三角函数的图像和性质练习题
周末测试题3.21
一、选择题
1．集合A ＝{x |x ＝k π＋π2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k π－π2
，k ∈Z }，则A 与B 的关系是( ) A ．A B B ．B A
C ．A ＝B
D ．以上都不对 [答案] C
[解析] 在坐标系中画出两个集合中的角的终边可知A ＝B .
2．如果α是第三象限的角，则下列结论中错误的是( )
A ．－α为第二象限角
B ．180°－α为第二象限角
C ．180°＋α为第一象限角
D ．90°＋α为第四象限角
[答案] B
[解析] －α与α终边关于x 轴对称；180°＋α终边与α终边关于原点对称；∵180°－α终边与－α终边关于原点对称，∴180°－α终边与α终边关于y 轴对称．
3．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55 B.255
C ．－
55 D ．－255 [答案] B
[解析] 由三角函数的定义知，x ＝－1，y ＝2，r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝255
.
4．函数y ＝sin ???
?－x 2＋π4的最小正周期是( ) A ．π
B ．2π
C ．4π
D.π2
[答案] C
5．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin θcos θ的值是( ) A ．－310
B.310 C ．±310 D.34 [答案] B
[解析] 由sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2得，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310
. 6．已知α＝5π8
，则点P (sin α，tan α)所在的象限是( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] D
[解析] ∵π2<5π8
<π，∴sin α>0，tan α<0， ∴点P 在第四象限．
7．已知角θ在第四象限，且????sin θ2＝－sin θ2，则θ2
是( ) A ．第一象限或第三象限
B ．第二象限或第四象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] D
[解析] ∵θ在第四象限，∴θ2
在二或四象限， 又∵????sin θ2＝－sin θ2
， ∴sin θ2≤0，∴θ2
在第四象限． 8．函数y ＝sin|x |的图象是( )
[答案] B
[解析] y ＝sin|x |为偶函数，排除A ；y ＝sin|x |的值有正有负，排除C ；当x ＝π3
时，y >0，排除D ，故选B.
9．下列函数中，图象关于直线x ＝π3
对称的是( )
A ．y ＝sin ?
???2x －π3 B ．y ＝sin ?
???2x －π6 C ．y ＝sin ?
???2x ＋π6 D ．y ＝sin ????x 2＋π6
[答案] B
[解析] ∵x ＝π3时，2x －π6＝π2
， y ＝sin ?
???2x －π6取到最大值1，故选B. 10．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( )
A.35
B ．－35 C.45 D ．－45
[答案] B
[解析] ∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝－5a ，
∴sin α＝3a r ＝－35
，故选B.
二、填空题
11．(2010·苏北四市)设α是第三象限角，tan α＝512
，则cos(π－α)＝________. [答案] 1213
[解析] ∵α为第三象限角，tan α＝512
， ∴cos α＝－1213，∴cos(π－α)＝－cos α＝1213
. 12．已知关于x 的方程2sin ???
?x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，则实数k 的取值范围是________．
[答案] 1≤k < 2
[解析] 令y 1＝2sin ???
?x ＋π4，(0≤x ≤π)，y 2＝k ，在同一坐标系内作出它们的图象如图，由图象可知，当1≤k <2时，直线y 2＝k 与曲线y 1＝2sin ???
?x ＋π4 (0≤x ≤π)有两个公共点，
即1≤k <2时，原方程有两解．
13．已知函数y ＝a cos ????2x ＋π3＋3，x ∈???
?0，π2的最大值为4，则实数a 的值为________． [答案] 2或－1
14．函数y ＝2cos ?
???2x ＋π6在????－π6，π3上的最大值与最小值的和为________． [答案] 2－ 3
[解析] ∵－π6≤x ≤π3
， ∴－π6≤2x ＋π6≤5π6
， ∴－32
≤cos ????2x ＋π6≤1，∴－3≤y ≤2. 15．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin(－α－3π2)sin(3π2－α)tan 3αcos(π2－α)cos(π2＋α)＝________.
