湖北省华师一附中、荆州中学、黄冈中学等八校2016届高三3月联考数学(文)试题
湖北省 八校
2016届高三第二次联考
数学试题（文科）
命题学校：黄冈中学 命题人：蔡 盛 审题人：刘 祥
考试时间：2016年3月29日 下午15:00—17:00 试卷满分150分 考试用时120分钟
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}
{=
22,x A x B y y <==，则A B =
（ ） A. [)
0,1 B. ()0,2 C. ()1+∞， D. [)0+∞，
2.已知复数z 满足()z 1i i +=-，则z =（ ） A.
1
2
B. C. 1 D.
3.在等比数列{}n a 中，2348a a a =，78a =，则1=a （ ） A. 1 B. 1± C. 2 D. 2±
4.如图所示的程序框图的运行结果为（ ） A. 1- B.
1
2
C. 1
D. 2 5.在区间[]0,4上随机取两个实数,x y ，使得28x y +≤的概率为（ ） 6.在平行四边形ABCD 中，4,3,3
AB AD DAB π
==∠=
，
点
华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 鄂南高中
(第4题图)
,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC == ，则AE BF ?
=（ ）
A.83-
B. 1-
C. 2
D.
103
7.已知圆C 方程为()()2
2210x y r r -+=>，若p ：13r ≤≤；q ：圆C 上至多有3
个点到直线
+30x =的距离为1，则p 是q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数()22,0
lg ,0x x x f x x x ?+?=?>??
≤，则函数()()11g x f x =--的零点个数为（ ）
A.1
B.2
C. 3
D.4
9.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表
面积是（ ）
A.36π
B. 52π
C. 72π
D.100π
10.若()()()2cos 2+0f x x ??=>的图像关于直线3x π
=对称，且当?取最小值时，00,2x π??
?∈ ???
，使得()0f x a =，则a 的取值范围是（ ）
A. (]1,2-
B. [)2,1--
C. ()1,1-
D. [)2,1-
11.已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则
PF PA
的最小值是（ ）
A.
14
B. 1
2
C. D.
12.已知函数()
2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，则2
a b
a +-的取值范围是（ ）
湖北省第二次八校联考文科数学 第 2 页（共6页） 俯视图
侧视图
第9题图)
A ．22,3??- ???
B ．1,23??-????
C ．2,3??-∞ ???
D ．2,23??
-????
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2=log 1f x x -
，则2f ?- ??= .
14.若244x
y
+=，则2x y +的最大值是 .
15.已知12,l l 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两条渐近线，且右焦点关于1l 的对称点在2l 上，
则双曲线的离心率为 .
16.数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且2=c o s 3
n n n b a π
，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则120S = .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =
，AC =23ABC π
∠=，
3ACD π
∠=.
（Ⅰ）求sin BAC ∠； （Ⅱ）求DC 的长.
18.(本小题满分12分)国内某知名大学有男生14000人，女生10000人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[]0,3.） （Ⅰ）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到）； （Ⅱ）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生
A C
D
B
(第17题图)
湖北省第二次八校联考文科数学 第 3 页（共6页）
为“非运动达人”.
①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；
②请根据上述表格中的统计数据填写下面22?列联表，并通过计算判断能否在犯错 误的概率不超过
参考公式：()
()()()()
2
2=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中.n a b c d =
+++
参考数据：
19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是等边三角形，14BC CC ==,D 是
11AC 中点.
（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1B CD ；
（Ⅱ）当三棱锥11C B C D -体积最大时，求点B 到平面1B CD 的距离.
20. (本小题满分12分)定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(2
212x y -+=及点()
A ，动点P 到圆M 的
A B 1A C
1
C D 1B (第19题图) 湖北省第二次八校联考文科数学 第 4 页（共6页）
距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W .
（Ⅰ）求曲线W 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l （l 不与坐标轴重合）与曲线W 交于不同的两点,C D ，点E 在曲线W 上，且
CE CD ⊥，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线,DE CF 的斜率分别为12,k k ，求12.k
k
21.(本小题满分12分)已知函数()()ln 4f x ax x a =--∈R . （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）当2a =时，若存在区间[]1,,2m n ???+∞????，使()f x 在[],m n 上的值域是,11k k m n ????++??
，求k 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.
(本小题满分10分)4-1 ：几何证明选讲
如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于.F （Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；
（Ⅱ）若3CD =，7
=5
EA ，求AB 的长.
