广东省2016年全国卷适应性考试理科数学含答案(完整版)

广东省2016年全国卷适应性考试

理科数学

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合2{430}A x x x =++≥，{21}x

B x =<，则A B = （ ）

A ．[3,1]--

B ．(,3)[1,0)-∞--

C ．(,3)(1,0]-∞--

D ．(,0)-∞

2．若(2)z a ai =-+为纯虚数，其中∈a R ，则

=++ai

i a 17

（ ） A ．i B ．1 C ．i - D ．1-

3．设n S 为数列{}n a 的前n 项的和，且*

3(1)()2

n n S a n =-∈N ，则n a =（ ）

A ．3(32)n n -

B ．32n

n

+ C ．3n

D ．1

32

n -?

4． 执行如图的程序框图，如果输入的100N =，则输出的x =（ ） A ．0.95 B ．0.98 C ．0.99 D ．1.00 5．三角函数()sin(

2)cos 26

f x x x π

=-+的振幅和最小正周期分别是（ ）

A ．3,

2

π

B ．3,π

C ．2,

2

π

D ．2,π

6．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．6 C ．4 D ．2

7．设p 、q 是两个命题，若()p q ?∨是真命题，那么（ ） A ．p 是真命题且q 是假命题 B ．p 是真命题且q 是真命题 C ．p 是假命题且q 是真命题 D ．p 是假命题且q 是假命题

8．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ） A ．

71 B ．73 C ．74 D ．7

6

9．已知平面向量a 、b 满足||||1==a b ，(2)⊥-a a b ，则||+=a b （ ）

A ．0

B ．2

C ．2

D ．3

n=n+1

x=x+

1

n (n+1)

x

输出结束

n

n=1,x=0

是

否开始

输入N

1

1

2

2

2

1

10．6

2

)21(x x -

的展开式中，常数项等于（ ） A ．45- B ．45 C ．1615- D ．16

15

11．已知双曲线的顶点为椭圆12

2

2

=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）

A ．122=-y x

B ．122=-x y

C ．222=-y x

D ．222=-x y 12．如果定义在R 上的函数)(x f 满足：对于任意21x x ≠，都有)()(2211x f x x f x +

)()(1221x f x x f x +>，则称)(x f 为“H 函数”．给出下列函数：①13++-=x x y ；②)c o s s i n (23x x x y --=；③1+=x e y ；④()ln ||0

0x x f x x ≠?=?

=?，其中“H 函数”的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知实数x ，y 满足约束条件??

?

??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，若目标函数ay x z +=2仅在点)4,3(取得最小值，则a 的取值

范围是 ．

14．已知双曲线116322

2=-p

y x 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，则=p ．

15．已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的∈n N *

，均有n a ，n S ，2

n a 成等差数列，则

=n a ．

16．已知函数)(x f 的定义域为R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则

=+)10()4(f f ．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知顶点在单位圆上的ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且

C b B c A a cos cos cos 2+=．

（1）A cos 的值；

（2）若42

2

=+c b ，求ABC ?的面积．

某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表： 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元）

3

3.5

4

5

5.5

6.5

7

7.5

8

50

（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；

（3）已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、

4.2万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？

附：线性回归方程a x b y

???+=中系数计算公式：2

1

)

()

)((?x x y y x x

b i n

i i i

---=∑=，x b y a

??-=， 其中x 、y 表示样本均值．

如图，在直二面角C AB E --中，四边形ABEF 是矩形，2=AB ，32=AF ，ABC ?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，3=PF ．

（1）证明：⊥FB 面PAC ；

（2）求异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值．

P

C

A

B

E

F

已知抛物线C ：x y 42=，过其焦点F 作两条相互垂直且不平行于x 轴的直线，分别交抛物线C 于点1P ，2P 和点3P ，4P ，线段21P P ，43P P 的中点分别记为1M ，2M ．

（1）求21M FM ?面积的最小值； （2）求线段21M M 的中点P 满足的方程．

设函数mx x x x f -+=

ln 2

1)(2

（0>m ）． （1）求)(x f 的单调区间； （2）求)(x f 的零点个数；

（3）证明：曲线)(x f y =上没有经过原点的切线．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，BC 是半圆O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ， AB AF =，BF 与AD 、AO 分别交于点E 、G ． （1）证明：DAO FBC ∠=∠； （2）证明：AE BE =．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P -的直线l 的倾斜角为45