[答案] 34
[解析] 由已知得sin α＝－35
. ∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45
. ∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)3sin α·(－sin α)
＝sin αcos α＝34. 三、解答题
16．若sin α，cos α是关于x 的方程3x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求实数m 的值．
[解析] ????? Δ＝(6m )2－4×3(2m ＋1)≥0 ①sin α＋cos α＝－2m ②sin α·cos α＝2m ＋13 ③，
由②③得4m 2＝1＋2(2m ＋1)3
，∴12m 2－4m －5＝0. ∴m ＝－12或m ＝56，m ＝56不适合①，m ＝－12
适合①， ∴m ＝－12
. 17．已知函数f (x )＝2a sin ????2x －π3＋b 的定义域为????0，π2，函数最大值为1，
最小值为－5，求a 和b 的值．
[解析] ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3
. ∴－32
≤sin ????2x －π3≤1. 若a >0，则??? 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5
， 解得??? a ＝12－63b ＝－23＋123
， 若a <0，则??? 2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1
， 解得???
a ＝－12＋63
b ＝19－123
， 综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋123，或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.
18．(本题满分12分)已知cos ????θ＋π2＝－12
，求 cos(θ＋π)
sin ????π2－θ[]cos(3π－θ)－1＋cos(θ－2π)
cos(－θ)·cos(π－θ)＋sin ????θ＋5π2的值． [解析] ∵cos ????θ＋π2＝－12，∴sin θ＝12
， 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ
＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ
＝8 .19．(本题满分12分)已知cos x ＋sin y ＝12
，求sin y －cos 2x 的最值． [解析] ∵cos x ＋sin y ＝12，∴sin y ＝12－cos x ， ∴sin y －cos 2x ＝12
－cos x －cos 2x
＝－?
???cos x ＋122＋34， ∵－1≤sin y ≤1，∴－1≤12
－cos x ≤1， 解得－12
≤cos x ≤1， 所以当cos x ＝－12时，(sin y －cos 2x )max ＝34
， 当cos x ＝1时，(sin y －cos 2x )min ＝－32
. [点评] 本题由－1≤sin y ≤1求出－12
≤cos x ≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方．
20．(本题满分12分)已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12
. (1)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最值，并求取得最值时的x ；
(2)判断其奇偶性．
[解析] (1)∵y ＝a －b cos3x ，b >0，
∴??? y
max ＝a ＋b ＝32y min ＝a －b ＝－12，解得?????
a ＝12
b ＝1， ∴函数y ＝－4a sin(3bx )＝－2sin3x .
∴此函数的周期T ＝2π3
， 当x ＝2k π3＋π6
(k ∈Z )时，函数取得最小值－2； 当x ＝2k π3－π6
(k ∈Z )时，函数取得最大值2. (2)∵函数解析式f (x )＝－2sin3x ，x ∈R ，
∴f (－x )＝－2sin(－3x )＝2sin3x ＝－f (x )，
∴y ＝－2sin3x 为奇函数．
21．(本题满分14分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R )．
(1)求g (a )；
(2)若g (a )＝12
，求a 及此时f (x )的最大值． [解析] (1)由f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x
＝1－2a －2a cos x －2(1－cos 2x )
＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)
＝2?
???cos x －a 22－a 22－2a －1.这里－1≤cos x ≤1. ①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a 2时，f (x )min ＝－a 22
－2a －1； ②若a 2
>1，则当cos x ＝1时，f (x )min ＝1－4a ； ③若a 2
<－1，则当cos x ＝－1时，f (x )min ＝1. 因此g (a )＝????? 1 (a <－2)－a 22－2a －1 (－2≤a ≤2)
1－4a (a >2).
(2)∵g (a )＝12
. ∴①若a >2，则有1－4a ＝12，得a ＝18
，矛盾； ②若－2≤a ≤2，则有－a 22－2a －1＝12
， 即a 2＋4a ＋3＝0，∴a ＝－1或a ＝－3(舍)．
∴g (a )＝12
时，a ＝－1. 此时f (x )＝2?
???cos x ＋122＋12， 当cos x ＝1时，f (x )取得最大值为5.