23. (本小题满分10分)4-4 ：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t α
α=-+??=+?
（t 为参数，0απ<≤），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ?
?=+ ??
?.
（Ⅰ）若极坐标为4π???的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；
（Ⅱ）若点P 的坐标为()1,3-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求.PB PD ?
湖北省第二次八校联考文科数学 第 5 页（共6页）
B
(第22题图)
24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()+122f x x x =--． （Ⅰ）求不等式()1f x x -≥的解集；
（Ⅱ）若()f x 的最大值是m ，且,,a b c 均为正数，a b c m ++=，求222
b c a a b c
++的最小值.
湖北省第二次八校联考文科数学 第 6 页（共6页）
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2016届高三第二次联考 文科数学参考答案
一、选择题答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A
A
D
C
A
C
B
D
C
A
二、填空题： 13.
3
2
； 14.2； 15.2； 16.7280 三、解答题：
17.（Ⅰ）在ABC ?中，由余弦定理得：2222cos AC BC BA BC BA B =+-?， 即260BC BC +-=，解得：2BC =，或3BC =-（舍）， ………………3分
由正弦定理得：
sin sin sin sin BC AC BC B BAC BAC B AC =?∠==∠ ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）有：cos sin CAD BAC ∠=∠=
sin CAD ∠==，
所以1sin sin 32D CAD π?
?
=∠+
== ??
?, ………………9分
由正弦定理得：
sin sin sin sin DC AC AC CAD DC CAD D D
∠=?==
=∠……………12分
（其他方法相应给分）
18. （Ⅰ）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000
120=7014000+10000
?
人，女生抽取人数为1207050
-=人，故x =5，y =2， ……………2分
则该校男生平均每天运动的时间为：
0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.755
1.570
?+?+?+?+?+?≈， ……………5分
故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时； （Ⅱ）①样本中“运动达人”所占比例是
201
=1206
，故估计该校“运动达人”有 ()1
140001000040006
?+=人； ……………8分 ②由表格可知：
运动达人 非运动达人 总 计
男 生
15 55 70 女 生
5 45 50 总 计
20 100 120 ……………9分
华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 鄂南高中
故2
K 的观测值()2
120154555596
=
2.743
3.841.201005070
35
k ?-?=
≈
……………12分
19.（Ⅰ）连结1BC ，交1B C 于O ，连DO .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，则1BO OC =,又D 是11AC 中点，∴1DO AB ∥，而DO ?平面1B CD ，1A B ?平面1B CD ，∴1A B ∥平面1B CD . ……………4分
（Ⅱ）设点C 到平面111A B C 的距离是h
，则11111=3C B C D B C D V S h -△，而14h CC =≤，故当三棱锥11C B C D -体积最大时，1=4h CC =，即1CC ⊥平面111A B C . ……………6分 由（Ⅰ）知：1BO OC =，所以B 到平面1B CD 的距离与1C 到平面1B CD 的距离相等. ∵1CC ⊥平面111A B C ，1B D ?平面111A B C ，∴11CC B D ⊥，
∵ABC △是等边三角形，D 是11AC 中点，∴111AC B D ⊥，又1111=CC AC C ，1CC ?平面11AA C C ，
11A C ?平面11AA C C ，∴1B D ⊥平面11AA C C ，∴1B D CD ⊥
，由计算得：1B D CD =
以1B CD S ? ……………9分 设1C 到平面1B CD 的距离为h '，由1111=C B C D C B CD V V --
114=3B CD S h h ''?=△所以B 到平面1B CD
……………12分 （其他方法相应给分）
20.（Ⅰ）由分析知：点P
在圆内且不为圆心，故PA PM AM +==, 所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆， ……………2分
设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>
，则22a a c c ??==????==????
，
所以2
1b =，故曲线W 的方程为2
2 1.3
x y += ……………5分 （Ⅱ）设111122
(,)(0),(,)Cx y x
y Ex y ≠,则11(,)D x y --,则直线CD 的斜率为1
1
CD y k x =
，又CE CD ⊥，
所以直线CE 的斜率是11CE x k y =-
，记11
x
k y -=，设直线CE 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由22
1
3
y kx m
x y =+???+=??得：()222
136330k x mkx m +++-=.∴122613mk x x k +=-+，∴12122
2()213m
y y k x x m k +=++=
+，由题意知，12x x ≠，
所以1211121
1
33y y y k x x k x +=
=-=+， ……………9分
所以直线DE 的方程为1
111
()3y y y x x x +=
+，令0y =，得12x x =，即1(2,0)F x . 可得1
21y k x =-
. ……………11分 所以1213
k k =-，即
121
=.3
k k - ……………12分 （其他方法相应给分）
21.（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()0+∞，，()1
ax f x x
-'=
， 当a ≤0时，()0f x '≤，所以()f x 在()0+∞，上为减函数， ……………2分 当a >0时，令()0f x '=，则1x a =
，当10x a ??
