2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文
太阳影子定位
摘要
本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。 对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。将该模型在1stopt 软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。 对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县（32.9638°N,110.277°E ）。
对于问题四，我们首先将视频每隔2分钟截取图片，共取得20张截图，根据图像获取直杆顶点，直杆固定点，影子顶点的坐标，以及观测影长，由于需要引入角度才能由观测影长求得实际影长，因此对问题一中的太阳日照影长模型进行改进，初始旋转角，旋转角增量，进行参数拟合，与问题二类似。在观测影长已知的条件下得到一个拟合经纬度及旋转角度的非线性最小二乘模型。经过角度分析，得出角度范围是1525βαβ≤≤，再根据最优解值分析，筛除不符合要求的项，最后剩下第四组数据即地点为湖南省永州市宁远县（25.86216°N,111.9039°E ）。
如果拍摄日期未知，我们可以在问题四的基础上，增加一个拍摄日期的拟合变量，即可解决问题。
关键词：太阳日照影长模型由内到外计算法复合函数数学模型非线性最小二乘模型麦夸尔特算法通用全局最优化法 1stopt 软件
一、问题的重述
在视频数据分析里有两个很重要的方面，一是确定该视频的拍摄地点，二是拍摄日期，太阳影子定位技术原理就在于分析物体在阳光照射下影子的变化，从而确定该视频拍摄的时间与地点。
1.建立关于影子长度变化的数学模型，并画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场高度为3米的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.对于固定直杆的太阳影子顶点横纵坐标数据，使用相应的数学模型确定直杆所处的地点位置。
3.对于固定直杆的太阳影子顶点横纵坐标数据，使用相应的数学模型确定直杆所处的地点位置和日期。
4．附件4的视频描述了一根直杆在太阳照射下的影子变化情况，并且已估计出此为高度2米的直杆。需建立相应的数学模型确定视频拍摄地点位置，并通过应用该模型给出若干个可能的拍摄地点。
若未给出拍摄日期，你能否根据视频内容确定拍摄地点与日期？
二、模型的假设
1．假设太阳射向地球的光线为平行光线。
2．假设地球为均匀球体，且球面平整。
3．假设忽略光传播过程中所需要的时间。
4．假设忽略大气折射对光线传播路径的影响。
5．假设在此过程中，忽略地球公转对影子长度、角度计算产生的影响。
6．假设摄像机拍摄角度与地面平行。
三、符号及说明
四、模型的准备
从图1中，我们可以形象地看出，赤道面与日地中心连线的夹角每天都在变化，这个角度就是所说的太阳赤纬角。正如我们所知，在地球自转过程中也在围绕太阳公转，而极轴与黄道面的夹角始终保持不变。正是因为以上原因，才造成每天正午时刻，太阳高度角有所差异。
图1 太阳赤纬角模型
太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，它是由地理纬度，赤纬角与时角综合决定的。
图2 太阳高度角和时角模型
而日面中心的时角，是从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。是确定当天时刻与太阳高度角关系的纽带。
五、 问题的分析及建模求解
5.1 问题一的分析与建模求解 5.1.1 问题一的分析
针对问题一，根据提供的时间及地理位置，结合相关影响因素，变化规律，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。为了求出长度变化曲线，需要分析有哪些变量构成影长这个变量。变化曲线的描述需要查阅资料构建模型，通过对经纬度，太阳时角，太阳赤纬角等求解修正即可计算出各个时间的影长，并绘制出太阳影子长度的变化曲线。 5.1.2 模型的分析
本题要求出影子长度的变化曲线，即求出影长随其他变量的变化关系，影子长度与多种因素相关联，其中太阳高度角与影长，杆长构成一种角边关系，利用这种角边关系可以求得影长。为了利用题目中所给出的经纬度，时间等条件，需引入太阳高度角的关系表达式。太阳高度角是关于纬度，太阳赤纬角，太阳时角的复合函数，进而需求出太阳赤纬角，太阳时角等物理量，得出影长即影子长度的变化曲线。
根据题目要求及假设，我们先建立了一个地球围绕太阳旋转的模型，并且翻阅各种文献和找出了一系列能够影响影长的因素。
我们首先利用相似三角形的方法，列出了计算影长的公式：
tan H
e s λ=
（1）
其次，我们考虑到如果需要求出影长需要求出高度角和杆长，现在杆长已知3m ，所以我们只需要求出太阳的高度角即可。太阳高度角是太阳相对于地平线的夹角，因为这是从太阳是盘面的几何中心到理想地平线的夹角。太阳高度我们使用了一下的算式来求解太阳的高度角的近似值[1]：
sin sin *sin cos *cos *cos s λεδεδω=+
（2）
其中，s λ为太阳高度角；ω为太阳时角；δ为当时的太阳赤纬角；ε为当地的纬度（天安门的维度为39度54分26秒）
在求解计算高度角的过程中，需要求解太阳赤纬角、地理纬度和太阳时角。现在题目中已知的是地理纬度为北纬39度54分26秒，另外太阳赤纬角也称为太阳赤纬，就是所谓的太阳直射纬度，它的计算公式为：
()2*28423.45sin 365n πδ??
+=??
????
但我们需修正该公式，要考虑多种因素。因为在周年运动中的任何时刻，太
阳赤纬角的具体值均是严格已知的，所以也可以用以下的表达式来表述δ，即[2]：
0.372323.2567sin 0.1149sin 2-0.1712sin 30.758cos 0.3656cos 20.0201cos 3δθθ
θθθθ
=++-++
（3）
上式中的θ称为日角，即[2]：
2365.2422
t
πθ=
（4）
这里的t 又由两部分构成，即[2]：
0t n N =-
（5）
上式当中，n 表示积日，0N 表示时间初值。所谓积日，就是所给日期在当年内的顺序号，例如，1月1日的积日为1，闰年12月31日的积日为366，而平年则为365。
将式（5）代入进式（4）得式（6），即：
()02*365.2422
n N πθ-=
（6）
其中0N 为[2]：
()()()0
198579.67640.242219854Y N Y INT ??
-=+--??????
（7）
在天文学中太阳时角这个名词，意为一个天体的太阳时角被定义为该天体的赤经（RA ）与当地的恒星时（LST ）的差值。它的计算公式为[1]：
()()15*12120ST C ω=---116.39C =
（8）
其中，ω为太阳时角；ST 为真太阳时；C 为当地的经度，我们考虑到问题所给的经纬度并非准确的北京天安门前的经纬度，并且有四度的偏差，所以我们小队时差来减小由于经纬度不准确的误差。
5.1.3 模型的建立
最后根据以上四个式子建立起一个数学模型，即：
(),,,,,e f C n ST H Y ε=
该函数是基于多个子函数的复合函数，其中以影长e 为因变量，以当地经度C ，当地纬度ε，从1月1日到测量日的天数n ，时间ST ，杆长H ，年份Y 为自变量，得出太阳日照影长模型：
tan H
e s λ=
()()()()()()00sin sin *sin cos *cos *cos 0.372323.2567sin 0.1149sin 2-0.1712sin 30.758cos 0.3656cos 20.0201cos 32*365.242215*12120116.39198579.67640.242219854s n N ST C C Y N Y INT λεδεδωδθθθθθθπθω?=+??
