二次函数综合压轴题题型

函数的综合压轴题型归类

一、常考点汇总

1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=

2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??

?

??++22

B

A B A y y x x ，

直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：

（1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k

3、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；

当0≠m 时，()032

≥-=?m ，()m

m x 213?

±-=

，m x 321-=、12=x ；

综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

4、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线22

-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122

；

∴ ???=-=+-01 02 2x x y ，解得：???=-=1

1 x y ；

∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122

不论m 为何值，方程恒成立）

小结．．

：关于x 的方程b ax =有无数解??

??==0 0

b a 5、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、

N ，使得MN AM +之和最小。

6、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 7、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2）与一次函数（h kx y ＋＝）

（1）解方程组???h

kx y c

bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。

（2）解方程组???h

kx y c

bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点

的个数

有两个交点 ? 0＞?； 仅有一个交点 ? 0=?； 没有交点 ? 0＜? 8、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式 9、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

几何要求

几何分析

涉及公式

应用图形 跟平行有关的图形 平移

2121k k l l ＝∥?

平行四边形 矩形 梯形 跟直角有关的图形 勾股定理逆定理 利用全等、平行、对顶角、互余、互补等 ()()22B A B A x x y y AB -+-=

直角三角形 直角梯形 矩形 跟线段有关的图形 利用几何中的全等、中垂线的性质等。 ()()22B A B A x x y y AB -+-=

等腰三角形 全等 等腰梯形 跟角有关的图形

利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等

【例题精讲】

一 基础构图：

y=322

--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）

★和最小，差最大

（1）在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标

（2）在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标

★求面积最大 连接

AC,在函数函数第四象限的部分找一点P ，使得

ACP ?面积最大，求出P 坐标

★ 讨论直角三角 连接

AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ?为直角三角

形，

求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．

★ 讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ?为等腰三角形，

求出P 坐标

★ 讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，

A ，F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标

二 综合题型

例1 (中考变式）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D 。交Y 轴于C

(1)求该抛物线的解析式与△ABC 的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ，使△MBC 是以∠BCM 为直角的直角三角形，若存在，求出点P 的坐标。若没有，请说明理由

(3)若E 为抛物线B 、C 两点间图象上的一个动点(不与A 、B 重合)，过E 作EF 与X 轴垂直，交BC 于F ，设E 点横坐标为x.EF 的长度为L ，

求L 关于X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？

当E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？

(4)在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。当E 点运动到什么位置时,以点E 、F 、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？

(5)在（5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？

例2 考点： 关于面积最值

如图，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别为(－1，0)、(0，3－)，点B 在x 轴上．已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点，且它的对称轴为直线x ＝1，点P 为直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与B 、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F ． （1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示线段PF 的长； （3）求△PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标．

y

x

B A

F

P x ＝1

C O

例3 考点：讨论等腰

如图，已知抛物线y ＝2

1x 2

＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），

点C 的坐标为（0，－1）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；

（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，

说明理由．

例4考点：讨论直角三角 已知：如图一次函数y ＝21x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y ＝2

1x 2

＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝

2

1

x ＋1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC 的面积S ；

（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．

D

B

C

O A

y

x

E

B C

O A

备用图

y x

O A B y

C

x

D E

2

例5 考点：讨论四边形

已知：如图所示，关于x 的抛物线y ＝ax 2

＋x ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A （－2，0），点B （6，0），与y 轴交于点C ．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；

（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是

否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

综合练习：

1、平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

44y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴

交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB ＝OC ，抛物线的顶点为D 。 (1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB ＝∠ACB ，求点P 的坐标；

(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐 标和此时△QAA '的面积。

2、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点()3 0，C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为()0 3，-。 （1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；

（2） 点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1 ：2的

两部分，求出此时点M 的坐标；

（3） 点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积

是多少？并求出此时点P 的坐标。

B A y O C

x

3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x m

y 222

-=与x 轴负半轴交于点A ，顶点为B ，且对称轴与x 轴交于点C 。

（1）求点B 的坐标（用含m 的代数式表示）；

（2）D 为OB 中点，直线AD 交y 轴于E ，若E （0，2

），求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M 在直线OB 上，且使得AMC ?的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线BC 上，若以Q P M A 、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。

4、已知关于x 的方程2

(1)(4)30m x m x -+-+=。 （1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；

（2） 若正整数m 满足822m ->，设二次函数2

(1)(4)3y m x

m x =-+-+的图象与x 轴交于

A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个

新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。

5如图，抛物线y=ax 2

+2ax+c （a≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A （﹣4，0）和B ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作QE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当△CEQ 的面积最大时，求点Q 的坐标； （3）平行于x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P ，与直线AC 交于点F ，点D 的坐标为（﹣2，0）

．问是否有直线l ，使△ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

中考二次函数定值问题

1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B 左边），与y轴交于点C．

（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．

①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．

2. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的

直线

1

l、2l．

(1)求抛物线对应二次函数的解析式；

(2)求证以ON为直径的圆与直线

1

l相切；

(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线

2

l的距离之和等于线段MN的长．

3. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y=kx 与抛物线2422

y=x +x 273

交于点A （3，6）

． （1）求直线y=kx 的解析式和线段OA 的长度；

（2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？

4．（2011?株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y =ax 2(a ＜0)

的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA =OB =22（如图1），求a 的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF ⊥x 轴于点F ，测得OF =1，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

F E

y

x

B

A

O