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
三角函数图像与性质经典题型 题型1：三角函数的图象 例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ） 解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所 以排除A 、C ，当x ∈（0， 2 π ）时，y ＝－xc os x ＜0。 题型2：三角函数图象的变换 例2．试述如何由y =31sin （2x +3 π ）的图象得到y =sin x 的图象。 解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍 横坐标扩大为原来的3 πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313 π =????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=?????????→?横坐标不变 倍 纵坐标扩大到原来的 例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移 2 π 个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲 线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0 D ．－(y +1)sin x +2y +1=0 解析：将原方程整理为：y = x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π 个单位和1个单位，因此可得 y = ) 2 cos(21π -+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0. 题型3：三角函数图象的应用 例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +?）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。 解析：根据图象得A =2，T = 27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2 x +?），又由图象可得相位移为－2π，∴－2 1? = － 2 π，∴?= 4π.即y =2sin （21x +4π）。根据条件3=2sin （4 21π+x ），∴421π+x =2k π+ 3π(k ∈Z )或 4 21π+x =2k π+32 π（k ∈Z ），∴x =4k π+ 6 π （k ∈Z ）或x =4k π+ 65π（k ∈Z ）。∴所有交点坐标为（4k π+3,6 π）或（4k π+3,65π ）（k ∈Z ）。点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。 题型4：三角函数的定义域、值域 例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。 解析：（1）0≤c os x ＜1?2k π－ 2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2 π ，2 k
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数图象性质一览表 正弦定理、余弦定理及应用 设ABC △的外接圆的半径是R ，内切圆的半径是r ，()c b a p ++=2 1 是半周长。 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，或 C B A c b a sin :sin :sin ::= 变式：A R a sin 2=；B R b sin 2=；C R c sin 2= R a A 2sin = ；R b B 2sin =；R c C 2sin = 2、余弦定理： A bc c b a cos 2222-+=； B ac c a b cos 2222-+=； C ab b a c cos 2222-+= 推论：bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 2 22-+= 3、面积公式：B ac A bc C ab S A B C sin 2 1 sin 21sin 21=== △ 变式：⑴C B A R abc R S A B C sin sin sin 241 2== △ ⑵()()()c p b p a p p S A B C ---=△（海伦秦九韶公式） 4、常用结论： ⑴B A B A b a sin sin >?>?> ⑵b a B A B A =?=?=sin sin ⑶若B A 2sin 2sin =，则B A B A =?=22或2 22π π=+?=+B A B A ⑷和诱导公式有关的变式： 2cos 2sin C B A =+；2cos 2sin B C A =+；2 cos 2sin A C B =+； 2sin 2cos C B A =+；2sin 2cos B C A =+；2sin 2cos A C B =+ ()C B A sin sin =+；()B C A sin sin =+；()A C B sin sin =+; ()C B A cos cos -=+；()B C A cos cos -=+；()A C B cos cos -=+ ⑸B c C b a cos cos +=；A c C a b cos cos +=；A b B a c cos cos += 5、注意两角和与差公式、二倍角公式和半角公式、辅助角公式的应用。 6、注意函数()?ω+=x A y sin 的知识在三角形中的应用： 比如求()??? ??+ =82 1sin 2πA x f ，?? ? ??∈4,0πA 的最大值。 . 三角函数的图像与性质练习题 正弦函数、余弦函数的图象 A组 1.下列函数图象相同的是() A. y= sin x 与 y=sin(x+ π) B.y= cos x 与 y= sin - C.y= sin x 与 y=sin( -x) D.y=- sin(2π+x )与 y= sin x 解析 :由诱导公式易知 y= sin- = cos x,故选 B . 答案 :B 2.y= 1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 2 交点的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 解析 :作出 y= 1+ sin x 在 [0,2 π]上的图象 ,可知只有一个交点. 答案 :B 3.函数y= sin(-x),x∈[0,2π]的简图是() 解析 :y=sin( -x)=- sin x,x∈ [0,2 π]的图象可看作是由y= sin x,x∈ [0,2 π]的图象关于 x 轴对称得到的 ,故选B. 答案 :B 4.已知cos x=- ,且x∈[0,2π],则角x等于() A. 或 B.或 C.或 D.或 解析 :如图 : 由图象可知 ,x=或. 答案 :A 5.当x∈[0,2π]时,满足sin-≥ -的x的取值范围是() A. B. C. D. 解析 :由 sin -≥ - ,得cos x≥ - . 画出 y=cos x,x∈ [0,2 π],y=- 的图象 ,如图所示 . ∵cos = cos =- ,∴当 x∈ [0,2 π]时 ,由 cos x≥- ,可得 x∈. 答案 :C 6.函数y= 2sin x与函数y=x图象的交点有个. 解析 :在同一坐标系中作出函数 y= 2sin x与 y=x 的图象可见有3个交点. 答案 :3 7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈ [0,2 π]的 x 的区间是. 解析 :画出 y= cos x,x∈ [0,2 π]上的图象如图所示 . cos x>0 的区间为 答案 : 8.下列函数的图象:①y= sin x-1;② y=| sin x|;③y=- cos x;④ y=;⑤y=-.其中与函数y= sin x 图象形状完全相同的是.(填序号 ) 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. 三角函数专题辅导 课程安排 制作者：程国辉 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 函数图像及性质知识点总结和经典题型 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2．三角函数的单调区间： 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； x y sin =的递增区间是)(Z k ∈，递减区间是)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是)(Z k ∈， 3．