六年级华罗庚学校数学课本第二十二讲图论中的匹配与逻辑推理问题

六年级华罗庚学校数学课本第二十二讲图论中的匹配与逻

辑推理问题

第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题第二十二讲图论中的匹配与逻辑推理问题先看一个例题.中、日、韩三个足球队进行比赛，已知A不是第一名，B不是韩国队，也不是第二名，第一名不是日本队，中国队第二.问A、B、C各代表哪国队？各是第几名？一般解这类题都归于逻辑推

理类问题. 我们先来降低难度.先只要求你判断出中、日、韩各是第几名（不必判断A、B、C）.可以把中、日、韩各用一个点代表，列于上一行.第一、二、三名各用一个点代表，列于下一行，记为：V1=｛中，日，韩｝，V2=｛第1名，第2名，第3名｝. V1中的点与V2中某一个点有肯定关系的，就画一条实线，如和②.否定关系的两点之间画一条虚线，如不是②；不是①.把已知条件不加任何推理地表现于图上.虚线2条，实线1条，共3条线. 现在，有两个明显的事实；第一，V1中每点有且只有一条实线与V2中相应点配对，V2中每点有且只有一条实线与V1中相应点配对.V1内部点之间不会有线相联结，V2内部点之间也不会有线相联结.第二，从V1（或V2）中某一个点，例如说a点如发出了一条实线向着V2（或V1）中某一个点，例如说x点，那么a点与V2（或V1）中其他点之间必然只能用虚线联结.（这是逻辑推

理中的排它性）由此，我们很容易将中、日、韩的名次判出. 这样的问题，抽象起来可归属于图论中称之为“二分图的匹配”问题. 图论的名词术语太多，这里不作详细定义，只是描述性介绍一下，大家以前在“一笔画”等讲中已初步接触.所谓二分图，就是顶点集合可以划分成两个部分，V=V1＋V2，如file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11247_SR.HTM （第1／6 页）[2010-07-04 8:24:41]第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题V1有p个点，记为V1=｛v1，v2…，vp｝，V2有q个点，记为V2=｛vp+1，vp+2…，vp+q｝，而V1中任意一点，不会与V1中其他点联结，而只能与V2中某些点联结；V2也如此.大家看几个例. 一般的图记为G＝（V，E），V是顶点集合，E是边（也可称为线）的集合.大家在哥尼斯堡七桥问题中已领略过这种抽象.现在的二分图是一类特殊

的图，只不过顶点集V划分为两部分，而这只能“跨越”于V1中某个点和V2中另一个点.二分图的匹配问题，就是找一个边的集合，这些边之间都没有公共的端点. 关于二分图的匹配，要研究的是“最大匹配”，即找一个边最多的匹配. 就本讲开始引入的问题看，我们还没有解完，因为还有A、B、C三个代号到底如何归于中、日、韩三队的问题.一种解题办法，是把已判出的国籍和名次捆绑在一个顶点内，如（中2）、（韩1）、（日3），再和A、B、C构造一个新的二分图：显

然，推知B是（日3），因为B有2条虚线，而必然有1条实线，只能推出B与（日3）之间为实线.同理，（韩1）只能为C；剩下的唯一的情况留给了A为（中2）.全部问题解决了. 再看最初的题目，如果你选择先判断中、日、韩和A、B、C三个代号之间的匹配关系，将会怎样呢？画一个图看，利用已知条件画出实、虚线. 只能利用B不是韩国队及中国队第二，B不是第二（因此B不是中国队）这样一些条件，题目中另二句话：A不是第一名，第一名不是日本队，这种否定关系之间，没有传递file:///C|/Documents and

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8:24:41]第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题性，你不能判定A是不是日本队.因此根据已知条件所画的图中只有两条虚线，之后最多只能确定日、B之间为实线.所以对这样的二分图，无法找出合理的最大匹配.这方法使问题求解走进了死胡同. 那么你选择先判A、B、C和第一、第二、第三名之间的匹配关系，又会怎样呢？画一个图看. 现在也只有二条虚线，仍然无法找出最大匹配，或说解不唯一，对求解问题无助. 现在回过头来看，先找国别与名次之间的匹配，似乎有些“碰运气”，因为完全可以把题目改动，使先找国别与名次的匹配无法解决，例如叙述改为：中、日、韩三足球队比赛，已知结果为：第1名不是A，第2名不是韩国队也

