2011年高考-四川省理科数学试题及答案(word)

绝密★启用前

2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数 学(理工类)

本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 2

4s R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么

24

3

v R π=

在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

n ()(1)

(0,1,2,...)k k n k

n P k C p p k n -=-= 第一部分（选择题 共60分）

注意事项：

1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)

16 (B)13 (C)12 （D ）2

3

答案：B

解析：从31.5到43.5共有22，所以221

663

P ==。 2、复数1i i

-+= (A)2i - （B ）

1

2

i （C ）0 （D ）2i 答案：A[来源:Z_xx_https://www.360docs.net/doc/1d1025850.html,]

解析：12i i i i i

-+=--=- 3、1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

(A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ? （B ）12l l ⊥，23l l ?13l l ⊥ (C)233l l l ? 1l ，2l ，3l 共面

（D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 答案：B

解析：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定

4、如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++

=

(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF

答案D

解析：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 5、5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的

(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B

解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。

6.在?ABC 中．222

sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是 (A)(0，6

π

] (B)[

6

π

，π) (c)(0，

3

π

] (D) [

3

π

，π)

答案：C 解

析

：

由题

意正弦定理

2222

2

2

2

2

2

11cos 023

b c a a b c bc b c a bc A A bc π

+-≤+-?+-≥?≥?≥?<≤

7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12

x

f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是

答案：A

解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。 当10,0()1,122

x

x y ><

8.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a = （A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 B 解

析

：

由

已

知

知

128,28,

n n n b n a a n +=--=-由叠加法

21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=?==

9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润

（A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 答案：C

解析：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219

x y x y x y x y ≤≤??≤≤??

+≤??+≥?+≤??画出可行域在

12219x y x y +≤??+≤?的点7

5

x y =??

=?代入目标函数4900z =

10.在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有

平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 答案：A

解析：由已知的割线的坐标

(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则2

2

3651(2)

b a =+-又25

64(2,9)(2)y x ax b a y a x b

?=+-?=-?=?--?

=-+?

11.已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2

()2f x x x =-+.设

()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞

=

（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）

3

2

答案：D

解

析

：

由

题

意

1

(2

)()3

f x f x +=,在[22,2]

n n -上，

2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213

n

n n n n

n f x n f x n f x a S S --=======?=?=- 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到

的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m

n = （A ）

415 （B ）13 （C ）25 （D ）2

3

答案：D

基本事件：2

6(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==?=由其中面积为1的平行四边形的个数

(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)其中面积

为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数

(2,1)(2,5);(4,1)(4,3

其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其

8的平行四边形的个数(4,1)(4,5)其中面积为9的

平行四边形的个数(2,5),(4,1)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.计算1

21

(lg lg 25)100=4

--÷ .

答案：20-

解析：12111

(lg lg 25)100lg

20410010

--÷=÷=- 14.双曲线

22

x y =1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 . 答案：565

解析：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为14，所以1455645

c d d a ==?=[来源:学科网ZXXK]

15.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . 答案：2

2R π

解析：max 24S r S π=?=侧侧时，22222

22

R r R r r r R =-?=?=，

则222

422R R R πππ-=

16.函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）

时总有 12x =x f x ，则称（）

为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题： ① 函数f x （）=2

x （x ∈R ）是单函数；

② 若f x （）为单函数，121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）； ③ 若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④ 函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 答案：②③④

解析 ：①错，12x x =± ，②③④正确。 三、解答题 17、

已知函数73

()sin()cos(),44

f x x x x R ππ=+

+-∈ (1)求()f x 的最小正周期和最小值；

（2）已知44cos(),cos(),(0)552a π

ββααβ-=

+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=

解析：7733()sin cos cos sin cos cos sin sin

4444

2sin()

4

f x x x x x x x x ππππ

π

=+++==-

max 2,()2T f x π∴==

（2）4

cos()cos cos sin sin (1)

