2012-2013(1)年高等代数1(A)卷

2012学年第一学期高等代数Ⅰ(A 卷)

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1、设,A B 为n 阶方阵，下列运算正确的是（） (A) ()12

1212AB A B = (B) A A -=-

(C ）()()22A B A B A B -=-+ (D) 若A 可逆，则()1

11212

A A --=

2、设A 是56?矩阵，其秩为5，则齐次线性方程组0AX = （） (A) 基础解系恰有5个解向量 (B) 基础解系恰有6个解向量

(B)A 的任何级数不超过r 的子式都等于零 (C)A 的任何级数大于r 的子式都不等于零 (D)A 的任何级数大于r 的子式都等于零 4、设12,,

,r ααα是n 维列向量，则12,,,r ααα线性无关的充要条件是（）

(A) 向量组12,,,r ααα中任意两个向量线性无关

(B) 存在一组不全为0的数12,,,r c c c ，使得11220r r c c c ααα++

,r ααα中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

5、设,A B 都是n 阶正定矩阵，则下列结论正确的是（）

(A) A B -是正定矩阵 (B) AB 是正定矩阵 (C) AB 是可逆矩阵 (D) AB 是实对称矩阵

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1、设() f x 和()g x 是两个多项式,若()()(),1f x g x =，则()()(),()f x g x f x -

；

2、六阶行列式中，561234234165a a a a a a 这一项该带号；

3、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且有2A =，则11

(3)*2

A A --= ；

4、设()()()1231,1,2,1,0,0,

1,4,k ααα===的一个极大线性无关组是13,αα，

则 k =；

5、若二次型()2221231231223,,22f

x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则

t 满足条件：

。

三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”）

1、,A B 均为n 阶复对称矩阵，则,A B 合同的充要条件是()()A B =秩秩；（）

2、含有n 个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于n ；（）

3、,A B 均为矩阵，若0AB =，则0A =或者0B =；（）

4、如果向量组12,,,r ααα线性相关，则每个i α都可以表示为其余向量的线

性组合；（）

5、若多项式()f x 和()g x 的最大公因式唯一，则()()0f x g x ==。（）

四、简答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）

1、设100*021011A ?? ?= ? ???

，又0A <，求矩阵A 以及它的逆矩阵1A -。

2、求n阶行列式

1112

1121

1211

2111

的值。

3、讨论λ取何值时，线性方程组2123123123(1)0(1)(1)x x x x x x x x x λλλλλ???

??+??

+++=+++=++=-

(1) 有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解，并求出此方程组的通解。

4、设有二次型()2221231

23121323,,2224f x x x x x x x x x x x x =+++++ （1）写出二次型f 的矩阵A ；

（2）把二次型()123,,f x x x 经过非退化线性替换化为标准形，并写出所用的非

退化线性替换。

五、证明题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）

1、证明：如果,A B 均是正定矩阵，则00A B ??

???

也是正定矩阵。

2、设A 和B 是两个同型矩阵，证明：秩()A B -≤秩()A +秩()B 。

3、用f 代表()f x ，g 代表()g x ，设(,)1,(,1,2)i j f g i j ==，证明：

()()11221212,,(,)f g f g f f g g =

4、向量组12,,

,r ααα线性相关的充要条件是至少有一个向量(1)i i r α<≤可

以被它前面的121,,,i ααα-线性表示。

《高等代数》期末试卷B

教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B ) 试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。班号：学号姓名一、选择题：（每题3分，共15分） 1．当λ=（）时，方程组1231 231 222x x x x x x λ++=??++=?，有无穷多解。 A 1 B 2 C 3 D 4 2．若向量组中含有零向量，则此向量组（）。 A 线性相关 B 线性无关 C 线性相关或线性无关 D 不一定 3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（）的特征向量。 A 2()A E + B -3A C *A D T A 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（）。 A 实对称阵 B 正交阵 C 非奇异阵 D 奇异阵 5．设矩阵 A ， B ， C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（）。 A A 与 B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量 C A 与B 与同一矩阵相似 D A 一定有n 个不同的特征值 1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。 2．若120s ααα++ +=，则向量组12,, ,s ααα必线性。 3．设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =++ +=∈，则V 是维空间。 4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。 5．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是。 6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。二、填空题：（每题3分，共27分）

