二阶和四阶椭圆型偏微分方程的镜像基本解方法及应用

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，

五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程教学文稿

用差分法解椭圆型偏微分方程 -（Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0kmax) break; end if(max(max(t))

偏微分方程数值解法

一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即：

微分方程几种求解方法

第五章 控制系统仿真 §5.2 微分方程求解方法 以一个自由振动系统实例为例进行讨论。 如下图1所示弹簧-阻尼系统，参数如下： M=5 kg, b=1 N.s/m, k=2 N/m, F=1N F 图1 弹簧-阻尼系统 假设初始条件为：00=t 时，将m 拉向右方，忽略小车的摩擦阻力，m x 0)0(= s m x /0)0(=? 求系统的响应。 )用常微分方程的数值求解函数求解包括ode45、 ode23、ode113、ode15s 、ode23s 等。 wffc1.m myfun1.m 一、常微分方程的数值求解函数ode45求解 解：系统方程为 F kx x b x m =++??? 这是一个单变量二阶常微分方程。

将上式写成一个一阶方程组的形式，这是函数ode45调用规定的格式。 令： x x =)1( （位移） )1()2(? ?==x x x （速度） 上式可表示成： ??????--=??????=??? ???????)1(*4.0)2(*2.02.0)2()2()2()1(x x x x x x x && 下面就可以进行程序的编制。 %写出函数文件myfun1.m function xdot=myfun1(t,x) xdot=[x(2);0.2-0.2*x(2)-0.4*x(1)]; % 主程序wffc1.m t=[0 30]; x0=[0;0]; [tt,yy]=ode45(@myfun1,t,x0); plot(tt,yy(:,1),':b',tt,yy(:,2),'-r') hold on plot(tt,0.2-0.2*yy(:,2)-0.4*yy(:,1),'-k') legend('位移','速度',’加速度’)

用五点有限差分格式求解椭圆型方程(偏微分方程) 程序2

用五点有限差分格式求解椭圆型方程（偏微分方程）程序2 2010-04-29 10:33 function varargout=liu(varargin) a=0;b=2;c=0;d=1;h1=1/16;h2=1/16; f=inline('(pi^2-1)*exp(x)*sin(pi*y)','x','y'); g1x=inline('0'); g2x=inline('0'); g1y=inline('sin(pi*y)'); g2y=inline('exp(2)*sin(pi*y)'); [X,Y,Z]=chfenmethed(f,g1x,g2x,g1y,g2y,a,b,c,d,h1,h2); mesh(X,Y,Z); shading flat; xlabel('X','FontSize',14); ylabel('Y','FontSize',14); zlabel('error','FontSize',14); title('误差图'); function [X,T,Z]=chfenmethed(f,g1x,g2x,g1y,g2y,a,b,c,d,h1,h2) %求解下问题 %-(u_xx+u_yy)=f(x,y) x,y 在区域内x in a

%h2离散y方向的步长 N=10000; x=a:h1:b; y=c:h2:d; m=length(x); n=length(y); ee=0.00001; [X,T]=meshgrid(x,y); Z=zeros(n,m); U=zeros(n,m); for i=2:m-1 U(1,i)=feval(g1x,x(i)); U(n,i)=feval(g2x,x(i)); end for j=1:n U(j,1)=feval(g1y,y(j)); U(j,m)=feval(g2y,y(j)); end %while true %下为高斯赛德尔迭代法 %---------------------------------------------------------------------- for k=1:N

