高三数学第十一周培优题

高三数学第十一周培优题 姓名

1.设关于x 的方程2x 2－ax －2=0的两根为α、β（α＜β），函数1

4)(2

+-=x a x x f ．

（Ⅰ）求f (α)·f (β)的值；

（Ⅱ）证明f (x )是[α，β]上的增函数；

（Ⅲ）当a 为何值时，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？

2.如图，四棱锥P A B C D -的底面为菱形且∠ABC ＝120°，PA ⊥底面ABCD ，AB ＝1，PA

E 为PC 的中点．

（Ⅰ）求直线DE 与平面PAC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角E A D C --平面角的正切值；

（Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ，使PC ⊥平面MBD 成立．如果存在，求出MC 的长；如果不存在，请说明理由．

C

3.已知函数.3

cos

33cos

3sin

)(2

x

x

x x f +

=

（Ⅰ）将f(x)写成)sin(φω+x A 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

（Ⅱ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2

=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域.

4．设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且数列{a n+1－a n }（n ∈N*）是等差数列，数列{b n －2}(n ∈N*)是等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在k ∈N*，使a k －b k ∈（0，

2

1）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由.

解：（Ⅰ）由题意知α＋β＝

2

a ，α·β＝－1，∴α2＋β2

＝

24

2

+a

，

∴f (α)·f (β)＝1

)(41614142

2222

22+++++-=+-?+-ββαβααβββααa a a a a

41

24

12162

2

2－=+++

+--=

a

a a ．……………………………………………………… 4分

（Ⅱ）证明：当α≤x ≤β时，2

2

\

2

2

\\

)

1()

1)(4()1()4()(++--+-=

x

x a x x

a x x f

2

2

2

2

2

2

)

1()

22(2)

1(2)4()1(4+---=

+?--+=

x ax x x x

a x x ………… 6分

∵α、β是方程2x 2

－ax －2=0的两根， ∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2

－ax －2≤0， ∴)(\x f ≥0，又)(x f 不是常函数，

∴)(x f 是[α，β]上的增函数．……………………………………………… 9分 （Ⅲ）f (x )在区间[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，

又∵| f (α)·f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分 ∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥4)()(2

=?βαf f

当且仅当| f (β)|＝| f (α)|＝2时取“＝”号，此时f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分

∴??

?

??=--=+-)2(022)1(21422 ββββa a ……………………………………… 13分

由（1）、（2）得

0)16(2

=+a a ，∴a ＝0为所求．…………………………………………………… 14分

（Ⅰ）如图，连AC 、BD ，则由PA ⊥底面ABCD ，得平面PAC ⊥底面ABCD 于

AC ，

又由底面ABCD 为菱形可得BD ⊥AC 于O ，∴DO ⊥平面PAC ．

连OE ，则OE 为DE 在平面PAC 上的射影，∴∠DEO 即为DE 与平面PAC 所成的角．

由E 为PC 的中点可得12

E O =

PA 2

=

．

又由菱形的性质可得，在Rt △AOD 中， ∠A D O =60°，1AD =，∴12

D O =．

∴在Rt △DEO

中，tan 3

D O D EO EO

∠=

=

，

∴D E O ∠=30°．

（Ⅱ）由EO ∥PA ，PA ⊥底面ABCD 可得 EO ⊥底面ABCD ．

过点O 作OF ⊥AD 于F ，连EF ，则由三 垂线定理可得EF ⊥AD ．

∴∠EFO 即二面角E A D C --的平面角．

由（Ⅰ）可知2

EO =

，

又在Rt △ODF 中，∠ODF =60°，OD 12

=，

∴sin 604

O F O D =?= ，

∴tan 2E O E F O O F

∠=

=．

（Ⅲ）设AC BD O = ，过O 作OM ⊥PC

于M ，则由PA ⊥底面ABCD 可得 平面PAC ⊥底面ABCD 于AC ． 又BD ⊥AC ，BD ?底面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∴BD ⊥PC ，

而由O M ?平面PAC 且OM ⊥PC

可得PC ⊥平面MBD ．

故在线段PC 上是存在一点M ，使PC ⊥平面MBD 成立．

（I ）解： 2

3)3

3

2sin(

2332cos

2332sin

21)32cos

1(2

33

2sin 2

1)(+

+

=+

+

=

++

=π

x x x x x

x f …

3分

由)3

32sin(

π

+

x =0即

z k k x z k k x ∈-=

∈=+

πππ

2

13)(3

3

2得

即对称中心的横坐标为z k k ∈-π2

13…………6分

（Ⅱ）由已知b 2

=a c

C

C

C

2

31)3

32sin(

31

)3

32sin(

3

sin

|

2

9

5|

|2

3

|953

323103

01cos 2

1212222cos 2

22

22+

≤+

<∴

≤+

<∴-

>-

≤+

<

≤<<≤∴=-≥

-+=

-+=πππππππππππx x x x x ac

ac ac ac

ac

c a ac

b

c a x 分

)(x f 的值域为]231,3(+

综上所述，]3

,0(π

∈x )(x f 值域为]2

31,3(+

…………14分

18(14分)

解：（I ）由已知a 2－a 1=－2, a 3－a 2=－1, －1－(－2)=1 ∴a n+1－a n =(a 2－a 1)+(n －1)·1=n －3

n ≥2时，a n =( a n －a n －1)+( a n －1－a n －2)+…+( a 3－a 2)+( a 2－a 1)+ a 1 =(n －4)+(n －5) +…+(－1)+(－2)+6

