浙江省湖州市2016届高三第二学期5月调测数学文试题

第2题图

正视图

2015学年第二学期高三调测试卷

数学(文)

注意事项：

1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．

2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

第 Ⅰ 卷 （选择题，共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．已知集合{}2

40A x x x =-≤，{}

1B x x =>，则=A B

A ．{4x x >或}0x <

B ．{}

14x x <<

C ．{}14x x <≤

D ．{}

14x x ≤≤

2．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ）， 则该几何体的体积是 A ．

2033cm B ．223

3cm C ．43cm D ．63cm 3．已知{}n a 是公比大于1的等比数列．若12a ,

232a ,3a 成等差数列，则44

S

a = A ．

3116 B ．1516 C ．15

8

D ．2 4．在三角形ABC 中，“3A π>”是“1

cos 2

A <”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 5．已知函数()3

f x x =．

命题①：?R x ∈，都有()()0f x f x +-=；

命题②：?12,R x x ∈，()()()()

12120x x f x f x --<．

A ．命题①成立，命题②不成立

B ．命题①不成立，命题②成立

C ．命题①和命题②都成立

D ．命题①和命题②都不成立

6．设直线,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//,//m n m α，则//n α B ．若,//m αβα⊥，则m β⊥

C ．若//,//m m αβ ，则//αβ

D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥ ，则αβ⊥ 7．已知函数()2cos 3f x x π???

=+

???

图象的一个对称中心为()2,0，且2π?<．要得到函

数()f x 的图象，可将函数()2cos 3

f x x π

=的图象

A ．向左平移12个单位长度

B ．向右平移1

2

个单位长度 C ．向左平移

6π个单位长度 D ．向右平移6

π

个单位长度 8．已知12,F F 为双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的左右焦点，过2F 的直线与双曲线的左

右支分别交于,A B 两点．若1ABF ?为正三角形，则该双曲线的离心率是 A

B

C

D

第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共110分）

注意事项： 用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题纸上，做在试题卷上无效．

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

9．椭圆2

215

y x +=的长轴长是 ▲ ，焦点坐标是 ▲ ． 10．已知tan 2α=，则tan 4πα?

?+= ???

▲ ，

sin sin cos ααα=- ▲ ． 11．已知函数()()22,0,

log ,0x

x f x x x ?≥?=?-

则()()2f f -= ▲ ；若()2f x ≥，则实数

x 的取值范围是 ▲ ．

第14题图

12．已知单位向量12,e e 的夹角为?60，则12=e e ?

▲ ，12e e λ- ()R λ∈的最小值

是 ▲ ．

13．已知圆2225x y +=和两定点()55,0,0,2A B ??- ???

．若该圆上的点M 满足MA MB ⊥，

则直线MA 的斜率是 ▲ ．

14．如图，在ABC ?中，0

30B ∠=，0

90BAC ∠=，AD ⊥现将ACD ?沿直线AD 旋转一周，则在旋转过程中， 直线AC 与直线BD 所成角的取值范围是 ▲ ．

15．已知关于x 的方程2

20x bx c ++=（,R b c ∈）在[]1,1-上有实数根，043b c ≤+≤，则b 的取值范围是 ▲ ．

三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16．（本题满分15分）在ABC ?中，内角,,A B C 的所对边分别为,,a b c ．

已知22

+5cos =0a b ab C +，2

7

sin sin sin 2

C A B =

． （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）若1a =，求ABC ?面积的值．

17．(本题满分15分)在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC ⊥平面ABC ，

1BC CA AC ==．

（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11AB C ；

（Ⅱ）求直线1A B 与平面11AB C 所成角的余弦值．

第17题图

C

A

18．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足2

127552

222

2

n

n n a a

a

-?= ()*n ∈N ．

（Ⅰ）求n a ；

（Ⅱ）令15=n n n n T a a a +++++ ()*n ∈N ，求n

T 的最小值．

19．(本题满分15分)已知点()00,C x y 是抛物线24 y x =上的动点，以C 为圆心的圆过该

抛物线的焦点F ，且圆C 与直线1

2

x =-相交于,A B 两点． （Ⅰ）当3FC =时，求AB ；

（Ⅱ）求FA FB ?的取值范围．

20．（本题满分14分）已知0a >，R b ∈，函数()2

42f x ax bx a b =--+，[]

0,1x ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；

（Ⅱ）若()11f x -≤≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，求a b +的取值范围．

2015学年第二学期高三调测试卷参考答案及评分标准（数学文）

分）9. ，()

0,2±10. 3-，2

11.2；(][)

,41

-∞-+∞

，12.

1

2

13．214.6090

θ

??

≤≤

15.[]

0,2

三、解答题(本大题共5小题，共74.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16．（本题满分15分）在ABC

?中，内角,,

A B C的所对边分别为,,

a b c．

已知22+5cos=0

a b ab C

+，2

7

sin sin sin

2

C A B

=．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若1

a=，求ABC

?面积的值．

解：（Ⅰ）由题意及余弦定理得，0

2

5

2

2

2

2

2=

-

+

+

+

ab

c

b

a

ab

b

a，

即()2

2

25

7c

b

a=

+．…………………………………………………………2分

由题意及正弦定理得，ab

c

2

7

2=．…………………………………………4分

故

2

1

2

7

2

2

cos

2

2

2

2

-

=

-

=

-

+

=

ab

c

ab

c

b

a

C．…………………………………6分

因为()π,0

∈

C，所以

3

2π

=

∠C．……………………………………………7分

（Ⅱ）因为1=a ，由（Ⅰ）知，??