椭圆型偏微分方程边值问题的一种数值解

椭圆型偏微分方程边值问题的一种数值解 为了解不规则区域上的椭圆型偏微分方程边值问题, 首先要对区域进行剖分，这样做使得在整个解题过程中进行了两次边值问题的求解。在学习中得到启发看到了一个方法，它将区域剖分的问题及求解的问题结合起来进行, 使整个求解过程得到简化这个方法求得的是未知函数的一组等值线,这在某些物理问题中是方便的。 （1） 其中Ω是区域；Γ 1、 Γ 2、 Γ 3、 Γ4Ω的边界。且Γ 1、 Γ3相对，Γ 2、 Γ4相对。 公式的系数分别是Ω上的连续函数。φ1φ2是单调函数但可以不连续。u 0，u n 是常数。又设d>0,c<=0,u n >u 0.特殊的，Γ1、Γ2、Γ3、Γ4中至多有两个可以退化为一点。为了求解上式，引入辅助问题 （2） 00:;m m v v v v <其中、是常数且 34??、是单调函数, 也可以不连续， 034m v v ??、、、可按解题方便来选取作变换 (3) 变换（3）区域Ω变为Ω`由椭圆型方程的性质可见(3)是可逆的。 设（3）的逆变换是 （4） 变换（3）将（1）（2）中的方程变为

（5） （6） 其中： ，易见仍有即式（3）和（6）是一个拟线性椭圆型方程组。设曲线的几何方程分别是 解下面四组联立方程 并分别记它们的解为 于是（3）将（1）（2）、中的边界条件变为 （7）现将方程（5）（6）加上边界条件（7）称为问题（1`）向题(1`), 虽然方程复杂, 但定解区域是矩形,用差分法离散, 迭代法求解是很方便的。(1`) 的解形如(4).将u 视为常数, v是参数, (4)就是u的等值线的参数方程。 参考文献 1、刘家琦。应用求解拉普拉斯方程的边值问题建立有限元网格。计算数学1988，5（1）：1~9 2、李子才。具有奇点的Laplace方程边值问题的原始能量有限元结合法。计算数学，1980，2（4）：319~328