=

2

18

72

+-n n

n=1也合适. ∴a n =

218

72

+-n n (n ∈N*) ……………………4分

又b 1－2=4、b 2－2=2 .而

2

14

2

=

∴b n －2=（b 1－2）·(

2

1)n －1即b n =2+8·(

2

1)n

∴数列{a n }、{b n }的通项公式为：a n =2

18

72

+-n n ，b n =2+(2

1)

n －3

…8分

（II ）设k k k k k k k

b a k f )2

1(887)27

(21)21(8727

2

1)(2

2

?-+-=?-+-

=-= 当k ≥4时

8

7)27(212

+-

k 为k 的增函数，－8·(

2

1)k 也为k 的增函数，而f (4)=

2

1

∴当k ≥4时a k －b k ≥

2

1………………11分

又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k ， 使f(k)∈（0，2

1）…………14分

．已知函数：)(1)(a x R a x

a a x x f ≠∈--+=

且

（Ⅰ）证明：f (x )+2+f (2a －x )=0对定义域内的所有x 都成立.

（Ⅱ）当f (x )的定义域为[a +

2

1,a +1]时，求证：f (x )的值域为[－3，－2]；

（Ⅲ）设函数g(x )=x 2+|(x －a )f (x )| ,求g(x ) 的最小值 .

（Ⅰ）证明：x

a a a x a x

a a x x a f x f +--+-+

+--+=

-++21221)2(2)(

01

221121=--+--+-+=

-+-+

+--+=

x a x a x a a x a

x x a x

a a x

∴结论成立 ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：x a x

a x a x f -+

-=-+--=111

)()(

当112,2112

1112

1-≤-≤

--

≤-≤--

-≤-≤--+≤≤+

x

a x a a x a a x a 时

2113-≤-+-≤-x

a 即]2,3[)(--值域为x f …………9分

（Ⅲ）解：)(|1|)(2a x a x x x g ≠-++=

（1）当a x a x x x g a x a x -+

+=-++=≠-≥4

3)2

1(1)(,12

2

时且

如果2

11-

≥-a 即2

1≥

a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增

2

min )1()1()(-=-=a a g x g

如果a g x g a a a -=

-

=-

≠<

-<-4

3)2

1()(,2

12

12

11min 时且即当

当2

1-

=a 时，)(x g 最小值不存在…………………………11分

（2）当4

5)21(1)(12

2

-

+-=+--=-≤a x a x x x g a x 时

如果4

5

)21

()(23

2

11min -==>

>-a g x g a a 时即 如果2

min )1()1()()1,()(2

32

11-=-=--∞≤

≤-a a g x g a x g a a 上为减函数

在时即…13分

当0

)

2

1()4

3(

)1(2

10)

23()45()1(2

32

2

2

2

>-

=---<

>-

=--->

a a a a a a a a 时当时

综合得：当2

12

1≠

a -4

3

当

2

321≤

≤a 时 g （x ）最小值是2

)1(-a 当2

3>

a 时 g （x ）最小值为4

5-

a

当21-=a 时 g （x ）最小值不存在………………14分

已知b ＞1-，c ＞0，函数()f x x b =+的图像与函数2()g x x bx c =++的图像相切．

（Ⅰ）设()b c ?=，求()c ?；

（Ⅱ）设()()()

g x D x f x =

(其中x ＞b -)在[1,)-+∞上是增函数，求c 的最小值；

（Ⅲ）是否存在常数c ，使得函数()()()H x f x g x =在(,)-∞+∞内有极值点？若

存在，求出c 的取值范围；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）【方法一】由2()()(1)0f x g x x b x c b =?+-+-=，

依题设可知，2(1)40b c ?=+-=． ∵b ＞1-，c ＞0，

∴1b +=，即()1b c ?==-．

【方法二】依题设可知()()f x g x ''=，即21x b +=， ∴12b x -=

为切点横坐标，

于是11(

)(

)2

2

b

b f g --=，化简得2

(1)4b c

+=．

同法一得()1b c ?==． （Ⅱ）依题设2

()x bx c c D x x x b

x b

++=

=+

++，

∴2

()1(1)(1)()

c D x x b x b

x b

'=-

=+

-

+++．

∵()D x 在[1,)-+∞上是增函数，

∴(1)(1)x b

x b

+

-

++≥0

在[1,)-+∞上恒成立，

又x ＞b -，c ＞0，∴上式等价于1x b

-+≥0在[1,)-+∞上恒成立，

x b +1x +-，

1x -．

又函数1x -在[1,)-+∞上的最大值为2，

2，解得c ≥4，即c 的最小值为4．

（Ⅲ）由2322()()()2()H x x b x bx c x bx b c x bc =+++=++++，

可得22

'=+++．

()34()

H x x bx b c

令22

+++=，依题设欲使函数()

x bx b c

34()0

-∞+∞内有极值点，

H x在(,)

则须满足2

?=-=-+＞0，

b c c

4(3)4(1)

亦即1

c-+＞02-2+，

又c＞0，∴0＜c＜7-c＞7+

故存在常数(0,7(7)

，使得函数()

c∈-++∞

-∞+∞内有极

H x在(,)

值点．（注：若△≥0，则应扣1分．）