光电效应测普朗克常数思考题

一、光电效应的定义

电子在光的作用下从某些物质表面发射出来的现象称为光电效应。逸出来的电子称为光电子。

光电效应分为内光电效应和外光电效应。内光电效应是指被光激发所产生的载流子（自由电子或空穴）仍在物质内部运动，使物质的电导率发生变化或产生光生电动势的现象。内光电效应又可分为光电导效应和光生伏特效应。外光电效应是指被光激发产生的电子逸出物质表面，形成真空中的电子的现象。

单光子的光电效应是指某一时刻物质表面的每个电子只吸收一个光子，这也是通常所说的光电效应。如果单位体积内同时相互作用的能量子的数目大到使得发射光的能量子可以从几个入射能量子中取得能量，即一个电子可以同时吸收两个及两个以上的光子，就称为多光子的光电效应。在此情况下，光电效应的规律有相应的变化：

1. 光电流与入射光强的n 次幕成正比，而不限于线性关系；

2. 入射光强决定能否产生n 光子光电效应，由推广的爱因斯坦光电效应方程A nh E -=νmax 可知，它对光电子的最大动能是有影响的；

3. 红限（极限频率）已经失去原有的意义，在原来单光子的光电效应下，钠、金、银、钨、镍等需用绿蓝光（甚至紫外光）才能产生光电效应，现在红色（甚至红外）的激光都能使这些金属产生光电效应。

电光效应是指将物质置于电场中时，物质的光学性质发生变化的现象。比如某些各向同性的透明物质在电场作用下显示出光学各向异性，物质的折射率因外加电场而发生变化。电光效应包括泡克耳斯效应和克尔效应。

二、光电效应可以测普朗克常数的原理

爱因斯坦光电效应方程为

A mv h +=2021

ν (1)

式中，A 为金属的逸出功，2021

mv 为光电子获得的初始动能。 根据该式，入射到金属表面的光频率越高，逸出的光电子动能越大，所以即使光电管阳极电势低于阴极电势时也会有光电子到达阳极形成光电流，直至两极电势差低于截止电压，光电流才为零。此时有关系

2

0021mv eU = (2) 将(2)式代入(1)式可得

A h eU -=ν0

即

e A

e h U -=ν0

上式表明截止电压0U 是入射光频率ν的线性函数，直线斜率/k h e =。只要

用实验方法得出不同频率对应的截止电压，求出直线斜率，就可以算出普朗克常数h 。

三、普朗克常数的重要性

1900年普朗克为了解释黑体辐射实验，引入了能量交换量子化的假说：νεh =。其中普朗克常数h 的意义是，量子化的量度，即它是不连续性（分立性）程度的量度单位。普朗克常数的重要性如下。

1. 普朗克常数是量子力学的基石与灵魂

纵观量子理论，普朗克常数h 是其基石与灵魂。只有与它携手，才能跨入量子物理的大门。只要跨入量子理论的大门，就随处可以看到它的身影。从经典物理到量子物理，这是质的飞跃。在发生这种质的飞跃中，普朗克常数h 起到了至关重要的作用。量子力学是诞生于二十世纪的伟大理论，它与相对论共同构成了新物理学的辉煌。伴随着量子论的建立，普朗克常数h 登上了现代物理学的舞台，并从此成为量子理论的基石。可以设想，如果没有普朗克常数h ，量子力学是无法建立的。无论是海森堡、狄拉克创立的矩阵形式的量子力学，还是德布罗意、薛定谔创立的波动形式的量子力学，普朗克常数都起到了基石与灵魂的作用。

1925年，德国物理学家海森堡根据“原子理论应当基于可观测量”的思想，指出与物理学可观测量密切相关的在于两个玻尔轨道，而不是一个轨道。如果每个可观测量与两个因素有关，要将两个因素决定的某种性质的一组量整体表述出来，这正是数学中的矩阵。将物理学中的可观测量作为矩阵中的元素，将每个元素与两个轨道（确切地说是两种状态）相联系，从而建立一个力学变量与一个矩阵的关系，这正是海森堡建立描述微观粒子行为的矩阵力学的基本思想。

