4-2 换元积分法

换元积分法第一类换元法

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式, 那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积

换元积分法(第二类换元法)

§4.2 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： §4.2 换元积分法（第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的形式, 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如? -dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ?化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分 [()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?, 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析要证明 1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+? ，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? ， ?dt dx =

换元积分法(第一类换元法)

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积

换元积分法(第一类换元法)

§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”， dx x x d )()(?'=? . 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+?.若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++.

换元积分法

§ 换元积分法 Ⅰ 授课题目 § 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式那么 ()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ???='=??? ()()[()]u x F u C F x C ??==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积

3.3第一类换元积分法

§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。重点：第一类类换元积分法及其应用难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。本节将介绍第一类换元法。二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。下面先介绍第一类换元积分法。定理设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ??? 证明设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，?du u f )(=C u F +)(. 又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ?=,所以有 ???+==='?C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([?????? 又) (])([x u du u f ?=?)(])([x u C u F ?=+=C x F +=)]([? 从而推得??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ? ?? 证毕推论若 ?dx x f )(=C x F +)(成立，则?du u f )(=C u F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。该方法的关键在于从被积函数 )()]([x x f ??'中成功地分出一个因子)(x ?'与 dx 凑成微分)(x d ?，而剩下部分正好表成)(x ?的函数，然后令u x =)(?，就将所要求的不定积分变为基本积分表中已有的形式。通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。三、第一类换元积分法的一般步骤: 若某积分?dx x g )(可化为 ?'?dx x x f )()]([??的形式,且 ?du u f )(比较容易积分,那么可按下列的方法和步骤来计算所给积分 ⑴凑微分设法将积分 ?dx x g )(变形为?'?dx x x f )()]([??的形式，从而可得：

换元积分法与分部积分法

换元积分法与分部积分法文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

换元积分法与分部积分法（4时）【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法．定理8．4(换元积分法) 设g(u )在[]βα,上有定义，)(x u ?=在[]b a ,上可导，且[]b a x x ,,)(∈≤≤β?α，并记 (i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数 C x G x F x F +=))(()(),(?，即 (ii) 又若[],,,0)(b a x x ∈≠'?则上述命题(i)可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数F(x )时，g(u )在[βα,]上也存在原函数G(u )，且G(u )=C u F +-))((1?，即 ???='=dx x f dx x x g du u g )()())(()(??．证（i ）用复合函数求导法进行验证：所以)(x f 以))((x G ?为其原函数，(1)式成立． ( ii ) 在0)(≠'x ?的条件下，)(x u ?=存在反函数)(1u x -=?，且于是又能验证（2）式成立： )())((u g x g ==?．口上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式)．

§4.2换元积分法(第二类换元法)

§ 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： § 换元积分法（第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的形式那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如? -dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分 ()f x dx ?化为有理式[()] ()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?, 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1

换元积分法与分部积分法

8.2 换元积分法与分部积分法（4时）【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法．定理8．4(换元积分法) 设g(u )在[]βα,上有定义，)(x u ?=在[]b a ,上可导，且 []b a x x ,,)(∈≤≤β?α，并记 [].,),())(()(b a x x x g x f ∈'=?? (i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数 C x G x F x F +=))(()(),(?，即 ???='=du u g dx x x g dx x f )()())(()(?? .))(()(C x G C u G +=+? (ii) 又若[],,,0)(b a x x ∈≠'?则上述命题(i)可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数F(x )时，g(u )在[βα,]上也存在原函数G(u )，且G(u )=C u F +-))((1 ?，即 ???='=dx x f dx x x g du u g )()())(()(??． .))(()(1 C u F C x F +=+=-? 证（i ）用复合函数求导法进行验证： )())(())((x x G x G dx d ???''= ).()())((x f x x g ='?? 所以)(x f 以))((x G ?为其原函数，(1)式成立． ( ii ) 在0)(≠'x ?的条件下，)(x u ?=存在反函数)(1 u x -=?，且 .) (1) (1u x x du dx -='= ?? 于是又能验证（2）式成立： ) (1)()(1)())((1x x f x x F u F du d ???'?='?'=-

§4.2 换元积分法(第二类换元法)

§4.2 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： §4.2 换元积分法（第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ?时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的形式, 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如 [()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如?-dx x a 22. 对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ?化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则

[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+? ,然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+?，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? ， ?dt dx = 证明 )(t x ψ= 单调、可导，∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且 ) (11t dt dx dx dt ψ'== 11[()][()]()()() d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=?==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数?+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1. 第二换元法，常用于如下基本类型类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定 (,)22 t ππ ∈- ）则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分. 例1 求 ?-dx x a 22 )0(>a 解令t a x sin = ，(,)22 t ππ ∈-，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos = cos cos a ta tdt ∴=?22 2 11(cos 2)sin 22224 a a a t dt t t C =+=++? 222 sin cos arcsin 222a a a x t t t C C a =++=+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.