2013_814高等代数(试题)

南京航空航天大学 2013年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷）科目代码: 814 科目名称: 高等代数满分: 150 分注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！一、(15分)设有向量组T T T a a )1,,3(,)3,1,1(,)1,1,2(321?=?==ααα，这里“T ”表示转置，以下各题相同．１．求参数a ，使得321,,ααα线性相关；２．在题1的基础上，记T A 21αα=，求方程组3α=AX 的通解．二、(25分)设二次型AX X X f T =)(的秩为3，其中???? ??????=212111b b a A ，???????????=121α是A 的伴随矩阵*A 的特征向量. １．求参数a 和b ；２．求正交矩阵P ,使得AP P T 为对角矩阵; ３．求二次型)(X f 在条件1232221=++x x x 下的最大值．三、(15分)设1V 是由向量组T T T )7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(321?==?=ααα生成的子空间, 2V 是由向量组T T T b a )1,2,(,)1,1,0(,)0,1,(321=?==βββ生成的子空间. １．若11V ∈β,求参数a ；２．若1V 与2V 有相同的维数,求参数b a ,满足的条件；３．问:对任意给定的常数b a ,,21V V +是否有可能是直和?说明理由. 四、(25分)设3R 的线性变换Γ使得,222321 321321321??????????++++?+=??????????Γbx x x ax x x x x x x x x 且T )1,1,1(=α是Γ的一个特征向量.

(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是．二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A

高等代数试题附答案

科目名称：《高等代数》姓名：班级：考试时间：120分钟考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为。 2、向量组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩为，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是，特征向量分别为。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（）

5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的子空间。（） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（）三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。（10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10）四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷

授课教师命题教师或命题负责人签字年月日院系负责人签字年月日共 2 页第 2 页

中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年第X 学期期末考试试卷五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年第2学期期末考试数学科学学院《高等代数》试题(A 卷)答案一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.

厦门大学《高等代数》期末试题及答案(数学系)

10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院各系 2010 年级各专业主考教师：杜妮、林鹭试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。

大一上学期(第一学期)高数期末考试题

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()() x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求

大一上学期高数期末考试题

大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. （A）（B）（C）（D）不可导. 2.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小. 3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）. （A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）（B）（C）（D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题（本大题10分） 14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9.解：方程两边求导， 10.解： 11.解： 12.解：由，知。，在处连续。 13.解：，四、解答题（本大题10分） 14.解：由已知且，将此方程关于求导得特征方程：解出特征根：其通解为代入初始条件，得故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分） 15.解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16.证明：故有：证毕。

高等代数期末试题及解答xxl

西南财经大学2010 — 2011学年第二学期周二学号评定成绩（分）学生担任教师《高等代数》期末 A 卷一、填空（每小题2分，共10分） 1.设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈，则V 是 n-1 维空间。 2．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += -84 3．设二次型222 1231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 满足t > 4．设矩阵A 满足条件2 560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 2 ，3 5．三维线性空间V 的秩为2，则零度为 1 。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号。每小题2分，共20分） 1．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ D ）的特征向量（A ）2 ()A E + （B ）-3A （C ）*A （D ）T A 2．已知A ， B 为同阶正交矩阵，则下列（ C ）是正交阵。（A ）A B + （B ）A-B （C ）AB （D ）kA 3，设A 为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ C ）（A ）若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1 A -的属于特征值 1 λ 的特征向量（B ）若矩阵A 存在属于特征值λ的n 个线性无关的特征向量，则A E λ=

