江苏省吴江市汾湖高级中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

高一下学期期中考试数学试题

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题．．卷相．．应的位置上．．．．．

1、?

120sin = ▲ .

2、不等式0)1(≤-x x 的解集为 ▲ .

3、已知),0(πα∈，54cos -=α，则=-)3

sin(π

α ▲ .

4、数列{}n a 中, *115,2,n n a a a n N +==+∈,那么此数列的前10项和10S = ▲

5、在ABC ?中，∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是,,a b c ，若1a =，3b =，30C ?∠=，则

ABC ?的面积是 ▲ .

6、在ABC ?中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ .

7、已知实数y x ,满足条件???

?

???≥≥≤-+≥+000332y x y x y x ，则y x 3+的最大值为 ▲ .

8、若tan ,tan αβ是方程2560x x +-=的两根，则tan()αβ+= ▲ .

9、在ABC ?中，已知sin 2sin cos A B C =，则ABC ?的形状为 ▲ .

10、已知等差数列前10项的和为10，前20项的和为30，则前40项的和为 ▲ .

11、已知正数y x ,满足12=+y x ，则

y

x 1

1+的最小值为 ▲ . 12、函数223sin 23sin cos 5cos y x x x x =-+的值域为 ▲ . 13、数列1111

1,3,5,7,24816

???的前n 项和n S = ▲ .

14、如图,互不相同的点,......,2,1n A A A 和,......,2,1n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列

{}n a 的通项公式是 ▲ .

二、解答题：本大题共6小题，计90 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷的指定区域内。 15、（本题满分14分）

已知α是第一象限角，且13

5

cos =α （1）求α2sin 的值

（2）求

)

42cos()

4sin(παπ

α++

的值

16、（本题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足5

522cos =A ，3=?AC AB (1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值．

17、（本题满分15分） 在等比数列}{n a 中

(1) 已知203=a ，1606=a ，求n a (2) 已知273=

S ，2

636=S ,求n a (3) 已知661=+n a a ，12812=-n a a ，126=n S ，求n 和q 18、（本题满分15分） 已知函数1)(2--=mx mx x f

(1)若对于R x ∈，0)(

19、（本题满分16分）

有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距)(m d 与车速)/(h km v 和车身长)(m l 的关系满足：l l kv d 2

1

2

+

=（k 为正的常数），假定车身长为)(4m ，当车速为)/(60h km 时，车距为66.2个车身长. (1) 写出车距d 关于车速v 的函数关系式;

(2) 应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

20、（本题满分16分）

已知数列}{n a 的前n 项和n S ，满足：)(22*N n n a S n n ∈-= （1）求证：}2{+n a 是等比数列 （2）求数列}{n a 的通项n a

（3）若数列}{n b 的满足)2(log 2+=n n a b ，n T 为数列}2

{

+n n

a b 的前n 项和，求证2321≤≤n T

2013-2014学年第二学期汾湖高级中学期中考试试卷 高一数学（答案）

2014.4

二、解答题：本大题共6小题，计90 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

15、解：（1）因为α是第一象限角，所以13

12

cos 1sin 2

=-=αa -----------3分 所以169

12013121352cos sin 22sin =??==ααα-----------6分 （2）

14213sin cos 22sin cos )

sin (cos 222cos )sin (cos 22)42cos()

4sin(2

2-=+=-+=+=++

ααα

ααααααπαπ

α --------------------------------14分

16、解：(1)∵cos A 2＝25

5，

∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝3

5 -------------------2分

∴sin A ＝4

5

．--------------------4分

又由AB ·AC ＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5．------------------6分

∴S △ABC ＝1

2

bc sin A ＝2．---------------------------------8分

(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，∴b ＝5．---------------------10分 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，-------------------12分 所以a ＝25．-------------------------------14分

17、解：（1）设等比数列的q ，那么???==160

20

5121q a q a ------------------2分

解得???==2

51q a ------------------3分 所以1

25-?=n n a ------------------4分

（2）若1=q ，则362S S =，这与已知273=

S ，2

636=S 是矛盾的，所以1≠q ，

--------------------------------------5分

从而271)1(313=--=q q a S ，2

63

1)1(616=

--=q q a S --------------------------7分

将上面两个等式的两边分别相除，得 913=+q ，所以2=q ，由此可得2

1

1=

a ，--------------------------8分 因此21

222

1--=?=

n n n a --------------------------9分 （3）因为???===+-128661121n n n a a a a a a ，所以???==2641n a a 或???==642

1n

a a --------------------------11分

当??

?==2

641n a a 时，1261264=--=

q q

S n ，所以21=q ，又1)21(642-?=n ，所以6=n -------------------------------------------------------------13分

当???==64

21n a a 时，1261642=--=

q q

S n ，所以2=q ，又12642-?=n ，所以6=n -------------------------------------------------------------15分

012>+-x x

∴1

6

2+-<

x x m 对于]3,1[∈x 恒成立---------------------10分

记]3,1[,1

6

)(2∈+-=

x x x x g

记)(,1)(2

x h x x x h +-=在]3,1[∈x 上为增函数． 则)(x g 在]3,1[上为减函数， ∴7

6

)3()([min ==g x g ------------------------13分 ∴m ＜67

.

所以m 的取值范围为?

????－∞，67.--------------------15分

19、解：（1）因为当60=v 时，l d 66.2=，所以0006.0606.216021

66.22

2==-=

l l

l k -----4分

20024

.02

+=∴v d -----------------------6分 （2）设每小时通过的车辆为Q ，则41000+=

d v Q ，即v

v v Q 6

0024.010006

0024.010002+

=+=

----------------------10分 24.06

0024.0260024.0=?≥+

v

v v 31250024.01000=≤∴Q ， ----------------------13分 当且仅当v v 60024.0=

，即当50=v 时，Q 取最大值3

12500

----------15分 答：当车速为h km /60时，大桥每小时通过的车辆最多----------16分 20、（1）证明：当*

N n ∈时， n a S n n 22-=，则当2≥n 时，)1(2211--=--n a S n n

两式相减得2221--=-n n n a a a ，即221+=-n n a a --------3分

)2(221+=+∴-n n a a ，22

2

1=++∴

-n n a a ，---------4分

当1=n 时，2211-=a S ，则21=a

}2{+∴n a 是以421=+a 为首项，2为公比的等比数列---------7分 （2）解：由（1）可知，1

242-?=+n n a ，22

1

-=∴+n n a ---------7分

（3）证明：12log )2(log 1

22+==+=+n a b n n n ，12

1

2++=+∴

n n n n a b ---------8分

则13221...2322+++++=

n n n T ① 21432

12...232221+++++++=n n n n n T ②