，得2

11

1(1,0),:7A C y x x b =-+。 设点(,)P x y 是1C

上任意一点，则1||A P =

=令 2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+- 由题意，得'2()0,f x =即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-= 又22(,2)P x 在1C 上，

222127,x x b ∴=-+ 解得213,14.x b ==

故1C 方程为2

714.y x x =-+

(II)设点(,)P x y 是n C

上任意一点，则||n A P = 令

222

()()()n n n g x x x x a x b =-+++，则

'2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++.

由题意得g 1'()0n x +=，即211112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++= 又2112,n n n n n x a x b ++=++

11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= （*） 下面用数学归纳法证明21n x n =-

①当n=1时，11,x = 等式成立。

②假设当n=k 时，等式成立，即21,k x k =-

则当1n k =+时，由（*）知 110(12)2k k k k k x x a ++=+-+ 又11

242

,k k a k -=---

11

22 1.12

k k k

k k x a x k ++-∴==++ 即当1n k =+时，等式成立。 由①②知，等式对n N ∈成立。 {}n x ∴是等差数列。

22. (重庆卷)数列{a n }满足a 1=1且8a n +1-16a n +1+2a n +5=0 (n ≥1)。记2

1

1-

=

n n a b (n ≥1)。

(1) 求b 1、b 2、b 3、b 4的值；

(2) 求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n 。

解法一：

（I ）111

1,2;112a b ==

=-故22718

,718382

a b ===-故 3344311320,4;,.31420342a b a b =====-故故

（II ）因2

1344284()()()33333

b b --=?=，

222213244444()(),()()()33333

b b b b -=--=-

故猜想42

{},2.33

n b q -=是首项为公比的等比数列

因2≠n a ，（否则将2=n a 代入递推公式会导致矛盾）。152(1).168n n

a

a n a ++=

≥-故

∵11

16820164144133633632

n n

n n n n a a b a a a ++---

=-=-=

--- 112016428442(),0336333

2

n n n n n

a b b b a a +--=-==--≠--

故2|3

4

|=-q b n 确是公比为的等比数列.

n n b b 23

1

34,32341?=-=-故因, )1(34231≥+?=n b n n ,121

2

11

+=-

=

n n n n n b b a a b 得由 n

n n b a b a b a S +++= 2211故121

()2

n b b b n =

++++

1

(12)

51

3(251)1233

n n n n -=+=+--

解法二： （Ⅰ）由11111

,816250,1

2

2

n

n n n n n n n b a a a a a b a ++==

+-++=-

得代入递推关系 整理得

1114634

0,2,3

n n n n n n b b b b b b +++-+==-即 .3

20,4,38,2,143211=====b b b b a 所以有由

（Ⅱ）由11144442

2,2(),0,33333

n n n n b b b b b ++=--=--=≠

所以42

{},233n b q -=是首项为公比的等比数列

故4114

2,2(1).3333

n n n n b b n -=?=?+≥即

由1

12

n n b a =-

得112n n n a b b =+

故1122n n n S a b a b a b =+++ 121

(12)

15

3()2123

n n b b b n n -=++++=+-

1

(251)3

n n =+- 解法三：

（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）2213243248284,,,()333333

b b b b b b -=

-=-=?= 11121

{},2,233

522,(1).168n

n n n n n

n n n

b b q b b a a a n a +++-=-=?+≠=≥-猜想是首项为公比的等比数列又因故因此

111112

1152121221682

n n n n n n n b b a a a a a ++-=-=-

+----

- 1681086;636363n n n n n

a a a a a --=

-=---

121121168168111

16363

2

2

n n

n n n n n n a a b b a a a a ++++++---=

-

=

----

-

1362416820162().636363

n n n

n n n n n a a a b b a a a +---=

-==----

211121

0,{}2,2,33

n n n n n b b b b q b b ++-=

≠-=-=?因是公比的等比数列 从而112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---

1211

(222)23114

(22)22(1).333

11

1,

122

n n n n n n n n n n b a b b a --=++++=-+=?+≥==+- 由得 故1122n n n S a b a b a b =+++ n b b b n ++++=

)(2

1

21 1

(12)

51

3(251).1233

n n n n -=+=+--

23. (重庆卷)数列{a n }满足)1(21

)11(1211≥+++

==+n a n n a a n

n

n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；

（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数

e=2.71828….

（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k

那么22

1

))1(11(1≥+++

=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.

根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：

由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()21

11(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n n

n n

n 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2

1

11ln(ln 21

++++≤+

.21

1ln 2n n n n a +++

≤ 故n

n n n n a a 2

1)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n