．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2

sin 2cos ρθθ=,直线l 和曲线C 的交点为点,A B ．

（1）求直线l 的参数方程； （2）求PA PB ?的值．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5f x x a x =-+．

（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．

E

F

G C

O

A

D

B

2016年适应性测试理科数学答案

一．选择题

（1）B （2）C （3）C （4）C （5）B （6）D （7）D （8）A （9）D （10）D （11）D （12）C

二．填空题

（13）2∞（-，-） （14）4

（15）n

（16）2

三．解答题 （17）解：

（Ⅰ） 2cos cos cos a A c B b C =+，由正弦定理得：

2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ?=+2sin cos sin()sin A A B C A ??=+=，

又 0A π<

A A ∴=?=

. （Ⅱ）由13

cos sin 22

A A =

?=

，由22sin 3sin a a A A =?==. 由余弦定理 2

2

2

2cos a b c bc A =+-2

2

2

431bc b c a ?=+-=-=.

∴1133sin 2224

==?

=ABC S bc A △. （18）解：

（Ⅰ）平均值为10万元，中位数为6万元.

（Ⅱ）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；ξ取值为0，1，2.

152)0(2102

4===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，3

1

)2(2

1026===C C P ξ， 所以ξ的分布列为

ξ

0 1 2

P

152 158

3

1 数学期望为5

631215811520=?+?+?=ξE .

………6分

………12分

………4分

………8分

（Ⅲ）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，

5

=2.25+0.25+0.25+2.25x 4

12

=-∑

）（x i

4

1

()() 1.520.50.80.50.6 1.5 2.27=--=-?

+?+?+?=∑i

i

i x x y y （-）（-）（-）

()()

()

4

1

4

2

1

7 1.4

5

i

i

i i

i x x y y b x x ∧

==--=

==-∑∑

??5 1.4 2.5 1.5a y bx =-=-?=

由线性回归方程： 1.4 1.5y x =+. 可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元. （19）解：（Ⅰ）4FB =,3

cos cos 2

PFA BFA ∠=∠=

，

222cos 91223233/23,

PA PF FA PF FA PFA =+-??∠=+-???=

2223912PA PF AF +=+==Q ，

PA BF ∴⊥；

又因为ABEF ABC ⊥平面平面，AB AC ⊥， AC ABEF ∴⊥平面，而BF ABEF ?平面.

.AC BF ∴⊥PA AC A =又I .

BF PAC ∴⊥平面.

（Ⅱ）过P 作//,//PM AB PN AF ，分别交,BE BA 于,M N 点，MPC ∠的补角为PC 与AB 所成的角.连接

MC ，NC .

222

2

223/2,3/2,5/2,2 2.7,35/2.

PN MB AN NC AN AC BC PC PN NC MC MB BC ====+===+==+=

135733744cos .11427272

MPC +-

-∠===-?? 所以异面直线PC 与AB 所成的角的余弦值为37

14

.

………6分

………12分

………12分

向量法：

（Ⅰ）以A 为原点，向量AB ，AC ，AF

的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，

则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,23)F .

224BF AB AF =+=，3PF =， 33

(,0,)22P ∴，(2,0,23)FB =- ，

(0,2,0)AC = ，33(,0,)22

AP = .

0FB AC ?= ，FB AC ∴⊥

. 0FB AP ?= ，FB AP ∴⊥ .

FB AC ⊥ ，FB AP ⊥，AC AP A = ，

FB APC ∴⊥平面.

（Ⅱ）(2,0,0)AB = ，33

(,2,)22

PC =-- ，记AB 与PC 夹角为θ，则

337

cos =1427

AB PC AB PC θ?-== .

………6分

………12分

（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F ，设直线12PP 的方程为(1)y k x =-，0k ≠.

联立2

(1)4y k x y x

=-??

=?，

消去y 并整理得22222(2)0k x k x k -++=. (*)

(*)关于x 的一元二次方程的判别式22222[2(2)]416(1)0k k k k ?=-+-=+>. 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12,x x 是方程(*)的两个不等实根，

经计算得2122

2(2)k x x k

++=． 设111(,)M M M x y ，则11

12122222(1)M M M x x k x k y k x k ?++==????=-=??． 类似地，设222(,)M M M x y ，则2

2

222

12211

221M M k x k k y k k ?

+?==+??

??==-??-?