不是B，A不是日本队，中国队为B，问A、B、C，和1、2、3名与各国队如何匹配？细心读者发现，这只是把原题中A、B、C的地位与1、2、3名的地位互换而已.所以现在改动后的题目，再先抓“国别”和“名次”的匹配，就无法求解. 但是数学要求找出一种解一般问题的方法而不是“碰运气”，而且完全可以找一个例子，使得无论取国别与名次；或国别与代号（A，B，C）；或代号与名次这三类二分图的匹配都无法求解，而必须找更广泛意义下的匹配才能解决，为此先介绍一般的三个因素一起考虑的“匹配”方法. 先结合前例，将国别用三个不同点表示于上方，三个名次点表示于左下方，三个代号点表示于右下方.用实线的肯定关系和虚线的否定关系把已知条件“翻译”于图上.file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11247_SR.HTM（第3／6 页）[2010-07-04 8:24:41]第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题我们现在的目的是要寻找一个捆绑三条实线边的一条广义边，使每个国别与一个名次及一个代号捆绑在一起，使问题一次性解决，遵循的原则有以下4条：①肯定关系具有排它性（如中=第2名，则中≠第1名，中≠第3名，第2名≠日，第2名≠韩）. ②肯定关系具有传递性（如已知中=第2名，一旦推知肯定关系第2名=A，那么中=A）. ③任意两个类别的点之间要建立一种合理的完全匹配.（如国别和名次之间；

名次与代号之间；国别与代号之间）. ④如果某一点与另一类点中除一点以外都是否定关系，那么与这一点只能是肯定关系. 现在把这些原则具体操作于这个图上，就能把问题求解，请读者看图，不赘述.file:///C|/Documents and

Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11247_SR.HTM（第4／6 页）[2010-07-04

8:24:41]第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题这类问题的思想方法上升到图论中，已经可以用一种更抽象的术语“超图”来描述，也就是顶点集合，仍用V来表示，而超图的边是一种抽象的“广义边”，把原来简单边捆绑在一起形成的一种“捆绑的边”.在这个具体例题中，就是要找出一套捆绑边，每一捆绑边，捆着一个国别，一个名次，一个代号.找出三套捆绑边，每套与别的套之间没有公共的点，也就是超图的匹配用了这种思想方法，去解决某些逻辑推理问题，变的非常快捷而准确了. 再看例子，有A、B、C三位大学生，一位北京人，一位上海人，一位广州人，每人的业余爱好只是足球、围棋和歌舞三种中的一种.已知：A不喜欢足球，B不喜欢歌舞；喜欢足球的不是上海人；喜欢歌舞的是北京人；B不是广州人.请判断三市人的代号（指A、B、C）及爱好. 现在把此逻辑推理问题，转化为图论中的“捆绑边”匹配问题，大家不难把此题的图和我们最初的例比较，它们完全“同构”.file:///C|/Documents and Settings/Administrator/

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/11247_SR.HTM（第5／6 页）[2010-07-04 8:24:41]第八讲图论中的匹配与逻辑推理问题答为：B上海人，喜欢围棋；A喜欢歌舞，北京人；C喜欢足球，广州人. 关于匹配问题本身，有很多问题和方法已经充分研究和圆满解决，并找到了可以利用电脑解决的很好的算法.例如从二分图的求最大

匹配算法发展出称之为“交错路”的方法，直到网络上带权的最大（或最小）匹配. file:///C|/Documents and

Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11247_SR.HTM（第6／6 页）[2010-07-04

8:24:41]习题八习题八 1.小明、小强、小华三人参赛迎春杯，分别来自金城、沙市、水乡，并分获一、二、三等奖.

现知：①小明不是金城选手；②小强不是沙市选手；③金城选手不是一等奖；④沙市选手得二等奖；⑤小强不是三等奖；问小华是何处选手，得几等奖？ 2.下面是一个一般的图，有9个点，V=｛v1，v2，…，v9｝，有16条边，E＝｛e1，e2，…，e16｝.请找一个边数最多的匹配（即找一个最大匹配）. 3.有一个残缺棋盘（下图中的白格部分）.

问是否可用1×2的骨牌将它完全覆盖？ 4.一张8×8的黑白相间国际象棋盘，任意挖去一个黑格和另一处的一个白格，剩下的62格残盘，可否用31张1×2骨牌完全覆盖？file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6

年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11248_SR.HTM（第1

／2 页）[2010-07-04 8:24:42]题八解答习题八解答 1.作图，求捆绑的边匹配. 再把剩下的六个点，找捆绑边. 由于小明≠金城，所以小明=沙市，因而小明=沙市=三等. 最后得：小华=金城=二等. 这样的逻辑推理又直观又快捷，比文字叙述省力又准确.file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数

/11249_SR.HTM（第1／3 页）[2010-07-04 8:24:43]习题八解答习题八解答 1.作图，求捆绑的边匹配. 再把剩下的六个点，找捆绑边. 由于小明≠金城，所以小明=沙市，因而小明=沙市=三等. 最后得：小华=金城=二等. 这样的逻辑推理又直观又快捷，比文字叙述省力又准

确.file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学

1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11249_SR.HTM（第1／3 页）[2010-07-04 8:24:43]习题八解答 2.解：要找匹配，就是要把顶点集V分成两部分，并从边的集合E中选取一些连结这两部分的边，使得这些边无公共端点.要找最大匹配，即要使选取的边的数目最多.由于V中有9个点，因此最大匹配最多只能由4条边构成（否则必存在有公共端点的边）.而四条边｛e1，e3，e5，e7｝确实构成匹配边的集合.本题的最大匹配边的集合不是唯一的. 还要注意，最大匹配边的集合中不能包含题图中e9，e11，e14，e16之任一.例如，设包