矩阵运算不满足乘法交换律。然而，通常的动力学变量却不具备这一性质。

要将矩阵力学与已有的动力学理论相协调，必须找到它们之间的变换关系。奇妙的是此前一百多年哈密顿建立的动力学方程对此可以发挥作用。海森堡发现，只要将哈密顿形式的力学方程中出现的泊松括号作如下变换

[]π2,ih ba

ab b a -→

所得到的动力学方程则服从非交换性。这就是说，有了上述变换，一切已有的动力学模型都能得到对应的海森堡矩阵力学模型。

按照哈密顿动力学理论，任何一个动力学变量u 有如下方程

[]H u dt du

,=

H 是哈密顿力学理论中的总能量。结合泊松括号的变换，可以得到

π2ih Hu

uH dt du

-=

这样就建立了所有动力学方程与海森堡矩阵力学的对应关系。

由此可见，海森堡是通过泊松括号的变换将普朗克常数h 引入，从而建立了矩阵形式的量子力学理论。在这种变换中普朗克常数h 起了至关重要的作用。

作为另一种形式的量子力学理论是同年奥地利物理学家薛定谔在德布罗意物质波理论基础上建立起来的波动力学。德布罗意提出的波函数概念建立了波与粒子的联系。按照德布罗意的思想，与微观粒子状态想联系的是波函数，波函数

),,,(t z y x ψ模的平方2),,,(t z y x ψ与粒子t 时刻出现在),,(z y x 处的几率相对应。

然而，德布罗意的理论仅仅适用于不受任何力作用的自由粒子，尚不是一种普遍的理论。薛定谔接受了德布罗意的思想，研究了电场、磁场对粒子作用下的普遍情况，从而发展了这一理论。在薛定谔所建立的波动力学理论中，一个关键性的环节是引入了算符对波函数),,,(t z y x ψ的作用。

引入动量算符P 与能量算符E

?-→π

2ih

P t

ih E ??→π2 从而得到波函数随时间变化的规律，即薛定谔方程

ψ+ψ?-=?ψ

?)(822

22

r u m h t ih ππ

z k y j x i ??

+??

+??

=?

这样就建立了波动形式的量子力学基本方程。

由此可见，薛定谔是通过算符将普朗克常数h 引入，从而建立波动形式量子力学理论的。在这种变换中，h 仍然起了至关重要的作用。

从本质上讲，海森堡的矩阵力学与薛定谔的波动力学是等价的。只是处理问题的方式不同。无论是海森堡通过泊松括号的变换，还是薛定谔通过算符的作用，最终都是巧妙地将普朗克常数h 引入才建立量子力学理论的。无论何种形式的量子力学理论，普朗克常数h 都起到了基石与灵魂的作用。

2. 普朗克常数是量子概念的基准

普朗克常数h 的量纲是(能量×时间)，这正是作用量的量纲。这说明h 是作用的最小单元，因此h 也称作“作用量子”。无论是普朗克的能量子，还是爱因斯坦的光量子，最小能量与频率之比总要等于自然常数h 。

由于量子力学的诞生，产生了诸多与经典物理学完全不同的量子概念。这些量子概念都与普朗克常数h 密切相关。 h 成为区分经典物理与量子物理的基准。 1）h 是不确定度的基准

作为量子理论的一条基本原理是海森堡于1927年建立的不确定度原理。不确定度原理指出：“不能以任意高的精确度同时测量粒子某些成对的物理性质。”应用量子力学的理论可以证明，凡是乘积具有普朗克常数h 量纲的成对物理性质都不能以任意高的精确度同时确定。而这种精确度正是以普朗克常数h 为基准的。如粒子动量与坐标，能量与时间的不确定度关系是我们所熟知的

4x h x P π??≥ 4h

t E π??≥

以h 为基准，应用不确定度关系可以对微观粒子物理量的不确定程度作出估计，从而决定是运用经典力学处理，还是运用量子力学方法处理。如电子在数千伏电压加速下的速度约为710/m s ，速度的不确定度约为110/m s -。711010- ,电子的运动可视为确定的，可用经典力学方法处理。而电子在原子中的运动速度约为610/m s ,原子的线度约为1010m -，由不确定度关系可知，速度的不确定量约