?=++?
-++???
-=?=---=??-=+--?
?????????
????
?
???
5.1.4 模型的求解
将四个算式（1）(2)（3）（4）联立起来采用由内到外计算法进行求解。 步骤一，根据已知变量求算出内侧函数。 步骤二，再根据已得，算出外侧函数的内侧函数。 步骤三，将外侧函数带入复合函数，求得我们最后的结果。
表1 影长、高度角、赤纬角随时间的变化表
时间 影长
高度角 太阳赤纬角
9时7.285 22.383 -10.863
10时 5.049 30.716 -10.863
11时 4.023 36.712 -10.863
12时 3.641 39.486 -10.863
13时 3.772 38.497 -10.863
14时 4.456 33.949 -10.863
15时 5.983 26.629 -10.863
我们首先用Microsoft visual c++6.0编写了一个C语言代码，用来计算并确定从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，计算结果如表1所示。
图2太阳影子长度的变化曲线
然后将数据放入MATLAB中，画出题目所需的影长随时间变化的曲线，如图2所示。
5.2问题二的建模及求解
5.2.1问题二的分析
针对问题二，根据提供的日期，时间，影子顶点横纵坐标数据，求出若干个可能地点的经纬度，依据太阳时角、太阳高度角及太阳方位角之间的关系，根据参考问题一的求解过程和数学模型，确定已知量和变量，从而建立数学模型进行求解。
5.2.2模型的分析
本题要求出若干个可能地点的经纬度，根据影长，杆长和太阳高度角这三个量的关系式，我们采用基于多约束下的目标优化数学模型，用21组数据预测出
经度C ，纬度ε，杆长H ，使得将量放到函数时能形成一个满足的函数形状，同时采用非线性最小二乘法的思想，通过杆长和影长与太阳高度角正切值之积差值的最小误差平方和，寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法求得未知的数据，使得这些求得的计算数据与实际数据之间的误差平方和最小。建立以此平方和最小为目标函数，太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件的数学优化模型，在1stopt 环境下对其进行分析影响各种因素的因子，运用麦夸尔特算法和通用全局优化法进行迭代，得出结果。
根据题目要求及假设，我们先建立了一个地球围绕太阳旋转的模型，并且翻阅各种文献，找出了一系列会对影长产生影响的因素。
我们首先利用相似三角形的方法，列出了计算影长的公式：
tan H
e s λ=
接着建立优化模型，且采用非线性最小二乘法。在根据此公式设定最小化误差的平方和，以此作为优化模型的目标函数，即：
()2
201
min *tan i
Z H e s λ==
-∑
（1）
其中Z 为杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小，
s λ为太阳高度角,H 为直杆长度，e 为影长，后三个量为未知量。
然后在列出太阳高度角的计算公式作为约束条件之一，即[1]：
sin sin *sin cos *cos *cos s λεδεδω=+
（2）
其中δ为太阳赤纬角，因为日期时间为已知量，所以可以求得太阳赤纬角，为已知量；s λ为太阳高度角，ω为太阳时角，ε为未知纬度。
为了表达太阳时角ω，列出了该量的计算表达式，也是作为约束条件表达式之一，即[1]：
()()15*12120ST C ω=---
（3）
其中ST 为真太阳时，数据已给出，为已知量；C 为未知经度。 5.2.3 模型的建立
最后根据以上三个式子建立起一个以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小为目标函数，太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件的数学优化模型，已知测量时间()()1221,,,14:42,,15:42i ST ST ST ST == ，
天数108n =，影长()()1221,,, 1.42,,1.93i e e e e == ，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型：
()2
201
min *tan i
Z i H e s λ==
-∑
()()sin sin *sin cos *cos *cos 15*12120s ST C
λεδεδω
ω?=+?
?
?=---?
5.2.4 模型的求解
该模型为非线性模型，采用了非线性最小二乘法。将式子代入1stopt 软件内
进行求解。
（1）麦夸尔特算法
麦夸尔特算法类似于阻尼高斯-牛顿法，在最小二乘法的意义下，可以给出确定的非线性模型中的参数，并且增加流动性，从而解决有关非线性最小二乘法的问题。
（2）通用全局最优化法
同时运用通用全局最优化法进行迭代，跳出局部最优解，足够平均足够多地随机投放初值，通过一个明确的目的走出局部最优解。
所以我们采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法进行求解。 [3]步骤一，设已知数据矩阵
111121121
2221
2??
????????=?
?????????????
p p n n np
n x x x y x x x y X x x x y 首先，给出m 个参数的初始值()01,2,,i b i m = ，由0i b 计算N 组数据的残差平方和Q 。
()2
000
121211,,,;,,,N
N
i i i i i ip m i i Q y y y f x x x b b b ∧==????=-=-?????
?∑∑
步骤二，根据最小二乘法的原则，令()01
,2,,i i i b b i m -=?= ，()
1,2,,i
i m ?= 满足线性方程组：
()()()11112211211222221122?+?+?++?=??
??++?++?=??
