高考大一轮总复习6.2等差数列及其前n项和

§6.2 等差数列及其前n 项和

考纲展示?

1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.

4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.

考点1 等差数列的基本运算

1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．

(2)等差中项

若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b

2.

答案：(1)2 同一个常数 d 2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式

如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________． (2)等差数列的前n 项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )

2.

答案：(1)a n ＝a 1＋(n －1)

d

(1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________． 答案：52

(2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：

16

知三求二．

等差数列中，有五个基本量，a 1，d ，n ，a n ，S n ，这五个基本量通过________，

____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．

答案：通项公式 前n 项和公式

[典题1] (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2

[答案] A

[解析] 解法一(常规解法)：设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.

解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S 8＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3， 所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.

(2)[2017·河北武邑中学高三期中]等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 7

7＝2，

则S 10＝( )

A ．0

B ．－9

C ．10

D ．－10

[答案] A

[解析] 因为????

??S n n 是等差数列，且公差为d ＝1，故S 1010＝a 1

1＋1×(10－1)＝－9＋9＝0，故选

A.

(3)[2017·河北唐山模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. [答案] 30

[解析] 解法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得

????? S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12， 解得?

????

a 1＝0，

d ＝2， 则S 6＝6a 1＋15d ＝30. 解法二：∵等差数列{a n }，故可设S n ＝An 2＋Bn ，

由S 3＝6，S 4＝12，可得?????

S 3＝9A ＋3B ＝6，

S 4＝16A ＋4B ＝12，

解得?????

A ＝1，

B ＝－1，

即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.

[点石成金] 等差数列运算的解题思路及答题步骤 (1)解题思路

由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．

(2)答题步骤

步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 步骤二：根据已知条件列方程求出未知量； 步骤三：利用前n 项和公式求得结果．

考点2 等差数列的判断与证明

等差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数.

(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则该数列的通项公式为a n ＝__________. 答案：2n －1

解析：由a n ＋1＝a n ＋2，知{a n }为等差数列，其公差为2，故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝__________. 答案：1＋n (n －1)

2

解析：由a n ＋1－a n ＝n ，得a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，…，a n －a n －1＝n －1，各式相加，得a n －a 1＝1＋2＋…＋n －1＝(n －1)(1＋n －1)2＝n (n －1)2，故a n ＝1＋n (n －1)

2

.

[典题2] 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1

2

.

(1)求证：????

??

1S n 是等差数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．

(1)[证明] 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得 S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1

S n －1＝2.

又1S 1＝1

a 1

＝2， 故????

??

1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)[解] 由(1)，可得1S n ＝2n ，∴S n ＝1

2n .

当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝12n －1

2(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)

＝－1

2n (n －1)

.

当n ＝1时，a 1＝1

2

不适合上式．

故a n

＝???

1

2

，n ＝1，－

1

2n (n －1)，n ≥2.

[题点发散1] 若将母题条件变为：数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n .求证：{a n }为等差数列．

证明：∵2S n －na n ＝n ，①

∴当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1，② ①－②，得(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1， 则(1－n )a n ＋1＋na n ＝1， ∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴数列{a n }为等差数列．

[题点发散2] 若母题变为：已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1

a n －1

(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝

1

a n －1

(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：∵a n ＝2－1

a n －1，

∴a n ＋1＝2－1

a n

.

∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1

a n －1

＝

12－1a n

－1－1

a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{

b n }是首项为b 1＝

1

2－1

＝1，公差为1的等差数列． [点石成金] 等差数列的判定与证明方法

[2017·陕西西安模拟]已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b n ＝S n n ＋c ，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的

值；若不存在，请说明理由．

解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， 所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解， 所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4， 故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n (1＋4n －3)

2＝2n 2－n ，

所以b n ＝S n

n ＋c ＝2n 2－n n ＋c

.

解法一：所以b 1＝11＋c ，b 2＝6

2＋c ，

b 3＝15

3＋c

(c ≠0)．

由2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－1

2.

当c ＝－1

2时，b n ＝2n 2－n n －1

2＝2n ，

当n ≥2时，b n －b n －1＝2.

故当c ＝－1

2时，数列{b n }为等差数列．

解法二：由b n ＝S n

n ＋c ＝n (1＋4n －3)

2n ＋c

＝2n ????n －1

2n ＋c

，

∵c ≠0，∴可令c ＝－1

2，得到b n ＝2n .

∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．

即存在一个非零常数c ＝－1

2

，使数列{b n }为等差数列．

考点3 等差数列的性质及应用

等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋________(n ，m ∈N *)．

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则____________． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为________． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，公差为d ，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *

)是公差为________的等差数列．

(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .

(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd

2；

若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．

答案：(1)(n －m )d (2)a k ＋a l ＝a m ＋a n (3)2d (5)md

等差数列的基本公式：通项公式；前n 项和公式．

(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 5－2a 1＝27，则a 5＝________. 答案：13

解析：设等差数列的公差为d ，则有2a 1＋3d ＝1,4d －a 1＝27，解得d ＝5，a 1＝－7，所以a 5

＝a 1＋4d ＝13.

(2)等差数列{a n }的首项为1，公差为4，前n 项和为120，则n ＝________. 答案：8

解析：a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3，所以S n ＝n (1＋4n －3)

2＝120，

解得n ＝8或n ＝－15

2

(舍去

).

等差数列运算的两个方法：应用性质；巧妙设元．

(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 10＝12，则该数列前13项和S 13＝__________. 答案：78

解析：由等差数列的性质与前n 项和公式，得S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)

2

＝78.

(2)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8，则{a n }的通项公式是__________．

答案：a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7

解析：设等差数列{a n }的前三项为a 2－d ，a 2，a 2＋d ，

由题意得?

????

3a 2＝－3，

(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝8，

解得????? a 2＝－1，d ＝－3 或?

????

a 2＝－1，d ＝3，

所以a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －

7.

[典题3] [2017·河南洛阳统考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7

＋a 8＋a 9＝( )

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27

[答案] B

[解析] 由{a n }是等差数列，得 S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.

[点石成金] 在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具

.

1.[2017·宁夏银川模拟]已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝3

2.若a m

＝8，则m ＝( )

A ．8

B ．12

C ．6

D ．4

答案：A

解析：由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得 (a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，即4a 8＝32， ∴a 8＝8，∴m ＝8.故选A.

2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.

答案：60

解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.

考点4 等差数列前n 项和的最值问题

[典题4] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )

A ．S 15

B ．S 16

C ．S 15或S 16

D ．S 17

[答案] A

[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20， ∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×19

2d ，

解得d ＝－2，

∴S n ＝29n ＋n (n －1)

2×(－2)＝－n 2＋30n

＝－(n －15)2＋225.

∴当n ＝15时，S n 取得最大值．

[题点发散1] 若将条件“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 1>0，S 5＝S 12”，如何求解？ 解：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，

由S 5＝S 12，得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ， 解得d ＝－1

8a 1<0.

所以S n ＝na 1＋n (n －1)

2

d

＝na 1＋n (n －1)2·????－18a 1＝－1

16

a 1(n 2－17n )

＝－116a 1????n －1722＋28964a 1. 因为a 1>0，n ∈N *

，

所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 解法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 同解法一得d ＝－1

8a 1<0.

设此数列的前n 项和最大，则

?

????

a n ≥0，a n ＋1≤0，即???

a n ＝a 1＋(n －1)·????－18a 1≥0，a

n ＋1＝a 1＋n ·???

?－18a 1≤0，

解得?

????

n ≤9，

n ≥8，即8≤n ≤9，

又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 解法三：设等差数列{a n }的公差为d ， 同解法一得d ＝－1

8

a 1<0.

由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2

n 2＋????a 1－d

2n ， 设f (x )＝d

2x 2＋????a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线， 由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝17

2

(如图所示)，

由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．

[题点发散2] 若将条件“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 3＝12，S 12>0，S 13<0”，如何求解？ 解：因为a 3＝a 1＋2d ＝12， 所以a 1＝12－2d ，

所以????? S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，即????

?

144＋42d >0，156＋52d <0，

解得－24

7

故公差d 的取值范围为????－24

7，－3. 解法一：由d <0可知，{a n }为递减数列，

因此，在1≤n ≤12中，必存在一个自然数n ，使得a n ≥0，a n ＋1<0， 此时对应的S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．

由于?

????

S 12＝6(a 6＋a 7)>0，

S 13＝13a 7<0，于是a 7<0，从而a 6>0，

因此S 6最大．

解法二：由d <0可知{a n }是递减数列，

令?????

a n ＝a 3＋(n －3)d ≥0，a n ＋1＝a 3＋(n －2)d <0，

可得???

n ≤3－12d

，

n >2－12d .

由－24

7

可得?????

n ≤3－12d <3＋12

3

＝7，

n >2－12d >2＋12

24

7

＝5.5，

所以5.5

[题点发散3] 若将“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 5>0，a 4＋a 7<0”，如何求解？

解：∵????? a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴?????

a 5>0，a 6

<0，

∴S n 的最大值为S 5.

[点石成金] 求等差数列前n 项和的最值的方法

(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．

(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 的值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则

①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q

2

时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝

p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋1

2

时，S n 最大

.

