%E9%AB%98%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E8%AF%95%E9%A2%98%E5%8F%82%E8%80%83%E7%AD%94%
高等数学竞赛试题参考答案
工科类
一、计算题：
1．解 原积分
=555
51155=
=
3522(1)15x c +- 2．解 由洛比塔法则，
原极限=11
2220(1)ln(1)12(12)ln(12)lim (1)(12)(1)2(12)x x
x x x x x x x x x x x x x →??-++-+++-+??++??
而20
(1)ln(1)1lim
(1)2x x x x x x →-++=-+ 2012(12)l n (12)
l i m 12(12)
x x x x x x →-++=-+ 2
e
∴原极限=
3．解：当取p 满足()a p b p +=-+即2
b a
p +=-
时 积分
2
2
2
2007()2007200722
()
0b a b
b p
x p x x b a a
a p
x p e
dx x
e dx x e dx -++-+-+===?
?
?
4．解：原积分=
22
22
22
220
00b a
a
x a
b
a
b y b x a y b x a y a b
b x
a b dx e
dy dx e
dy xe dx dy e dx a
+=+?
????
??
=2222
22111(1)(1)(1)22a b a b a b e e e ab ab ab
-+-=- 5．解： S 圆柱面关于y 对称，且y 是奇函数
∴原积分=
2222
1()2482s
s
s
x ds y ds x y ds ππ==+=?=?????? 二、解：111121113
()()32313323133n
n
n k k U k k k k k k k ===+-=++-----∑∑
11
1111111
()32313123n
n
n k k V k k k k n n n ===++-=+++=--++∑∑
（1）10
101U V =（2）2211
111 1n n
n k k U k n k n n
====++∑∑
2
01
lim ln 31n x U dx x
→∞
∴==+?
三、解：圆柱面为{}
22
:(,,)|(2)4,04S x y z x y z π+-=≤≤
D 点坐标为（0，4，0），
E 点坐标可取为（2，2，0） （1）C 点坐标为（0，4，4π） 过C ，E 两点的直线方程为22224x y z
π
--==- ∴放转曲面方程2
2
22
182x y z π
+=+
（2）旋转曲面在xoz 的投影曲线方程为2
22
182x z π=+
∴4222
0116
(8)3223
V z dz π
ππππ=+
=+
? 四、解：(,,)f x y z 在D 的最大、最小值即为2(,,)g x y z x yz =+在
{}
222
'(,,)|1D x y z x y z =++=的最大、最小值
2222
2
1
1222
y z x x yz x ++≤+=+≤，而(1,0,0)1g =，即最大值为1 2222
2
3112222y z x x yz x ++≥-=-≥-
，而1(0,222
g -=-即最小值为12-
五、解：0
(),n n
n s x a x +∞==
∑则1
1
111
1
1
'()(1)n n n n
n n n n s x na x
a x
n x +∞
+∞
+∞
----=====+-∑∑∑
1
2
()(1)()(1)
n n x
s x n x s x x +∞
+==+
+=+-∑ 即2
'()()(1)x
s x s x x =+
-，且(0)2o s a ==
解方程1()1x
s x ce x =+
- 由(0)1s =?1()1x
s x e x
=+- 六、证明：（1）记()ln ()g x f x = 则'()'()()f x g x f x = 22
''(')
''()0
f f f
g x f -=> 1212()()()22g x g x x x g ++∴
≥ 即 21212()()()2
x x
f x f x f +≥
（2）2
222
''()'(0)''(')()(0)'(0)ln (0)|2(0)2x g f ff f g x g g x x f x x f f
ξξ=-=++=++ '(0)f x ≥ 即'(0)()f x
f x e ≥