圆的基本性质及其应用

个性化教学辅导教案

学科数学学生

姓名

年级九年级

任课

老师

授课

时间

2013年9月5日

教学目标教学内容：圆

考点圆的基本性质能力与方法：

讲授法练习法

课堂教学过程课前

检查

作业完成情况：优□良□中□差□

建议:作业认真，知识点运用不够熟练。

过程

一．课前交流，了解学生上次课的复习情况

知识梳理

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长

为半径的圆；

二、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD

⊥③CE DE

=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

三、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的

弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①AOB DOE

∠=∠；②AB DE

=；

③OC OF

=；④弧BA=弧BD

四、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB

∠和ACB

∠是弧AB所对的圆心角和圆周角

∴2

AOB ACB

∠=∠

O

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

O

C

B

A

O

2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对

的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==

∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?

注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 五、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O 中， ∵四边ABCD 是内接四边形

∴

180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=?

DAE C ∠=∠

六、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内；

2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上；

3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外； 七、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点；

2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点；

3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点；

d

r

d=r

r

d

八、圆与圆的位置关系

外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+；

D C B

A

O C

B A

O

C

B A O

E D

C B A

相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-；

图1

r

R

d

图3

r

R d

九、切线的性质与判定定理

1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线

2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相

等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠

十一、圆内正多边形的计算 （1）正三角形

在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?中进行：

::1:3

OD BD OB =；

N M A O

P

B A

O D

C

B

A

O

E

C

B

A

D

O

B

A

O

图2

r R

d 图4r R d 图5r

R

d

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?中进行，::1:1:2OE AE OA =： （3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?中进行，::1:3:2AB OB OA =. 十二、内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 （2）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c ，则内切圆的半径r=2

c

b a -+ 。 （3）S △ABC =)(2

1

c b a r ++，其中a ，b ，c 是边长，r 是内切圆的半径。

真题演练 填空题 2．（云南昆明）半径为r 的圆内接正三角形的边长为 .（结果可保留根号） 3．（陕西西安）如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为

1.6米，则这条管道中此时最深为 米。 4．（江苏镇江）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10，CD=8， 则线段OE 的长为 . 5．（云南玉溪） 如图，在半径为10的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点D ， AB ＝16，则CD 的长是 ． 6．（新疆乌鲁木齐）如图4，AB 是⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两点，若

35=∠CDB °，则ABC ∠的度数为 。 7．（云南昭通）如图5，⊙O 的弦AB =8， M 是AB 的中点，且OM 为3，则⊙O 的半径为________．

8．（辽宁本溪）如图所示，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠OBC 的度数是 . 9．（福建省泉州）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，?=∠45A ，则=∠BOC . 10．（四川达州）如图，一个宽为2 cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm ），那么该光盘的直径是 cm. 11．（湖南娄底）如图7在半径为R 的⊙O 中，弦AB 的长与半径R 相等，C 是优

弧AB ⌒上一点，则∠ACB 的度数是_______.

12．（内蒙赤峰）如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于一点D ，

点E 在⊙O 上，∠AED =25°，则∠OBA 的度数是___________． 13．（湖南怀化）如图6，已知直线AB 是⊙O 的切线，A 为切点，OB 交⊙O 于点

C ，

点D 在⊙O 上，且∠OBA=40°，则∠ADC= ．

14．（浙江义乌）已知直线l 与⊙O 相切，若圆心O 到直线l 的距离是5，则⊙O 的半径是 ． 15．（山东泰安）如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C,点D 、E 、F 是⊙O

上三个点，EF ∥AB ，若EF=23，则∠EDC 的度数为 。 16．（ 四川泸州）如图7,已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆,则⊙O 的面积为__________. 17．（广东茂名）如图，已知AD 为⊙O 的切线，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，则∠CAD ＝ ． 18．（广西百色）如图，⊙O 的直径为20cm ，弦cm AB 16=,AB OD ⊥，垂足为D .则AB

沿射线OD 方向平移 cm 时可与⊙O 相切. 19．（ 四川成都）如图，在ABC ?中，AB 为⊙O 的直径，

60,70B C ∠=∠=，则BOD ∠的度数是_____________度．

三、解答题

1．（广西梧州）如图，⊙O 的直径AC =13，弦BC =12，过点A 作直线MN ，使∠

BAM =1

2 ∠AOB ，（1）求证：MN 是⊙O 的切线。

2. （广东东莞）如图，P A 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥OP ，垂足为C ，OP 与⊙O

相交于D 点，已知OA ＝2，OP ＝4． ⑴求∠POA 的度数；⑵计算弦AB 的长．

3．（ 山东省德州）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 与⊙O 相切；

（2）当∠BAC =120°时，求∠EFG 的度数．

4. （湖北省咸宁）如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ， 将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ．

A B C

D

P

O B A C

D E G O

F F

（1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由； （2）若2OB BG ==，求CD 的长．

5. （江苏扬州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 交BC 于点

D ，

DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求证：点D 是BC 的中点；

（2）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （3）如果⊙O 的直径为9，cosB ＝1

3 ，求DE 的长．

课后练习

1. （山东泰安）如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F. （1） 求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，BE ＝1，求cosA 的值.

2. （北京）已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过D 、B 、C 三点，

A B C D E

O ·

F E D

C

B A O · （第26题图）

∠DOC

＝2∠ACD ＝90°．（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线； （2）如果∠ACB ＝75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长．

3．（四川内江）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点E 在斜边AB 上，以AE 为直径

的⊙O 与BC 相切于点D .（1）求证：AD 平分∠BAC .

（2）若AC ＝3，AE ＝4.①求AD 的值；②求图中阴影部分的面积.

A

B

C D

E O

4．（广东肇庆）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，且AC =AB ，CO 交⊙O 于点P ，CO 的延长线交⊙O 于点F ，BP 的延长线交AC 于点E ，连接AP 、AE .

A

B C D

O C

求证：（1）AF//BE；（2）△ACP∽△FCA；（3）CP=AE

课堂检测听课及知识掌握情况反馈

测试题（累计不超过20分钟）道成绩

教学需：加快□保持□放慢□增加内容□

课后

巩固

作业10 题巩固复习预习布置

签字年级组长：学管师：

老师课后赏识评价老师最欣赏的地方：老师想知道的事情：老师的建议：