（C ）矩阵A 的属于特征值λ的全部特征向量为齐次线性方程组()0E A X λ-=的全部解（D ）A 与T A 有相同的特征值 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ A ）。（A ）实对称阵（B ）正交阵（C ）非奇异阵（D ）奇异阵 5．设A ，B 都是正定阵，则（ C ）（A ）AB ，A+B 一定都是正定阵（B ）AB 是正定阵，A+B 不一定是正定矩阵（C ）AB 不一定是正定阵，A+B 是正定阵（D ）AB ，A+B 都不是正定阵 6．当（ C ）时，0a A b c ?? = ??? 是正交阵。（A ）1,2,3,a b c === （B ）1a b c === （C ）1,0,1a b c ===- （D ）1,0a b c === 7．设A ，B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，，则( D) （A ）A,B 有相同的特征值（B ）A,B 相似（C ）A B = （D ）()()r A r B = 8. 3 R 上的线性变换T 在基1111000,1,0001ααα?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????下的矩阵为 121012111A ?? ? = ? ?-?? 则基在123,2,ααα下的矩阵为（ A ）（A ）141011121?? ? ? ?-?? （B ）141044121?? ? ? ?-?? （C ）1211012111?? ? ? ? ?-?? （D ）242024222?? ? ? ? -?? 9．对于n 阶实对称矩阵A ，结论（ C ）正确。（A ）A 一定有n 个不同的特征值（B ）A 一定有n 个相同的特征值（C ）必存在正交矩阵P ，使1 P AP -成为对角矩阵

高等代数期末卷1及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷（1）题号一二三四五六七总分得分一、填空（共35分，每题5分） 1．设4 2 ()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。 3. 令()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则 (1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式 31021 62 10113201 -=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311 1321022 01134?? ? --?? ?= ? ??? ??? 9219911--?? ???。 6. 1 500031021-?? ?= ? ??? 1 05011023?? ? ?- ? ? - ??? 7. 1234123412 342202220430 x x x x x x x x x x x x +++=?? +--=??---=?的一般解为 134234523423x x x x x x ? =+??? ?=--?? , 34,x x 任意取值。得分班级：学号：姓名：装订线

二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当(()(),()())1f x g x f x g x +=。证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%）令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知 ()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%) 不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使 ()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%) 从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%) 三、(16分),a b 取何值时，线性方程组 1231231 2321(21)31(3)21 ax bx x ax b x x ax bx b x b ++=?? +-+=??+++=-? 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。解： 21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b b b b ???? ? ?-→- ? ? ? ?+-+-???? -?? ?→- ? ?+-?? (5%) 当2 (1)0a b -≠时，有唯一解：1235222 , (1)+11 b b x x x a b b b ---= ==++，； (4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值；当a 0,5b ==时，有无穷解：14 12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%) 当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 得分得分

高等代数期末复习试题

数学系《高等代数》期末考试试卷年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( ) 2．若向量空间 V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( ) 3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( ) 4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( ) 5．每一个线性变换都有本征值. ( ) 6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间为σ的不变子空间. ( ) 7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( ) 8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( ) 9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( ) 号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分） 1. 下列命题不正确的是 ( ). A. 若向量组},,,{21r αααΛ线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关； B. 若向量组},,,{21r αααΛ线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合； C.若向量组},,,{21r αααΛ线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββΛ 线装订线

性表示，则s r ≤； D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价. 2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ). A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射； B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构； C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射； D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构. 3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ). A ．充分而非必要条件； B ．必要而非充分条件； C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件． 4．二次型??? ? ?????? ??-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．???? ??-1312； B ．??? ? ??1112； C ．????? ??-000013013； D ．???? ? ??000011012 5.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ). A ．0>A ； B ．秩为3； C ．A 合同于三阶单位矩阵； D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x . 1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________. 2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n ΛΛ=∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21Λ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x ΛΛσ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______. 3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.