含了e9.为了要使选出的边成为匹配，必须把以e9的顶点v2，v4为顶点之一的边都去掉，即要在下图中选取一个三条边的匹配. 这显然是不可能的. 3.答：可以覆盖，如下图.黑、白间隔染色，黑格用bi表示，白格用wi表示，每格对应成一个点，此问题转化成一个二分图寻找完全匹配问题，（具体分析略），覆盖方法为：把下标相同的bi和wi用一块骨牌覆盖（b1和w1；b2和w2等），共有九块.当然，覆盖方法也不止一种. 4.答：可以.给出一个构造性解答.把一柄三齿叉和一柄四齿叉放于棋盘上，如下页下图所示.这迷宫式的效果就是把正方形小格排成一种循环次序，使得可循着迷宫次序走过所有小格各一次而回到开始的正方形小格. 今设某黑

格为A，白格为B，A、B挖去.小格的色仍黑白交替，沿着迷宫路，位于一个黑格和一个白格之间的格子个数总是偶数.设想在A、B处各粘有一个以小方格A、B为底面的正方体骰子.然后把31张1×2骨牌紧密无间地沿着叉子通道紧靠着骰子A开始一个一个地接着排列，贴着骰子B后再越过B

紧靠着B接着排，直到再贴着骰子A.file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11249_SR.HTM（第2／3 页）[2010-07-04

8:24:43]习题八解答这样，31张1×2骨牌即盖满了挖去黑（A）、白（B）两格的棋盘. file:///C|/Documents and Settings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年

级数学奥数/11249_SR.HTM（第3／3 页）[2010-07-04 8:24:43]

六年级逻辑推理

第一章逻辑推理在数学竞赛中，有一类问题似乎不像数学题，这类问题没有或很少给出数量或数量关系，也不出现任何图形。解答这类问题没有什么现成的公式可用，甚至不需要什么复杂计算。也有的问题，似乎像算术或几何问题，但解决它却很少用到算术和集合的知识，而是用逻辑推理的知识来解答。这类问题称为逻辑推理问题。逻辑推理是运用已知若干判断去获得一个新判断的思维方法。在推理过程中，常常需要否定一些错误的可能性，去获得正确的结论。解决这类问题常用的方法有：直接法；假设法；排除法；图解法；列表法和枚举法等。逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后做出正确的判断。推理的过程，必须要有充足的理由和充分的依据。论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。一、直接法例 1 张、王、李三个工人，在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工，已知：（1）张不在甲厂；（2）王不在乙厂；（3）在甲厂的不是钳工；（4）在乙厂的是车工；（5）王不是电工，这三个人分别在哪个厂？干什么工作？【分析与解】此题可用直接法解答，即直接从特殊条件出发，再结合其他条件往下推，直到推出结论为止。由条件（5）可知，王不是电工，那么王必是车工或钳工；由条件（2）可知，王不在乙厂，那么王必在甲厂或丙厂；又由条件（4）可知，在乙厂的是车工，所以王只能是钳工；又因为甲厂的不是钳工，则王必是丙厂的钳工；张不在甲厂，必在乙厂或丙厂，而王在丙厂，则张必在乙厂，是乙厂的车工，剩下的李是甲厂的电工。所以，张是乙厂的车工，王是丙厂的钳工，李是甲厂的电工。例2 A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两人都要赛一场，并且只赛一场，规定胜者得2分，负者得0分。现在知道比赛结果是：A和B并列第一名；C 是第三名，D和E并列第四名，求C得多少分？【分析与解】我们从A和B并列第一名，D和E并列第四名的已知条件直接

华罗庚学校数学课本二年级

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华罗庚学校数学课本：二年级上册第一讲速算与巧算一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11）

=（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把 31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84

这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如： 1，2，3，4，5，6，7，8，9 1，3，5，7，9

华罗庚学校数学课本电子版

华罗庚学校数学课本电子版第一讲认识图形（一） 1．这叫什么？这叫“点”。用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。 2．这叫什么？这叫“线段”。沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。 3．这叫什么？这叫“射线”。从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。 4．这叫什么？这叫“直线”。沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。 5．这两条直线相交。两条直线相交，只有一个交点。 6．这两条直线平行。两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。 7．这叫什么？这叫“角”。角是由从一点引出的两条射线构成的。这点叫角的顶点，射线叫角的边。角分锐角、直角和钝角三种。直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。教室里天花板上的角都是直角。锐角比直角小，钝角比直角大。

习题一 1．点（1）看，这些点排列得多好！（2）看，这个带箭头的线上画了点。 2．线段下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！（1）一根小棍。可以横着摆，也可以竖着摆。（2）两根小棍。可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。（3）三根小棍。可以像下面这样摆。 3．两条直线哪两条直线相交？哪两条直线垂直？哪两条直线平行？

4．你能在自己的周围发现这样的角吗？第二讲认识图形（二）一、认识三角形 1．这叫“三角形”。三角形有三条边，三个角，三个顶点。 2．这叫“直角三角形”。直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边。 3．这叫“等腰三角形”。它也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长（相等），相等的两条边叫“腰”，另外的一条边叫“底”。 4．这叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。它既是直角三角形，又是等腰三角形。