对称轴及对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； tan y x =无对称轴，对称中心为k 2 (,0)π ； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心及零点相联系，对称轴及最值点联系。 4．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期是，频率是，相位是?ω+x ，初 相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象及直线 B y =的交点都是该图象的对称中心。 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2 ； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定 φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始及x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φ ω (即 令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0)???ω > 三角函数图像及性质练习题 1.已知4k <-，则函数cos 2(cos 1)y x k x =+-的最小值是（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．21k + Ｄ．21k -+ 2.已知f (x )的图象关于y 轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f (lg x )＞f (1),则x 的取值范围是( ) A.( 10 1 ,1) B.(0, 101)∪(1,+∞) C.( 10 1,10) D.(0,1)∪(10,+∞) 3.定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π ］ 时，f （x ）=sin x ，则f （ 3 π 5）的值为( ) A.－ 21 B.2 1 C.－23 D.23 4.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则( ) A.f （sin 6π）＜f （cos 6π ） B.f （sin1）＞f （cos1） C.f （cos 3π2）＜f （sin 3 π2） D.f （cos2）＞f （sin2） 5.关于函数f （x ）=sin 2x －( 32)|x |+21 ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为 ( ) ． ①()f x 是奇函数 ②当x ＞2003时，1 ()2 f x > 恒成立 ③()f x 的最大值是23 ④f （x ）的最小值是12- A.1 B.2 C.3 D.4 6.使)tan lg(cos θθ?有意义的角θ是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第一、二象限的角 D.第一、二象限或y 轴的非负半轴上的角 7 函数lg(2cos y x =的单调递增区间为 ( ) ． A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈ B ．11 (2,2)()6 k k k Z ππππ++ ∈ C ．(2,2)()6 k k k Z π ππ- ∈ D ．(2,2)()6 k k k Z π ππ+∈ 8．已知函数()sin()(0,)f x x x R ωφω=+>∈,对定义域内任意的x ，都满足条件(6)()f x f x +=,若 sin(3),sin(3)A x B x ωφωωφω=++=+-,则有 ( ) ． A. A>B B. A=B C.A 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结 知识点讲解 1.“五点法”作图原理 在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是 )0,2(),1,2 3(),0,(),1,2(),0,0(ππ ππ-. 在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是 )1,2(),0,2 3(),1,(),0,2(),1,0(ππ ππ-. 2. 3.)sin(?+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ?的图像与性质 （1）最小正周期：w T π2= . （2）定义域与值域：)sin(?+=wx A y ，）?+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ?? ???-∈+-=+∈+=+; )(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππ ?ππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ? ? ?-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值 当ππ?π? （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ? ????? ? +==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2 000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为 时，，即当的对称轴为时，，即当??π???ππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ??? ?? ? ?+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1 )cos()(0000 00x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当??ππ???π? 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置. （5）单调性. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(?+=wx A y ， ?? ??? ?∈++∈+?∈++-∈+. )](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππ?ππππ? ②对于）?+=wx A y cos(， ? ? ??∈+∈+?∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间； Z k k k wx Z k k k wx πππ?πππ? （6）平移与伸缩 由函数x y sin =的图像变换为函数3)3 2sin(2++=π x y 的图像的步骤； 方法一：)3 22 (π π + →+ →x x x .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想 欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形. ?????→?=个单位 向左平移的图像3 sin π x y 的图像)3 sin(π + =x y 12 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 的图像)3 2sin(π + =x y 2?????????→所有点的纵坐标变为原来的倍 横坐标不变 的图像)3 2sin(2π +=x y ?????→?个单位 向上平移33)3 2sin(2++=πx y 方法二：)3 22(π π+→+→x x x .先周期变换，后相位变换，再振幅变换. 的图像x y sin =1 2 ????????→所有点的横坐标变为原来的 纵坐标不变 ?????→?=个单位 向左平移的图像6 2sin π x y 三角函数的图象与性质 一、选择题 1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ? ? ???2x ＋π6，④y ＝ tan ? ? ???2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ? ? ???2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ? ? ???2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ? ? ???2x －π3的单调递增区间是( ) A.?????? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.? ???? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.? ?? ???k π－π12，k π＋ 5π12(k ∈Z) D.? ? ???k π＋π6，k π＋ 2π3(k ∈Z) 解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋ 5π 12(k ∈Z)，所以函数y ＝tan ? ????2x －π3的单调递增区间是? ???? k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B. 答案 B 3.(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1 D.2，－2 解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1， 令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 三角函数的图象与性质练习题 一、选择题 1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ?? ?? 4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 3．已知函数y ＝sin πx 3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4．已知在函数f (x )＝3sin πx R 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x ) 的最小正周期为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D ) 6．给出下列命题： ①函数y ＝cos ? ???? 23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α π4) D．y＝cos 2x ＝2cos2x B．y＝2sin2x C．y＝1＋sin(2x＋ 科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 4.3三角函数的图象及性质应用 考纲定位 理解三角函数的性质，并利用其性质解决一些简单问题； 【典型例题】 1、如图所示，它是sin(),(0,0),|| 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ），y＝A cos（ωx ＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函 数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象 与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 三角函数图象与性质 类型一 学会踩点 [例1] (本题满分12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin ? ???? x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间x ∈???? ?? －π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知得f (x )＝cos x ·? ????12sin x ＋3 2cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x － 32cos 2 x ＋3 4(2分) ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －3 4cos 2x (4分) ＝12sin ? ? ? ??2x －π3.(6分) 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π 2＝π.(7分) (2)因为f (x )在区间??????－π4，－π12上是减函数，在区间?????? －π12，π4上是增函数．(10分) f ? ???? －π4＝－14，f ? ????－π12＝－12，f ? ?? ??π4＝14.(11分) 所以，函数f (x )在闭区间?????? －π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.(12分) 评分细则：得分点及踩点说明 (1)第(1)问无化简过程，直接得到f (x )＝12sin ? ? ???2x －π3，扣5分．每一步用公式正确 就得分． (2)化简结果错误，但中间某一步正确，给2分． (3)第(2)问只求出f ? ???? －π4＝－14，f ? ????π4＝14得出最大值为14，最小值为－14，得1分． (4)若单调性出错，只得1分． (5)单调性正确，但计算错误，扣2分． 正切函数的性质与图像 【知识梳理】 1．正切函数的性质 函数 y ＝tan x 定义域 ??? x ??? ?? x ≠k π＋π2，k ∈Z 函数 y ＝tan x 值域 (－∞，＋∞) 周期 T ＝π 奇偶性 奇函数 单调性 在每个开区间? ???k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数 2．(1)正切函数的图像： (2)正切函数的图像叫做正切曲线． (3)正切函数的图像特征： 正切曲线是被相互平行的直线x ＝π 2 ＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的． 【常考题型】 题型一、正切函数的定义域、值域问题 【例1】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ??? ?x ＋π 4；(2)y ＝3－tan x . [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π 2(k ∈Z )得， x ≠k π＋π 4 ，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ????x ＋π4的定义域为xx ≠k π＋π 4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3. 结合y ＝tan x 的图像可知，在????－π2，π 2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O 1、－510°是第（ ）象限角。 Ａ． 一 Ｂ． 二 Ｃ． 三 Ｄ． 四 2、已知角α的终边过点()34，-P ，则ααcos sin 2+的值是（ ） A ．1或－1 B ． 52或52- C ．1或5 2 - D ． 52 3.如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4已知函数sin()y A x B ω?=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2 A π ω?>><， 则（ ） A.4=A B.1ω= C.6 π ?= D.4=B 5．函数3sin(2)6 y x π =+ 的单调递减区间（ ） A 5,1212k k ππππ??-+????()k Z ∈ B ．511,1212k k ππππ??++???? ()k Z ∈ C ．,36k k ππππ??-+????()k Z ∈ D ．2,63k k ππππ??++?? ? ?()k Z ∈ 6．若角α的终边落在直线y =2x 上，则sin α的值为（ ） A. 15± B. 55± C. 255 ± D. 12± 7．设函数f (x )＝sin ? ???2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 8．y ＝sin ??? ?x －π 4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.????－3π 4，0 C.????3π2，0 D.??? ?π 2，0. 9．(2010·江西)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A.[]－1，1 B.??? ?－5 4，－1三角函数图象性质一览表
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