54

cos()cos cos sin sin (2)5

cos cos 0

0cos 02

2

βααβαββααβαβαβπ

π

αβββ-=+=+=-=-=<<≤

?=?=

2()(())20f f ββ∴-=

18、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11

,42

；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为

11

,24

；两人租车时间都不会超过四小时。 （Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ； 解析：

（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为1111428P =

?=，付2元为2111

248

P =?=，付4元为3111

4416

P =

?= 则所付费用相同的概率为123516

P P P P =++=

(2)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8

1

(0)8

11115(2)442216

1111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416

P P P P P ξξξξξ

====?+?=

==?+?+?===?+?=

==?=

分布列

84822

E ξ=+++=

19．(本小题共l2分)

如图，在直三棱柱AB-A 1B 1C 1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1．D 是棱CC 1上的一 P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA ． (I)求证：CD=C 1D ：

(II)求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值； (Ⅲ)求点C 到平面B 1DP 的距离．

解析：（1）连接1B A 交1BA 于O ,1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D OD ?= 1面面面BA [来源:学科网]

1//B P OD ∴,又O 为1B A 的中点，D ∴为AP 中点，1

C ∴1为A P ,

1ACD PC D ∴???1C D CD ∴=,D 为1CC 的中点。

（2）由

题意11,AB

AC AB AA AB C C

⊥⊥?⊥1面AA ,

过 B 作AH AD ⊥,连接BH ，则B H A D ⊥,AHB ∴∠为二面角1A A D B --的平面角。在1AA D ?中，111,AA AD A D ==

=

,则2

3

AH AH BH AHB BH ==

∠=== (3)

因为11C B PD B

PCD V V -=

，所以11111

3

3B PD PCD h S A B S ???=?,111A B =

11111

244

PCD PC C PC D S S S ???=-=-=,

在1B DP ?

中，1111

955344,3222

B D B P PD DB P DB P +-

===∠==∠=? 11331,225

43

B PD S h ?∴=

?==[来源:学。科。网Z 。X 。X 。K]

20．(本小题共12分) 设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n n

n n n n n a C d C d n C d nC d n N n

--=

+++-+∈

(1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设*()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解析：（1）

122

3(1)(1)a d a d d a d d ==+=+ 0122311

11

(1)(1)1n n n n n n n n n n n n

a C d C d C d C d d d a d d a d a --++=++++=+=+=+

因为d 为常数，所以{}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列。

（2）21

2

2

1

2

2

2

1

20121(1)(1)2(1)3(1)(1)

[(1)2(1)3(1)(1)](1)

n n n n n b nd d S d d d d d d nd d d d d d n d ---=+=++++++++=++++++++

2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)](2)n n d S d d d d n d +=++++++++

（2）-（1）2

221(1(1))

[(1)()(1)1(1)

n n n n d dS d d n d d d n d d d ?-+==-++=+-+-+

1(1)(1)n n S dn d ∴=+-+

21．(本小题共l2分)

椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．

(I)当|CD | =

l 的方程； (II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ?

为定值。

解析：由已知可得椭圆方程为2

212

y x +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率。 则12122222

222

1212

2242122(2)2101221222k y kx y y x x k k k x kx y k x x x y y k k ??=++=?+=-?????++?++-=????--++=???==???+?+?

2422

2

2

12122222

88889()()2(2)(2)2

k k k x x y y k k k k ++-+-=+=?=?=++l ∴

的方程为1y =+

22．(本小题共l4分)

已知

函数21

(),()32

f x x h x =

+=

(I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233

log [

(1)]log ()log (4)24

f x h a x x --=--- (Ⅲ)试比较100

1

(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小.

22、解析： （1

）21

()32

F x x =

+- 1

'

2

21()32

F x x -=-

令'''9()0;169()0016

9()016

F x x F x x F x x >?>

=?=

所以916x =

是其极小值点，极小值为18。0x =是其极大值点，极大值为12 （2）33

(1)124

f x x --=-；

222

log ()log (4)log h a x x ---=由4222233log [

(1)]log ()log (4)log (1)log 244a x

f x h a x x x x ---=---?-=- 216404a x

x x x a x

--=

?-++=- 01364(4)05a a -+时方程无解 02364(4)05a a -+=?=时3x =

03364(4)05a a -+>?<

方程的根为1233x x ==(3)2015(100)(100)3F h =

，100

1

()k h k ==++∑