∈ ???
，时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1+x a ??
∈∞ ???
，时，()0f x '>，()f x 为增函数， ……………4分 ∴当a ≤0时，()f x 在()0+∞，上为减函数；当a >0时，()f x 在10a ?? ???
，上为减函数，在1+a ??
∞ ???，上为增函数. ……………5分
（Ⅱ）当2a =时，()2ln 4f x x x =--，由（Ⅰ）知：()f x 在1+2??∞ ???
，上为增函数，而[]1,,2m n ??
?+∞????，
∴()f x 在[],m n 上为增函数，结合()f x 在[],m n 上的值域是,11k
k m n ????
++??
知：
()(),11k k f m f n m n =
=
++，其中1
2m n <≤， 则()1k f x x =+在1,2??
+∞????上至少有两个不同的实数根， ……………7分
由()1
k
f x x =+得()2=221ln 4k x x x x --+-，
记()()2=221ln 4x x x x x ?--+-，1,2x ??
∈+∞????，则()1=4ln 3x x x x ?'---，
记()()1
=4ln 3F x x x x x
?'=---，则()()2
222
213410x x x x F x x x -+-+'==>， ∴()F x 在1,2??+∞????上为增函数，即()x ?'在1,2??
+∞????
上为增函数，
而()1=0?'，∴当1,12x ??
∈ ???
时，()0x ?'<，当()1,x ∈+∞时，()0x ?'>，
∴()x ?在1,12??
???上为减函数，在()1,+∞上为增函数， ……………10分
而13ln 2922?-??= ???
，()1=4?-，当x →+∞时，()x ?→+∞，故结合图像得：
()13ln 29142
2k k ??-??
?- ???
……………12分 （其他方法相应给分）
22.（Ⅰ）连结,.AD OD 则AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 的中点， ……………2分 而O 为AB 中点，∴OD AC ∥，又DF AC ⊥，∴OD DF ⊥，
而OD 是半径，∴DF 是O ⊙的切线. ……………5分 （Ⅱ）连DE ，则CED B C ∠=∠=∠，则DCF DEF △△≌，∴CF FE =，…………7分
设CF FE x ==，则229DF x =-，由切割线定理得：2DF FE FA =?，即279+5x x x ??
-= ???
，解得：
1295
=52
x x =-，（舍）
，∴ 5.AB AC == ……………10分 （其他方法相应给分）
23.（Ⅰ）点4π???对应的直角坐标为()1,1， ……………1分
由曲线1C 的参数方程知：曲线1C 是过点()1,3-的直线，故曲线1C 的方程为20x y +-=，
……………2分
而曲线2C 的直角坐标方程为2
2
220x y x y +--=，联立得22220
20
x y x y x y ?+--=?+-=?，解得：
121220
02x x y y ==????
==??，，故交点坐标分别为()()2,0,0,2. ……………5分 （Ⅱ）由判断知：P 在直线1C 上，将1+cos 3sin x t y t αα
=-??=+?代入方程22220x y x y +--=得：
()24cos sin 60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则12,PB t PD t ==,而126t t =，
所以1212==6.PB PD t t t t ?=? ……………10分
（其他方法相应给分）
24.（Ⅰ）131x x x <-??--?≥，或11
311x x x -??--?
≤≤≥，或131x x x >??-+-?≥，解得：02x ≤≤
故不等式的解集为[]02，； ……………5分
（Ⅱ）()3,1
31,113,1x x f x x x x x -<-??
=--??-+>?
≤≤，显然当1x =时，()f x 有大值，()1 2.m f ==
∴2a b c ++=， ……………7分 而(
)
()222
2222
2
2
2
=
b c a a b c a b c a b c ?????
?++++++++++?? ??
??
??????
?
≥ ∴222
2b c a a b c a b c ++++=≥
，当且仅当2a b c ?++=?，即23a b c ===时取等号，故 222
b c a a b c
++的最小值是2. ……………10分 （其他方法相应给分）