????+?+++?=?? m m y
m m y
m m mm m my
a d a a a a a d a a a a a d a 步骤三，解方程组，反复迭代，投放不同的初值，直到达到要求的精度为止，
当0
max min i i i i
i
b b eps -=?<时，迭代结束。
5.2.5 结果的分析
因为该模型为非线性模型，所以受初值的影响即与初值的选择有关，每次最优解不同，应从多组解选择最佳对策。
所以我们将程序运行20次，针对不同的初值进行检验，提高结果的可靠性，计算结果见表2：
表2 第二问运行结果统计分析表
运行次数
H
ε
C
1 2.03360802043466 19.29392875314 108.722524393061
2 2.03360800567199 19.293928572831
3 108.7225246325
4 3 2.03360799469371 19.293928438768
5 108.72252481062
6 4 2.03360801355374 19.2939286692245 108.722524504665 5 2.03360799469371 19.2939284387685 108.722524810626 6 2.03360798719995 19.2939283472871 108.722524932183
7 2.03360798903427 19.2939283696747 108.722524902429 8
2.03360798537388
19.2939283249479
108.72252496181
9 2.03360803079179 19.2939288796215 108.72252422505
10 2.03360802976744 19.2939288670944 108.722524241669
11 2.03360800781704 19.2939285990609 108.722524597739
12 2.03360797804416 19.2939282354854 108.722525080704
13 2.03360800095889 19.2939285153294 108.722524708987
14 2.03360800827501 19.2939286046437 108.722524590311
15 2.03360796220242 19.2939280419598 108.722525337693
16 2.03360799067265 19.2939283897123 108.722524875847
17 2.03360800514006 19.2939285663597 108.722524641165
18 2.03360798589164 19.2939283313124 108.722524953405
19 2.03360797834604 19.2939282391408 108.722525075811
20 2.03360799734254 19.2939284711314 108.722524767655
均值 2.033607998 19.29392848 108.7225248
方差
16
8.02391*10-
3.04923*10-14
4.54777*10-14
根据表2可得出，该地点坐标为北纬19.29392848度，东经108.7225248度，
均方差（RMSE）为5
3.3295*10-，相
3.9819*10-，残差平方和（SSE）为8
关系数（R）为0.99，卡方系数（DC）为8
1.0877*10-
根据表2，得到结果在地图上的位置如图3所示。
图3 问题二经纬度结果图示
5.3 问题三的建模及求解 5.3.1 问题三的分析
针对问题三，提供了时间，影子顶点横纵坐标的数据，与问题二进行对比，日期变成未知量，同样求出若干个可能地点的经纬度，依据太阳时角、太阳高度角及太阳方位角之间的关系，考虑到问题二，此时仅需在此基础上将条件稍加改变，即能得出结果。 5.3.2
模型的分析
本题同样要求出若干个可能地点的经纬度，相较于问题二，多了一个未知量，所以优化数学模型要进行相应的改变。考虑问题二已建立的模型，此时仅需将约束条件稍加改变，增加未知变量的计算式，同样采用的是非线性最小二乘法，利用最小二乘法求得未知的数据，使得这些求得的计算数据与实际数据之间的误差平方和最小。建立以此平方和最小为目标函数，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式，太阳高度角计算式为约束条件的数学优化模型。
基于对问题三的分析，我们在问题二所建立模型的基础之上，进行数值化求解。首先由变量间的关系分析，得到关系表达式：
(),,,,e f C n ST H
ε=
其中，影长e 、经度C 、纬度ε、日期序号n 以及杆长H 为未知变量。sT 是已知变量。
在问题二的求解中，根据相似三角形的方法，给出了影长的计算公式：
tan H
e s λ=
由此我们采用非线性最小二乘法，建立优化模型。由于直杆的长度是不变的，所以对于第i 组数据的变量H ，应该与第（i+1）组数据相差尽可能小。据此，我们建立目标函数，即：
()()2
20
111
min *tan *tan i i i i i
Z e s e s λλ++=??=
-??∑
其中Z 为杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值，i s λ 为第i 组数据所表示的太阳高度角，i e 是第i 组数据所表示的影长。 5.3.3 模型的建立
最后根据上面得到的式子，以影长e 、经度C 、纬度ε、日期序号n 为决策
变量，已知测量时间
()()1221,,,14:42,,15:42ST ST ST ST ==
影长
()()1221,,, 1.42,,1.93e e e e ==
得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型：
()()()()()()00
sin sin *sin cos *cos *cos 0.372323.2567sin 0.1149sin 2-0.1712sin 30.758cos 0.3656cos 20.0201cos 32*365.242215*12120116.39198579.67640.242219854s n N ST C C Y N Y INT λεδεδωδθθθθθθπθω?=+??
?=++?
-++???
-=
?=---=??-=+--??????????
????
?
???
5.3.4模型的求解与实验结果的分析
考虑到麦夸尔特算法专门应用于解决“包含多个变量的最小二乘法的非线性拟合”问题，且其阶梯式拟合方式有利于求解。但是当曲线变化较小的时候，单靠麦夸尔特算法会加剧运算的迭代次数。所以，加入通用全局最优化算法可以减少迭代次数，提高效率。
我们利用Levenberg-Marquardt法与Universal Global Optimization（通用全局最优化算法）分别用附件的数据在1stopt软件中进行求解，并对得到的数据结果进行统计。
经过分析，我们了解到所求解的值离散程度较高，所以考虑对多组计算结果进行筛选择优。对结果进行排布后，发现取值呈现概率化差异分布，某些解值完全符合我们的要求，并且出现的概率较高，而其他的解值则呈现小概率，不符常理的特点。所以，我们统计多组数据，排除不可能的解值，保留解的众数，来作为我们的全局最优解，得到结果见表3：
表3 问题三针对附件2的结果
结果
杆长时间北纬东经地理位置
数据
组别
1 1.99864 2015.07.27 39.861 79.6099 新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县
2 2.00916 2015.01.27 40.0444 79.6751 新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县
3 2.02657 2014.11.15 40.3631 79.7719 新疆维吾尔自治区阿克苏地区柯坪县
4 2.0001
5 2014.01.27 39.882 79.6223 新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县
5 1.9989
6 2013.05.1
7 39.8619 79.6145 新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县
E(X) 2.0067 --- 40.0025 79.6587 新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县
通过对以上精选而出的数据进行分析，我们可以看出具体日期的波动较大，而其他数据拟合程度较好，根据经纬坐标进行查询，得到所求地点的经纬如图4
图4 精选地点分布示意图
得到结果见表4：
表4 问题三针对附件3的结果
结果数
杆长时间北纬东经地理位置
据组别
1 3.05955 2014.04.05 33.026
2 110.22
3 湖北省十堰市郧西县
2 3.0358
3 2014.03.20 32.8585 110.246 湖北省十堰市郧西县
3 3.02321 2013.11.18 32.9026 110.27 湖北省十堰市郧西县
4 3.00697 2013.09.24 33.0428 110.31 湖北省十堰市郧西县
5 3.03095 2013.11.18 32.9448 110.262 湖北省十堰市郧西县
6 2.98985 2012.10.2
7 32.9262 110.326 湖北省十堰市郧西县
7 3.01415 2012.10.27 33.0457 110.299 湖北省十堰市郧西县E（X） 3.022929 --- 32.96381 110.2766 湖北省十堰市郧西县
对以上数据，我们标出其在地图上的位置如图5。
图5对附件3数据的处理结果
5.4问题四的建模及求解
5.4.1问题四的分析
问题四中给出了一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且给出了直杆的高度为2米。如果确定影子长度的变化关系，就可以利用麦夸尔特-通用全局最优模型进行求算。但是由于视频拍摄的角度以及图像透视效果的影响，直杆的影子长度不能由所给视频直接得出，我们考虑“如何运用合适的转换方式，将视频中的影长提取出来”，这才是解决问题的关键所在。
5.4.2模型的分析
对于问题四，我们首先需要建立一个图像处理的模型，对数据进行处理。
我们发现，影子围绕直杆转动时，其影子所在直线与我们所观察图像的水平方向有一个初始角度，设其为α；当以相等时间间隔获取截图时，影子绕直杆底端定点所转过的角度应该相等，设其为β。而实际的影长应该为图像观测长度与
）
-（βα余弦的比值。 通过对太阳高度角公式，我们可以得到图形观测中的影长与杆长的关系。其
中，建立图像处理模型并解决视觉透视问题是解决问题的核心。我们可以利用此模型找出直杆的顶点的坐标，直杆固定点的坐标，影子的顶点坐标。接着根据三个点的坐标的相对关系，求出杆长和影长，便可以通过上面的思路，对第四问求出最优解答。
首先我们进行对图像的处理。对图像进行处理，其根本目的是更加方便地抓取上面所提及的三个点的坐标位置。我们利用MATLAB 将视频中的直杆与影子的图形关系每隔3分钟截取图片，共取得14张截图，接着对其进行灰度二值化处理。由于影子的颜色深度要高于地面，所以可以将直杆影子的位置明确地展示出来。
接着以直杆固定点为坐标原点，以地面水平向右方向为x 轴正向，以地面上平行于场边缘线且经过远点的直线为y 轴，以直杆竖直向上方向为z 轴正向，建立三维直角坐标系。标定图片上给出的顶点坐标，并以此计算出各个时刻的杆长和相对应的影长。
针对于拍摄角度和透视原因所造成的长度测量问题，我们分析了影子角度以及观测影长的关系：
其影子与水平方向的初始夹角α与第n 张截图影子绕直杆底端定点所转过
的角度βn 的差值）n -（βα的余弦值，等于图像观测影长与实际影长的比值，即：
()cos n
n
l n e αβ-=
其中，14n 1≤≤，且n 为正整数。
结合太阳高度角公式，建立出影长角度最优化模型。
01*tan n H e s λ=
对于初始数据，有：
01*tan cos l H s λα
=
对于第一张截图，影子转过β，此时影子所在直线与图像水平方向的夹角为）-（βα，我们将之带入模型中，可以得到：
()
1
12*tan cos l H s λαβ=
-
5.4.3 模型的建立
分析以上关系表达式可以看出，能够将该表达式推广应用至每一时刻，已知观测影长n l ，得到拟合经纬度及旋转角度的非线性最小二乘模型：
()*cos 1**tan n n n H n l s αβλ??--=??