华罗庚学校数学课本：二年级

=（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6

=30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如： 1，2，3，4，5，6，7，8，9

华罗庚学校数学课本(6年级下册)第01讲列方程解应用题

第一讲列方程解应用题这一讲学习列方程解应用题．例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．分析被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出方程．解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65．答：甲数是65，乙数是24．例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？思路1：分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因此列出方程的等量关系是：提高后的工效x所需的天数=剩下台数．解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×1.25x=1600-400 100x=1200 x=12．

答：完成计划还需12天．思路2：分析“思路1”是从具体数量入手列出方程的．还可以从“率”入手列方程．已知“效率提高25％”是指比原效率提高25％．把原来效率看成解：设完成计划还要x天．答：完成计划还需12天．例3有一项工程，由甲单独做，需12天完成，丙单独做需20天完成．甲、乙、丙合作，需5天完成．如果这项工程由乙单独做，需几天完成？工作总量．解：设乙单独做，需x天完成这项工程．

(完整word版)六年级奥数逻辑推理1答案

第三十一周逻辑推理（一）例题1：星期一早晨，王老师走进教室，发现教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告诉他：这是班里四个住校学生中的一个做的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘成、张明这四个住校学生找来了解。（1）许兵说：桌凳不是我修的。（2）李平说：桌凳是张明修的。（3）刘成说：桌凳是李平修的。（4）张明说：我没有修过桌凳。后经了解，四人中只有一个人说的是真话。请问：桌凳是谁修的？练习1： 1、小华、小红、小明三人中，有一人在数学竞赛中得了奖。老师问他们谁是获奖者，小华说是小红，小红说不是我，小明也说不是我。如果他们当中只有一人说了真话。那么，谁是获奖者？ 2、一位警察，抓获4个盗窃嫌疑犯A、B、C、D，他们的供词如下： A说：“不是我偷的”。 B说：“是A偷的”。 C说：“不是我”。 D说：“是B偷的”。他们4人中只有一人说的是真话。你知道谁是小偷吗？ 3、有500人聚会，其中至少有一人说假话，这500人里任意两个人总有一个说真话。说真话的有多少人？说假话的有多少人？

虹桥小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计：（1）丙得第一，乙得第二。（2）丙得第二，丁得第三。（3）甲得第二，丁得死四。比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前4名。但以上三种估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名？练习2： 1、甲、乙、丙、丁同时参加一次数学竞赛。赛后，他们四人预测名词的谈话如下：甲：“丙得第一，我第三”。乙：“我第一，丁第四”。丙：“丁第二，我第三”。丁：没有说话。最后公布结果时，发现甲、乙丙三人的预测都只对了一半。请你说出这次竞赛中甲、乙、丙、丁四人的名次。 2、某小学最近举行一次田径运动会，人们对一贯刻苦锻炼的5名学生的短跑成绩作了如下的估计： A说：“第二名是D，第三名是B”。 B说：“第二名是C，第四名是E”。 C说：“第一名是E，第五名是A”。 D说：“第三名是C，第四名是A”。 E说：“第二名是B，第五名是D”。这5位同学每人说对了一半，请你猜一猜5位同学的名次。 3、某次考试考完后，A，B，C，D四个同学猜测他们的考试成绩。 A说：“我肯定考得最好”。 B说：“我不会是最差的”。 C说：“我没有A考得好，但也不是最差的”。 D说：“可能我考得最差”。成绩一公布，只有一个人说错了，请你按照考试分数由高到低排出他们的顺序。

(完整word版)华罗庚学校数学课本：一年级(上册)

华罗庚学校数学课本一年级上册刘彭芝主编子悦爸整理

目录第一讲认识图形（一） (1) 习题一 (2) 第二讲认识图形（二） (4) 习题二 (7) 第三讲认识图形（三） (8) 习题三 (9) 第四讲数一数（一） (11) 习题四 (12) 习题四解答 (14) 第五讲数一数（二） (15) 习题五 (16) 习题五解答 (18) 第六讲动手画画 (20) 习题六 (21) 第七讲摆摆看看 (23) 习题七 (24) 习题七解答 (25) 第八讲做做想想 (27) 习题八 (27) 习题八解答 (29) 第九讲区分图形 (31) 习题九 (32) 习题九解答 (33) 第十讲立体平面展开 (35) 习题十 (36) 第十一讲做立体模型 (37) 习题十一 (38) 第十二讲图形的整体与部分 (39)

习题十二 (40) 习题十二解答 (42) 第十三讲折叠描痕法 (43) 习题十三 (44) 习题十三解答 (44) 第十四讲多个图形的组拼 (46) 习题十四 (47) 习题十四解答 (48) 第十五讲一个图形的等积变换 (50) 习题十五 (51) 习题十五解答 (52) 第十六讲一个图形的等份分划 (54) 习题十六 (55) 习题十六解答 (56) 第十七讲发现图形的变化规律 (58) 习题十七 (59) 习题十七解答 (61)