第一类换元积分法

§3.3第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。重点：第一类类换元积分法及其应用难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。本节将介绍第一类换元法。二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。下面先介绍第一类换元积分法。定理设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ??? 证明设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，?du u f )(=C u F +)(. 又因为是关于的可导函数)(x u ?=,所以有 ???+==='?C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([?????? 又) (])([x u du u f ?=?)(])([x u C u F ?=+=C x F +=)]([? 从而推得??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ? ??证毕推论若?dx x f )(=C x F +)(成立，则?du u f )(=C u F +)(.也成立，其中为的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量换为的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。该方法的关键在于从被积函数 )()]([x x f ??'中成功地分出一个因子)(x ?'与凑成微分)(x d ?，而剩下部分正好表成)(x ?的函数，然后令u x =)(?，就将所要求的不定积分变为基本积分表中已有的形式。通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。三、第一类换元积分法的一般步骤: 若某积分?dx x g )(可化为 ?'?dx x x f )()]([??的形式,且?du u f )(比较容易积分,那么可按下列的方法和步骤来计算所给积分 ⑴凑微分设法将积分 ?dx x g )(变形为?'?dx x x f )()]([??的形式，从而可得： )()]([)()]([)(x d x f x x f dx x g ???????='= ⑵作变量代换作变量代换)(x u ?=，则)()(x d dx x du ??='=，从而将积分变为 du u f x x f dx x g ???='=)][)()]([)(??

第二换元积分法(代入法)

173 换元积分法用的是积分规则 []=-'??========????()] 1 ()d ()()d ()()x u t f x x f u t u t t G t G u x [代入其中函数()x u t =有反函数1()t u x -=.它与凑微分积分法用的是同一个积分规则，只是“积分的方向”不同(因此，有人把凑微分积分法称为第一换元积分法 ,而把这里的积分法称为第二换元积分法)。换元积分法在求某些带有根式的无理函数的原函数时特别有效。例如 (Ⅰ) 变成有理函数的积分) 若被积函数中含有根式 )0(≠a ，就令 n b ax t += [实际上是代入函数)(1b t a x n -= ，0≥t ] 则t a nt x n d d 1 -= . 例13 x ? [t t x t t x x t d 2d ),0(,2 =≥==](1)12 d 2 d 11t t t t t t +-==++?? 121d 1t t ? ?=- ?+?? ? []2ln(1 )t t =- +[2ln(1t ?+ ? ( 换回到原来的自变量) 例14 2[2 (2)2d (2)t t t x t t t t --+?42 2 22 d 2 t t t t t -=+-?，其中被积函数是有理函数假分式，要用多项式除法(见注1)或拼凑法(见注2)，把它变成一个多项式与一个真分式的和，即 4 2 222 t t t t -=+-2 2 32(1)2 t t t t t --+- + - 因此， 22 32 (1)d d 2 t x t t t t t t -= -+- +-?? ?3 2 27 (21)33d 3 2 2 2 t t t t t t t +- = - +- +-? [分子上的(21)t +是分母的导数] 3 2 2 2 3 d(2)7 1 d 3222 2(1)(2)t t t t t t t t t t +-=- +- ++--+? ? 3 2 2371 1ln 2d 3 2 2 6 12 t t t t t t t t ??= - +- +-+ - ?-+?? ?

第一换元积分法

课题:换元积分法（一）指导思想: 第一换元积分法是积分学中的重要方法之一,占有相当重要的地位.第一换元积分法是计算积分的基础,第一换元积分法掌握的熟练程度不仅影响着定积分的计算和应用,而且还影响到今后将要学习的多元函数的积分的计算,以及微分方程的求解。因此，必须重视。在教学的过程中,考虑到学生的实际情况,结合第一换元积分法的基础性和灵活性,通过比较,分析,作出了一些归纳。然后通过大量的练习，积累经验，熟悉技巧，熟练掌握第一换元积分法。教学目标：（一）知识目标：熟练掌握第一换元积分法（二）能力目标： 1.通过第一换元积分法的学习,能够做到举一反三; 2.培养学生分析问题,解决问题的能力; 3.提高学生自主学习的能力。（三）情感目标：通过这节课的学习让学生增强自信心,面对数学学习时不再害怕,提高学习数学的兴趣教学重点:第一换元积分法教学难点:凑微分教学课时:2课时