偏微分方程求解方法及其比较

偏微分方程求解方法及其比较 发表时间：2008-12-11T09:32:01.530Z 来源：《科海故事博览科教创新》2008年第10期供稿作者：曹海洋吕淑娟王淑芬 [导读] 近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注. 摘要:近些年来，无限维动力系统得到了很大的发展.随着对它研究的深入和计算能力的迅速提高，使得与之相关的数值研究越来越被人们关注.谱方法作为一种数值求解偏微分方程的方法，它具有无穷阶收敛性.因此，谱方法也就引起人们更多的关注. 关键词：谱方法；偏微分；收敛；逼近； 1偏微分方程及其谱方法的介绍 偏微分方程主要借助于未知函数及其导数来刻画客观世界的物理量的一般变化规律。理论上，对偏微分方程解法的研究已经有很长的历史了。最初的研究工作主要集中在物理，力学，几何学等方面的具体问题，其经典代表是波动方程，热传导方程和位势方程（调和方程）。通过对这些问题的研究，形成了至今仍然使用的有效方法，例如，分离变量法，fourier变换法等。早期的偏微分方程研究主要集中在理论上，而在实际操作中其研究方法和研究结果都难以得到广泛的应用。求解的主要方法为：有限差分法，有限元法，谱方法。 谱方法起源于Ritz-Galerkin方法，它是以正交多项式（三角多项式，切比雪夫多项式，勒让得多项式等）作为基函数的Galerkin方法、Tau 方法或配置法，它们分别称为谱方法、Tau方法或拟谱方法（配点法），通称为谱方法。谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。而这些方法的基础就是建立空间基函数。 下面介绍几种正交多项式各种节点的取值方法及权重。 1) Chebyshev-Gauss: 2) Chebyshev-Gauss-Radau: x0 =1, 3) Chebyshev-Gauss-Lobatto: x0 =1, xN =1, 4)Legendre-Gauss: xj 是的零点且 5） Legendre-Gauss-Radau: xj 是的N+1个零点且 6） Legendre-Gauss-Lobatto: x0=-1,xN=1其它N-1个点是的零点且 下面介绍谱方法中最重要的Jacobi正交多项式其迭代公式为： 其中： Jacobi正交多项式满足正交性： 而Chebyshev多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式，另外Legendre多项式是令时Jacobi多项式的特殊形式。 2 几种典型的谱方法 谱方法是以正交函数或固有函数为近似函数的计算方法。谱近似可以分为函数近似和方程近似两种近似方式。从函数近似角度看．谱方法可分为Fourier方法．Chebyshev或Legendre方法。前者适用于周期性问题，后两者适用于非周期性问题。从方程近似角度看，谱方法可分为在物理空间离散求解的Collocation法、在谱空间进行离散求解的Galerkin法，以及先在物理空间离散求积，再变换到谱空间求解的Pseudo-spectral法。Collocation法适用于非线性问题．Galerkin法适用于线性问题，而Pseudo-spectral法适用于展开方程时的非线性项的处理。谱方法的特点是对光滑函数指数性逼近的谱精度；以较少的网格点得到较高的精度；无相位误差；适合多尺度的波动性问题；计算精度高于其他方法。快速傅立叶变化的提出大大促进了谱方法的发展，迄今已有各种的谱方法计算格式被提出．并被应用于天文学、电磁学、地理学等各种问题的计算。 下面介绍一下应用于各个区域的几种谱方法： 1）以Fourier谱方法为例介绍谱方法解方程的主要过程 以一阶波动方程为例： 其中u(x,t)为方程的解，L是包含u和u关于空间变量的导数的算子，除了方程以有初始条件和适当的边界条件。 故可设其中为试探空间的基函数，ak(t)为展开系数，对于傅立叶谱方法中的共轭有： 其中从而利用其正交性和周期性可以减少工作量，另外再结合边界条件就可以求出来。 2) Galerkin方法是谱方法中十分经典的解偏微分方程的方法，但还有其局限性，而利用Hermite谱方法中依赖时间的权函数对经典的Galerkin方法进行拓展后的新的方法能适用范围扩大了很多。它能很好的应用在微分方程最优控制问题有限元方法的分析中，并且如果能够灵活运用利用Chebyshev方法、Galerkin方法和配置方法，则会形成更强的计算方法。如将Tau方法的思想成功地应用于奇数阶微分方程Petrov－Galerkin谱方法。 3)在无界区域上谱方法和拟谱方法发展了以Hermite函数和Laguerre函数为基函数的正交逼近和插值理论，在这些结果的基础上发展了全空间和半空间上数理方程的谱方法和拟谱方法，从而形成一种新的能更好解决误解区域问题的方法，此种方法被很好的应用于统计物理、量子力学和流体力学中。 4) 我们利用非一致带权Sobolev空间中的Jacobi多项式正交逼近和Jacobi-Gauss型插值理论，提出以Jacobi多项式为基函数的Jacobi谱方法和拟谱方法用来解决一些奇异问题和计算某些特定的无界区域问题。 5）有限谱方法是基于有限点、有限项的局域谱方法。这种方法要求近似函数应具有等同隔网格和非周期性的性质。有限谱方法分为基于非

椭圆型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]

毕业论文文献综述 信息与计算科学 椭圆型偏微分方程的求解及其应用 一、 前言部分 微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。早在18世纪初，人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程，并开始探讨了它的解法。随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性。 有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中的许多特定问题的解答。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也有可能计算出解得足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化（如天气预报）和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用[1]。 许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程[2]-[6]。在偏微分方程中，偏导数自然是不可缺少的。例如： ()(),,u u a x y f x y x y ??+=?? （1.1.1） 拉普拉斯方程 22232220u u u u x y z ????=++=??? （1.1.2） 热传导方程 ()222 ,,u u a f x t u t x ??=+??