第一讲认识图形（一） 1．这叫什么？这叫“点”。用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个位置。 2．这叫什么？这叫“线段”。沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。 3．这叫什么？这叫“射线”。从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线。射线有一个端点，另一边延伸得很远很远，没有尽头。 4．这叫什么？这叫“直线”。沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。 5．这两条直线相交。两条直线相交，只有一个交点。 6．这两条直线平行。两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。 7．这叫什么？这叫“角”。

六年级举一反三逻辑推理

专题简析：解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的题型。解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。例题1：小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。每两人要比赛一盘。到现在为止，小华已经比赛了4盘。甲赛了3盘，乙赛了2盘，丁赛了1盘。丙赛了几盘？ 1、A，B，C，D，E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经比赛了4盘。B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。E赛了几盘？ 2、A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一次，但不和自己的妻子握手。握手完毕后，A先生问了每个人（包括他妻子）握手几次？令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么，A太太握了几次手？ 3、五位同学一起打乒乓球，两人之间最多只能打一盘。打完后，甲说：“我打了四盘”。乙说：“我打了一盘”。丙说：“我打了三盘”。丁说：“我打了四盘”。戊说：“我打了三盘”。你能肯定其中有人说错了吗？为什么？

例题2：图32-2是同一个标有1，2，3，4，5，6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之积是多少？ 1、图32-3是同一个标有1，2，3，4，5，6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？ 2、将红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体各面上（每一面只涂一种颜色）。现有涂色方式完全一样的相同的四块小正方体，把它们拼成长方体（如图32-4所示），每个小正房体红色面的对面涂的是什么颜色？黄色对面的？黑色对面呢？ 3、如图32-5所示，每个正方体的6个面分别写着数字1～6，并且任意两个相对的面上所写的两个数之和都等于7。把这样的5个正方体一个挨一个连接起来后，金挨着的两个面上的数字之和等于8。图中写？的这个面上的数字是几？

华罗庚学校数学教材(五年级上)第11讲简单的抽屉原理

本系列共15讲第十一讲简单的抽屉原理 . 文档贡献者：与你的缘把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里。尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果。由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了。由此得到：抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理。不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔…等十二种生肖）相同。怎样证明

这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚。事实上，由于人数（13）比属相（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13个人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。例1：有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。分析与解答首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉，把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉，由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。例2：一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？分析与解答扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，

小学三年级华罗庚学校数学课本(奥数)[doc]

上册华罗庚学校数学课本：三年级下册第一讲速算与巧算（一）第二讲速算与巧算（二）第三讲上楼梯问题第四讲植树与方阵问题第五讲找几何图形的规律第六讲找简单数列的规律第七讲填算式（一）第八讲填算式（二）第九讲数字谜（一）第十讲数字谜（二）第十一讲巧填算符（一）第十二讲巧填算符（二）第十三讲火柴棍游戏（一）第十四讲火柴棍游戏（二）第十五讲综合练习题第一讲从数表中找规律第二讲从哥尼斯堡七桥问题谈起第三讲多笔画及应用问题第四讲最短路线问题第五讲归一问题第六讲平均数问题第七讲和倍问题第八讲差倍问题第九讲和差问题第十讲年龄问题第十一讲鸡兔同笼问题第十二讲盈亏问题第十三讲巧求周长第十四讲从数的二进制谈起第十五讲综合练习

上册第一讲速算与巧算（一）一、加法中的巧算 1.什么叫“补数”？两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。又如：11+89=100，33＋67=100， 22+78=100，44+56=100， 55+45=100，在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89 的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。如：87655→12345，46802→53198， 87362→12638，… 下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。例1巧算下面各题： ①36+87+64 99+136＋101 ③1361＋972＋639＋28 解：①式=（36＋64）＋87 =100＋87=187 ②式=（99＋101）＋136 =200+136=336 ③式=（1361＋639）＋（972＋28） =2000+1000=3000 3.拆出补数来先加。例2 ①188＋873 ②548＋996 9898＋203 解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）＝200+861=1061 ②式=（548-4）＋（996＋4） =544+1000=1544 ③式=（9898＋102）＋（203-102） =10000+101=10101 4.竖式运算中互补数先加。如：二、减法中的巧算 1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。例 3 300-73-27 ②1000-90-80-20-10 解：①式= 300-（73＋27）＝300-100=200 ②式=1000-（90＋80＋20＋10）＝1000-200＝800 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。例4 4723-（723＋189） ②2356-159-256 解：①式=4723-723-189 ＝4000-189=3811 ②式=2356-256-159 ＝2100-159 =1941 3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。例5 ①506-397 ②323-189 ③467＋997 ④987-178-222-390 解：①式=500＋6-400+3（把多减的3再加上） =109 ②式=323-200+11（把多减的11再加上） =123+11＝134 ③式=467＋1000-3（把多加的3再减去）＝1464 ④式=987-（178＋222）-390 ＝987-400-400+10=197 三、加减混合式的巧算 1.去括号和添括号的法则在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即： a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d a-（b-c）＝a-b+c 例6①100＋（10＋20＋30） ②100-（10＋20+3O） ③100-（30-10）解：①式=100＋10＋20＋30 =160 ②式=100-10-20-30 =40 ③式=100-30＋10 ＝80 例7计算下面各题： ①100＋10＋20＋30 ②100-10-20-30 ③100-30＋10 解：①式=100＋（10+20+30） =100＋60=160 ②式=100-（10＋20+30）＝100-60=40