为610/m s ，这说明电子在原子中的运动并没有确定的轨道，不能用经典力学处理，须用量子力学方法处理。

2）h 是波粒二象性的基准

波--粒二象性是微观粒子的基本属性。微观粒子的行为是以波动性为主要特征，还是以粒子性为主要特征，依然是以普朗克常数h 为基准来判定。

在粒子物理学中，微观粒子的动量公式、能量公式是寓意深刻的。

动量公式为

h

p λ=

能量公式为

E h ν=

动量P 与能量E 是典型的描述粒子行为的物理量，波长λ与频率ν是典型的描述波动行为的物理量。将描述波动行为的物理量与描述粒子行为的物理量用同一个公式相联系，这正寓意了波粒二象性。而联系二者的正是普朗克常数h ，这的确是神来之笔。根据上述公式可以了解动量为P 、能量为E 的粒子的波长与频率，结合相应的物理过程自然可以判断是粒子性呈主要特征，还是波动性呈主要特征。

3）h 是量子化条件的限度

量子化条件是量子力学的基本特征。继普朗克提出能量量子化条件之后，1913年玻尔提出的原子理论是富有创造性的。玻尔在描述原子内电子的运动时，创造性地引入量子化条件曾被狄拉克誉为人类超越经典理论所迈出的“最伟大的一步”。虽然玻尔的理论并非自然的量子力学理论，但他最先将卢瑟福的原子核式模型与普朗克的量子论相结合，创造性地提出了原子内电子的能级条件与电子运动的轨道角动量量子化条件。玻尔于1913年7月在《哲学杂志》上以“论原子和分子结构”为题，发表了他的能级假说：“原子只能具有分立的能量值，能量值的改变与发射或吸收能量子E h ν=有关。”并提出了原子内电子的跃迁条件与轨道角动量的量子化条件

(1,2,3,)n m nm E E h n ν-==

由此可见，在玻尔的原子理论中，量子化条件是十分重要的。而这种量子化

条件依然是以普朗克常数h 为基准的。

按照量子力学的理论，微观粒子的状态须受到量子化条件的制约。1925年，泡利应用量子态、量子数的概念提出了著名的不相容原理：“在一个原子系统内不可能有两个或两个以上的电子具有相同的状态。”即原子内的电子不能具有完全相同的量子数。这一原理成为微观粒子状态的客观描述。如在原子中，不仅原子能量是量子化的，诸如电子轨道角动量、轨道角动量的空间取向、自旋角动量等物理量也是量子化的。

轨道角动量量子化条件

)1(+=l l L

轨道角动量的空间取向量子化条件

l Z m L =

自旋角动量的空间取向量子化条件

S Z m S =

不仅描述原子、电子等微观粒子的行为须用到量子化条件，在超导现象中，磁通量也须用到量子化条件。对于非超导体，环形电流在环内的磁通量可以取任意值。然而，对于超导体，环形电流在环内的磁通量却不可以取任意值。因为超导电流在环内流动时，要求波函数的相位须是2π的整数倍。

由此可见，量子化条件成为量子理论的重要特征。而所有的量子化条件须以普朗克常数h 为基准。

3. 普朗克常数是一个神奇的常数

纵观物理学中的基本常数，普朗克常数h 是最为神奇的。

在物理学基本常数中，有些是通过实验直接观测发现的，如光速c 、电子电量e 、真空磁导率0μ、真空电容率0ε等，也有一些是在建立相关定律、定理时被

引入，或间接导出的，如万有引力恒量G 、阿伏加德罗常数A N 、玻尔兹曼常数K

等。无论是通过实验直接发现的常数，还是建立相关定律引入、导出的常数，通常是容易被理解、接受的，因为我们对这类常数容易形成感性认识。而普朗克常数h 则是在事先没有任何感性认识，确切地说是在没有任何思想准备的情况下，完全凭着人的创造性智慧偶然发现的。然而，它却是物理学中一个实实在在的基