偏微分方程数值解法答案

1. 课本2p 有证明 2. 课本812,p p 有说明 3. 课本1520,p p 有说明 4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ???是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可 表为1n n i i i u c ?==∑ ，则,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???=== -=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ????=，令 () 0n j J u c ?=?，从而得到12,...n c c c 满足1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1 n n i i i u c ?==∑， 从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法 简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1 n n i i i u c ?== ∑， 利用,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程 Galerkin 法：为求得1 n n i i i u c ? == ∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,) n a u V f V =，对任 意 n V u ∈或（取 ,1j V j n ?=≤≤） 1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1 n n i i i u c ?==∑的过程称 Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程： 1 (,)(,)n i j i j i a c f ???==∑ 5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构 造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用 有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。 6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i x x -

偏微分方程数值解法

“十二五”国家重点图书出版规划项目 信息与计算科学丛书 67 偏微分方程数值解法 陈艳萍鲁祖亮刘利斌编著

内 容 简 介 本书试图用较少的篇幅描述偏微分方程的几种数值方法. 主要内容包括：Sobolev空间初步, 椭圆边值问题的变分问题, 椭圆问题的有限差分方法, 抛物型方程的有限差分方法, 双曲型方程的有限差分方法, 椭圆型方程的有限元方法, 抛物及双曲方程的有限元方法, 椭圆型方程的混合有限元方法, 谱方法等. 本书内容丰富, 深入浅出, 尽可能地用简单的方法来描述一些理论结果, 并根据作者对有限差分、有限元、混合有限元、谱方法的理解和研究生教学要求, 全面、客观地评价各种数值计算方法，并列举一些数值计算的例子, 阐述许多新的学术观点. 本书可作为高等学校数学系高年级本科生和研究生的教材或参考书, 也可作为计算数学工作者和从事科学与工程计算的科研人员的参考书. 图书在版编目(CIP)数据 偏微分方程数值解法/陈艳萍, 鲁祖亮, 刘利斌编著. —北京：科学出版社, 2015.1 (信息与计算科学丛书67) ISBN 978-7-03-000000-0 Ⅰ. ①偏… Ⅱ. ①陈… ②鲁… ③刘… Ⅲ. ① Ⅳ.① 中国版本图书馆CIP数据核字(2014) 第000000号 责任编辑: 王丽平／责任校对: 彭涛 责任印制: 肖钦／封面设计: 陈敬 出版 北京东黄城根北街16号 邮政编码: 100717 https://www.360docs.net/doc/141549697.html, 印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销 * 2015年1月第一版开本: 720×1000 1/16 2015年1月第一次印刷印张: 14 字数: 280 000 定价: 88.00元 (如有印装质量问题, 我社负责调换)

求解偏微分方程三种数值方法

数值模拟偏微分方程的三种方法介绍 （有限差分方法、有限元方法、有限体积方法） I．三者简介 有限差分方法（Finite Difference Methods）是数值模拟偏微分方程最早采用的方法，至今仍被广泛使用。该方法包括区域剖分和差商代替导数两个步骤。首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解区域。其次，利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知量的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且十分成熟的数值方法。 差商代替导数后的格式称为有限差分格式，从格式的精度来考虑，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间离散形式来考虑，有中心格式和迎风格式。对于瞬态方程，考虑时间方向的离散，有显格式、隐格式、交替显隐格式等。目前常见的差分格式，主要是以上几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于结构网格，网格的大小一般根据问题模型和Courant 稳定条件来决定。 有限元方法（Finite Element Methods）的基础是虚位移原理和分片多项式插值。该方法的构造过程包括以下三个步骤。首先，利用虚位移原理得到偏微分方程的弱形式，将计算区域划分为有限个互不重叠的单元（三角形、四边形、四面体、六面体等），在每个单元上选择合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的分片插值基函数组成的线性表达式，得到微分方程的离散形式。利用插值函数的局部支集性质及数值积分可以得到未知量的代数方程组。 有限元方法有较完善的理论基础，具有求解区域灵活（复杂区域）、单元类型灵活（适于结构网格和非结构网格）、程序代码通用（数值模拟软件多数基于有限元方法）等特点。有限元方法最早应用于结构力学，随着计算机的发展已经渗透到计算物理、流体力学与电磁学等各个数值模拟领域。

