合成波计算推导

简谐振动波的合成

（20050176 张文超）

任何简谐振动都可以表示为x = A cos (ωt+φ) 的形式 1、互相垂直的简谐振动波的合成（李萨如图形研究）

设两个简谐振动的方向分别沿着x 轴和y 轴，并表示为 x= A cos(ωt+φ) , y= Bcos (ωt+φ) 即x/A=cos ωtcos α - sin ωtsin α （1） y/B=cos ωtcos β - sin ωtsin β （2）

由（1）（2）两方程消去t ，就可以得到合振动的轨迹方程

x 2êA 2+y 2ê?2 xycos β?α=sin H L B 22 β?αH L 这是一个椭圆方程，所以在一般情况下，两个互相垂直的频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位差

β?α。

（1）β?α=0或π时，轨迹方程变为H êêL x A +y B 2

=0 此时的合振动轨迹

如下：假设A=1，B=1

相位差为0 相位差为π

（2）相位差β?α=π/2或者-π/2

这时合振动轨迹方程变为x 2êA 2+y 2êB 2

=1，这是以坐标轴为主轴的正椭圆。其

图象如下：

假设A=1，B=1）相位差为π/2或者-π/2 （3）相位差β?α=3π/4或者π/4，此时合振动轨迹轨迹如下：（A=1，B=1）

相位差β?α=π/4相位差β?α=3π/4

（4）假设沿xy轴的简谐振动波的方程分别为f(x)=sin2t,f(y)=sint

他们构成了一个参数方程其图象为

这是两个分振动频率比为1：2，相位差为0的图形（4）fx:fy=2:3

假设沿xy轴的简谐振动波的方程分别为f(x)=sin3t,f(y)=sin2t

他们构成了一个参数方程其图象为

相位差为0 相位差为π/4

总结：从李萨如图象中不难发现图象接点与两个分振动之间频率比存在的关系，因此可以利用李萨如图形，在已知一个振动频率的情况下，求得另外一个振动的频率。在物理实验的用示波器测量光速、声速实验中都用到了李萨如图形。 2、同一直线方向上的简谐振动波的合成

设两个简谐振动的方向分别沿着x 轴，并表示为 x1= A 1cos(ω1t+φ1) , x2= A2cos (ω2t+φ2) 合振动方程为

x=x1+x2=A1(cos ω1t+φ1) + A2cos (ω2t+φ2) 设对于两分振动频率相同的情况即ω1=ω2=ω

合振动方程可以表示为x =Acos ωt +?H L

下面为两波合成的图象分别为f1=2 cos x 和f2=3 cos x H L H L 合成

下面是两个频率相同的简谐波的合成图象

假设两波同频率相位差为π的奇数倍

不妨设两波为cos(x+π)与2cos(x)其图象如下

红色为合振动图象 空间内的合振动图象

总结：通过对图象的对比不难发现，当两个分振动相位相等或者相位差为π的偶数倍时，合振动的振幅等于两个分振动振幅之和；当相位差为π的

奇数倍时，合振动的振幅等于两个分振动振幅之差的绝对值。

2）假设两个分振动的频率有微小差别但振幅和初相位相同合振动可以表达为 x =2 Acos 8H ω2?ω1L ê<8H t 2 cos ω2+ω

1L ê<不妨设两方程为f1=cos(3x) f2=cos(2x) 则F= cos(3x) +cos(2x) t 2+?

其图形与合成振动图象如下

红色为F 图象 合振动空间图模型

总结：不难看出，当两个分振动的频率的不同时，合振动的振幅出现波动，

有大有小，图象不规则。

3、空间内波的合成（二维水波及波在空间中的干涉研究） 1）空间内两垂直波的叠加

空间内任意两垂直波的合成不妨设为m H x L =2 sin H 2 x L ;和

p y =2 sin 2 y ;H L H L 。

对于m x =2 sin 2 x ;H L H L 其图象为

对于p y =2 sin H L 2 y ;H L 其图象为‘

两波的合成F=2 sin 2 x H L +2 sin 2 y H L 其图象为

2） 水波

因为水波是在一个平面内的简谐波的传播其方程因是F=Asin(x^2+y^2+Ψ) 不妨设其方程为F=sin(x^2+y^2)则其图象为

3） 波的干涉研究

设S 1 S 2 是两个相干光源,他们发出的两列相干波在空间中相遇

设他们的方程分别为z1=A 1 H cos ωt +?1L z2=A 2 cos ωt +?H 2L

他们到达空间P 点的合振动可以表示为z

=z1+z2=Acos H cos ωt +?L

Lêλr是P点到光源的距离;两列相干波在P点所引起的振动的相位差??=?2??1?2 π r

H2?r1当?2=?1时

σ=r2?r1

半波长的奇数倍时振幅最小干涉减弱;是半波长的偶数倍时振幅最大干涉增强下面是空间图象

两列相干波在空间内的干涉图

总结：对于空间两列相干波的干涉，空间点到波源距离之差为半波长的奇数

时，干涉减弱；当距离之差为半波长的偶数倍时，干涉即振幅最强。