高等代数期末考试试卷及答案

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射；（B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；

（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射；（D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++，则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。 3、（）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。 4、（）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

北京理工大学数学专业高等代数期末试题MTH

2009级数学类高等代数期末考试试题A 卷班级学号姓名成绩一、（25分）设()n n M F ?表示域F 上的所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。取定()n n A M F ?∈，对于任意的()n n X M F ?∈，定义()X AX XA σ=-。（1）证明：σ为()n n M F ?上的一个线性变换。（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ?∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。（3）当a b A c d ??=???? 时，求σ在给定基 1112212201101111,,,11110110F F F F ????????====???????????????? 下的矩阵表示。（4）当1402A -??=???? 时，求()Ker σ的一组基与维数。二、（15分）设数域K 上3维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基123,,ααα下的矩阵为010440212A ????=-????-??。求线性变换A 的Jordan 标准形。三、（20分）设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：（1）如果W 是A 的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果ξ是A 的一个特征向量，那么ξ生成的子空间ξ<>是A 的一维不变子空间。（2）A 可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。四、（20分）设22()V M F ?=，在V 中取一个基11122122,,,E E E E 。（1）求它的对偶基11122122,,,f f f f ，要求写出ij f 的表达式。（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。五、（20分）证明：n 维酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换A 当且仅当在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。

华中科技大学《高等代数》2015年期末考试题及答案

华中科技大学高等代数2015年期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B ）的核是V 的充要条件是是满射；（C ）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D ）的值域是V 的充要条件是是满射。 3、（）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++，则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下

南京大学《高等代数》期末考试题及答案

南京大学高等代数xx 期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基，由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射；（B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射；（D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++，则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。 3、（）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

北京大学数学科学学院期末试题-高等代数-2012

01 北京大学数学学院期末试题 2011－ 2012学年第一学期考试科目高等代数 I 考试时间 2012年 1 月 3 日姓名学号 1 1 10分）已知 n 阶方阵 A = 11 求矩阵 X , 使得 A X = B . 解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 2 2 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 0 1 1 0 1 2 2 0 1 1 1 1 1 2 3 n 0 1 1 1 0 1 2 n1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 n 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 01

110 二(. 15分)设 A : X A X 是 R 3 上的线性变换 , 其中 A = 1 1 2 002 (1) 求线性变换 A 像空间的维数和一组基 ; (2) 求矩阵 A 的特征值与特征向量 ; (3) 判断矩阵 A 能否对角化并说明理由 . 解: (1) 在标准基下 , A 像空间就是矩阵 A 的列空间 , 它的一组基 10 为 1 , 2 , 维数是 2 . 02 22 (λ 2) (λ2 2λ) λ(λ 2) 2 A 的特征值为 = 2 ( 代数二重 ), 0 . 对 = 2 解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 : 1 1 0 1 1 0 1 1 2 001 0 0 0 000 通解为 x 1 = x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量 . 写成向量形式 x 1 x 2 1 x 2 x 2 x 2 1 x 3 α1 = [ 1 1 0 ] T 构成 = 2 特征子空间的一组基 . (2) | λI A | 1 10 λ 1 2 0 λ 2 ( λ 2)

解答-华南农业大学2011高等代数1期末试卷

2011学年第一学期高等代数Ⅰ(A 卷) 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 注：此题不考 2. 已知方阵33()ij A a ?=的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ，且知A 的伴随矩阵*732537425A --?? ? =- ? ?-?? ，则A =（ B ） A . 0 B . -1 C . 1 D . 以上答案都不对分析： A 的第一行元的代数余子式111213,,A A A 就是*A 的第一列元-7,5,4 所以按照A 的第一行元展开得 111112121313=1-7+25+-=-A a A a A a A =++???（ 1）41。注意：行列式按本行（列）展开的值为A ，串行（列）展开的值为“0” 内容见课本78页定理3. 3. 下列命题中与命题“n 阶方阵A 可逆”不等价．．．的是（） A . 0A ≠ B . ()R A n = C . 方程组0Ax =有非零解 D . A 的行（列）向量组线性无关分析：n 阶方阵A 可逆 0A ?≠?判断矩阵可逆的常用方法 0(A)=n A A R ≠??满秩 (A)=n A R A n n ??的行（列）向量组的秩为n 的的个行（列）向量无关 00A Ax ≠?=方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组只有零解注意：此题改为与“n 阶方阵A 不可逆”的等价条件是？ 4. 设,A B 为n 级矩阵，则下列结论错误的是（ A ） A . A B A B +=+ B . AB BA = C . ()T T T AB B A = D . ()T T T A B A B +=+ 分析：A B A B +=+，纯属杜撰，无此公式