大连理工大学 高等数值分析 椭圆方程差分法

椭圆方程差分法 1 矩形网上差分方程 考虑二阶椭圆型偏微分方程的第一边值问题 （1.1） ()()()?????=∈=+++--Γy x y x u y x F Eu Du Cu u u y x yy xx ,,,αG 其中C ,E D ,是常数；0≥E ；()()G C 0,∈=y x F F ；(,)x y α是给定的光滑函数。假设（5.1）存在光滑的唯一解。 为简单起见，假设G 是矩形区域，其四个边与相应坐标轴平行。考虑矩形网格：1h 和2h 分别为x 和y 方向的步长，h G 为网格内点节点集合，h Γ为网格边界点集合，=h G h G h Γ。 对于内点()j i y x ,h G ∈用如下的差分方程逼近（1.1） (1.2) 21 ,1,12h u u u j i ij j i -++---221,1,2h u u u j i ij j i -++-+1,1,12h u u C j i j i -+-+21,1,2h u u D j i j i -+-+ij Eu =ij F 其中),(j i ij y x F F =。（1.2）通常称为五点差分格式。 用（1.1）的真解(,)u x y 在网点上的值(,)i j u x y 、1(,)i j u x y -等等分别替换（1.2）中的ij u 、1,i j u -等等，然后在(,)i j x y 点处作Tailor 展开，便知（1.2）逼近（1.1） 的截断误差阶为() 2221h h O +。 方程（1.2）可以改写为 （1.3） j i a ,1-j i u ,1-+j i a ,1+j i u ,1++1,-j i a 1,-j i u +1,+j i a 1,+j i u +j i a ,j i u ,ij F = 对每一内点都可以列出这样一个方程。遇到边界点时，因为边界点u 的函数值已知，将相应的项挪到右端去。最后，得到一个以u 的内点近似值为未知数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当1h 和2h 足够小时是对角占优的。 可以证明，五点差分格式关于右端和初值都是稳定的，收敛阶为2212()O h h +。

椭圆型偏微分方程实验报告

实验报告 实验项目名称椭圆型偏微分方程 实验室数学实验室 所属课程名称微分方程数值方法 实验类型算法设计 实验日期2014年6月6日 班级 学号 姓名 成绩 实验概述： 【实验目的及要求】 实验目的是通过分析Possion问题并用交替迭代法来求解其次边值问题，进一步了解交替迭代法的算法特点——即在矩形区域上的差分格式可以大大降低计算量。实验要求是利用Peaceman-Rachford迭代格式编写出相应的代

码解决Possion问题。 【实验原理】 对于简单的椭圆型偏微分方程 Poission 方程: 采用正方形网格剖分正方形区域Ω ,对 x 和 y 方向采用中心差分并记则对Poission方程离散后差分格式可写成; 改写为 由此得Peaceman-Rachford 迭代格式为 其分量形式为 将以上两步写成矩阵形式，第一步迭代为： 第二步迭代为：

这里的 gij 和 gij 分别为 迭代参数可取为： 实际上每个迭代步相当于解N ?1个系数矩阵为三对角阵的N ?1阶线性代数方程组，可用追赶法求解。 【实验环境】（使用的软硬件） 软件： MATLAB 2012a 硬件： 电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑 操作系统：Windows 8 专业版 处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容： 【实验方案设计】 利用Peaceman-Rachford迭代格式求解