． 所以2222

122

222||(1)()1k FM k k k k

+=-+=+， 22222||(2)(2)2||1FM k k k k =+-=+， 因此121211||||2(||)2||FM M S FM FM k k ?=

?=+．因为1||2||

k k +≥，所以124FM M S ?≥， 当且仅当

1

||||

k k =，即1k =±时，12FM M S ?取到最小值4． （Ⅱ）设线段12M M 的中点(,)P x y ，由（1）得

1212

2222

1121()(22)1221121()(2)22M M M M x x x k k k k y y y k k k k ?=+=++=++????=+=-=-+

??

，

消去k 后得2

3y x =-．

∴线段12M M 的中点P 满足的方程为2

3y x =-． ………8分

………12分

（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，211

()x mx f x x m x x

-+'=+-=.

令()0f x '=，得210x mx -+=.

（1）当240m ?=-≤，即02m <≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增. （2）当240m ?=->，即2m >时，由210x mx -+=解得

2142m m x --=

，224

2m m x +-=，且120x x <<， 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内,()0f x '>，在12(,)x x 内，()0f x '<，

所以，()f x 在区间1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 最多只有一个零点.

又因为1

()(2)ln 2

f x x x m x =

-+，所以，当02x m <<且1x <时，()0f x <；当2x m >且1x >时，()0f x >，故()f x 有且仅有一个零点.

当2m >时，因为()f x 在1(0,)x 及2(,)x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减，且

22

2

21144

(4)

()()l n

222

2

m m m m m m

m f x ---

---=+-

222424

ln

42m m m m m -+----=+ 而2222422

044

m m m m m -+---+-<<，

22444

01242(4)

m m m m --<=<=+-（2m > ），

1()0f x ∴<，由此知21()()0f x f x <<， 又因为当2x m >且1x >时，()0f x >， 故()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点. 综上所述，当0m >时，()f x 有且仅有一个零点.

…4分

………8分

（Ⅲ）假设曲线()y f x =在点(,())x f x （0x >）处的切线经过原点，

则有

()()f x f x x '=，即2

1ln 2x x mx x

+-1x m x =+-， 化简得：21

ln 102

x x -+=（0x >）.（*）

记21()ln 12g x x x =-+（0x >），则211

()x g x x x x

-'=-=，

令()0g x '=，解得1x =.

当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以3(1)2g =

是()g x 的最小值，即当0x >时，213

ln 122

x x -+≥. 由此说明方程（*）无解，所以曲线()y f x =没有经过原点的切线. （22）解：

（Ⅰ）连接FC ，OF ， ,AB AF = OB OF =，

∴点G 是BF 的中点，OG BF ⊥.

因为BC 是O 的直径，所以CF BF ⊥.

//OG CF ∴.

AOB FCB ∴∠=∠，

90,90DAO AOB FBC FCB ∴∠=?-∠∠=?-∠， .DAO FBC ∴∠=∠

（Ⅱ）在Rt OAD △与Rt OBG △中，由（Ⅰ）知DAO GBO ∠=∠，

又OA OB =，所以，OAD ?△OBG △，于是OD OG =.

AG OA OG OB OD BD ∴=-=-=.

在Rt AGE △与Rt BDE △中，由于DAO FBC ∠=∠，AG BD =， 所以，AGE △?BDE △，因此，AE BE =.

…12分

………6分

………10分

（23）解：

（Ⅰ）由条件知，直线l 的倾斜角45α=?，2cos sin 2

αα==

. 设点(,)M x y 是直线l 上的任意一点，点P 到点M 的有向距离为t ，则

212

.222

x t y t ?=+???

?=-+?? （Ⅱ）曲线C 的直角坐标方程为22y x =,由此得222

(2)2(1)22

t t -+

=+, 即 2

6240t t -+=.

设12,t t 为此方程的两个根，因为l 和C 的交点为,A B ，所以12,t t 分别是点,A B 所对应的参数，由韦达定理得 P A P B ?=124t t =. （24）解：

（Ⅰ）()|1|553f x x x x =+++≤可得|1|3x +≤，解得42x -≤≤.

（Ⅱ）6,()4,x a x a

f x x a x a -?=?+

≥在R 上是单调递增的. 若()f x 适合题设条件，则()f x 的零点x 必须满足1x -≤.

于是 （1）由1

60

a x x a -??

-=?≤≤，得6a -≤；

（2）由140x a x x a

-??+=?

≤，得4a ≥.

从而(][),64,∈-∞-+∞a .

反之，(][),64,?∈-∞-+∞a ，易计算此时()5f x x a x =-+满足题设条件. 故满足题设条件的a 的取值范围是(][),64,-∞-+∞

………5分

………10分

………4分 ………10分