1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n ＝( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

答案：B

解析：依题意，得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0.又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，故选B.

2．[2017·安徽望江中学模拟]设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )

A ．5

B ．6

C ．5或6

D ．11

答案：C

解析：由题意，得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，故选

C.

[方法技巧] 1.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为：(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．

2．数列{a n }为等差数列．

(1)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n

a n ＋1.

(2)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n

n －1.

3．若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a m

b m .

4．若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠0)，则a m ＋n ＝0.

[易错防范] 1.公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某

数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．

2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．若

对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n (n 为正整数)；若对称轴对应在两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n 值．

真题演练集训

1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97

答案：C

解析：由等差数列性质知，S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，

解得a 5＝3，而a 10＝8， 因此公差d ＝a 10－a 5

10－5＝1，

∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.

2．[2015·北京卷]设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0 答案：C

解析：A ，B 选项易举反例．C 中若0＜a 1＜a 2， ∴a 3＞a 2＞a 1＞0， ∵a 1＋a 3>2a 1a 3，

又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3， 即a 2>a 1a 3成立．

D 中，若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0， 故D 选项错误．故选C.

3．[2016·江苏卷]已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9

的值是________．

答案：20

解析：设等差数列{a n }公差为d ，由题意，得 ?????

a 1＋(a 1＋d )2

＝－3，5a 1

＋5×4

2d ＝10， 解得?????

a 1＝－4，

d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.

4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.

(1)求b 1，b 11，b 101；

(2)求数列{b n }的前1 000项和．

解：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n . b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.

(2)因为b n

＝?????

0，1≤n <10，

1，10≤n <100，

2，100≤n <1 000，

3，n ＝1 000，

所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝

1 893.

课外拓展阅读

巧用三点共线解等差数列问题

1．等差数列的求解

由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }，其通项公式为a n

＝dn ＋(a 1－d )，则点(n ，a n )(n ∈N *)共线，又d ＝a n －a m

n －m (n ≠m )，所以d 为过(m ，a m )，(n ，a n )两

点的直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．

[典例1] 若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝________. [思路分析

]

[解析] 解法一：设数列{a n }的公差为d ，因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d .

因为p ≠q ，所以d ＝－1.

所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q (－1)＝0.

解法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )(n ∈N *)在一条直线上． 不妨设p

q －p

＝－1，如图所示，

由图知OC ＝p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q,0)，故a p ＋q ＝0. [答案] 0

[典例2] 已知{a n }为等差数列，且a 100＝304，a 300＝904，求a 1 000. [思路分析

]

[解] 因为{a n }为等差数列，则(100,304)，(300,904)，(1 000，a 1 000)三点共线， 所以904－304300－100＝a 1 000－904

1 000－300，

解得a 1 000＝3 004.

2．等差数列前n 项和的求解

在等差数列前n 项和公式的变形S n ＝d 2n 2＋????a 1－d 2n 中，两边同除以n 得S n n ＝d

2n ＋????a 1－d 2.该式说明对任意n ∈N *，所有的点????n ，S n n 都在同一条直线上，从而对m ，n ∈N *(m ≠n )有

S n n －S m

m n －m

＝d 2(常数)，即数列????

??

S n n 是一个等差数列． [典例3] 已知在等差数列{a n }中，S n ＝33，S 2n ＝44，求这个数列的前3n 项的和S 3n . [解] 由题意知，????n ，33n ，????2n ，442n ，????3n ，S 3n

3n 三点在同一条直线上， 从而有442n －33n 2n －n ＝S 3n 3n －44

2n

3n －2n ，解得S 3n ＝33.

所以该数列的前3n 项的和为33.

课时跟踪检测(三十二) [高考基础题型得分练]

1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15

答案：B

解析：由S 5＝(a 2＋a 4)·52?25＝(3＋a 4)·5

2?a 4＝7，所以7＝3＋2d ?d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝

7＋3×2＝13.

2．[2017·湖北武汉调研]已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )

A ．－1

B ．－2

C ．－3

D ．－4

答案：C

解析：解法一：由题意，可得?

????

a 1＋(a 1＋6d )＝－8，

a 1＋d ＝2，

解得a 1＝5，d ＝－3.

解法二：a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3.

3．[2017·辽宁沈阳质量监督]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2

－S n ＝36，则n ＝( )

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

答案：D

解析：解法一：由等差数列的前n 项和公式，可得

S n ＋2－S n ＝(n ＋2)a 1＋(n ＋2)(n ＋1)2d －????

na 1＋n (n －1)2d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋4n ＋2＝36， ∴n ＝8，故选D.