求解域Ω : 0 ≤ x, y ≤ 1,其精确解为u = sin πx sin πy。 首先利用上述原理进行分析，从而利用Matlab软件编写出相应程序。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 我们首先编写一个m文件，包含交替方向迭代法程序如下: function u=alter(a0,b0,f,h) %输入-a0为x,y方向起始端点; %-b0为x,y方向终点; %-f为方程右端函数; %-h为网格步长; %输出-u为解矩阵。 p=200; N=fix((b0-a0)/h); u=zeros(N+1); v=zeros(N+1); g=zeros(N+1); x=a0:h:b0; y=x; tau=h*h/(2*sin(pi*h)); a=-tau*ones(1,N-2); c=a; d=(h*h+2*tau)*ones(1,N-1); for k=1:p err=0; for i=2:N for j=2:N g(i,j)=(h*h-2*tau)*u(i,j)+tau*(u(i,j+1)+u(i,j-1)+h*h*f(x(i),y(j))); end

五点差分法解椭圆型偏微分方程

用差分法解椭圆型偏微分方程 -(Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0kmax) break; end if(max(max(t))

数学物理方法之二阶线性偏微分方程的分类

第十三章二阶线性偏微分方程 的分类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.

13.1 基本概念 (1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如 22222(,,,,,,,,,,)0u u u u u F x y u x y x y x y ??????????????=??????其中(,,)u x y ???是未知多元函数，而,,x y ???是未知变量；,,u u x y ???????为u 的偏导数. 有时为了书

写方便，通常记 2 2,,,,x y xx u u u u u u x y x ???==???=??????(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．

(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程． (5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．

例13.1.2：方程的通解和特解概念 二阶线性非齐次偏微分方程2xy u y x =?的通解为 2 21(,)()()2u x y xy x y F x G y =?++其中(),()F x G y 是两个独立的任意函数．因为方程为 例13.1.1：偏微分方程的分类（具体见课本P268）

几种常见的偏微分方程数值求解问题

一．椭圆型问题 1.1单位圆盘的泊松方程 泊松方程是最简单的椭圆型PDE问题。 该问题的公式为，边界上U=0。 该问题的精确解为 1使用命令行函数 首先必须创建MATLAB函数，使二维几何模型参数化。 M文件circle.m返回单位圆边界点的坐标。该文件内容为：nbs=4; if nargin==0, x=nbs; %边界线段个数 return end d=[ 00 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 00 0 0 ]; bs1=bs(:)’; if find(bs1<1 | bs1>nbs), error(‘Non existent boundary sement number’) end x=zeros(size(s)); y=zeros(size(s)); [m,n]=size(bs); if m==1 & n==1, bs=bs*ones(size(s)); %扩展bs elseif m~=size(s,1) | n~=size(s,1), error(‘bs must be scalar or of same size as s’); end if ~isempty(s), %边界线段1 ii=find(bs==1); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-pi);

y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)-pi); %边界线段2 ii=find(bs==2); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-(pi/2)); y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)- (pi/2)); %边界线段3 ii=find(bs==3); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)); y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)); %边界线段4 ii=find(bs==4); x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-(3*pi/2); y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)- (3*pi/2); end 然后用另一函数circleb1.m描述边界条件。 function[q,g,h,r]=circleb1(p,e,u,time) b1=[ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 48 48 48 48 48 48 48 48 49 49 49 49 48 48 48 48 ]; if any(size(u)) [q,g,h,r]=pdeexpd(p,e,u,time,b1); else [q,g,h,r]=pdeexpd(p,e,time,b1); end 现在可以用命令行进行工作： [p,e,t]=initmesh(‘circleg’,’Hmax’,1); error=[];err=1; while err>0.001, *p,e,t+=refinemesh(‘circleg’,p,e,t); u=assempde(‘circleb1’,p,e,t,1,0,1);