其中, H 为杆长，n l 为第n 张截图的图像观测影长，s λ为太阳高度角，β为每
隔相邻时间的影长图像角度差。
通过这种模型的建立可以最大限度地减小透视效果和拍摄角度的影响，方便我们对直杆和影长的关系进一步分析，进而求解其经度纬度。 5.4.4 模型的求解与计算结果分析
通过上面麦夸尔特-通用全局最优化模型的建立，处理数据。由于在建立的上述模型基础之上，需要考虑影子与水平方向的初始夹角α与第n 张截图影子绕
直杆底端定点所转过的角度βn 的差值）n -（βα的关系。也就是说，当n=20，
取第20张视频截图的时候，由于图像中影子方向与直杆近乎垂直。我们据此判断，需要增加的约束条件为：
βα20≥
剔除不合理的数据，得到结果见表5：
表5问题四结果
结果数据组别
北纬
东经
地理位置
1 38.37867 111.0708 山西省吕梁市兴县
2 25.82818 111.341 广西壮族自治区桂林市全州县
3 38.37553 111.0178 山西省吕梁市兴县
4 25.86216 111.9039 湖南省永州市宁远县
5 32.0924 111.0168 湖北省十堰市房县
6 25.80764 110.9909 广西壮族自治区桂林市全州县
7 38.37482 111.0045 山西省吕梁市兴县 8 32.10841 111.2884 湖北省襄阳市谷城县 9 38.42172 111.7905 山西省忻州市静乐县 10 25.80579 110.9575 广西壮族自治区桂林市全州县
11 32.10325 111.2053 湖北省襄阳市谷城县 12
25.81126
111.0532
广西壮族自治区桂林市全州县
经过角度分析，得出角度范围是1525βαβ≤≤，再根据最优解值分析，筛除不符合要求的项，最后剩下第四组数据即地点为湖南省永州市宁远县（25.86216°N,111.9039°E ）
图6 筛选后的地点示意图
如果拍摄日期未知，我们可以在问题四的基础上，增加一个拍摄日期的拟合变量，即可解决问题。
六、模型改进与评价
6.1模型的改进
针对上面给出的模型，从形式上讲，他们与一般书籍中给出的并无不同。我们之所以又重新研究它，是因为以往的公式存在以下通病[2]：
（1）我们所需要的数值，会因为所在地的地理经度及具体时刻与表值有异而不同。
（2）对平年和闰年不加以区分，一方面，这对闰年就不好处理，另一方面，闰年的影响有累积效应，会逐步增长
具体的讲，一般需要如下三项订正：
（1）经度订正：即使我们查阅的是当年天文历，也需要这项订正。在我国各个地理经度范围内，各地的订正值是：
（2）年度订正：根据我们查阅资料，如果不是仅仅使用当年的天文年历值，就要对具体的时间做出修正。
假设我们选用的是闰年后某年的表值，第二年再用时，就要加上-0.2
（-0.2422）日的订正。这个订正到了第三年为-0.51（-0.4844）日，第四年是-0.7（-0.7266）日，但这一年为闰年，多了一日，实际应该订正应为-0.7+1=0.3（0.2734）日，以此类推。
00009090~128128E E E E ?≤?>
?≥?
-0.2日 -0.3日 -0.4日
6.2 模型的评价 6.2.1 模型的优点
（1）本论文中的模型都是递进的关系，均是从简单到复杂递推出来一步步建立的。问题二是基于问题一的基础上建立的，问题三基于问题二，可读性强，文章整体上逻辑清楚，连贯。便于阅读。
（2）对于问题一的模型，我们结合地理知识与简单的数学公式建立符合函数模型，易理解，利用MATLAB 和C 语言结合解答
（3）本论文问题二三四的模型求解都使用了1stopt 软件，该软件对于非线性曲线拟合，综合优化分析计算更加专业，解题速度更快。 6.2.2 模型的缺点
（1）本论文有些模型关于影响因素的考虑还不是很全面，会影响结果精度，产生误差。
（2）参量过多，会影响结果精度，产生误差。
七、 参考文献
[1] 刘琦,王德华, 建筑日照设计, 北京：水利水电出版社, 2008-09。 [2]王炳忠,日期、时间和当地经纬度计算太阳天顶角和方位角，
https://www.360docs.net/doc/1d2156940.html,/link?url=wEZP9kNBGRFTMKOUwPwEB-8_HdTZm6cZFjhx5KVkNrJzA62PNZb_iK9akjE3hlNQs2G9atz_Lv9-Mo2yFAVRG0DP_bV33Li9Md7vHT27UH y&qq-pf-to=pcqq.group ，2011-12-05。
[3]麦夸尔特法算法,https://www.360docs.net/doc/1d2156940.html,/p-491379323.html , 2012-10-01。
附录一：
表6 问题三针对附件2解值表
DAT
A h Day N E 最优解值
1 1.99864 15.07.27 39.861 79.6099 0.00076
2 2.00916 15.01.27 40.0444 79.6751 0.00914
3 2.02657 14.11.15 40.3631 79.7719 0.54455
4 2.0001
5 14.01.27 39.882 79.6223 0.8472
5 1.9989
6 13.05.1
7 39.8619 79.6145 0.00056
E(X) 2.0067 --- 40.0025 79.6587 0.28044
附录二：
表7 问题三针对附件3的解值表
DATA h Day N E 最优解值
1 3.05955 14.04.05 33.026
2 110.22
3 0.9645
2 3.0358
3 14.03.20 32.8585 110.246 0.29226
3 3.02321 13.11.18 32.9026 110.27 0.01864
4 3.00697 13.09.24 33.0428 110.31 0.13275
5 3.03095 13.11.18 32.9448 110.262 0.0068
6 2.98985 12.10.2
7 32.9262 110.326 0.57874
7 3.01415 12.10.27 33.0457 110.299 0.85005
E（X） 3.022929 --- 32.96381 110.2766 0.406248
附录三：
表8 第四问运算结果表
angle angle1 N E
1.000003 0.06377 44.6574 110.9943
1.000003 0.171588 38.37867 111.0708
1.000003 0.07029 25.807 110.9796
2013全国数学建模大赛a题优秀论文
车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、占道施工、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在视频提供的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下： 针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、以事故相同持续时间进行对比、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。 针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。 针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。 关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度
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（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 附件1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测 2003年5月8日 在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。 1 模型与参数 假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K