教学过程: 一.复习引入引例:计算下列不定积分: 1.223 24(21)(441)23 x dx x x dx x x x c +=++= +++?? 2.10(21)x dx +? =? 二.新课讲解第一换元积分法: 凑微分 1 ()dx d ax b a =+ x x e dx de = 111x dx dx ααα+= + 1 ln dx d x x = sin cos xdx xdx =- cos sin xdx d x = 三.例题与练习例1.计算 10(21)x dx +? 解:原积分= 10 1011211(2111(21)22)22 x t x x d t dt t c +=+=++??令 = 111 (21)22 x c ++ 练习1：1）cos3xdx ? 2）x e dx -? 3） 21 14dx x +? 例2.计算2 1x dx x +? 解:原积分= 122 2()111d x x ++?(令21x t +=) =112dt t ?=1ln 2t c +=21 ln(1)2x c ++

换元积分法word版

第二节换元积分法求解不定积分，能应用直接积分法的函数不多，因此，有必要进一步研究不定积分的求解方法。 1、换元积分法的基本思想应用换元积分法进行积分是常见的积分方法。其实，换元积分法就是复合函数微分法的逆运算。回顾复合函数的微分手法，是将复合函数[()]f x ?的复合变量替换为简单变量()x u ?=，然后应用简单函数的微分方法得()'()df u f u du =，应用替换法，同样可以将复合函数的积分转化为简单函数的积分： [()]() () ()f x d x x u f u du ???=?? 于是，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。换元积分法通常分两类：第一类换元法和第二类换元法。第一类换元法是将复杂变量替换为简单变量：()x u ?=，从而将复合函数的积分转化为简单函数的积分；第二类换元法是将简单变量替换为复杂变量：()x u ?=，从而将复杂的被积函数转化为可积分的函数。下面分别进行分析。一、第一类换元法(P210) 1、第一类换元法的积分思路第一类换元法并非一种独立存在的积分方法，它建立在直接积分法的基础上，依赖直接积分法去最终完成积分。或者说，它以换元法为主要手段，以直接积分法为解决积分的最终方法。换言之，第一类换元法的积分思路，就是将含复合函数的积分转换为简

单函数的积分，从而应用直接积分法解决问题。

2、第一类换元法的基本公式定理1 设()f u 具有原函数，()u x ?=可导，则有换元公式 [()]() () ()f x d x x u f u du ???=?? 或为 [()]'() () ()f x x dx x u f u du ???=?? 公式的要点： ①可以应用第一换元积分法的积分式必须具有结构： [()]()f x d x ??? 或 [()]'()f x x dx ??? ②换元时必须对两个位置的复合变量进行一致替换：一个是复合函数[()]f x ?的第一中间变量()x ?，一个是微分函数()d x ?中的待微分函数()x ?。 ③换元后得到的积分式()f u du ?必须是简单函数的积分，如果仍含有复合函数，那么换元失败或复合变量认定错误。 3、第一类换元积分法的步骤分解第一类换元法的基本公式在具体运用时，有许多技巧性手法，一下子不容易掌握，但万变不离其宗，根本的是掌握好基本公式的上述三个要点。为准确理解和掌握第一类换元法的基本公式，下面进行分解说明。第一类换元法的积分过程分为五个步骤：特征判断，凑微分，变量代换，直接积分，变量回代。下面分别对五个步骤进行详细的分解分析。第一步骤：特征判断——检查被积函数是否适合应用第一换元法

§42 换元积分法第二类换元法

§4.２换元积分法（第二类） Ⅰ?授课题目（章节）: ?§４.2 换元积分法 (第二类换元积分法） Ⅱ?教学目的与要求： 1．了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ?教学重点与难点: 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容: 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时, 如果函数g （x )可以化为[()]()f x x ??'的形式, 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力,例如? -dx x a 22．对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分 ()f x dx ?化为有理式[()] ()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?，然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ,则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析要证明 1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+? ，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? , ?dt dx =

4-2 换元积分法

换元积分法第一类换元法

换元积分法(第二类换元法)

换元积分法(第一类换元法)

最新33第一类换元积分法汇总

换元积分法(第一类换元法)

换元积分法

3.3第一类换元积分法

换元积分法与分部积分法

§4.2换元积分法(第二类换元法)

换元积分法与分部积分法

§4.2 换元积分法(第二类换元法)

第一类换元积分法

第二换元积分法(代入法)

最新定积分的换元积分法与分部积分法

最新42换元积分法和分部积分法汇总

第一换元积分法

换元积分法word版

§42 换元积分法第二类换元法