解法二：由S n ＋2－S n ＝a n ＋2＋a n ＋1＝a 1＋a 2n ＋2＝36，因此a 2n ＋2＝a 1＋(2n ＋1)d ＝35，解得n ＝8，故选D.

4．[2017·湖北武汉调研]已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为

S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )

A ．7

B ．8

C ．7或8

D ．8或9

答案：C

解析：由题意可知，数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－5

7(n －1)＝

40－5n

7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或8，故选C.

5．[2017·陕西质量监测]已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )

A ．21

B ．22

C ．23

D ．24 答案：C

解析：3a n ＋1＝3a n －2?a n ＋1＝a n －23?{a n }是等差数列，则a n ＝473－2

3n .∵a k ＋1·a k <0，

∴????473－23k ????

453－23k <0， ∴

452

2

，∴k ＝23. 6．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5 D ．20

答案：D

解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式， ∴a n ＝4n ＋1，∴a p －a q ＝4(p －q )＝20.

7．现给出以下几个数列：①2,4,6,8，…，2(n －1)，2n ；②1，1,2,3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中等差数列的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案：B

解析：①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2，得数列2,4,6,8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；

②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1,1,2,3，…，n 不是等差数列； ③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；

④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列．

故等差数列的个数为2.

8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )

A ．6

B ．7

C ．12

D ．13

答案：C

解析：∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.

9．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *

，n ≥2)，则a 7＝________.

答案：19

解析：由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，可得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，

首项a 21＝1，所以a 2

n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，

∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.

10．[2017·北京海淀区模拟]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________.

答案：5

解析：∵a 3＋a 9＝a 10－a 8，

∴a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )， 解得a 1＝－4d ，

∴a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d . 令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5.

11．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18

＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．

答案：60

解析：由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知，d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.

12．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －3

4n －3，

则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4

＝________. 答案：1941

解析：∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6

＝a 9＋a 32b 6＝a 6

b 6.

∵

S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝19

41

. [冲刺名校能力提升练]

1．[2017·河北保定一模]设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10

a 2n

的最大值是( )

A ．310

B ．212

C ．180

D ．121

答案：D

解析：设数列{a n }的公差为d ， 依题意，得2S 2＝S 1＋S 3， 因为a 1＝1，

所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，

所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)

2×2＝n 2，

所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝? ??

??n ＋102n －12

＝?????

???

12

(2n －1)＋2122n －12 ＝1

4???

?1＋212n －12≤121. 2．[2017·山东青岛二模]设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n

为常数，则称数列{a n }为“吉祥

数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )

A ．b n ＝n －1

B ．b n ＝2n －1

C ．b n ＝n ＋1

D ．b n ＝2n ＋1

答案：B

解析：设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n

S 2n

＝k ，

因为b 1＝1，则n ＋1

2n (n －1)d ＝k ????2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，

所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝1

4

.

所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.

3．[2017·浙江杭州质量检测]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *

)．若a 8

a 7

＜－1，则( ) A ．S n 的最大值是S 8 B ．S n 的最小值是S 8 C ．S n 的最大值是S 7 D ．S n 的最小值是S 7

答案：D

解析：由条件，得S n n ＜S n ＋1

n ＋1，

即n (a 1＋a n )2n ＜(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2(n ＋1)

，

所以a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }为递增数列．

又a 8

a 7

＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，即数列{a n }前7项均小于0，第8项大于零，所以S n 的最小值为S 7，故选D.

4．[2017·浙江温州模拟]在等差数列{a n }中，a 9＝1

2a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于

________．

答案：132

解析：S 11＝11(a 1＋a 11)

2＝11a 6，设公差为d ，

由a 9＝12a 12＋6，得a 6＋3d ＝1

2(a 6＋6d )＋6，

解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.

5．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝1

2

a n －30，设数列{

b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．

解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， ∴数列{a n }为等差数列．

设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72，得?????

a 1＋2d ＝10，

6a 1

＋15d ＝72，解得

?

????

a 1＝2，

d ＝4. ∴a n ＝4n －2，则b n ＝1

2

a n －30＝2n －31.

令????? b n ≤0，b n ＋1≥0，即?????

2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，

解得292≤n ≤312，

∵n ∈N *，∴n ＝15，

即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小． ∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15×(－29＋2×15－31)

2＝－225，

∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.

6．[2017·江西南昌调研]设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2

n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，

a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0.

(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n . (1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3， 4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得

4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，

即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.

当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．

(2)解：由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1， 又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列， 所以a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1， 而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，

所以a n ＝?

????

3(－1)n －

1

，1≤n ≤4，

2n －7，n ≥5，

所以S n ＝?????

32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，

n 2－6n ＋8，n ≥5.