本常数。

1900年10月，德国物理学家普朗克在寻找用内插法得到的黑体辐射公式的理论依据过程中，其中最具根本性意义的是引入了能量不连续的量子思想。“在整个计算中最重要的一点是认为E 是由一些数目完全确定的、有限而又相等的部分组成的……”他最终明白，只有辐射能量E 与辐射频率之比是一个自然常数h 的整数倍时才能得到正确的辐射公式。普朗克正是凭着坚韧的毅力与创造性思维发现了这一隐藏在茫茫自然中的物理学基本常数h 。截止目前，h 的公认值是

346.62617610J s -??.虽然发现h 后人们对h 值作过多次修正，但其数量级3410-始终确定。如此之小却不为零的常数划开了经典物理与量子物理的分界线。正如著名物理学家金斯曾经评论说：“虽然h 的数值很小，但是我们应当承认它是关系到保证宇宙存在的。如果说h 严格地等于零，那么宇宙间的物质能量将会在十亿分之一秒的时间内全部变成辐射……禁止发射任何小于h ν的辐射的量子论，实际上是禁止了除了具有特别大量的能可供发射的那些原子以外的任何发射。”

随着普朗克常数h 作为物理学基本常数地位的确立，普朗克本人也认识到了这一基本常数的重要性。最初，当人们试图从量纲的角度考虑描述原子大小时，用电子的电量e 、电子的质量m 、电子的运动速度v 将原子的半径表示为

2

2()e a A A mv =为常数

如此的组合虽然有长度的量纲，但这种组合显然是错误的。因为上式中的a 、v 可以取任意值，这与观测结果不符。普朗克在发现普朗克常数h 后，立即意识到可以引入普朗克常数h 来表示原子的大小。依然从量纲分析，他所给出的公式为

2222

22

)(e c

mc e me a ==

我们注意到，普朗克在将普朗克常数h 引入的同时，也将与相对论有关的光速c 引入到公式中，而普朗克常数h 、光速c 、电子电量e 的组合

2c

e

恰恰是原子精细结构常数α的倒数137.03（高斯制单位）。如此计算得到的原子大小为100.510m -?，这与实际相吻合。

1912年普朗克用微观领域的基本常数——普朗克常数h 、宏观领域的基本常数——万有引力常数G 、宇宙常数——光速c 这三个最重要、最特殊的常数组合，得到了自然界中空间、时间、质量的基本值

1

2353 4.0510P G h L m c -??==? ???

1

2435 1.3510P G h T m c -??==? ???

1

285.4610P hc M kg G -??==? ???

这些基本值分别称之为普朗克空间、普朗克时间、普朗克质量。令人惊叹的是这些基本值不仅在现代物理学微观领域的研究中发挥了重要作用，而且在宇观领域研究中也发挥了重要作用。

普朗克空间、普朗克时间意味着空间、时间并非无限可分，依然存在着最小单元。长度的最小单元是3510m -、时间的最小单元是4310s -，这是空间、时间的量子化，欲观测比3510m -更小的空间、或记录比4310s -更短的时间是不可能的，无意义的，3510m -、4310s -正是空间、时间的量子极限。小于普朗克空间，万有引力的作用将失效，小于普朗克时间所有的物理学定律也都失效。

在宇宙学问题的研究中发现，发生在约二百亿年前的大爆炸至今弥漫在宇宙中的余辉——微波背景辐射，其频率分布与普朗克公式有很好的一致。由普朗克公式得知与微波背景辐射相应的热力学温度是3K ，这正是我们常说的3K 背景辐射。

按照现代宇宙学理论，我们可以推演发生大爆炸4410s -之后宇宙的演化，尚不能追溯此前的情形；在空间尺度上我们也只能推演大于3510m -之后的宇宙膨胀，尚不能了解比此值更小的情形，这是由于量子原理对时空精度限制所决定的。然而，这一时间界限与普朗克时间非常接近，这一空间界限与普朗克空间非常接近。这是一种巧合还是蕴涵着更深层次的意义虽然尚不得而知，但普朗克常数h 在物理学前沿研究中的重要地位是显而易见的。