???+==2227752

7b c b

c ，解得1=b 或2=b ．……10分 ①当1=b 时，43

sin 21=

=

?C ab S ABC ；……………………………12分 ②当2=b 时，2

3

sin 21=

=

?C ab S ABC ．……………………………14分 综上，ABC ?的面积为

2

3

,43．……………………………………………15分 17．(本题满分15分)在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC ⊥平面ABC ，

1BC CA AC ==．

（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11AB C ；

（Ⅱ）求直线1A B 与平面11AB C 所成角的余弦值． （Ⅰ）证明：因为三棱柱111ABC A B C -，

所以11//C B BC .

又因为90ACB ?

∠=，所以11C B AC ⊥．………3分 因为1AC ⊥平面ABC ，所以AC AC ⊥1．.……6分 因为1111C C B AC = ，所以AC ⊥平面11AB C ．…7分 （Ⅱ）解：因为三棱柱111ABC A B C -中11//C A AC ，

又由（Ⅰ）知，AC ⊥平面11AB C ，所以11C A ⊥平面11AB C ．………………10分 设B A 1交1AB 于点O ，所以1AOC ∠为直线1A B 与平面11AB C 所成角．.……12分 设1

BC CA AC ==a =，

C

A

第17题图

直角三角形O AC 1中，a OC 221=

，a O A 2

61=．.……14分 因此，33cos 11=

∠OC A ，故直线1A B 与平面11

AB C 所成角的余弦值为3

3．.…15分 18．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足2

127552

2222

n

n n a a

a

-?= ()*n ∈N ．

（Ⅰ）求n a ；

（Ⅱ）令15

=n n n n T a a a +++++ ()*n ∈N ，求n

T 的最小值．

解：（Ⅰ）当1n =时，135

22a

=，所以135a =，-----------------------------------2分

2n ≥时，2

127552

2222

n n n a a a

-?= ，

()()

2

112751512

2222

n n n a a a ----?= ，------------------------------------4分 两式相除得，()()2

27515175522

22

n

n n n n a -----

=，-------------------------------------6分

化简得，4052

2n

a n -=，即405n a n =-；

又135a =满足上式，所以()405*n a n n =-∈N ---------------------9分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()

()5156151122

n n n n n a a a a a n +++++++==- ，---------13分

所以()15112n T n =-．

所以当5n =，或6n =时，()min 15n T =．------------------------------------------15分 19．(本题满分15分)已知点()00,C x y 是抛物线2

4 y x =上的动点，以C 为圆心的圆过该

抛物线的焦点F ，且圆C 与直线1

2

x =-相交于,A B 两点． （Ⅰ）当3FC =时，求AB ；

（Ⅱ）求FA FB ?的取值范围．

解：（Ⅰ）因为0012

p

FC x x =+

=+， 所以02x =；-----------------------------------------------------------2分 所以点C 到12x =-

的距离5

2

d =，------------------------------4分 所以圆C 的半径是3FC =，

AB ==------------------------------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()1,0F ，

圆C 的方程是()()()2

2

2

2

00001x x y y x y -+-=-+，

令12x =-

，2

0032304

y y y x -+-=，-----------------------------------------------7分 20004123430y x x ?=-+=+>恒成立，

设1211,,,22A y B y ????-- ? ?????

，则1202y y y +=，1203

34

y y x ?=-，------------------9分 因为点()00,C x y 在抛物线2

4y x =上，故2004y x =，

所以FA FB ?=

=

--------11分

=

031x ==+，--------------------------------------------------------------13分

因为00x ≥，所以[)3,FA FB ?∈+∞．---------------------------------------------------15分

20．（本题满分14分）已知0a >，R b ∈，函数()2

42f x ax bx a b =--+，[]

0,1x ∈．

（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；

（Ⅱ）若()11f x -≤≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，求a b +的取值范围．

解：（Ⅰ）①方法一：当1

42

b a ≤即2b a ≤时，()max (1)3f x f a b ==-；-------3分 当

1

42

b a >即2b a >时，()max (0)f x f a b ==-+ 因此()max 3,22,2a b b a

f x a b a a b b a

-≤?==-+?-+>?．--------------------------------------6分

方法二：

()()(){}max max 0,1f x f f =．------------------------------------------------------3分 {}3,2max ,32,2a b b a

a b a b a b a a b b a

-≤?-+-==-+?-+>?．----------------------------6分

（Ⅱ）先证明()+20f x a b a -+≥．

令()2

42+2g x ax bx b a b =-+-，

当2b a ≤时，()2

422g x ax bx a

=-+

()224422221ax ax a a x x ≥-+=-+，--------------------------------------8分

当2b a >时，()()2

4212g x ax b x a

=+--

()()

2244122221ax a x a a x x ≥+--=-+

显然2

211221=2022x x x ?

?-+-+> ??

?．------------------------------------------------------10分

（按对称轴分三类讨论酌情给分）

结合（Ⅰ）知()2f x a b a ≤-+，所以要使()11f x -≤≤对任意的[]

0,1x ∈恒成

立，则210a b a a ?-+≤??>??．即02031a a b a b >??-≥??-≤?或0

2031

a a

b a b >??-

，------------------------12分

由线性规划知识得(]13a b +∈-，．----------------------------------------------14分