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车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 在城市道路常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。 针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。 针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。 针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为130.0430.09263.623y x x =-+-。第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。 针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期能通过的最大车流量数。然后运用等待制排队模型，当累计车辆排队长度到达上游路口后，可以通过排队论计算出时间15min 。 关键词：通行能力 统计估算 层次分析 非线性回归方程 SPSS 软件 排队论 车流波动 一、问题重述
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关于中国人口增长趋势的研究 【摘要】 本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。 首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2007至2020年的人口数目进行了预测，得出在2015年时，中国人口有13.59亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2007至2050年的人口数目进行了预测，同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2030年时，中国人口有14.135亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究，本文利用动态模拟的方法建立模型三，并对数据作了如下处理：取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。在此基础上，预测出人口的峰值，适婚年龄的男女数量的差值，人口老龄化程度，城镇化水平，人口抚养比以及我国“人口红利”时期。在模型求解的过程中，还对政府部门提出了一些有针对性的建议。此模型可以对未来人口做出细致的预测，但是需要处理的数据量较大，并且对初始数据的准确性要求较高。接着，我们对对模型三进行了改进，考虑人为因素的作用，加入控制因子，使得所预测的结果更具有实际意义。 在灵敏度分析中，首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析，发现人口数量对于θ的灵敏度并不高，然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850，最后对妇女生育率进行了灵敏度分析，发现在生育率在由低到高的变化过程中，其灵敏度在不断增大。 最后，本文对模型进行了评价，特别指出了各个模型的优缺点，同时也对模型进行了合理性分析，针对我国的人口情况给政府提出了建议。 关键字：Logistic模型灰色预测动态模拟 Compertz函数
2013年数学建模A题概念解释--通行能力
实际通行能力 由于道路、交通和管制条件以及服务水平不同，通行能力分为：基本（理论）通行能力，可能（实际）通行能力和设计（规划）通行能力。 理论通行能力是理想的道路与交通条件下的通行能力。 以理论通行能力为基础，考虑到实际的地形、道路和交通状况，确定其修正系数，再以此修正系数乘以前述的理论通行能力，即得实际道路、交通在一定环境条件下的可能通行能力。 公式（参《路网环境下高速公路交通事故影响传播分析与控制》）： 单向车行道的可能通行能力Qx=CB*N*fw*fHV*fp Qx是单向车行道可能通行能力，即在具体条件下，采用四级服务水平时所能通过的最大交通量veh/h。 CB是基本（理论）通行能力。 N是单向车行道的车道数。 fw是车道宽度和侧向净宽对通行能力的修正系数。 fHV是大型车对通行能力的修正系数，计算公式是：fHV=1/[1+ PHV（EHV-1）]，EHV 是大型车换算成小客车的车辆换算系数；PHV是大型车交通量占总交通量的百分比。 fp驾驶员条件对通行能力的修正系数，一般在0.9~1之间 基本通行能力 基本通行能力【basic traffic capacity】指的是在理想的道路和交通条件下，单位时间一个车道或一条道路某一路段通过小客车最大数，是计算各种通行能力的基础。 通行能力 通行能力【traffic capacity】指的是在一定的道路和交通条件下，道路上某一路段单位时间内通过某一断面的最大车辆数。可分为基本通行能力、可能通行能力和设计通行能力三种。
计算公式为：CAP=s1*λ1+s2*λ2+....+sn*λn（s为饱和流量，λ为绿信比） 全红时间越长，通行能力越小 周期时长一定的情况下，相位数越多，通行能力越大 它是指道路上某一地点、某一车道或某断面处，单位时间内可能通过的最大的交通实体(车辆或行人)数，亦称道路容量、交通容量或简称容量。一般以辆/h、人/h表示。车辆多指小汽车，当有其它车辆混入时，均采用等效通行能力的当量小客车单位 道路通行能力与交通量不尽相同，交通量是指道路在某一定时段内实际通过的车辆数。一般道路的交通量均小于道路的通行能力，当道路上的交通量比其通行能力小得多时，则司机驾车行进时操作的自由度就越大，既可以随意变更车速，转移车道，还可以方便地实现超车。当交通量等于或接近于道路通行能力时，车辆行驶的自由度就逐渐降低，一般只能以同一速度循序行进，如稍有意外，就会发生降速、拥挤，甚至阻滞。当交通量超过通行能力时，车辆就会出现拥挤，甚至堵塞。因此，道路通行能力同河流的过水能力一样，是道路在一定条件下所能通过的车辆的极限数值，条件不同，要求不同，其通行能力也就不同。故通行能力是一个变数
2019数学建模国赛a题答案
中国大学生数学建模竞赛： 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2018年，来自全国34个省/市/区(包括香港、澳门和台湾)及美国和新加坡的1449所院校/校区、42128个队（本科38573队、专科3555队）、超过12万名大学生报名参加本项竞赛。 赛事设置： 竞赛宗旨 创新意识团队精神重在参与公平竞争。 指导原则 指导原则：扩大受益面，保证公平性，推动教学改革，提高竞赛质量，扩大国际交流，促进科学研究。 规模与数据 全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。该竞赛每年9月（一般在上旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。同学可以向该校教务部门咨询，如有必要也可直接与全国竞赛组委会或各省（市、自治区）赛区组委会联系。 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞
赛。2014年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1338所院校、25347个队（其中本科组22233队、专科组3114队）、7万多名大学生报名参加本项竞赛。 比赛时间 2017年比赛时间是9月14号20:00到9月17号24:00，总共76小时，采取通讯方式比赛，比赛地点在各个高校。比赛时间全国统一的，不可以与老师交流，可以在互联网查阅资料。 同学们在比赛期间应该注意安排时间，以免出现时间不够用的情况。 组委名单 注：第五届专家组任期两年（2010-2011）。2011年底任期届满后，组委会对专家组进行了调整，并决定此后不再对外公布专家组成员名单。 第五届组委会成员名单（2010-2013）及下属专家组成员名单 第四届组委会成员名单及下属专家组成员名单 第一、二、三届组委第一、二、三届组委会成员名单及下属专家组成员名单引各赛区组委会各赛区联系方式列表引 [注1] 各赛区联系人请注意：若本赛区联系e-mail地址发生变化，请通知全国组委会进行修改。 [注2] 全国已成立赛区的有28个省、市、自治区，国内尚未成立赛区的区域组成联合赛区，其他（境外参赛学生）组成国际赛区，共30个赛区。
2015年全国大学生数学建模比赛A题一等奖论文