椭圆型偏微分方程的求解及其应用开题报告

开题报告 信息与计算科学 椭圆型偏微分方程的求解及其应用 一、选题的背景、意义 早期建立的数学物理方程有根据牛顿引力理论而推导出的描述引力势的拉普拉斯方程和泊松方程。在连续介质力学中，从质量、动量、能量守恒定律出发，建立了流体力学中的纳维-斯托克斯方程组（有黏性）和欧拉方程组（无黏性）以及弹性力学中的圣维南方程组等。另外，像描述波的传播的波动方程；描述传热和扩散现象的热传导方程都是古典的数学物理方程。 随着现代科学和技术的进步，将会不断涌现新的数学物理方程，而其产生和应用的范围已经并且更多地超出了传统的物理学、力学、天文学等领域。例如，在化学、生命科学、经济学等自然科学和社会科学各个领域，以及在资源勘探与开发、大型建筑与水利工程、金属冶炼工程、通信工程、新能源开发、大气物理、气象预报、航天工程、医疗诊断与材料无损探伤、遗传工程等广泛的工程技术各个领域都涉及到数学物理方程的理论及其重要应用。 许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程[1]-[6]。 众所周知，偏微分方程可根据它的数学特征分为三大类型，即抛物型、双曲型、椭圆型。这三类偏微分方程描述了不同本质的物理现象，其应用是极其广泛的。对于理论研究和实际应用问题中提出的许多偏微分方程，由于其边界和边界条件复杂等原因，寻求解的解析表达式相当困难，有时甚至是不可能的，所以必须利用计算机研究偏微分方程的数值解。简而言之，这种研究的任务在实用中主要表现于两个方面。一是关于用有效地数值方法离散偏微分方程及其边界条件。对此，差分法和有限元法是目前被普遍认为行之有效的两类主要的数值方法。二是关于高效率高精度求解离散微分方程。对此，解同样的离散微分方程，采用好的算法与采用一般算法的计算效果往往相差很大，采用好的算法不但能使求解过程数值稳定、数值解的精度得到提高，而且能数十倍、数百倍地节省计算工作量[7]-[10]。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

第二章 二阶线性偏微分方程的分类

第二章 二阶线性偏微分方程的分类 1．把下列方程化为标准形式： （1）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解：因为 02 22112 12=?-=-a a a a a a 所以该方程是抛物型方程，其特征方程为 12 2 =-± =a a a a dx dy 。 它只有一族实的特征线 c x y =- 在这种情况下，我们设x y -=ξ，x =η（或令y =η，总之，此处η是与ξ无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η）。 方法一：用抛物型方程的标准形式 ][12122 F Cu u B u B A +++- =ηξηηη 先算出： ? ??? ? ? ?? ? ? ?-====?+?+?+?+?=++++=?+-+?+?+?=++++==?+?+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 2212212112 2122121112 221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1 u bu u c b a u +++--=ηξηη 即 01=+ + -+ u a u a b u a b c u ηξηη 方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出 ??? ??=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得，0)(=++-+u bu u b c au ηξξη

五点差分法(matlab)解椭圆型偏微分方程

用差分法解椭圆型偏微分方程 U(0,y)=si n(pi*y),U(2,y)=eA2si n( pi*y); 先自己去看一下关于五点差分法的理论书籍 Matlab 程序： unction [p e u x y k]=wudianchafenfa(h,m,n,kmax,ep) % g-s 迭代法解五点差分法问题 %kmax 为最大迭代次数 %m,n 为x,y 方向的网格数，例如(2-0 ) /0.01=200; %e 为误差，p 为精确解 syms temp ; u=zeros(n+1,m+1); x=0+(0:m)*h; y=0+(0:n)*h; for (i=1:n+1) u(i,1)=sin(pi*y(i)); u(i,m+1)=exp(1)*exp(1)*sin(pi*y(i)); end for (i=1:n) for ( j=1:m) f(i,j)=(pi*pi-1)*exp(x(j))*sin(pi*y(i)); end -(Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)eAxsin(pi*y) 0

end t=zeros(n-1,m-1); for (k=1:kmax) for (i=2:n) for ( j=2:m) temp=h*h*f(i,j)/4+(u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i- 1,j))/4; t(i,j)=(temp-u(i,j))*(temp-u(i,j)); u(i,j)=temp; end end t(i,j)=sqrt(t(i,j)); if (k>kmax) break ; end if (max(max(t))