目前，最有希望实现物理学统一理论的是超弦理论。按照超弦理论，由弦组

成的宇宙是10维的。在这10维中，有6维对应的6个卷曲小环小于h数量级，而另4个是超过h数量级的。而在宇宙中我们人类所能看到的只有4维，即3维空间加1维时间。其余抽象的6维是我们人类所不能看到的。在这里，依然以普朗克常数h为界限。凡此种种使我们有理由相信，普朗克常数h极有可能在最终建立的物理学超统一理论中也占有重要的地位。

物理学常数

四、光电效应的历史

1887年，赫兹在用莱顿瓶放电的实验中，发现电磁波，并确定其传播速度等于光速。赫兹的实验使麦克斯韦的电磁波理论得到全部验证。正是在这个实验里，赫兹注意到，当紫外光照在火花隙的负极上，放电就比较容易发生。这是光电效应的早期征兆。

赫兹的发现以论文《紫外线对放电的影响》发表于1887年，随即引起了广泛反响。1888年，德国物理学家霍尔瓦克斯、意大利的里奇和俄国的斯托列托夫几乎同时作了新的研究，实验表明负电极在光照下（特别是紫外线照射下）会放出带负电的粒子，形成电流。1889年，爱耳斯特和盖特尔进一步指出，有些金属（如钾、钠、锌、铝）不但对强弧光有光电效应，对普通太阳光也有同样效应，而另一些金属（如锡、铜、铁）则没有。对于锌板，要加 2.5V

电压，才能在光照下保持绝缘。

1899年，J.J.汤姆孙测出了光电流的荷质比，计算得光电粒子的荷质比/e m 与阴极射线的荷质比相近，都是11

10/c kg的数量级。这就肯定光电流和阴极射线实质相同，都是高速运动的电子流。原来光电效应就是由于光，特别是紫外光，照射到金属表面使金属内部的自由电子获得更大的动能，因而从金属表面逃逸到空间的一种现象。不过这只是一种定性解释。要根据经典电磁理论建立定量的光电效应理论，却遇到了难以克服的困难。

1900年，勒纳德为了研究光电子从金属表面逸出时所具有的能量，在电极间加反向电压，直到使光电流为零，从反向电压的截止值（即截止电压）V，可以推算电子逸出金属表面的最大速度。勒纳德用不同材料做阴极，用不同光源照射，发现都对截止电压有影响，唯独改变光的强度对截止电压没有影响。

电子逸出金属表面的最大速度与光强无关，这就是勒纳德的新发现。但是这个结论与经典理论是相矛盾的。根据经典理论，电子接受光的能量获得动能，应该是光越强，能量也越大，电子的速度也就越快。和经典理论有抵触的实验事实还不止于此，在勒纳德之前，人们已经遇到了其他矛盾，例如：1.光的频率低于某一临界值时，不论光有多强，也不会产生光电流，可是根据经典理论，应该没有频率限制；2.光照到金属表面，光电流立即就会产生，可是根据经典理论，能量总要有一个积累过程。

本来这些矛盾正好揭露了经典理论的不足，可是勒纳德却煞费苦心地想出了一个补救办法，企图在不违反经典理论的前提下，对上述事实作出解释。他在1902年提出触发假说，假设在电子的发射过程中，光只起触发作用，电子原本就是以某一速度在原子内部运动，光照到原子上，只要光的频率与电子本身的振动频率一致，就发生共振，所以光只起打开闸门的作用，闸门一旦打开，电子就以其自身的速度从原子内部逸走。他认为，原子里电子的振动频率是特定的，只有频率合适的光才能起触发作用。他还建议，由此也许可以了解原子内部的结构。勒纳德的触发假说很容易被人们接受，当时颇有影响。

1905年，还没有当上专利局二级技术员的爱因斯坦提出了光量子理论和光电方程。他在论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》中，总结了光学发展中微粒说和波动说长期争论的历史，揭示了经典理论的困境，提出只要把光的能量看成不是连续分布，而是一份一份地集中在一起，就可以作出合理的解释。爱因斯坦发展了普朗克的能量子概念，提出了光量子假说，并运用到光的发射和转化上，很好地解释了光电效应等现象。