太阳影子定位问题 摘要 目前，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是计算机视觉的热点研究问题，是视频数据分析的重要方面，有重要的研究意义。本文通过建立数学模型，给出了通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的方法。 对于问题一，建立空间三维直角坐标系和球面坐标系对直杆投影和地球进行数学抽象，引入地方时、北京时间、太阳赤纬、杆长、太阳高度角等五个参数，建立了太阳光下物体影子的长度变化综合模型。求解过程中，利用问题所给的数据，得到太阳赤纬等变量，将太阳赤纬等参量代入模型，求得了北京地区的9:00至15:00的影子长度变化曲线，当12：09时，影子长度最短；并分析出影长随这些参数的变化规律，利用控制变量法思想，总结了五个参数与影子长度的关系。最后进行模型检验，将该模型运用于东京、西藏两地，得到了这两座城市的影长变化规律曲线，发现变化规律符合实际两地实际情况。 对于问题二，为了消除不同直角坐标系带来的影响，将实际坐标转换为二次曲线的极坐标，建立了极坐标下基于多层优化搜索算法的空间匹配优化模型。求解时，先将未知点的直角坐标系的点转换为极坐标，然后设计了多层优化搜索算法，通过多次不同精度的搜索，最后得出实际观测点的经纬度为东经E115?北纬N25?。同时对模型进行验证，实地测量了现居住地的某个时间段的值，通过模型二来求解出现居住地的经纬度，分析了误差产生的原因：大气层的折射和拟合误差。 对于问题三，将极坐标转换后的基本模型转换为优化模型，建立了基于遗传算法的时空匹配优化模型。将目标函数作为个体的适应度函数，将经度纬度及日期作为待求解变量，用遗传算法进行求解，得到可能的经度纬度及其日期：北纬20度，东经114度，5月21日；北纬20度，东经114度，7月24日；东经94.5度，北纬33.8度，6月19日。最后，将遗传算法与多层优化搜索算法进行对比分析，得出遗传算法的求解效率和求解精度均优于多层次搜索算法。 对于问题四，首先将视频材料以1min为间隔进行采样得到41帧（静态图片），将这些静止图片先利用matlab进行处理，后进行阀值归一化处理，得到这些帧的灰度值矩阵。在图片上建立参考模型，获得影子端点的参考位置。利用投影系统和模型二，建立了基于图形处理的视频拍摄地点搜索模型。利用模型二中多层搜索算法，求得满足精度的最优地点。最优的地点是：东经119,北纬48.7，在内蒙古的呼伦贝尔市。同时假设日期是未知量，将模型四与模型三相结合，得到了可能的地点和时间，并分析了可能出现误差的原因，最后回答了当视频日期未知，也可以确定其位置和日期。 最后，给出了模型的优缺点和改进方案。 关键词：极坐标化，多层优化搜索算法，遗传算法，图像处理，MATLAB
车道被占用对城市道路通行能力的影响-2013年全国大学生数学建模竞赛A题
1 车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 在城市道路中通常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段内事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。 针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。 针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。 针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为 130.0430.09263.623y x x =-+-。第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。 针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期内能通过的最大车流量数。然后运用等待制排队模型，当累计车辆排队长度到达上游路口后，可以通过排队论计算出时间15min 。 关键词：通行能力 统计估算 层次分析 非线性回归方程 SPSS 软件 排队论 车流波动
2015年全国大学生数学建模竞赛A题.
太阳影子定位 （一）摘要 根据影子的形成原理和影子随时间的变化规律，可以建立时间、太阳位置和影子轨迹的数学模型，利用影子轨迹图和时间可以推算出地点等信息，从而进行视频数据分析可以确定视频的拍摄地点。本文根据此模型求解确定时间地点影子的运动轨迹和对于已知运动求解地点或日期。 直立杆的影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化，而其自身的所在的经纬度以及时间都会影响到影子的变化。但是影子的变化是一个连续的轨迹，可以用一个连续的函数来表达。我们可以利用这根长直杆顶端的影子的变化轨迹来描述直立杆的影子。众所周知，地球是围绕太阳进行公转的，但是我们可以利用相对运动的原理，将地球围绕太阳的运动看成是太阳围绕地球转动。 我们在解决问题一的时候，利用题目中所给出的日期、经纬度和时间，来解出太阳高度角ｈ，太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，直杆高度Ｈ和影子端点位置（x0，y o），从而建立数学模型。影子的端点坐标是属于时间的函数，所以可以借助时间写出参数方程来描述影子轨迹的变化。问题二中给出了日期和随时间影子端点的坐标变化，可以根据坐标变化求出运用软件拟合出曲线找到在正午时纵坐标最小，横坐标最大，影子最短的北京时间，根据时差与经度的关系，求出测量地点的经度。根据太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，可以求出太阳高度角ｈ。再结合问题一中的表达式，建立方程求解测量地点的纬度Ф。我们在求解第三问的思路也是沿用之间的模型，但第三问上需要解出日期。 对于问题四的求解，先获取自然图像序列或者视频帧，并对每一帧图像检测出影子的轨迹点；然后确定多个灭点，并拟合出地平线；拟合互相垂直的灭点，计算出仿射纠正和投影纠正矩阵；进而还原出经过度量纠正的世界坐标；在拟合出经过度量纠正世界坐标中的影子点的轨迹，利用前面几问中的关系求出经纬度。 关键字：太阳影子轨迹Matlab 曲线拟合
2013年数学建模A题
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题车道被占用对城市道路通行能力的影响 车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。 1、视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题： 根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 1、先增后降 2、根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通 事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 差异：事故持续时间、和问题三的一起结合来 https://www.360docs.net/doc/1d2156940.html,/p/2593135966?pn=7 3、构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排 队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间 的关系。 排队长度就以每一次的堵塞时到事故发生时的车辆数； 路段上游车流量：就以堵塞时上游流下的车辆数； 事故横断面通行能力就以堵塞时长时流走的车辆数的时间的关系 事故持续时间：每一小堵塞的时间之后；
2015年美国大学生数学建模竞赛A题