数学人教版六年级下册逻辑推理

《逻辑推理》教案教学目标： 1、借助列表整理信息，并利用题目给出的已知条件有根有据的进行推理，得出结论，培养发展学生的逻辑推理能力。 2、有条理地表达自己思考的过程，与同伴进行交流，初步培养学生有循序地、全面地思考问题的意识及合作意识。教学重点、难点：重点：利用表格进行生活中的推理。难点：仔细分析，寻找突破口，有条理地表达自己的推理过程。教学过程：一、创设情境，引入新知 1、出示柯南图片师：同学们，认识他吗？那喜欢他吗？为什么喜欢他？师：是的，名侦探柯南就是靠他敏锐的观察力和严密的逻辑推理解决了一个又一个扑朔迷离的案件。你想成为名侦探吗？今天我们先当当数学小侦探，有信心当好吗？ 2、体验简单的逻辑推理 ⑴玩趣味抢答游戏。﹙我说一句话，请你们根据我所说的话进行推理，说出你想到的结论。﹚ A、小红不是女生。 B、不是男生的同学请站起来。 C、数学考试考了前三名的小红既不是第一名也不是第三名。 D、小华是明明的哥哥，但是明明却不是小华的弟弟。 3、引出课题像这样，借助有力的信息或依据，一步一步的作出判断,推出正确的结论，这种方法数学上称之为“推理”，这类判断推理问题叫做“逻辑推理”问题，有根有据的推理过程就是逻辑推理的过程。大家是不是认为逻辑推理题很简单呢？可不要掉以轻心哦！我再给你们出一个难一点的，愿意接受挑战吗？今天我们就一起研究稍复杂一点的逻辑推理问题。

二、探究新知 1、探究复杂一点的逻辑推理 ⑴出示题目六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会时，每次每班只要一个班长参加。第一次到会的有A、B、C；第二次有B、D、E；第三次有A、E、F。请问哪两位班长是同班的？ ⑵引导学生理解题意 ①请学生回答师：谁知道答案，怎么没有人举手？ ②学生读题师：读完读完题有什么感觉？﹙学生自由说﹚读懂了吗？都读懂了什么？谁能告诉我答案！ ⑶学生用文字表述的方法进行逻辑推理 ①学生汇报。 ②师：你们都听懂了吗？为什么没听懂呢？﹙没听出头绪，有点乱，听后面的又忘了前面的，记不住﹚ ⑷引导学生用列表法解决问题 ①师：没听出头绪，有点乱的原因是因为这些信息都孤立的放在那里，不便于观察和思考，那为了更清楚的表示他们的关系，我们可以利用列表的方法来解决问题。 ②教师示范填上第一次的情况，并做简要的分析。（引导学生运用列表法时并同时运用排除法﹚ ③学生相互之间说说推理的过程。 ④根据以上的推理，推出B、C分别与谁同班，进一步感受列表分析的优势。 ⑸比较文字表述的推理方法和列表推理方法的异同。 ①共同点：思路差不多，都用了排除法。 ②你认为哪种方法既清晰又简单。师小结：我们为解决问题进行逻辑推理时，一般先找到一句最重要的话，寻找突破口，往往能直接得到一个结论，还能帮助我们进行下一步的推理，推理的方法很多，阅读，画表

华罗庚学校数学教材(五年级下)第10讲逻辑推理(一)

本系列共15讲第十讲逻辑推理（一） . 文档贡献者：与你的缘由于数学学科的特点，通过数学的学习来培养少年儿童的逻辑推理能力是一种极好的途径。为了使同学们在思考问题时更严密更合理，会有根有据地想问题，而不是凭空猜想，这里我们专门讨论一些有关逻辑推理的问题。解答这类问题，首先要从所给的条件中理清各部分之间的关系，然后进行分析推理，排除一些不可能的情况，逐步归纳，找到正确的答案。例1公路上按一路纵队排列着五辆大客车，每辆车的后面都贴上了该车的目的地的标志。每个司机都知道这五辆车有两辆开往A市，有三辆开往B市；并且他们都只能看见在自己前面的车的标志。调度员听说这几位司机都很聪明，没有直接告诉他们的车是开往何处的，而让他们根据已知的情况进行判断。他先让第三个司机猜猜自己的车是开往哪里的。这个司机看看前两辆车的标志，想了想说“不知道”。第二辆车的司机看了看第一辆车的标志，又根据第三个司机的“不知道”，想了想，也说不知道。第一个司机也很聪明，他根据第二、三个司机的“不知道”，作出了正确的判断，