爱因斯坦的光量子理论没有及时得到人们的理解和支持。这并不是完全是由于勒纳德的触发假说占有压倒优势，因为不久这一假说即被勒纳德自己的实验驳倒，而是在于传统观念束缚了人们的思想。而且他提出截止电压与频率成正比的线性关系，并没有直接的实验依据，因为测量不同频率下纯粹由光辐射引起的微弱电流是一件十分困难的事。

直到1916年，才由密立根作出了全面的验证。它的实验非常出色，主要是排除了表面的接触电位差、氧化膜的影响，获得了比较好的单色光。他选择了三种逸出功比较低的材料——锂、钠、钾作为光阴极，置于特制的真空管中，分别接受光的照射，同时测其光电流，由此得到截止电压值与对应的频率的直线关系图，从直线的斜率求出普朗克常数346.5610h J s -=??，与普朗克1900年从黑体辐射求得的结果符合甚好。爱因斯坦对密立根光电效应实验作了高度的评价，指出：“我感激密立根关于光电效应的研究，它第一次判决性地证明了在光的影响下电子从固体发射与光的振动周期有关，这一量子论的结果是辐射的粒子结构所特有的性质。”

正是由于密立根全面地证实了爱因斯坦的光电方程，光量子理论才开始得到

人们的承认。

五、其他可以测普朗克常数的方法

1. 利用黑体辐射测定普朗克常数

根据普朗克定律，受热表面辐射的能量是量子化的，每一个能量子——光子所具有的能量为

εω=

式中ω是光子的角频率，2h π=

，h 表示普朗克常数。由普朗克公式给出黑

体辐射强度的频率分布 3

(,)exp(/)1B N B T h K T ωωω=-

式中N 是常数，T 是辐射体的绝对温度，B K 是玻耳兹曼常数。只要辐射体

近似于黑体，常数N 就与频率和温度无关。因此，在同一频率和不同温度测量的辐射强度之比为

1

1222211(,)exp(/)1exp(/)(,)exp(/)1exp(/)B B B B B B T h K T h K T B B T h K T h K T ωωωωωω-==≈-

这一近似式就是维恩公式。当116.50410ω>?，它与实验结果符合得很好。式中ω的单位是1rads -，而T 的单位是K 。因此比值/B h K 可表示为

12121ln (1/1/)B B h

K T T B ω=-

对普朗克常数和玻耳兹曼常数，知道其中一个，就可以用上式求出另外一个。

2. 利用玻尔氢原子理论测定普朗克常数

根据玻尔的氢原子理论，原子只能处于能量不连续的定态，各个定态能量的数值称为能级。当原子从一个定态跃迁到另一个定态时，会发射或吸收一个光子，这个光子的频率取决于这两个能级之差，电子从较高能级m E 跃迁到较低能级n E 时，发射出一个光子，其频率为ν，有

m n h E E ν=- 有c

νλ=，所以

()m n h E E c λ

=-

又根据玻尔的氢原子理论，氢原子的能量状态为

213.6()n E eV n =- 由213.6()4E eV =-，213.6

()E m eV m =-，则

213.611()4eV h c m λ=-

- 氢原子光谱中同一谱线系是氢原子由各个较高能级向同一低能级跃迁时形成的一系列光谱线，其中可见光范围内的四条谱线(,,,)αβγδ属于巴耳末系，根据上式，只要分别测出氢原子光谱,,,H H H H αβγδ相应的波长,,,αβγδλλλλ，即可测得h 。

3. 利用发光二极管测定普朗克常数

发光二极管的核心部分是由P 型半导体和N 型半导体组成的晶片，在P 型半导体和N 型半导体之间有一个过渡层，称为P N -结。在某些半导体材料的P N -结加正向电压时，注入的少数载流子与多数载流子复合会把多余的能量以光的形式释放出来，从而把电能直接转换为光能。P N -结加反向电压时，少数载流子难以注入，故不发光。这种利用注入式电致发光原理制作的二级管叫发光二极管，通称LED 。当它处于正向工作状态时（即两端加上正向电压），电流从LED 阳极流向阴极时，半导体晶体就会发出从紫外到红外不同颜色的光，光的强弱与电流有关。