PROBLEM A: Eradicating Ebola The world medical association has announced that their new medication could stop Ebola and cure patients whose disease is not advanced. Build a realistic, sensible, and useful model that considers not only the spread of the disease, the quantity of the medicine needed, possible feasible delivery systems, locations of delivery, speed of manufacturing of the vaccine or drug, but also any other critical factors your team considers necessary as part of the model to optimize the eradication of Ebola, or at least its current strain. In addition to your modeling approach for the contest, prepare a 1-2 page non-technical letter for the world medical association to use in their announcement. 问题一：根除病毒 世界医疗联盟声称，他们的新药物可以制止埃博拉病毒，并且治愈病情没有恶化的患者。建立一个现实的，明智的，并且有用的模型，需要考虑的不仅是疾病的扩散、所需要的药物、可能并且可行的发放系统、发放的地点、生产疫苗或药物的速度，还有你们队伍认为在优化消灭埃博拉（或至少它的现在的同类血亲）模型之中重要的因素。除了建立模型以外，还需写一封1-2页非技术性信给世界医疗联盟，让他们在声明中阐述。 SIR
2013年全国大学生数学建模竞赛A题
1 车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 在城市道路常会发生交通异常事件，导致车道被占用，事发地段的通行能力也会因此受到影响。当交通需求大于事发断剩余通行能力时，车辆排队，产生延误，行程时间增加，交通流量发生变化。根据这些特点，我们以城市道路基本路段发生交通事故为例，主要分析了交通事故发生后道路的通行能力的变化，以及不同时间段事故点及其上下游路段交通流量的变化，用于以后进一步突发事件下交通流的预测。 针对问题一，根据道路通行能力的定义，考虑到车身大小不同，我们把所有车辆进行标准化。运用统计估算模型对视频一的车辆进行分段统计，得出未发生事故前道路通行能力2555(辆/h )。因为车辆所占车道未达到数学理论计算要求，所以我们利用修正过后城市干道通行能力的数学计算模型，计算出交通事故发生至撤离期间的理论通行能力为1356（辆/h ），进而与实际数据对比，得出相对误差。 针对问题二，我们基于问题一的模型，以及附件三数据分析所得，不同车道的通行流量比例不同，对视频二的车辆各项数据的分段统计分析，得到道路实际通行能力。再根据修正的理论数学计算模型，得出理论通行能力。得到的结果与问题一的结果相比较，得出结论：在同一横断面上的实际通行能力与交通事故所占车道的车流量呈负相关性。 针对问题三，我们运用了两种模型，一种结合层次分析与线性回归模型，得到理想化的函数关系式。基于层次分析模型，我们将进行问题分解，把车辆长度作为目标层，其他三个量作为准则层。通过查阅资料对各因素进行打分，计算出事故持续时间、车道通行能力、上游车流量对车辆排队长度的权重。层次分析模型得到各个指标对目标层的影响关系的大小，然后我们用线性回归模型求出各指标与目标层的具体的函数关系式为130.0430.09263.623y x x =-+-。第二，我们运用车流波动相关理论，得到理论模型，继而得出它们之间的关系。 针对问题四，我们首先考虑的是上游来车在红绿灯下的时间间断问题，所以把来车的情况作周期性分析，假设来车是间隔相同的时间连续的到来，求出一个周期能通过的最大车流量数。然后运用等待制排队模型，当累计车辆排队长度到达上游路口后，可以通过排队论计算出时间15min 。 关键词：通行能力 统计估算 层次分析 非线性回归方程 SPSS 软件 排队论 车流波动
2010年数学建模a题参考答案(权威)
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲2410 所属学校（请填写完整的全名）：吉林工程技术师范学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 于家浩 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2010 年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
题目储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 本文分别建立了小椭圆型储油罐及实际储油罐的变位识别模型。针对小椭圆型储油罐的变位识别问题，采用积分方法，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式并得到正常的罐容表标定。对于小椭圆型储油罐纵向倾斜变位问题，讨论了其截面是三角形和梯形两种情况，利用积分法给出了纵向倾斜变位问题的计算公式，给出了修正后的罐容表标定值，并与正常标定值进行比较。针对实际大储油罐的变位识别问题，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式，根据计算公式得到正常罐容表标定值。对于倾斜变位问题，用积分方法在不同油高下分别计算出球冠部分和中间圆柱体部分的油量，并求和给出大储油罐纵向倾斜变位后的修正公式。然后对储油罐横向偏转角度进行分析，给出横向偏转后实际油面高度与正常时油面高度的关系式。最后结合纵向倾斜角度及横向偏转角度参数公式推导得到罐内储油量与油位高度及两个变位参数间的函数式。结合附件二中所给数据，利用非线性最小二乘法通过遍历搜索算法求出纵向倾斜角度及横向偏转角度值，最后利用附件二中的数据对模型的可靠性进行了检验，检验结果表明模型较为合理。 关键词：积分，数值积分，复化梯度法，非线性最小二乘法，罐容表，标定
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位技术问题的数学模型 摘要 本文涉及的是太阳影子定位技术问题。在已知视频中物体的太阳影子变化的情况下，要确定视频的拍摄地点和拍摄日期。首先，分析了文中四个问题的关系，发现前三个问题的已知条件逐步减少，问题难度依次递进。第四问则给出一个实际问题，该问题需要转化成数学模型利用前三问的方法求解；随后，建立了L-G模型、MinZ-模型等，并应用非线性最小二乘法、遗传算法等算法对模型求解。得到基于模型的合理结果。最后，将第四问的实际问题转化数学模型并求解，进而解决问题。 对于问题一，要解决的问题是杆长与影子长度的关系，根据天文、几何知识，我们建立了模型来刻画问题给出的参数之间联系，如赤纬角模型、时角模型、太阳高度角模型、影子长度模型（L-G模型）等；分析了各参数对影子长度的影响；最后运用MATLAB绘制出具体给定参数下的3米高直杆的影子变化曲线；从曲线可以看出在9:00到15:00这段时间里，影子长度先变短后变长，最短为3.627米，最长为7.182米。 问题二提供了一个关于时间、影子坐标的附件1，杆长未知，为了确定直杆所处的地点，本问建立了MinZ-模型，首先将经度、纬度、杆长离散化，搜索出大概的可行解，然后运用非线性最小二乘算法，选取matlab中的lsqcurvefit命令，以可行解为初值，再运用非线性最小二乘算法，选取MATLAB中的lsqcurvefit命令，在控制残差在10?8之内范围的情况下得到了三个可能地点皆在海南省昌江县内，最小误差的地点为海南省江黎族自治县，北纬19.3025°，东经108.6988°，此时对应直杆高度为2.0219m。同时，将结果代入问题一的模型进行检验，验证了模型的稳定性和算法的合理性。 问题三沿用问题一的模型和问题二的算法，由于一个已知量变成一个变量，根据算法特点，在增加一个变量的情况下，算法搜索影长差时只需要增加一重循环。关于附件2数据，残差最小对应的位置为北纬39.8926°，东经79.7438°，具体地点在新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县。日期为2015年4月24日或6月19日；关于附件3数据则是残差最小对应的位置为北纬31.3625°，东经110.1602°，具体地点在湖北省神农架林区。此时对应直杆高度为2.9871m。对应日期为1月25日或10月5日。 问题四是将实际问题转化成数学模型并求解的过程，用aviread函数将视频读入MATLAB 软件，并用size函数读取视频帧数Vf=61000，利用mat2gray函数可以对图像灰度化处理。取合理阈值使影子与背景的分界清晰可见，记录直杆顶点及底端坐标，然后依次测录各图片中影子顶点的坐标（单位为像素），最后应用问题二和问题三的方法求解，结合运用MATLAB 遗传算法工具箱，在给出日期条件下，残差最小对应的位置为北纬40.3344°，东经113.2556°，具体地点为内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗县；若日期未知，也得到了比较合理的视频拍摄地点和日期。 论文最后做了误差分析并给出了模型改进意见；论文的特色在于思路清晰，方法简洁，将数学模型与计算机算法、图形很好的结合起来，用图形图表体现结果。每个问题都进行了结果分析和模型验证。 关键词：影子定位L-G模型minZ-模型非线性最小二乘法遗传算法