说出了自己的目的地。请同学们想一想，第一个司机的车是开往哪儿去的？他又是怎样分析出来的？解：根据第三辆车司机的“不知道”，且已知条件只有两辆车开往A市，说明第一、二辆车不可能都开往A市（否则，如果第一、二辆车都开往A市，那么第三辆车的司机立即可以断定他的车一定开往B市）。再根据第二辆车司机的“不知道”，则第一辆车一定不是开往A 市的（否则，如果第一辆车开往A市，则第二辆车即可推断他一定开往B市）。运用以上分析推理，第一辆车的司机可以判断，他一定开往B 市。例2李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛。事先规定，兄妹二人不许搭伴。第一盘：李明和小华对张虎和小红；第二盘：张虎和小林对李明和王宁的妹妹；请你判断：小华、小红和小林各是谁的妹妹？解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹

华罗庚学校数学教材(五年级上)第07讲行程问题

本系列共15讲第七讲行程问题 .文档贡献者：与你的缘在这一讲中，我们将要研究的是行程问题中一些综合性较强的题目。为此，我们需要先回顾一下已学过的基本数量关系：路程=速度×时间总路程=速度和×时间路程差=速度差×追击时间例1：小华在8点到9点之间开始解一道题，当时时针、分针正好成一直线，解完题时两针正好第一次重合。问：小华解这道题用了多长时间？分析：这道题实际上是一个行程问题。开始时两针成一直线，最后两针第一次重合。因此，在我们所考察的这段时间内，两针的路程差为30分格，又因为时针每小时走5分格，即它的速度为12 1 分格/分钟，而分针的速度为1分格/分钟，所以，当它们第一次重合时，一定是分针从后面追上时针。这是一个追击问题追及时间就是小明的解题时间。解：30÷（1－）=30÷=32（分钟）121121111 8例2：甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，

丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇。求A、B两地间的距离。画图如下：分析：结合上图，如果我们设甲、乙在点C相遇时，丙在D点，则因为过15分钟后甲、丙在点E相遇，所以C、D之间的距离就等于（40＋60）×15=1500米。又因为乙和丙是同时从点B出发的，在相同的时间内，乙走到C点，丙才走到D点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50－40=10（米/分），这样可求出乙从B到C的时间为1500÷10=150分钟，也就是甲、乙二人分别从A、B出发到C点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A、B的距离。解：（1）甲和乙15分钟的相遇路程：（40＋60）×15=1500米（2）乙和丙的速度差： 50－40=10（米/分）

六年级奥数讲义第32讲逻辑推理(二)

第三十二周逻辑推理（二）专题简析：解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的题型。解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。例题1：小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。每两人要比赛一盘。到现在为止，小华已经比赛了4盘。甲赛了3盘，乙赛了2盘，丁赛了1盘。丙赛了几盘？这道题可以利用画图的方法进行推理，如图32-1所示，用5个点分别表示小华、甲、乙、丙、丁。如果两人之间已经进行了比赛，就在表示两人的点之间连一条线。现在小华赛4盘，所以小华应与其余4个点都连线…… 甲赛了3盘。由于丁只赛了一盘，所以甲与丁之间没有比赛。那么，就连接甲、乙和甲、丙。这时，乙已有了两条线，与题中乙赛2盘相结合，就不再连了。所以，从图32-1中可以看出，丙与小华、甲各赛一盘。即丙赛了两盘。练习1： 1、A，B，C，D，E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A 已经比赛了4盘。B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。E赛了几盘？ 2、A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一次，但不和自己的妻子握手。握手完毕后，A先生问了每个人（包括他妻子）握手几次？令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么，A太太握了几次手？ 3、五位同学一起打乒乓球，两人之间最多只能打一盘。打完后，甲说：“我打了四盘”。乙说：“我打了一盘”。丙说：“我打了三盘”。丁说：“我打了四盘”。戊说：“我打了三盘”。你能肯定其中有人说错了吗？为什么？例题2：图32-2是同一个标有1，2，3，4，5，6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之积是多少？用排除法排除不符合条件的情形，最后剩下的情况就是所要的结果。由（1）、（2）两个图可以看出，1的对面不可能为4，6，2，3，所以1的对面必为5；由（2）、（3）两个图形可以看出，3的对面不可能为1，2，4，5，所以3的对面必为6。由此可知，4的对面必定为2。上面正方体三个朝左一面的数字依次为2，5，6。所以它们的积为2×5×6=60。练习2： 1、图32-3是同一个标有1，2，3，4，5，6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？ 2、将红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体各面上（每一面只涂一种颜色）。现有涂色方式完全一样的相同的四块小正方体，把它们拼成长方体（如图32-4所示），每个

华罗庚学校数学教材(五年级下)第03讲巧求表面积

本系列共15讲第三讲巧求表面积 . 文档贡献者：与你的缘我们已经学习了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积。如果长方体的长用a表示、宽用b表示、高用h表示，那么，长方体的表面积=（ab＋ah ＋bh）×2。如果正方体的棱长用a表示，则正方体的表面积=6a2。对于由几个长方体或正方体组合而成的几何体，或者是一个长方体或正方体组合而成的几何形体，它们的表面积又如何求呢？涉及立体图形的问题，往往可考查同学们的看图能力和空间想象能力。小学阶段遇到的立体图形主要是长方体和正方体，这些图形的特点都是可以从六个方向去看，特别是求表面积时，就是上下、左右和前后六个方向（有时只考虑上、左、前三个方向）的平面图形的面积的总和。有了这个原则，在解决类似问题时就十分方便了。例1在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。