当电流正向通过P N -结，自由电子从N 型半导体进入P 型半导体，当这些电子重新组合时，能量被释放，这些能量来自于晶格的振动，主要以光的形式释放出来。在L E D 中，能量来源于电池或直流发电机。电子通过二级管时，电场力对每个电子做功，假设一段时间内，流过二极管有n 个电子，则电场力对电子做的总功为

W neU =

e 为单个电子电量，U 为电源电压。若二极管发出n 个光子，其总能量为

nhc

E nh νλ==

式中h 为普朗克常数，c 为光速，ν为释放出的光的频率，λ为波长。在不

计能量损失的情况下，电场力对电子做的功全部转化为光能，则有

nhc

neU λ=

即

eU h c λ

=

测出波长λ，即可由上式求出h 。

4. X 射线连续谱短波限法

电子打到靶上发射的X 射线是连续谱，但有一极限值，其最高频率ν或最小波长λ相当于电子全部能量都转移为单个光子的能量，设电子经电压V 加速，则

c

eV h h νλ==

或

e V

h c λ=

测出最小波长λ，即可由上式求出h 。

5. 电子衍射法

根据德布罗意关系式

h

P λ==

即

h =

式中λ是电子的德布罗意波长，m 是电子的质量，212k E m v =是电子的动能。电子的德布罗意波长可以用晶体衍射法测定，如果再测出电子的速度或动能，就可以求出h 。

6. 电子-正电子对湮灭辐射法

当电子和正电子处于静止的理想状态下发生湮灭，湮灭过程中释放能量

22E mc =

被两个等同的光子沿相反的方向带走，则每个光子的能量为2mc ，而其波长为

2hc

h m c m c λ==

即

h m c λ=

测出波长λ，即可求得h 。

7. 利用交流约瑟夫森效应测定普朗克常数

1962年约瑟夫森预言，两块超导体构成弱耦合时将会出现电子隧道效应。所谓弱耦合，是指两块超导体之间被一层极薄（例如1nm 左右）的绝缘层（例如氧化层）隔开，或靠极尖细的超导线实现点接触，组成“桥”。经过弱耦合的超导体形成约瑟夫森结。如果在这两块超导体上加一直流电压，就会出现隧道电流。超流电子对能够无阻碍地通过绝缘层或桥，这就是所谓的直流约瑟夫森效应；而交流约瑟夫森效应指的是这一弱耦合的超导体，具有吸收或发射电磁波的特性，这就像是一个电压——频率转换器。约瑟夫森证明，电磁波的频率ν与电压V 的关系为

2e

V h ν=

系数2/J e h K =称为约瑟夫森常数。如果在超导结上照射频率为ν的微波辐

射，则在超导结两侧形成/2n V nh e ν=的电压台阶。

从约瑟夫森结的频率——电压关系可以精确测定2/e h 的值，从而得到h 的值。

8. 利用量子霍耳效应测定普朗克常数

1980年，冯·克利青从金属一氧化物——半导体场效应晶体管（MOSFET ）发现量子霍耳效应。他在硅MOSFET 管上加两个霍耳电极，把MOSFET 管放到强磁场和深低温下，证明霍耳电阻随栅压变化的曲线上出现一系列平台，与平台相应的霍耳电阻等于

2

(/)(1,2,3,)H R h e i i =?= 1981年，冯·克利青报告了他用不同类型的硅MOSFET 管在强磁场和深低温下测到的霍耳电阻，得2/25812.790.04K R h e ==±Ω，其中K R 称为冯·克利青

常数。

有了量子霍耳效应，基本物理常数的测定又一次登上新的台阶。由约瑟夫森常数J K 可得2/e h ，由K R 可得2/h e ，两者综合，可以由24/J K K R h ?=得到h 。