2008年数学建模竞赛题目(A题)
2008年数学建模竞赛题目(A题)
2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题数码相机定位 数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
图 1 靶标上圆的像 有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC 边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。
图3 靶标的像 请你们： （1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面； （2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×786； （3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；
2014年全国数学建模a题解析
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略 摘要 嫦娥三号卫星着陆器实现了我国首次地外天体软着陆任务。要保证准确的在月球预定区域内实现软着陆轨道与控制策略的设计。 问题一运用活力公式[1]来建立速度模型，利用matlab软件代入数值计算出 。 所求速度33 ?? (=1.692210m/s,=1.613910m/s) v v 远 近 采用轨道六根数[2]来建立近月点，远月点位置的模型。轨道根数是六个确定椭圆轨道的物理量，也是联系赤道直角坐标与轨道极坐标重要夹角的关系。通过着陆点的位置求出轨道根数各个值的数据，从而确定近月点，远月点的位置，坐标分别为(19.51W 27.88N 15KM),(160.49 27.885S 100KM) E。 问题二“嫦娥三号”软着陆过程中需要经历6个不同的阶段,对于主减速阶段，在极坐标系下建立其运动方程。结合Pontryagin极大值原理[3]和哈密顿函数[4]，化简出燃料最省的软着陆轨道方程，得出最优控制变量的变化规律。对于其它各阶段，将其简化为加速度不同的线性运动模型，利用动能定理得出相应轨道方程和控制策略。 问题三对第二问中求出的“嫦娥三号”推力和速度切线方向夹角?,给?增加或减小一个角度?,分别求出各个对应的近月点坐标'y。之后求各个坐标与其原始值之间的变化量'y并求其平均值'y，得到其敏感性因数，敏感性系数越大，说明该属性对模型的影响越大。 关键字：活力公式轨道六根数 Pontryagin极大值原理燃料最省
2014年美赛数学建模A题翻译版论文设计
数学建模竞赛(MCM / ICM)汇总表 基于细胞的高速公路交通模型 自动机和蒙特卡罗方法 总结 基于元胞自动机和蒙特卡罗方法,我们建立一个模型来讨论“靠右行”规则的影响。首先,我们打破汽车的运动过程和建立相应的子模型car-generation的流入模型,对于匀速行驶车辆，我们建立一个跟随模型,和超车模型。 然后我们设计规则来模拟车辆的运动模型。我们进一步讨论我们的模型规则适应靠右的情况和,不受限制的情况, 和交通情况由智能控制系统的情况。我们也设计一个道路的危险指数评价公式。 我们模拟双车道高速公路上交通(每个方向两个车道,一共四条车道),高速公路双向三车道（总共6车道)。通过计算机和分析数据。我们记录的平均速度,超车取代率、道路密度和危险指数和通过与不受规则限制的比较评估靠右行的性能。我们利用不同的速度限制分析模型的敏感性和看到不同的限速的影响。左手交通也进行了讨论。 根据我们的分析,我们提出一个新规则结合两个现有的规则(靠右的规则和无限制的规则)的智能系统来实现更好的的性能。 1介绍 1.1术语 1.2假设 2模型 2.1设计的元胞自动机 2.2流入模型 2.3跟随模型 2.4超车模型 2.4.1超车概率 2.4.2超车条件 2.4.3危险指数 2.5两套规则CA模型 2.5.1靠右行 2.5.2无限制行驶规则 3补充分析模型 3.1加速和减速概率分布的设计 3.2设计来避免碰撞 4模型实现与计算机 5数据分析和模型验证 5.1平均速度 5.2快车的平均速度 5.3密度 5.4超车几率 5.5危险指数 6在不同速度限制下敏感性评价模型 7驾驶在左边 8交通智能系统 8.1智能系统的新规则
2015数学建模国赛论文设计A题
利用影子确定视频拍摄地点和日期的 建模和算法 摘要 本文研究的问题是如何通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期。 建模整体思路是，先建立一系列分析用到的物理量，设定一些假设和约束条件，使得问题求解有可行性，之后对这些物理量进行演绎。 建模使用的软件平台主要是matlab ，分析用到的主要参量是太阳赤纬、时角、高度角、方位角、纬度，分析过程当中用到的方法有，建立物理概念，明确物理意义，比如引用天球坐标系的概念，在天球坐标系的基础上进行物理分析，通过对建立的参变量进行物理关系的推导，形成公式体系进行求解，对题目所给予的影子坐标数据进行适当变换处理，使用matlab 进行合理的拟合，对于用公式法和方程法没法顺利解决的问题使用穷举法作为解题的补充，对于视频中坐标的取法用到了坐标转换的思想。 其中主要公式有 1.cos sin sin cosh A δω= 2.tanh H L = 3. sinh sin sin cos cosh cos A ?δ? -= 4. sinh=cos Ωcos φcos δ+sin φsin δ 第一问，通过物理量变换，先求出高度角，进而得到影子长度与时间变化关系。 第二问，拟合点求经度，取点套公式求纬度。 第三问，方程思想，过程复杂，采用穷举法近似实现求解。 第四问，难点在于通过视频分析，得到影子端点的变化坐标，进而将问题转化成第二问，已知日期（太阳赤纬），时间（时角），求解经度纬度。 关键词：天球坐标系 物理量演绎分析 matlab 数据拟合分析 二元方程组近似穷举法 坐标转换思想
1.问题重述与分析 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应 用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广 场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 分析：模型的参数有经度（地方时），纬度，日期（太阳赤纬） 如果能够根据这三个变量建立相关模型，则地球上任意地点任意时刻的物体影子的形状和方位都能够确定 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直 杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个 可能的地点。 分析：这属于一个模型的逆过程，根据已经得到的影子的轨迹形状、日期来推断地点 3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直 杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐 标数据，给出若干个可能的地点与日期。 分析：第三问与第二问的不同在于第二问有具体的日期，而第三问中并没有具体的日期这就为求解带来了一定的不确定性和难度 4． （1）附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。 （2）如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 分析：根据视频提取某一时刻的影子的长度，视角之间的转换关系，方向的确定都是值得分析的地方 2.模型约定与假设 本文采用如下假定： 1．太阳光线视为平行光