分析我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面。这样这个立体图形有表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；侧面：小正方体的四个侧面大正方体的四个侧面。解：上下方向：5×5×2=50（平方分米）侧面：5×5×4=100（平方分米） 4×4×4=64（平方分米）这个立体图形的表面积为： 50＋100＋64=214（平方分米）答：这个立体图形的表面积为214平方分米。例2下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方体小洞，第三个正方体小洞的1 2

华罗庚学校数学教材六年级上比和比例

华罗庚学校数学教材六年级上比和比例集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

本系列共14讲第二讲比和比例 . 文档贡献者：与你的缘在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断。成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例；如果k是y与x的积，即在x 变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．例1下列各题中的两种量是否成比例成什么比例 ①速度一定，路程与时间． ②路程一定，速度与时间． ③路程一定，已走的路程与未走的路程． ④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间． ⑤总产量一定，亩产量和播种面积． ⑥整除情况下被除数一定，除数和商． ⑦同时同地，竿高和影长． ⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．

⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数． ⑩圆的半径和面积． (11)长方体体积一定，底面积和高． (12)正方形的边长和它的面积． (13)乘公共汽车的站数和票价． (14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数． (15)汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢关键是能否把两个两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15) 成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、(11)、(14) 不成比例的有：③、⑩、(12)、(13)．例2一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小

六年级下册数学试题-奥数专练：逻辑推理(含答案)全国通用

逻辑推理（含答案）很多同学喜欢逻辑推理，说明它有神奇魅力。在小升初考试中，逻辑推理题依旧频繁的出现在各重点中学的试卷里，北京人大附中英语实验班选拔考试，甚至还出现了多道英语的奥数逻辑题，所以加强这方面的训练对于我们学生来说依然是十分必要的。一、逻辑推理的“生命线”：逻辑推理找矛盾，真假不清暂先定。找矛盾的依据是逻辑推理的四大定律。 ⑴同一律。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。 ⑵矛盾律。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。例如，“这个数大于8”和“这个数小于5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。 ⑶排中律。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如“这个数大于8”和“这个数不大于8”是两个恰好相反的判断，其中必有一个是对的，一个是错的。 ⑷理由充足律。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。二、逻辑推理的几种主要类型： 1．真假命题判断； 2．数值限定推演； 3．列表与对阵图。例1 某楼住着4个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁。最大的男孩比最小的女孩大4岁，最大的女孩比最小的男孩也大4岁。最大的男孩多少岁？例2 三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分。考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少。各科都是如此记分。已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分。并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁？

例3 甲、乙、丙、丁四人对A先生的藏书数目做了一个估计，甲说：“A先生500本书”；乙说：“A先生至少有1000本书”；丙说：“A先生的书不到2000本”。丁说：“A先生最少有1本书”，这四个人的估计中，只有一句是对的，问A先生究竟有多少本书？例4 ★★★(2006年浙江省小学数学活动课夏令营)足球世界杯小组赛的每个小组有四个队参加单循环(每两个队之间都踢一场)比赛，每组的前两名可以出线。其积分方法为：每胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。当两个组的积分相同时，以净胜球数(总进球数减去总失球数的差)的多少来定名次，净胜球多的队排名靠前。已知某队以最低的积分出线了，那么这个队在小组赛中的积分是_____分。例5 ★★★★(小学数学奥林匹克竞赛)甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分分别是8，7和17分，甲得了一个第一名，已知各个比赛项目分数相同，且第一名的得分不低于二、三名得分的和，那么比赛共有_____个项目，甲的每项得分分别是_____。例6 一次数学考试，共六道判断题，考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“×”。记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分。已知A，B，C，D，E，F，G 七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出G的得分，并简单说明你的思路。

华罗庚学校数学教材(六年级下)第14讲-关于空间想象力的综合训练题

本系列共14 讲第十四讲关于空间想象力的综合训练题 . 文档贡献者：WINNER 1.将下图中的硬纸片沿虚线折起来，便可以作成一个正方体.问这个正方体的2号面的对面是几号面？ 2.有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积. 3.有一个正方体，边长是 5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？ 4.有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成下图的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积. 5.如下图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？

6.一个正方体形的纸盒中恰好能放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体（下图）.问纸盒的容积有多大？（圆周率取为 3.14）. 7.一个高为 30 厘米，底面为边长是 10 厘米的正方形的长方体水桶，其中装有 1 容积的水。现在向桶中投入边长为 2 厘米×2 厘米×3 2 厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？ 8，有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是 1∶2。用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完。问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 9.如下图，在棱长为 3 的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是 1 的正方形高为 3 的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？ 10.将边长为 10 的正方体木块六个面都染上红色后，锯成边长为

六年级华罗庚学校数学课本第二十二讲 图论中的匹配与逻辑推理问题